第5講集合的基本運算6種題型總結

【考點分析】

考點一：并集的概念

一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并

集，記作：A?JB(讀作“4并8”)，即AlB={x∣x∈AeU∈θ}.用Venn圖表示為:

考點二：并集的性質

對于任意兩個集合A,B,根據并集的概念可得：

①4q(4B),B?(A3)；②4A=4；③40=A;?AB=BJA.

考點三：交集的概念

一般地，由集合A和集合8中的公共元素組成的集合，稱為4與3的交集，記作：AoB

(讀作“A交B”)，即A8={x∣x∈A,且xeB}.用Venn圖表示如圖所示：

考點四：交集的性質

①(AB)?A(A∩B)?B;②AlA=A；③A0=0；@AB=BA.

考點五：全集的概念

一般地,如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素,那么就稱這個集合為全集,

通常記作U,是相對于所研究問題而言的一個相對概念.

注意：“全集”是一個相對的概念，并不是固定不變的，它是依據具體的問題來加以選擇

的.例如：我們常把實數集R看作全集，而當我們在自然數范圍內研究問題時，就把自然

數集N看作全集.

考點六：補集的概念

對于一個集合A,由全集U中除去集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集

U的補集，簡稱為集合A的補集，記作“0,即δ,∕={Hxw。,且T拓A}.用Venn圖表示

如圖所示:

U

Λ

I（U、—）

【題型目錄】

題型一：集合的交集運算

題型二：集合的并集運算

題型三：集合的補集運算

題型四：集合的交集、并集與補集的混合運算

題型五：己知集合的交集、并集求參數

題型六：韋恩圖在集合運算中的應用

【典型例題】

題型一：集合的交集運算

【例D已知集合A={-1,0,1,2},6={1,2,3},則AB=（）.

A.{-l,0,l}B.{0,l}C.{-l,l,2}D.{1,2}

【答案】D

【解析】集合4和B中相同的元素為L2,所以ACB={1,2}

【例2】（2022?云南文山?高二期末（文））已知集合A={x|—l≤x≤l},B={x?-2<x<2],

則AB=（）

A.{x∣-2<X<2∣B.{x∣-l<x<2}C.{x∣-l≤x≤l}D.{x∣-l<x<l}

【答案】C

【解析】

【分析】

根據給定條件，利用交集的定義直接求解作答.

【詳解】

因集合A={H-l≤x≤l},B={x∣-2<x<2},

所以ACB={x∣T≤x≤l}.

故選：C

【例3】（2020?新課標回）已知集合A={（x,y）∣x,yeN*,y≥x},8={（x,y）∣x+y=8},則AB

中元素的個數為（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

y'>x

【解析】由題意，AB中的元素滿足<.一。，且x,yeN*,

[x+y=8

由x+y=8N2x,得尤≤4,

所以滿足X+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),

故AB中元素的個數為4.

【例4】(2022?青海玉樹?高三階段練習(理))設集合人=3-1<%<3},則AcN*=()

A.{0,l,2}B.{1,2}C.[1,3)D.(0,3)

【答案】B

【解析】

【分析】

由交集運算求解即可.

【詳解】

因為N*是非零自然數集，所以AcN*={L2}

故選：B

【例5】(2022?黑龍江?哈爾濱三中高二期末)已知集合A={(x,y)Iy=/},8={(x,y)及=x},

則集合A5的子集個數為()

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【解析】

【分析】

先求交集中的元素，根據元素個數可得子集個數.

【詳解】

所以AB={(O,O),(U)},有兩個元素,

所以AB的子集個數為22=4.

故選：B

【例6】(2022?北京?東北師范大學附屬中學朝陽學校高一階段練習)若集合

P={x∣x=3〃?+1,，〃∈N*},Q={x∣x=5"+2,"eN"},則PQ=()

A.∣x∣x=15?+7,?∈N*∣B,{x∣x=15Z-7,ZeNJ

C.{x∣x=15&+8,%eN*}D.{x∣x=15Z-8,/€N*}

【答案】D

【解析】

【分析】

根據條件探求集合P，。的公共元素的規律，再根據規律即可判斷作答.

