2022-2023學年北京市石景山區八年級（上）期末數學試卷

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下面各題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.5的算術平方根是（）

A.±5B.25C.±75D.亞

【答案】D

【解析】

【分析】根據算術平方根的定義求解即可，如果一個正數》的平方等于。，即/=4，那么x叫做。的算術

平方根.

【詳解】解：數5的算術平方根為遂.

故選：D.

【點睛】本題考查了算術平方根，熟練掌握算術平方根的定義是解答本題的關鍵，正數有一個正的算術平方

根，。的平方根是0,負數沒有算術平方根.

2.勾股定理是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，現發現約有400種證明方法.下面四個圖形是證明勾股定理

的圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據軸對稱圖形的定義和中心圖形的定義進行判斷求解即可.

【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

B、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

C、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

D、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意.

故選B.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，解題的關鍵在于熟練的掌握相關定義去判斷圖

形.

3.使得分式'值為零的機的值是（）

m+3

A.m=QB.m=2C.m^—3D.m3

【答案】A

【解析】

【分析】根據分式的值為0的條件求出m的值即可.

【詳解】解：,分式V值為零，

.,.加=0且加+3wO,

.\m=0.

故選：A.

【點睛】本題考查分式的值為零的條件，熟知分式值為零的條件是分子為零而分母不為零是解題的關鍵.

4.利用直角三角板，作_45c的高，下列作法正確的是（）

'"。個二々"

ABB\!B

【答案】D

【解析】

【分析】由題意直接根據高線的定義進行分析判斷即可得出結論.

【詳解】解：A、B、C均不是高線.

故選：D.

【點睛】本題考查的是作圖-基本作圖，熟練掌握三角形高線的定義即過一個頂點作垂直于它對邊所在直線

的線段,叫三角形的高線是解答此題的關鍵.

5.在等腰ABC中，AB=AC=5,BC=2岳，則底邊上的高為（）

A.12B.2石C.3也D.18

【答案】B

【解析】

【分析】過點A作于點。，根據等腰三角形的性質求得助=CD,再由勾股定理得AD.

【詳解】解：如圖，過點A作于點。，

ABC是等腰三角形，AB=AC,

：,BD=CD=-BC=4l3,

2

在RtA血中，由勾股定理得，

AD=y/AB2-BD2=6-（屈了=2百，

即底邊上的高為26，

故選：B.

【點睛】此題考查了等腰三角形和勾股定理，解題的關鍵是熟知等腰三角形的性質和勾股定理.

6.如圖，數軸上M,N,P,。四點中，與2-6對應的點距離最近的是（）

MNPQ

■iii.i

e?■1A

-2-1012

A.點/B.點、NC.點尸D.點。

【答案】B

【解析】

【分析】估算出無理數2-6的大小，進而可以求解.

【詳解】解：4<5<9,

r.2<逐<3，

-2>—>—3，

二.-1<2-6<0，

???點N距離此點最近.

故選：B.

【點睛】此題考查了無理數的估算，解題的關鍵是正確求得無理數的估值.

7.下列各式中，運算正確的是（）

112112

A.—I-----=—B.-------1-------=------

x2x3xx+1x—1x—1

、空

一x4y6-2y43xy2x3y2

【答案】C

【解析】

【分析】根據分式運算法則逐項計算判斷即可.

【詳解】解：A、±1+/1=3三，故不符合題意;

x2x2x

X—1+X+1

"(x+l)(x-l)

=/7,故不符合題意；

c、故符合題意;

D、白3xy胃2x

22x

3孫y

4

=『，故不符合題意；

3y

故選：C.

【點睛】此題考查了分式的運算法則，解題的關鍵是熟悉分式的加減乘除運算法則.

8.如圖1所示的“三等分角儀”能三等分任意一個角.這個三等分角儀由兩根有槽的棒04,組成，兩

根棒在。點相連并可繞。點轉動.。點固定，OC=CD=DE,點、D,E可在槽中滑動.如圖2,若

ZBDE=84°,則NCDE的度數是()

圖2

C.66°D.70°

【答案】B

【解析】

【分析】由等邊對等角即可得出=NDCE=NDEC.再結合三角形外角性質即可求出

NDOE=NODC=28°,從而可求出NCDE的大小.

