易錯(cuò)點(diǎn)10萬(wàn)有引力與航天

錯(cuò)題糾正

例題1.（2022?浙江?高考試題）"天問(wèn)一號(hào)"從地球發(fā)射后，在如圖中所示的尸點(diǎn)沿地火

轉(zhuǎn)移軌道到。點(diǎn)，再依次進(jìn)入如圖乙所示的調(diào)相軌道和停泊軌道，則天問(wèn)一號(hào)（）

A.發(fā)射速度介于7.9km/s與11.2km/s之間

B.從P點(diǎn)轉(zhuǎn)移到。點(diǎn)的時(shí)間小于6個(gè)月

C.在圍繞火星的停泊軌道運(yùn)行的周期比在調(diào)相軌道上小

D.在地火轉(zhuǎn)移軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度均大于地球繞太陽(yáng)的速度

例題2.（多項(xiàng)選擇）［2022?湖南?高考試題）如圖，火星與地球近似在同一平面內(nèi)，繞太陽(yáng)

沿同一方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，火星的軌道半徑大約是地球的L5倍。地球上的觀測(cè)者在大

多數(shù)的時(shí)間內(nèi)觀測(cè)到火星相對(duì)于恒星背景由西向東運(yùn)動(dòng)，稱為順行；有時(shí)觀測(cè)到火星由東

向西運(yùn)動(dòng)，稱為逆行。當(dāng)火星、地球、太陽(yáng)三者在同一直線上，且太陽(yáng)和火星位于地球兩

側(cè)時(shí)，稱為火星沖日。忽略地球自轉(zhuǎn)，只考慮太陽(yáng)對(duì)行星的引力，以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是

（）

火星

Z、

恒星背景/,/城銀

東西［I溫日〃

A.火星的公轉(zhuǎn)周期大約是地球的倍

727

B.在沖日處，地球上的觀測(cè)者觀測(cè)到火星的運(yùn)動(dòng)為順行

C.在沖日處，地球上的觀測(cè)者觀測(cè)到火星的運(yùn)動(dòng)為逆行

D.在沖日處，火星相對(duì)于地球的速度最小

知識(shí)總結(jié)

一、萬(wàn)有引力和重力的關(guān)系

1.物體在地球外表上所受引力與重力的關(guān)系：

除兩極以外，地面上其他點(diǎn)的物體，都圍繞地軸做圓周運(yùn)動(dòng)，這就需要一個(gè)垂直于地軸的

向心力.地球?qū)ξ矬w引力的一個(gè)分力尸提供向心力，另一個(gè)分力為重力G,如下圖.

(1)當(dāng)物體在兩極時(shí)：G=F引，重力到達(dá)最大值Gnax=G=.

(2)當(dāng)物體在赤道上時(shí)：

尸=機(jī)。2A最大，此時(shí)重力最小

Mm

Gmin-GR,nico~R

(3)從赤道到兩極：隨著緯度增加，向心力尸=用"7?，減小，尸與尸引夾角增大，所以重力

G在增大，重力加速度增大.

因?yàn)槭⑹不在一條直線上，重力G與萬(wàn)有引力尸引方向有偏差，重力大小mg<G

Mm

鏟

2.重力與高度的關(guān)系

Mm

假設(shè)距離地面的高度為6,則機(jī)戈=6—^(/?為地球半徑，旦為離地面力高度處的重力加

(R-rhy

速度).在同一緯度，距地面越高，重力加速度越小.

3.特別說(shuō)明

(1)重力是物體由于地球吸引產(chǎn)生的，但重力并不是地球?qū)ξ矬w的引力.

(2)在忽略地球自轉(zhuǎn)的情況下，認(rèn)為，"g=G坐.