【詳解】

依題意，當meN*,"∈N*時，3zn+l€P,5〃+2e。，如果它們是相同元素，

則當meN*,〃eN*時，3m+l=5"+2,即〃?="1=誓”+2,于是得"-1是3的整數

33

倍，

令〃-l=3(k-l),AeN*,則"=3%-2,%eN*,此時，m=5k-3,k≡N,,因此，集合P,Q

的公共元素是15k-8MeN,

所以PCQ=NX=I5左一8次eN*}.

故選：D

【題型專練】

1.(2022新高考2卷)已知集合A={—LL2,4},B={M∣XT∣≤1},則AB=()

A.{-l,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合B后可求4∩8.

【詳解】B={Λ∣0≤Λ<2},故AIB={l,2},

故選：B.

2.(2022新高考1卷)若集合M={X∣4<4},N={x13*21},則MN=()

A.^x∣0<x<2∣B.<x-≤x<2?C.{x∣3≤x<16}D.

<χJ≤x<16>

3

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合M,N后可求MCN.

詳解［M={x∣0≤x<16},N={x∣x≥故MN=<xg≤x<16>,

故選：D

3.(2020?浙江卷)己知集合P={x∣l<x<4},Q={2<x<3},則PrQ=()

A.{x∣?<x≤2}B.{x∣2<x<3}

C.{x∣3≤x<4}D,{x∣l<x<4}

【答案】B

【解析】Pl0=(1,4)I(2,3)=(2,3)

4.(2022?安徽?合肥工業大學附屬中學高二期末)設集合A=、-=]}]=(》/=1}.若

AB=B,則實數。的值為()

A.1B.-1C.1或-1D.0或1或-1

【答案】D

【解析】

【分析】

對。進行分類討論，結合BUA求得α的值.

【詳解】

由題可得A={x∣χ2=ι}={i,τ},β?A,

當α=0時，B=0,滿足8=A；

當αxθ時，=1—1,則I=I或L=T,即α=±l.

1〃Jaa

綜上所述，。=0或α=±l.

故選：D.

5.(2022.湖南?高一期末)設集合Λf={x∣x=2以∕2∈Z},7V={X∣X=2H+1,H∈Z!,

P={x∣x=4∕t√ι∈Z},貝Ij()

A.MUPB.PUMC.NCP豐0D.MN≠0

【答案】B

【解析】

【分析】

利用交集的定義和相等集合的定義即可直接得出結果.

【詳解】

因為例={[X=2〃，/?∈Z},

N=^x?x=2n+Ln∈Z∣,

P=[j(?x=4n,〃∈Z},

所以MXP,P?jM,NP=0,MN=0.

故選：B

6.【2017?全國∏卷】設集合A={l,2,4},B={χ∣χ2-4Λ+m=θ}.若Afβ={l},則

B=

A.{l,-3}B.{1,0}

C.{1,3}D.{1,5}

【答案】C

【解析】由AB={l}得IwB,

即X=I是方程/一4x+〃z=0的根，所以1-4+加=0,m=3,

B={l,3}.

故選C.

題型二：集合的并集運算

【例1】（2022?云南德宏?高一期末）已知集合A={123},8=宏,3},則ADl=（）

A.{1,2,3}B.{2}C.{1,3}D.{2,3}

【答案】A

【解析】

【分析】

直接運用集合并集的定義進行求解即可.

【詳解】

因為A={1,2,3},B={2,3},

所以AUB={1,2,3},

故選：A

【例2】（2022.青海?海南藏族自治州高級中學高一期末）已知集合A={x∣2x<l},

8={x∣0<2x<5},則AUB=（）

A.11〈、〈I}B-{4V<2}C.{xx<|}D.［卜>：）

【答案】C

【解析】

【分析】

根據題意，A=jxx<4,B=LO<X<∣L再根據集合并集運算求解即可.