【詳解】解：OC=CD=DE,

:"COD=NCDO,ZDCE=/DEC,

ZDCE=ZCDO+ZCOD=2ZCOD,

:.ZDEC=2ZCOD,

Z.COD+ZDEC=ZBDE,

.?.3NCOD=84°,

.-.ZCOD=28°,

ZDEC=ZDCE=56。,

:.ZCDE=6S°,

故選：B.

【點睛】本題考查等腰三角形的性質，三角形外角的性質.利用數形結合的思想是解題關鍵.

二、填空題(本題共16分，每小題2分)

9.要使式子后二5有意義，則x可取的一個數是

【答案】2(答案不唯一)

【解析】

【分析】根據二次根式有意義的條件，即可求解.

【詳解】解：根據題意得：2x—320,

3

解得：%>-,

2

x可取2.

故答案為：2(答案不唯一)

【點睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的被開方數為非負數是解題的關鍵.

光一

10.下面是大山同學計算T2——X,U3的過程：

x+3xx+3

x2x-3

x2+3xx+3

=--——^^...[1]

x(x+3)x+3

X2x(x-3)

=----------------------…0

x(x+3)x(x+3)

x2-x(x-3)

=----------…⑶

x(x+3)

m…

=----------...[4]

%(x+3)

(1)運算步驟[2]為通分，其依據是_；

(2)運算結果的分子機應是代數式

【答案】①.分式的基本性質②.3%

【解析】

【分析】根據分式的基本性質填寫和計算.

【詳解】解：(1)分式的通分是運用分式的基本性質，

故答案為：分式的基本性質；

(2)通過運算得，

x2—x(x-3)

x(x+3)

—%2+3x

x(x+3)

3x

x(x+3)

故答案為：3x.

【點睛】此題考查了分式的基本性質，解題的關鍵是熟悉分式的基本性質.

11.如果等腰三角形的一個角的度數為80。，那么其余的兩個角的度數是.

【答案】50°,50。或20。，80°

【解析】

【分析】根據等腰三角形性質，分類討論即可得到答案.

【詳解】解：①當80。時頂角時，其余兩個角是底角且相等，則有：(180。—80。)+2=50。；

②當80。時底角時,則有：頂角180°—80°x2=20°；

故答案：50°,50°或20。，80°.

【點睛】本題考查等腰三角形性質：兩個底角相等，還考查了分類討論的思想.

12.若|x-5|+5三=0,則x+y=—.

【答案】2

【解析】

【分析】根據絕對值的非負性及算術平方根的非負性得到％=5,y=-3,再計算代數式即可.

【詳解】解：」x-5|+Jy+3=0,

...x—5=0,y+3=。，

解得：*=5,y=-3,

x+y=5-3=2.

故答案為：2.

【點睛】此題考查代數式的代入求值，正確掌握絕對值的非負性及算術平方根的非負性是解題的關鍵.

13.依據下列給出的事件，請將其對應的序號填寫在橫線上.

①在只含有4件次品的若干件產品中隨機抽出5件，至少有一件是合格品；

②五人排成一行照相，甲、乙正好相鄰；

③同時擲5枚硬幣，正面朝上與反面朝上的個數相等；

④小明打開電視，正在播放廣告；

必然事件_;不可能事件隨機事件_.

【答案】①.①②.③③.②④##④②

【解析】

【分析】根據必然事件指在一定條件下，一定發生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的

事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件，對每一項進行分析即

可.

【詳解】解：①在只含有4件次品的若干件產品中隨機抽出5件，至少有一件是合格品，是必然事件；

②五人排成一行照相，甲、乙正好相鄰，是隨機事件；

③同時擲5枚硬幣，正面朝上與反面朝上的個數相等，是不可能事件；

④小明打開電視，正在播放廣告，是隨機事件；

則必然事件①；可能是近是③；隨機事件是②④，

故答案為：①；③；②④.