二、開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)三大定律

1.第一定律：全部行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓,太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。

2.第二定律：對(duì)任意一個(gè)行星來(lái)說(shuō)，它與太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。

3.第三定律：全部行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等。

三、天體質(zhì)量和密度的計(jì)算

1."自力更生”法（L而

利用天體外表的重力加速度g和天體半徑見(jiàn)

Mm,,一g用

⑴由而=儂得天體質(zhì)量法=下。

tvU

八一.一川M3g

（2）天體密度P=-=-----

V44n67?°

§冗心

⑶罰仁/稱為黃金代換公式。

2.“借助外援〃法（7—「）

測(cè)出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期，和半徑八

,Mm4叮2八入一』4五24

（1）由G~~^=m得天體的質(zhì)量，腓=久。

出R6T2

M1/3Jiz5

（2）假設(shè)已知天體的半徑R,則天體的密度P=-=--=--o

V4GR型

三五心

3n

（3）假設(shè)衛(wèi)星繞天體外表運(yùn)行時(shí)，可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑"，則天體密度0="有

G1幺

可見(jiàn)，只要測(cè)出衛(wèi)星圍繞天體外表運(yùn)動(dòng)的周期T,就可估算出中心天體的密度。

易混點(diǎn):

1.任意兩物體間都存在萬(wàn)有引力，但不是任意兩物體間的萬(wàn)有引力都能用萬(wàn)有引力定律計(jì)算

出來(lái)。（萬(wàn)有引力定律只適用于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的計(jì)算，假設(shè)不能看成質(zhì)點(diǎn)，則定律不成立，該式

用于均勻球體，視球心為質(zhì)點(diǎn)）

2.開(kāi)普勒第三定律只對(duì)繞同一中心天體運(yùn)轉(zhuǎn)的星體適用，中心天體不同的星體不能使用該定

律，如太陽(yáng)系各行星間可用該定律，火星和月球間不能用該定律。

3.在地球外表的物體，由于受地球自轉(zhuǎn)的影響，重為只是萬(wàn)有引力的一個(gè)分力（萬(wàn)有引力與支

持力合力為向心力、而支持力的大小等于重力），離開(kāi)了地球外表，不受地球自轉(zhuǎn)的影響時(shí)，重

力等于萬(wàn)有引力。（在極點(diǎn)處的物體重力大小等于萬(wàn)有引力）

4.萬(wàn)有引力定律適用于兩質(zhì)點(diǎn)之間引力的計(jì)算，如果是均勻的球體，也近似用兩球心之間的距

離來(lái)計(jì)算。

5.掌握一般知識(shí)中地球的公轉(zhuǎn)周期（1年）、月球的公轉(zhuǎn)周期（27-32天）及地球同步衛(wèi)星的周期

（24h）等，在估算天體質(zhì)量時(shí)，應(yīng)把它們作為隱含的已知條件加以挖掘應(yīng)用。

6.月球中心與地球中心之間的距離約是地球半徑的60倍。

7.進(jìn)入繞地球運(yùn)行軌道的字宙飛船，在運(yùn)行時(shí)可以不開(kāi)發(fā)動(dòng)機(jī)，因?yàn)橛钪骘w船在軌道上運(yùn)行時(shí),

用來(lái)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力全部由萬(wàn)有引力提供。只有從低軌道變到高軌道時(shí)需要點(diǎn)火加速。

8.在商量有關(guān)衛(wèi)星的題目時(shí)，關(guān)鍵要明確向心力、軌道半徑、線速度、角速度和周期彼此影

響，相互聯(lián)系,只要其中一個(gè)量確定，其他的量就不變;只要其中一個(gè)量發(fā)生了變化，其他的量也

會(huì)隨之變化

9.通常情況下，物體隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力很小,故可在近似計(jì)算中取G=F（F為萬(wàn)

有引力），但假設(shè)要求考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，則不能近似處理。

10.地球同步衛(wèi)星的軌道在赤道平面內(nèi)，故只能相對(duì)靜止于赤道某處之上的高空。（同步衛(wèi)星

周期并非24小時(shí)）

口.推動(dòng)火箭前進(jìn)的動(dòng)力不是來(lái)自于大氣，而是來(lái)自于火箭向后噴出的氣體。（具體計(jì)算由動(dòng)

量定理可知）

12.衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)，其軌道越高，角速度、線速度越低、周期越大。

13.第一宇宙速度為7.9km/s.