【詳解】

解:因為4={x∣2x<l}={x卜<：},B={x∣0<2x<5}=HOCX<?∣},

所以AUB=|xx<∣∣

故選：C

【例3】(2020?山東卷)設集合4={x∣l≤r≤3},B={x∣2<x<4},則AUB=()

A.{X∣2<Λ≤3}B.{x∣2<x<3}

C.{x∣l<x<4}D.{x∣l<x<4}

【答案】C

【解析】AUB=U,3]U(2,4)=[1,4)

[例4】(2022?安徽省六安中學高一期中)對于非空集合P,Q,定義集合間的一種運算“★”：

P'kQ-{AXGP。且XePCQ}.如果尸={χ∣-l≤χ-i≤l},Q={χ∣y=Jχ-i},則∕>??Q=

()

A.{Hl≤x≤2}B.{x∣0≤x41或x≥2}

C.{x∣0≤x<l或x>2}D.{Λ∣0≤X≤1S!CX>2}

【答案】C

【解析】

【分析】

先確定P,Q,計算PUQ和PQ,然后由新定義得結論.

【詳解】

由題意尸={x∣0≤x≤2},β={x∣x-l>O}={x∣x≥l),

則PQ={x∣x≥0},PQ={x??<x<2},

.,.λ,?2={x∣0≤x<l∏!ζx>2}.

故選：C.

【點睛】

本題考查集合新定義運算，解題關鍵是正確理解新定義，確定新定義與集合的交并補運算之

間的關系.從而把新定義運算轉化為集合的交并補運算.

【例5】(2022?全國?高一專題練習)對于集合A,B,定義A-8={X∣XGA,X08},

AΦB=(A-B)J(B-A).設用={1,2,3,4,5,6},N={4,5,6,7,8,9,10},則M十N中可能含

有下列元素().

A.5B.6C.7D.8

【答案】CD

【解析】

【分析】

根據所給定義求出M-N,N-M,即可求出"十N,從而判斷即可；

【詳解】

解:因為M={1,2,3,4,5,6},N={4,5,6,7,8,9,10},所以Λ∕-N={1,2,3},N-M={7,8,9,1O},

回M十N=(M-N)U(N-M)={1,2,3,7,8,9,10}.

故選：CD

【題型專練】

112019?天津卷】設集合A={T,I,2,3,5},B={2,3,4},C={xGR∣l≤x<3}∕∣J(AnC)U5

A.{2}B.{2,3}

C.{-l,2,3}D.{1,2,3,4)

【答案】D

【解析】因為AnC={1,2},故(A∩0U8={1,2,3,4},故選D。

2.12017?浙江卷】已知集合P={x∣-l<x<I},Q={0<x<2},那么PQ=

A.(-1,2)B.(0,1)

C.(-1,0)D.Q2)

【答案】A

【解析】利用數軸，取P,Q中的所有元素，得PUQ=(-1,2).

故選A.

3.(2022?江蘇省天一中學高二期中)己知集合4={x∣-2<x<l},B={x∣0≤x≤2),則

AVJB=()

A.{x∣()≤x<l)B.{x∣-2<x≤2)C.{x∣l<x≤2)D.{x∣0<x<1}

【答案】B

【解析】

【分析】

根據集合的并集運算求解即可.

【詳解】

A={x∣-2<x<l},B={x∣0≤x≤2}

Aβ={xI-2<X≤2}

故選：B

4.（2018?全國?高一課時練習）當x∈A時，若x-leA,且x+1任A,則稱X為A的一個“孤

立元素”，由A的所有孤立元素組成的集合稱為A的“孤星集”，若集合M={0,1,3}的孤星集

為“，集合N={0,3,4}的孤星集為NL則MuM=（）

A.{0,l,3,4}B.{14}

C.{1,3}D.{0,3}

【答案】D

【解析】

【分析】

利用孤星集的概念，由集合M={0,1,3},集合N={0,3,4）,先求出M-NS再由并集

的運算，求出MPNl

【詳解】

由條件及孤星集的定義知，W={3},M={0},則”UM={0,3}.