【點睛】本題考查的是事件的分類，事件分為確定事件和不確定事件（隨機事件），確定事件又分為必然

事件和不可能事件.

14.下面是代號分別為A,B,C,。的轉盤，它們分別被分成2個、4個、6個、8個面積相等的扇形.

（1）用力轉動轉盤_（填寫轉盤代號），當轉盤停止后，指針落在陰影區域的可能性與落在白色區域的可

能性相等；

（2）用力轉動轉盤_（填寫轉盤代號），當轉盤停止后，指針落在陰影區域的可能性大小是g.

【解析】

【分析】（1）指針落在陰影區域的可能性與落在白色區域的可能性相等，可得陰影區域的面積等于白色區域

的面積；（2）指針落在陰影區域的可能性=』x轉盤的面積，可得陰影區域的面積所占大小.

3

【詳解】解：（1）用力轉動轉盤A,當轉盤停止后，指針落在陰影區域可能性與落在白色區域的可能性相

等.

（2）6x—=2.

3

故用力轉動轉盤C,當轉盤停止后，指針落在陰影區域的可能性大小是

3

故答案為：A,C.

【點睛】此題考查了幾何概率，用到的知識點是可能性等于所求情況數與總情況數之比，關鍵是熟練掌握幾

何概率公式.

15.如圖，在中，ABJ.AC,NC=55°,點石為54延長線上一點，點尸為邊上一點，若

ZE=30°,則NCEE的度數為

【解析】

【分析】根據直角三角形的性質求出，再根據三角形的外角性質求出。

【詳解】解：在RtAABC中，NB4C=90。，NC=55°,

則NB=90°—NC=35°,

?NCFE是，班尸的外角，

NCTE=ZB+NE=35°+30°=65°,

故答案為：65°.

【點睛】本題考查的是直角三角形的性質、三角形的外角性質，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題關鍵。

16.如圖，AABC中，ZA=90°,平分/ABC,交AC于點。，DELBHE,若AB=6,BC=9,

則DE的長為_.

【答案】上

5

【解析】

【分析】先由角平分線的性質得到QE=ZM,再證明得到班長，再根據勾股定理

解出AC,設DE=x,貝UC￡>=36一無，由勾股定理得求出OE長.

【詳解】解：AC1AB,DE1BC,平分/ABC,

DE=DA，

在RtAABZ)與RtAEBD中，

BD=BD

AD=DE'

RtAABZ)=RtAE8D(HL),

BE=AB—6，

BC=9,

CE=3,

在RtAABC中，由勾股定理得，

AC=^BC2-AB-=V92-62=375，

設=則CZ)=36一x，

在RtACDE中，由勾股定理得,

CD2=ED2+CE2,

即(3y/5-xV=x2+32,

即OE的長為述,

5

故答案為：述

5

【點睛】本題考查勾股定理，全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，熟練掌握各種性質定理是解題

的關鍵.

三、解答題（本題共68分，第17-21題每題5分，第22-27題每題6分，第28題7分）

17.計算：亞一?_應_/.

【答案】空

【解析】

【分析】先進行二次根式的除法運算，然后化簡二次根式后合并即可.

【詳解】解：原式=3g—26—且

3

273

3

【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質、二次根式的乘法和除法法則是解決

問題的關鍵.

18.計算：（=+x）+=.

X—LX—1

【答案】x+2

【解析】

【分析】先把括號內的式子通分，在運用分式乘除法法則進行解題即可.

［詳解］解：原式=I+xD,=

x—4+x2—x

(%—2)0+2)

x—2

=x+2.

【點睛】本題考查分式的混合運算，掌握運算法則和運算順序是解題的關鍵.

19.解方程：*+F=l.

x—22—x

【答案】X=1

【解析】

【分析】兩邊乘(尤-2)轉化為整式方程即可，注意必須檢驗.

【詳解】解：去分母得：x+x-3=x-2,

解得：x=l1

檢驗：把x=l代入得：X—2/0,

二分式方程的解為x=l.

【點睛】本題考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的兩邊都乘以各分母的最簡公分母，化為整式

方程求解，求出%的值后不要忘記檢驗.

20.己知x=3y,求代數式土―」的值.