14.貼地飛行的衛(wèi)星周期約為85分鐘。

15.地球同步衛(wèi)星離地面高度h=3.6xl04km,約為地球半徑的6倍。

舉一反三,

I.（2023?天津?高考試題）2023年5月15日，天問(wèn)一號(hào)探測(cè)器著陸火星取得成功，邁出

了我國(guó)星際探測(cè)征程的重要一步，在火星上第一次留下國(guó)人的印跡。天問(wèn)一號(hào)探測(cè)器成功

發(fā)射后，順利被火星捕獲，成為我國(guó)第一顆人造火星衛(wèi)星。經(jīng)過(guò)軌道調(diào)整，探測(cè)器先沿橢

圓軌道I運(yùn)行，之后進(jìn)入稱為火星停泊軌道的橢圓軌道n運(yùn)行，如下圖，兩軌道相切于近

A.在軌道口上處于受力平衡狀態(tài)B.在軌道I運(yùn)行周期比在n時(shí)短

C.從軌道I進(jìn)入n在P處要加速D.沿軌道I向P飛近時(shí)速度增大

2.（2022?江蘇?揚(yáng)州中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如下圖，"鵲橋"中繼星處于地月拉格朗日點(diǎn)七上時(shí),

會(huì)和月球、地球兩個(gè)大天體保持相對(duì)靜止的狀態(tài)。設(shè)地球的質(zhì)量為M,"鵲橋”中繼星的質(zhì)

量為m,地月間距為L(zhǎng),拉格朗日G點(diǎn)與月球間距為d,地球、月球和"鵲橋"中繼星均可

視為質(zhì)點(diǎn)，忽略太陽(yáng)對(duì)"鵲橋”中繼星的引力，忽略"鵲橋"中繼星對(duì)月球的影響。則“鵲

橋”中繼星處于心點(diǎn)上時(shí)，以下選項(xiàng)正確的選項(xiàng)是()

A.月球與地球質(zhì)量之比為“+,?小-77^

B."鵲橋"中繼星與月球的線速度之比為

C."鵲橋"中繼星與月球的向心加速度之比L：(A+4)

D.地球?qū)υ虑虻囊?鵲橋"中繼星對(duì)月球的引力之比為1：1

3.(2022?山東?高考試題)"羲和號(hào)"是我國(guó)首顆太陽(yáng)探測(cè)科學(xué)技術(shù)試驗(yàn)衛(wèi)星。如下圖，該

衛(wèi)星圍繞地球的運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道平面與赤道平面接近垂直。衛(wèi)星每天在相同

時(shí)刻，沿相同方向經(jīng)過(guò)地球外表A點(diǎn)正上方，恰好繞地球運(yùn)行n圈。已知地球半徑為地軸

R,自轉(zhuǎn)周期為兀地球外表重力加速度為g,則"羲和號(hào)"衛(wèi)星軌道距地面高度為()

地軸:

易錯(cuò)題通關(guān)

1.（2022?全國(guó)?高考試題）2022年3月，中國(guó)航天員翟志剛、王亞平、葉光富在離地球外

表約400km的"天宮二號(hào)”空間站上通過(guò)天地連線，為同學(xué)們上了一堂精彩的科學(xué)課。通過(guò)

直播畫面可以看到，在近地圓軌道上飛行的“天宮二號(hào)"中，航天員可以自由地漂蕩，這說(shuō)

明他們（）

A.所受地球引力的大小近似為零

B.所受地球引力與飛船對(duì)其作用力兩者的合力近似為零

C.所受地球引力的大小與其隨飛船運(yùn)動(dòng)所需向心力的大小近似相等

D.在地球外表上所受引力的大小小于其隨飛船運(yùn)動(dòng)所需向心力的大小

2.（2022?湖北?高考試題）2022年5月，我國(guó)成功完成了天舟四號(hào)貨運(yùn)飛船與空間站的對(duì)

接，形成的組合體在地球引力作用下繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，周期約90分鐘。以下說(shuō)法正確的

選項(xiàng)是（）

A.組合體中的貨物處于超重狀態(tài)

B.組合體的速度大小略大于第一宇宙速度

C.組合體的角速度大小比地球同步衛(wèi)星的大

D.組合體的加速度大小比地球同步衛(wèi)星的小

3.（2023?北京?高考試題）2023年5月，"天間一號(hào)"探測(cè)器成功在火星軟著陸，我國(guó)成為

世界上第一個(gè)第一次探測(cè)火星就完成“繞、落、巡〃三項(xiàng)任務(wù)的國(guó)家。“天問(wèn)一號(hào)"在火星

停泊軌道運(yùn)行時(shí)，近火點(diǎn)距離火星外表2.8x102km、遠(yuǎn)火點(diǎn)距離火星外表5.9x105km,則

"天問(wèn)一號(hào)"（）

A.在近火點(diǎn)的加速度比遠(yuǎn)火點(diǎn)的小B.在近火點(diǎn)的運(yùn)行速度比遠(yuǎn)火點(diǎn)的小

C.在近火點(diǎn)的機(jī)械能比遠(yuǎn)火點(diǎn)的小D.在近火點(diǎn)通過(guò)減速可完成繞火星做圓周運(yùn)