故選D.

題型三：集合的補集運算

【例1】（2022全國卷甲卷）設全集U={1,2,3,4,5},集合M滿足電M={1,3},則（）

A.2∈Λ∕B.3∈MC.4史MD.5任M

【答案】A

【分析】先寫出集合M,然后逐項驗證即可

【詳解】由題知M={2,4,5},對比選項知，A正確.BCD錯誤，故選:A

【例2】（2022全國卷乙卷）設全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合

A={-1,2},3={x∣x?-4χ+3=θ},則q,（AuB）=（）

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,l}D.{-2,0}

【答案】D

【分析】解方程求出集合仇再由集合的運算即可得解.【詳解】由題意，

8=卜上2_以+3=0}={1,3},所以AUB={—1,1,2,3},所以①（AuB）={—2,0}.故選:

D.

【例3*2022?四川?寧南中學高一練習（理））已知集合。=卜€叩-1<%<4},集合4={0,1},

則,A=（）

A.{0,2,3}B.{-l,0,2,3}C.{2,3}D.{2,3,4}

【答案】C

【解析】

【分析】

直接求出gA.

【詳解】

因為集合U={x∈N∣-l<xv4)={0,l,2,3},集合A={O,1},所以6A={2,3}.

故選：C.

【例4】(2022?陜西?武功縣普集高級中學高一階段練習)設集合

A={Λ1-1<X<4},8={Λ∣X≤3},則&3)A=()

A.{Λ∣3<X<4}B.{Λ∣3<X<4}C.{Λ∣-1<x≤3}D.{x∣x>-l∣

【答案】B

【解析】

【分析】

根據補集運算得63={Xx>3},再根據交集運算求解即可.

【詳解】

解：因為A={χ-l<x<4},B={ΛU≤3},

所以。8={小>3},

所以(e*)CA={Λ∣3<X<4}

故選：B

【例5】已知集合A={x∣χ2-χ-2>0卜則?A=

A.{x∣-l<x<2}B.1x∣-l≤x≤2∣

C.{x∣x<-l}U{x∣x>2}D.{x∣x≤-l}_{XlX≥2}

【答案】B

【解析】A=

所以可以求得QA={幻―l≤xW2}.

故選B.

【題型專練】

1.(2022.四川甘孜?高一期末)已知集合U={2,3,6,8},A={2,3},8={2,6,8},則也A)B=

()

A.{6,8}B.{2,3,6,8}C.{2}D.{2,6,8}

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知，先有集合U和集合A求解出Q.A,再根據集合8求解出(Q,A)c3即可.

【詳解】

因為U={Z3,6,8},A={2,3},所以^4={6,8},

又因為B={2,6,8},所以(gA}8={6,8}.

故選：A.

2.(2022?河北?石家莊市藁城區第一中學高一階段練習)已知全集U={L2,3,4,5},集合

A={1,2,4},B={2,5},則A&B)=()

A.{1,2,3,4}B.{1,2,4,5}C.{1,4}D.{2}

【答案】A

【解析】

【分析】

求出j.B={1,3,4},再根據集合的并集運算，求得答案。

【詳解】

由題意得:B={2,5},則q,B={l,3,4},

故A48)={1,2,3,4},

故選：A

3.【2018?天津卷】設全集為R,集合A={x∣0<x<2},B={x∣x≥l},則Al&B)=

A.{x∣0<x≤l}B.{x∣0<x<l}

C.{x∣l≤x<2}D.{x∣0<x<2}

【答案】B

【解析】由題意可得：QRB={ψ<l},

結合交集的定義可得：AI(δk8)=Wo<x<l}

故選B.

