第22講數列的單調性與最值問題

一.選擇題（共19小題）

1.（2021?甲卷）等比數列｛0,,｝的公比為q,前〃項和為設甲：q>O,乙：｛S,,｝是遞增

數列，貝U（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

2.（2021春?紹興期末）已知等比數列｛%｝和公差不為零的等差數列的,｝都是無窮數列，當

NeN*時，貝∣J（）

?.若｛%｝是遞增數列，則數列｛〃4｝遞增

B.若也J是遞增數列，則數列｛〃，｝遞增

C.若數列｛〃%｝遞增，則數列｛”“｝遞增

D.若數列｛泌“｝遞增，則數列｛"｝遞增

3.（2021春?浙江期中）已知數列｛α,,｝滿足4=1,ɑπ∈Z,且。用-。1<3"+；,

aa

n+2~,,>3*'-g，則?l=（）

32°2273≡'-l.32020-l32019-l

A.---------B.---------C.---------Dn.---------

8888

4.（2021?浙江模擬）已知數列｛&｝滿足：q=l,α用=」一（〃eN*）.

2%+l

（1）數列SJ是單調遞減數列；

（2）對任意的〃eM,都有

（3）數列｛∣α,-g∣｝是單調遞減數列；

（4）對任意的"∈N*,都有I%-*,,I哈廣二

則上述結論正確的個數是（）

?.1B.2C.3D.4

5.（2021?浙江）已知4,a2,%，4成等比數列，S.ai+a2+a3+a4=ln（al+a2+a3）,若

q>l,則（）

A.〃1<%，〃2<。4B?[A%，a2<a4C.出>〃4θ?%>%，%>〃4

1

6.（2021?浙江模擬）已知｛α,J是等差數列，q=11,SJT為數列｛4｝的前〃項和,且其=與，

則S,,的最大值為（）

A.66B.56C.46D.36

7.（2021?上城區校級開學）設數列｛αι,｝滿足0<q<；,a.=%+加（2-對）對任意的力eN*

恒成立，則下列說法不正確的是（）

2

?.-<α<lB.｛〃“｝是遞增數列C.l<?0<∣D.→?0<l

8.（2021?寧波二模）設α,bwR,無窮數列｛α,,｝滿足：at=a,απ+l=-a^+ban-?,〃eN*,

則下列說法中不正確的是（）

A.6=1時，對任意實數”，數列｛α,J單調遞減

B.6=T時,存在實數°,使得數列｛α,J為常數列

C.6=-4時，存在實數α,使得SJ不是單調數列

D.6=0時,對任意實數α,?5??o>-22°l8

9.（2021?浙江模擬）設等差數列｛α,,｝的前"項和為S,,,且（必-以+2019（4-1）=1，

-t--

（<∕2OI5?）?^^2O19（CI2OI51）??>則下列結論正確的是（）

A?$2020=2020>a20IS<a6B?$2020=2020>。2015>

a

C?S2020=^^2020,“2015"βD.$2020=-2020,a2oιs????

10.（2014?遼寧）設等差數列｛4｝的公差為d,若數列｛2他｝為遞減數列，貝I"）

A.d<0B.d>0C.atcl<0D.aid>0

11.（2021?路南區校級模擬）設S,,是公差為d（dwθ）的無窮等差數列｛2｝的前"項和，則下

列命題錯誤的是（）

A.若d<0,則數列｛Sz,｝有最大項

B.若數列｛S,｝有最大項，則d<0

C.若數列｛S,｝是遞增數列，則對任意“wN*均有S.>0

D.若對任意〃eN*均有S,,>0,則數列｛SJ是遞增數列

12.（2021秋?懷仁市期末）已知數列｛α,J是首項為°,公差為1的等差數列，數列｛“｝滿足

b,,=".若對任意的〃∈N*,都有”…與成立，則實數。的取值范圍是（）

A.[—6,—5]B.（-6,-5）C.[—5,—4]D.（-5,-4）

13.（2021秋?鼓樓區校級期末）設等差數列｛%｝的前〃項和為凡,且滿足S汕9>0，S2020<0,

對任意正整數〃，都有Ia則上的值為（）

2

A.1008B.1009C.1010D.1011

14.（2021春?城廂區校級期中）設等差數列｛αj的前〃項和為S,,,且滿足邑期>。，?<θ'