(yX)x+y

【答案】|2

【解析】

/、

【分析】直接把x=3y代入x^^求解即可.

(yx)x+y

【詳解】解：：x=3y,

X上

x+y

3yy一

[y3y)3y+y

81

—X—

34

_2

-3-

【點睛】本題考查了求代數式的值，準確將x=3y代入原式并正確約分計算是解題的關鍵.

21.已知：ABC.

求作：點P,使得點P在AC上，且=

作法：

①分別以A,3為圓心，大于的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于N；

2

②作直線MN,與AC交于尸點.

點P為所求作點.

根據上述作圖過程

（1）請利用直尺和圓規補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接AM,BM,AN,BN.

AM=，AN=BN,

;.M,N在線段A5的垂直平分線上.即MN是線段A3的垂直平分線.

點尸在直線上，

：PA=PB（）（填寫推理的依據）.

【答案】（1）見解析（2）BM，線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等.

【解析】

【分析】（1）根據題意進行作圖即可；

（2）先根據作圖方法可知AM=AN=BN,則點P在直線MN上，再根據線段垂直平分線的性質

即可證明結論.

【小問1詳解】

解：如圖，點P即為所求；

【小問2詳解】

證明：連接AM,BM,AN,BN.

AM=BM,AN=BN,

:.M,N在線段A3的垂直平分線上.即MN是線段A5的垂直平分線.

「點P在直線上，

:.PA=PB（線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等）.

故答案為：BM，線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等.

【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的尺規作圖，線段垂直平分線的性質，熟知線段的垂直平分線上的

點到線段的兩個端點距離相等是解題的關鍵.

22.己知：如圖，點8是線段AC上一點，AD//BE,AB=BE,/D=NC.求證：BD=EC.

【答案】見解析

【解析】

【分析】由平行線的性質可得NA=/EBC,由“AAS”可證，ABDMBEC,可得BD=EC.

【詳解】證明：：40〃8石，

：.ZA=ZEBC,

"ZD=ZC

在△AB。和BEC中,\ZA=ZEBC,

AB=BE

：.AAB￡^ABEC（AAS）,

BD=EC-

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，熟練運用全等三角形的判定是解本題的關鍵.

23.如圖，將線段CD放在單位長為1的小正方形網格內，點A,8均落在格點上.

1111

\A\\1111

?7??i??

???IIII

LJ.」」??1I

111

111

1J_____|_____?▲〃??

111????

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111IIII

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111111。1

1111111

1111111

1111111

1111111

1111111

1111111

（1）按下列要求畫圖（保留必要的畫圖痕跡，不必寫畫法）：

①請在線段CD上畫出點P,使得B4+A3的和最小；

②請在線段CD上畫出點。，使得QA+QB的和最小；

（2）請觀察、測量或計算按（1）中要求所畫的圖形.

①E4+A3的和最小的依據是；

②QA+QB=（直接寫出答案）.

【答案】（1）見解析（2）①兩點之間，線段最短；②4a

【解析】

【分析】（1）根據軸對稱的性質作出圖形；

①作點8關于C。對稱點連接A斤，交C。于點P,使得E4+PB的和最小，點P就是所求的點；

②作點A關于C。的對稱點A',連接A3,交8于點。使得QA+QB的和最小，點。就是所求的點;

（2）①根據兩點之間線段最短解答即可；

②根據勾股定理計算即可.

【詳解】（1）如圖所示：

（2）①根據軸對稱的性質可知：上4+P5的和最小的依據是兩點之間，線段最短,

故答案為：兩點之間，線段最短；

②根據軸對稱的性質可知：QA^QA',

QA+QB=QA+QB=AB=A/42+42=732=472，

故答案為：4夜.

【點睛】本題考查了作圖-應用與設計作圖，軸對稱的性質-最短路徑問題，掌握軸對稱的性質、勾股定理

等知識是解題的關鍵.

24.學校為了豐富學生體育活動，計劃購進一批同種型號的籃球和同種型號的排球，每個籃球的價格比每個

的排球價格多4元，已知學校用2000元購買籃球的個數與用1800元購買排球的個數相等.求每個籃球、每

個排球的價格.