題型四：集合的交集、并集與補集的混合運算

【例D(多選題)(2022?湖南?永州市第二中學高一階段練習)圖中的陰影表示的集合是()

A.&A)C8B.(?(AnB))oB

C.(6(AB))BD.(楸)c(∕)

【答案】AB

【解析】

【分析】

根據陰影部分集合元素的特點確定集合的關系.

【詳解】

由題可知，陰影部分的元素是由屬于集合8,但不屬于集合A的元素構成，

所以對應的集合為(桐}B=(w(ΛnB))nB.

故選：AB.

【例2】(2022?江西?金溪一中高三階段練習(文))已知全集U=Z,集合A={xeZ∣x≥3或

X?2},B={0,2,3},則(gA>B=()

A.{0,2}B.{0,1,2,3}

C.{-2,-1,0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3)

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出4的補集，然后再利用并集的運算規則求解.

【詳解】

解：由題意得：

?A={x∈Z∣-2<x<3}={-l,0,l,2)

.?.44)β={-l,0,l,2,3}.

故選：D.

【例3】(2022?陜西?西安高級中學高一階段練習)若U={n?n是小于9的正整數},A={n≡U

IW是奇數},3={“wU∣"是3的倍數},則(楙)c(∕)=

【答案】{2,4,8}

【解析】

【分析】

先根據已知確定集合U,A,B中的元素，再求a?A和①8即得解.

【詳解】

?.?U={"1〃是小于9的正整數},4={“€。|〃是奇數},3={〃€。|〃是3的倍數},

.?.U={1,2,3,4,5,6,7,8},則A={1,3,5,7},B={3,6},

.?.d4={2,4,6,8},q,,B={L2,4,5,7,8}所以(惻)(υfi)={2,4,8}.

故答案為：{2,4,8}.

【例4】(2022.廣西欽州.高一期末)已知全集U=R,4={x∣2≤x<6},集合B={x∣5<Λ<8}.

⑴求A〔,3；

(2)求4.

【答案】⑴{x∣2≤x<8}:

⑵{x∣2≤x≤5}.

【解析】

【分析】

(1)根據集合的并運算，結合已知條件，即可求得結果；

(2)先求即8,再求交集即可.

(1)

全集。=R,A={x?2<x<6},集合B={x∣5<x<8},

故AUB={x∣2Vx<8}.

(2)

集合8={x∣5<x<8},故={x∣x≤5或x≥8},

故Al?,B={x∣2≤x≤5).

【題型專練】

1.(2022?天津?油田三中高一階段練習)已知全集U=R,A={x∣x<-1或r>3},

B={x∣0<x<4},貝lj(eRA)CB=.

【答案】卜|0<段3}##(0,3]

【解析】

【分析】

先求集合4的補集，再求A的補集與集合8的交集即可.

【詳解】

由A={x∣x<-lβJU>3}得?RA={X∣-1≤X≤3},

XB={x∣0<x<4},則(eRA)C8={x∣0<x≤3}

故答案為:{x∣0<x≤3}

2.(2022?北京市十一學校高一期中)設集合A={xeN*∣0≤x<6},8={x∣x≤l}則

e./CjB)=.

【答案】{X∣X<1}U{2,3,4,5}

【解析】

【分析】

先求得AU氏ACB,由此求得正確答案.

【詳解】

A={1,2,3,4,5},

Auβ={x∣x≤l}u{2,3,4,5},

Ac3={l},

所以eAVzj(ACB)={xIX<1}u{2,3,4,5}.

故答案為:{X∣X<1}□{2,3,4,5}

3.(2020?內蒙古?包頭市第四中學高一期中)已知全集U=R,A={x∣T≤x<2},

8={x∣-l<x43},尸={x∣x≤0或x≥[},求

⑴@3)S

(2)(Ac3)c@P)

【答案】(l){x∣x≤0或x≥g}

⑵{x∣0CX<2}

【解析】

【分析】

(I)先進行補集運算，再進行并集運算即可；

(2)先求AB和&尸，再求交集即可.