動(dòng)

4.（2022?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）拉格朗日點(diǎn)又稱平動(dòng)點(diǎn)，處于該點(diǎn)上的小物體在兩個(gè)大物體的引

力作用下，小物體與大物體保持相對(duì)靜止，由瑞士科學(xué)家歐拉和法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日推算

得出。這樣的點(diǎn)在地月系統(tǒng)中共有五個(gè)，其中三個(gè)在地月連線上，如下圖，分別為乙、L2

、右。關(guān)于在這三個(gè)拉格朗日點(diǎn)上做圓周運(yùn)動(dòng)的二顆地球衛(wèi)星，以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是

A.4點(diǎn)處衛(wèi)星比月球運(yùn)動(dòng)的周期大地月

B.4點(diǎn)處衛(wèi)星的向心加速度比月球的向心加速度小

C.三顆衛(wèi)星相比擬，4點(diǎn)處衛(wèi)星的向心加速度最小

D.三顆衛(wèi)星的線速度大小相等

5.（2023?浙江?模擬預(yù)測(cè)）2023年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予對(duì)黑洞的研究和觀測(cè)作出奉獻(xiàn)的三

位科學(xué)家。科學(xué)家團(tuán)隊(duì)經(jīng)過(guò)數(shù)十年對(duì)銀河系中心人馬座A?的觀測(cè)，發(fā)覺(jué)數(shù)十顆恒星以極不

平常的軌道圍繞銀河系中心運(yùn)行，以此推測(cè)銀河系中心存在一個(gè)超大質(zhì)量黑洞。恒星S?運(yùn)

行軌道為橢圓，黑洞位于橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上，恒星S2繞黑洞運(yùn)行一周需要16年，離

黑洞中心的最近距離為120天文單位，橢圓軌道半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為970天文單位（設(shè)地球繞太陽(yáng)

做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為1天文單位），恒星當(dāng)最大運(yùn)行速度約為7000km/s。假設(shè)黑洞對(duì)

其周圍的恒星的引力作用也遵循萬(wàn)有引力定律，不考慮恒星之間的相互作用。以下推測(cè)合

理的是（〕

A.恒星S2最小運(yùn)行速度約為462km/s

B.黑洞質(zhì)量約為太陽(yáng)質(zhì)量的200萬(wàn)到300萬(wàn)倍

C.可以推測(cè)出恒星&的質(zhì)量

D.恒星S2運(yùn)行的最大加速度小于地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的加速度

6.（2022?河南?新安縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）宇宙中半徑均為R。的兩顆恒星&、S2,相

距無(wú)限遠(yuǎn)。假設(shè)干行星分別圍繞恒星S八52運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)周期平方產(chǎn)與公轉(zhuǎn)半徑立方尸的規(guī)

律如下圖。不考慮兩恒星的自轉(zhuǎn)。則（）

T2

2

A.的質(zhì)量小$2的質(zhì)量

B.$的密度等于52的密度

C.與外表的圍繞速度大于52外表的圍繞速度

D.與外表的重力加速度小于S2外表的重力加速度

7.（2022?四川內(nèi)江?三模）登月艙在離月球外表112km的高空?qǐng)A軌道上，圍繞月球作勻速

圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)周期為120.5min,月球的半徑約為1.7x103km,不考慮地球?qū)Φ窃屡摰淖?/p>

用力，引力常量G=6.67xlO」iN-m2/kg2則月球質(zhì)量約為（〕

A.6.7x1022kgB.6.7xlO23kgC.6.7xl024kgD.6.7xlO25kg

8.（2022?山西?懷仁市第一中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）劉慈欣的科幻小說(shuō)（地球大炮）中，人類利用

當(dāng)時(shí)的技術(shù)手段，建筑了一個(gè)貫穿地球的大隧道。隧道直線穿過(guò)地球球心，長(zhǎng)度為地球直

徑，兩端開(kāi)口，內(nèi)部抽成真空，物體從一端由靜止釋放正好能到達(dá)另一??端并減速為零。已

知：質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)球殼內(nèi)部任意位置質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力都為零，地球半徑為R,地