【答案】每個籃球的價格為40元，每個排球的價格為36元.

【解析】

【分析】設每個籃球的價格為x元，則每個排球的價格為(％-4)元，根據學校用2000元購買籃球的個數與

用1800元購買排球的個數相等，解方程即可得到答案.

【詳解】解：設每個籃球的價格為x元，則每個排球的價格為(％-4)元，

解得：x=40,

經檢驗，x=40是原方程的解，且符合題意，

貝I］又一4=40—4=36,

答：每個籃球的價格為40元，每個排球的價格為36元.

【點睛】本題考查分式方程的應用，解題的關鍵是根據題意建立方程.

25.若關于x的分式方程&—+二=2的解為正數，求正整數。的值.

x-1x-1

【答案】1

【解析】

【分析】把分式方程化為整式方程，再解出整式方程可得x=3-a,再由原方程的解為正數，求出。的取值

范圍，即可求解.

【詳解】解：原方程可化為：2無+a+x-5=2(x-l),

:.x=3—a.

原方程的解為正數，

3—a>0,

:.a＜3,

%—1w0,

/.3—w1,

..aw2，

???〃的取值范圍為。V3且〃。2,

二?正整數。的值為1.

【點睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的基本步驟，并注意算出的答案要去除分母為。的情

況.

26.已知：如圖，A,8,。三點在同一直線上，和為等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°.

（2）已知3￡）=248,CE=JW，求AB的長.

【答案】（1）證明過程見詳解

⑵AB=42

【解析】

【分析】（1）,ABC和二CDE為等腰直角三角形，可證△ACD之ABCE（SAS）,再證明.血＞尸s,.cEF,

即可得NDBE=NDCE=90。，由此即可求證；

（2）。￡=而，可知￡＞片=應庭=病，設回=%，則3D=2x,AD=3x,BE=AD=3x,在RtaBDE

中，由勾股定理即可求解.

【小問1詳解】

證明：：ABC和；CDE為等腰直角三角形，

AC=BC,CD-CE,

,:ZACB=ZDCE=90°,

:?ZACB+ZBCD=ZACD=/ECD+ZBCD=ZBCE,即ZACD=ZBC5,

...AACD^ABCE(SAS),

；.AD=BE,ZBEC=ZADC,如圖所示，設CD與BE交于點產，

D

?：ZDFB=ZEFC,且./BDF=NCEF,

：.BDFsCEF,

ZDBE=ZDCE=90°,

BELAD.

【小問2詳解】

解：?：DE=y/iCE=y/^，設AB=x,則3r>=2x,AD=3x,

BE=AD=3x,

在RtZ\B￡>E中，由勾股定理得，

(2x)2+(3x)2=(0^)2,解得X[=,x,=—'f2(舍去)，

AB=\/2■

【點睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質，勾股定理的運用，掌握等腰直角三角形的性質，勾股定理

求直角三角形的邊長是解題的關鍵.

27.將分式的分母因式分解后，可以把一個分式表示成兩個分式的和或差.觀察下列各式，解答下面問題:

1111

爐+3x+2(x+l)(x+2)x+1x+2

1111

x2+5x+6(x+2)(%+3)x+2x+3

1111

/+7%+12(%+3)(%+4)x+3x+4

1_11

(1)Fpp；

111

(2)計算:-O------------1O--------------1o--------------

x+4%+3x+8%+15x+12x+35

【答案】(1)X,X+1

x2+8.x+7

【解析】

【分析】(1)根據規律可以直接得到答案；

(2)先將分母進行因式分解，再將分式表示成兩個分式的差，即可得到答案.

【小問1詳解】

解.X2+x(x+O)(x+l)XX+1

故答案為：X,X+1；

【小問2詳解】

解：-----------1-------------1-------------

?x2+4x+3x2+8x+15x2+12^+35

111

=-------------1--------------1-------------

(x+1)(%+3)(兀+3)(x+5)(尤+5)(%+7)

111111111

=-(----------)H—(------------)H-(------------

2x+1%+32x+3x+