(1)

因為8={x∣T<x≤3},p={x∣x40或xN?∣},

所以MB={χ≤-l或χ>3},

所以(Q∕)uP={x∣x≤0或x≥∣}.

(2)

因為A={x∣T≤x<2},δ={x∣-1<x≤3},p={x∣x≤0或x≥∣?}

所以ACB={x∣-l<x<2},毛P=卜0<x<∣},

所以(Ac3)c(q∕)={x∣0<x<2}.

題型五：已知集合的交集、并集求參數

【例1】(2022?全國?高三專題練習)設集合A={l,2,4},B={?2-4x+m-1=0},若ACB

={1},貝IJB=()

A.{I,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5)

【答案】C

【解析】

【分析】

由ACB={1}知，1∈3,X=I是/-4x+〃?-I=O的解，解出陽，代入集合5,用列舉寫

出B即可.

【詳解】

解：Y集合A={l,2,4},B={x?x2-4x+ιn-l=0},A∩B={1},

Λx=l是X2-4x+∕7i-1=0的解，1-4+∕n-1=0,

解得/%=4,

.*.B={x?x2-4x+m-1=O}={x?x2-4x+3=0}={1,3}.

故選：C.

【例2】(2020?浙江師范大學附屬東陽花園外國語學校高一開學考試)已知全集U=R,集

合A={x∣α-1vx<2G+l},B=∣Λ∣0<X<1∣.

(1)若〃=求AB-AnaB.

⑵若AB=A,求實數”的取值范圍.

【答案】(I)AB={Λ∣0<X<1},AQ,B={x∣-J<x≤O或l≤x<2}.

(2)α≤-2.

【解析】

【分析】

(1)根據集合的運算法則計算：

(2)由AB=A得AaB,結合包含關系可得參數范圍.

(1)4=g時，A={x∣-^<x<2},AB={x∣0<x<l},又^B={x∣x≤0或x2l},所以

Aq,8={x∣-g<x≤0或l≤x<2}.

(2)由AB=A得Aα8,若α-l≥2^+l,即a≤-2,則A=0滿足題意，若“>-2,則

a-?≥0

無解，綜上，4≤-2.

2α+l≤l

【例3】(2022?陜西?寶雞市渭濱區教研室高二期末(文))已知集合U為全體實數集,

Λ∕={x∣x≤-l∏gx≥6},N={x∣α+l≤x≤3α-1}.

⑴若α=3,求N；

⑵若NqM,求實數〃的取值范圍.

【答案】⑴{x∣4≤x<6};

(2)(→Λ,1)U[5,+∞).

【解析】

【分析】

(1)將a=3代入，求出M的補集，再利用交集的定義求解作答.

(2)根據包含關系的定義，按集合N是否是空集分類求解作答.

⑴當α=3時，N={x∣4≤x≤8},而q,,Λ∕={H-I<x<6},

所以(Q,,M)CN={X∣4≤X<6}.

(2)因NUM,則當α+l>3.-1,即α<l時，N=0,此時滿足N=M,即α<l,

當α+l≤34—1,即α≥l時，N≠0,則有3α-l≤—1或α+126,即440或“25,因此α≥5,

所以實數。的取值范圍為(e,l)u[5,y).

【例4】(2022?江西?贛州市贛縣第三中學高一開學考試)已知集合A=Wk2+4χ+3=θ},

B=^x∣x2-2ax+a2-a-3=0∣.

⑴若α=l,求AB；

(2)若AUB=A,求。的取值集合.

【答案】(I)AC8={T}

⑵{*≤-3或α=-2}.

【解析】

【分析】

(1)化簡集合A,B,直接根據交集運算求解：

(2)討論判別式，求出集合B,檢驗是否滿足目即可求解.

(1)

當α=l時，B={x∣χ2-2x-3=θ}={-l,3}.