球外表重力加速度為g,地球可視為質(zhì)量分布均勻的球體，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響。以下說(shuō)

法正確的選項(xiàng)是（）

A.物體從隧道口下落到球心的過(guò)程做加速度不斷增大的加速運(yùn)動(dòng)

B.物體從隧道口下落到深度為。的位置時(shí)，其下落加速度為半

44

c.物體從隧道口由靜止釋放到達(dá)球心處的速度為

D.物體在球心處引力勢(shì)能最大

9.（多項(xiàng)選擇）（2023?福建?高考試題）兩位科學(xué)家因?yàn)樵阢y河系中心發(fā)覺(jué)了一個(gè)超大質(zhì)量

的致密天體而獲得了2023年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。他們對(duì)一顆靠近銀河系中心的恒星S?的位

置變化進(jìn)行r延續(xù)觀測(cè)，記錄到的S?的橢圓軌道如下圖。圖中。為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，橢圓

偏心率（離心率）約為0.87。P、Q分別為軌道的遠(yuǎn)銀心點(diǎn)和近銀心點(diǎn)，Q與。的距離約為

120AU（太陽(yáng)到地球的距離為1AU）,S,的運(yùn)行周期約為16年。假設(shè)S?的運(yùn)動(dòng)軌跡主要

受銀河系中心致密天體的萬(wàn)有引力影響，依據(jù)上述數(shù)據(jù)及一般的天文知識(shí)，可以推出

)

A.，與銀河系中心致密天體的質(zhì)量之比

B.銀河系中心致密天體與太陽(yáng)的質(zhì)量之比

C.S?在P點(diǎn)與Q點(diǎn)的速度大小之比

D.S?在P點(diǎn)與Q點(diǎn)的加速度大小之比

10.（多項(xiàng)選擇）（2022?廣東,普寧市華僑中學(xué)二模）2023年10月16日、神舟十三號(hào)載人

飛船順利將翟志剛、王亞平、葉光富3名航天員送入太空，假設(shè)神舟十三號(hào)載人飛船在距

地面高度為h的軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，已知地球的半徑為R,地球外表的重力加速度為g,引

力常量為G,以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是（）

A.神舟十三號(hào)載人飛船的線速度大于地球第一宇宙速度

B.神舟十三號(hào)載人飛船運(yùn)行的周期為7=2肛四變

VSR1

gR2

c.神舟十三號(hào)載人飛船軌道處的重力加速度為

（R+h）

IL（2022?北京豐臺(tái)?模擬預(yù)測(cè)）"星空浩瀚無(wú)比，探究永無(wú)止境。”人類從未停止對(duì)宇宙的

探究，中國(guó)航天事業(yè)正在制造更大的輝煌。

（1）變軌技術(shù)是航天器入軌過(guò)程中的重要一環(huán)。實(shí)際航行中的變軌過(guò)程較為復(fù)雜，為方便

研究我們將航天器的變軌過(guò)程簡(jiǎn)化為如圖1所示的模型：①將航天器發(fā)射到近地圓軌道1

上；②在A點(diǎn)點(diǎn)火加速使航天器沿橢圓軌道2運(yùn)行，軌道1和軌道2相切于A點(diǎn)，A、B

分別為軌道2的近地點(diǎn)與遠(yuǎn)地點(diǎn)，地球的中心位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)：③在遠(yuǎn)地點(diǎn)8再次點(diǎn)

火加速，航天器沿圓軌道3運(yùn)行，軌道2和軌道3相切于B點(diǎn)。已知引力常量為G,地球

的質(zhì)量為M,軌道1半徑為R,軌道3半徑為3R,質(zhì)量為m的物體與地球間的引力勢(shì)能

EGMm”為物體到地心的距離，取無(wú)窮遠(yuǎn)處引力勢(shì)能為零）。

r

軌道3

圖1

a.求航天器在圓軌道1上運(yùn)行時(shí)的速度大小片

b.開(kāi)普勒第二定律說(shuō)明：航天器在橢圓軌道2上運(yùn)行時(shí)，它與地球中心的連線在相等的時(shí)

間內(nèi)掃過(guò)的面積相等。請(qǐng)依據(jù)開(kāi)普勒第二定律和能量守恒定律，求航天器在橢圓軌道2