因為A={x,+4x+3=θ}={-3,-1},

所以Ac3={_1}.

(2)

因為AUB=A,所以l?j.

當A=4∕-4(∕-α-3)=44+12<0時，解得“<-3,B=0,符合題意；

?Δ=4α+12=0,即。=一3時，B-{-3},符合題意；

當A=44+12>(),即“>-3時，B=A={-3,-1},

--3+(-l)=24,

則a/'2a解得a=-2.

-3x(-I)=Q-tz-3,

綜上，α的取值集合是{α∣α≤-3或α=-2}.

【題型專練】

1.(2022?山西?懷仁市第一中學校高一期末)已知集合A=W-3≤x≤4},

B={乂2m—1<%V機+1}.

(1)若機=-3,求AB；

(2)若ADB=A,求實數加的取值范圍.

【答案】(I)AB={Λ∣-3≤X<-2}

(2)m≥-1

【解析】

(1)m=_3時5={幻_7<%<_2},故Aβ=(x∣-3≤x<-2}.

(2)因為AD3=A,故A,

若2加一1≥∕∏+1即"z≥2時，5=0,符合；

2m-1>-3

若〃?V2,則-m+l≤4,解得一1<相<2,

m<2

綜上，in≥—1.

2.(2022?廣東惠州?高一期末)已知全集U=R,集合A=W『+px+12=0},集合

B-∣-V∣A^2-5x+q=θj.

(1)若集合A中只有一個元素，求P的值；

⑵若ACB={3},求4B.

【答案】(1)±4百出{2,3,4}

【解析】(1)因為集合A中只有一個元素，所以A=p2-4xl2=0,p=±4√3

C仆,32+p×3+12=0~，

⑵當ACB={3}時，,P=T，4=6,

[3—5x3+q=()

此時A={3,4},B={2,3},AB={2,3,4}

3.(2022?全國?高一單元測試)已知集合4={X|￡-8x+12=θ}.

⑴若集合8={α+l,∕-23},且A=B,求。的值；

⑵若集合C={x∣加一x+6=θ},JlAΓ?C=C,求"的取值范圍.

【答案】(1)5

(2){4∣a=0或}

24

【解析】

⑴由X2-8%+12=0得x=2或x=6,/.A={2,6},

[?+1=2-,fa2-23=2a=?[^=±5

因為A=B,所以，”(或p<,<，解得<=或<，

M-23=6[α+l=6[a=±√29Ia=5

故a=5.

(2)因為AnC=C,所以CUA.

當C=0時，A=l-24.<0,解得α>卷；

當C={2}時，1-244=0且22〃-2+6=0,此時無解；

當C={6}時，1-244=0.且6?a-6+6=0,此時無解或α=0.

綜上，。的取值范圍為{a∣α=0或α>(1.

4.(2022.湖北.車城高中高一階段練習)已知集合A={H-2<X≤4},B={X∣Λ-∕W<O}.

(1)若A3=0,求實數加的取值范圍；

(2)若AB=A,求實數機的取值范圍.

【答案】(1)加≤-2

(2)m>4

【解析】

(1)?,A={x∣-2<x≤4},B={x∣x<∕n∣?A5=0

.?.tn≤-2

(2)QAIB=A9A?B/./n>4

5.(2022.福建省德化第一中學高一階段練習)設全集U=R,集合

A={x∣2≤x<4^,B=∣x∣3x-7>8-2x}

⑴求AuB,(Q,A)cB;

⑵若集合C={x∣2x+α>0},且BUC=C,求。的取值范圍.

【答案】(I)4u3={x∣x≥2},(D.4)c3={小≥4}

(2)α>-6

【解析】⑴解：A={x∣2≤x<4},β={x∣3x-7>8-2x}={x∣x>3},

4,4={x∣x<2或xN4},.?.AuB={x∣x>2),(電4)C3={Λ∣XN4};

(2)解：C=^x?2x+a>θ}=<xx>--?,BC-C,..ScC,

所以-?∣≤3,解得α≥-6.

題型六：韋恩圖在集合運算中的應用

【例1】（2022?江西吉安?高二期末（文））設全集U=R,集合4={x∣x>3},

【答案】A

【解析】

【分析】

圖中陰影部分表示的集合為{x∣xeB,xeA},結合題意運算求解，注意集合8的元素.

【詳解】

B=μ∈Z∣l<x<6}={2,3,4,5},圖中陰影部分表示的集合為{x∣xe8,xwA}={2,3}.

故選：A.

【例2】（2023?全國?高三專題練習）如圖，三個圓的內部區域分別代表集合A,B,C,全

集為/,則圖中陰影部分的區域表示（）

A.AnBnCB.ACCC(O3)

C.ACBC(qc)D.BcCc(OA)

【答案】B

【解析】

【分析】

找到每一個選項對應的區域即得解.

【詳解】

解：如圖所示，

A.ACBCC對應的是區域1；

B.ACCC(δ∕8)對應的是區域2；

C.Ac3c(qc)對應的是區域3：

D.BCCC(0A)對應的是區域4.

故選：B

【例3】(2022?江蘇蘇州?模擬預測)已知M,N為R的兩個不相等的非空子集,若McN=M,

則()

A.MN=RB.MudllN=R

C.NudkM=RD.建MURN=R

【答案】C

【解析】

【分析】

依題意可得MN,結合韋恩圖即可判斷；

【詳解】

解：依題意MCN=所以MN,

則集合M,N與R的關系如下圖所示:

所以NUQM=R；

故選：C

【例4】（2022?全國?模擬預測（文））設U=R,已知兩個非空集合〃，N滿足Mc?N）=0,

貝IJ（）

A.MCN=RB.M三N

C.NJMD.MDN=R

【答案】B

【解析】

【分析】

利用韋恩圖，結合集合的交集和并集運算即可求解.

【詳解】

根據題意，作出如下圖韋恩圖：

滿足“C（",N）=0,即MUN.

故選：B.

【例5】（2022.江蘇.徐州市第七中學高一期中）學校舉辦運動會時，高一（1）班共有28名

同學參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時

參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，同時參加游泳比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時參

加三項比賽，同時參加由徑和球類比賽的有人?只參加游泳一項比賽的有

___________人？

【答案】39

【解析】

【分析】

結合韋恩圖，利用集合的基本運算求解.

【詳解】

解：如圖所示:

設4=｛游泳｝,B=｛田徑｝,C=｛球類｝,

由題意得："(0)=28,〃(A)=I5,"(B)=8,"(C)=14,

”(AcB)=3,"(AcC)=3,"(AcBcC)=O,

所以28=15+8+14-3-3-"(8cC)=0,

則”(BeC)=3,

∕ι(βoC)=n(β)+n(C)-n(BnC)=8+14-3=19,

所以“(4(80乃)=，?((7)-“(8=6=28_19=9,

所以參加由徑和球類比賽的有3人，只參加游泳一項比賽的有9人，

故答案為：3,9

【例6】(2022.湖南?高一課時練習)市場調查公司為了解某市市民在閱讀報紙(日報和晚報)

方面的取向，抽樣調查了500個市民，調查結果顯示：訂閱日報的有334人，訂閱晚報的有

297人，其中兩種都訂的有150人.試問：

(1)只訂日報不訂晚報的有多少人？

(2)只訂晚報不訂日報的有多少人？

(3)至少訂一種報紙的有多少人？

(4)有多少人不訂報紙？

【答案】(1)184；

⑵147；

(3)331；

(4)19.

【解析】

【分析】

被調查的500名市民構成集合U,訂閱日報的有334人組成集合4,訂閱晚報的有297人組

成集合B,借助集合的運算即得.

(1)

設U={x∣x是被調查的500名市民},A={x∣x是訂閱日報的人},B