對任意正整數”，都有∣%∣...∣4∣,則k的值為（）

A.1009B.1010C.1011D.1012

15.（2021春?宜賓期末）設等差數列0｝的前“項和為S.,若叫<0,α,o,o+αlo∏>θ>則

滿足S,>0的最小正整數〃的值為（）

Λ.1010B.1011C.2021D.2021

16.（2021?上城區校級模擬）已知數列｛α,｝滿足q=1,%=；,且

[3+（-1）"]an+2-1an+2[（-l）^-1]=0,nwN*,記應為數列｛%｝的前2〃項和，數列出｝是

首項和公比都是2的等比數列，則使不等式（J+L）J_<i成立的最小整數〃為（）

A.7B.6C.5D.4

17.（2021?江岸區校級模擬）已知函數f（x）=4x2-2x,數列｛α,,｝滿足

a1=1,2o,,+l=∕（a,,）+1（?∈^?）,數列的前〃項和為S“，若mMeZ,使得S“<M恒成

立，則用的最小值是（）

A.2B.3C.4D.5

18.（2021秋?龍巖期末）已知數列｛七｝的通項公式為（=——,前〃項和為S,,,若實數

〃（〃+2）

4滿足（-1）,,Λ<3+（T）向5〃對任意正整數n恒成立，則實數Λ的取值范圍是（）

A.-242B.-lθ<Λ<29。10D,-2?<ιθ

C.--7<4,~z

34344343

19.（2021秋?浙江月考）已知數列｛0,,｝滿足4=；,%=α,+??（"wM）,則下列選項正

n

確的是（）

2021

A.ClQlX<。2020B.<“2021<1

24043

2021

C.0<4?2021<D,a>1

40432021

二.多選題（共1小題）

a,

20.（2021秋?9月份月考）已知數列｛“〃｝滿足：4=0,an+γ=ln（e?+1）-?（w∈ΛΓ*）,前〃

項和為5〃（參考數據：加2k0.693,∕∏3≈1.099）,則下列選項正確的是（）

A?｛的a｝是單調遞增數列，｛生”｝是單調遞減數列

3

b?%+%+a>3

C.52020<670

D?a2n-Y?>a2n

三.填空題（共10小題）

21.已知數列｛%｝中，α∣=l,αl+2a2+3αj+...+nall=--απ+1（n.,,l,n∈Z）>若存在"∈N*,

使得關于n的不等式冊,（〃+1）2成立，則實數λ的最小值為一.

22.（2012?岳陽樓區校級二模）已知等差數列｛%｝的首項及公差均為正數，令

b“=m+J”2o∣2-.（"c^r,”<2012）.

（1）若等差數列｛%｝的首項為20,公差為1,則"=—；

（2）當4是數列也｝的最大項時，k=.

23.（2021春?海淀區校級期中）設等差數列也｝滿足

?2">2">?->?->

Sitr%-cos-心衛-％咨4-sm-%SmM=1,公差de（T,0）,若當且僅當"=9時，數

sin（α5+α7）

列｛%｝的前n項和S,,取得最大值，則首項q的取值范圍是—.

24.（2014秋?淮北期末）已知等差數列｛%｝的前,項和，能取到最大值,且滿足:αlo+an<O,

α∣o?q∣<0對于以下幾個結論：

①數列｛”"｝是遞減數列；

②數列｛S,,｝是遞減數列；

③數列｛S,J的最大項是?‰；

④數列｛S,J的最小的正數是Sl9.

其中正確的序號是—.

25.（2021?臺州模擬）在等差數列｛α.｝中，若d+α1=10,則數列｛對｝前10項和SH）的最

大值為一.

26.（2021春?河南月考）設等差數列｛”,｝的前〃項和為S,,,若出=-3,S5=-10,若對任

意的"cN*,-S“”『+3/恒成立，則實數f的取值范圍是.

27.（2021?江西三模）設等差數列｛%｝滿足：al=3,公差Ce（OJO）,其前“項和為S,,.若

數列｛廊1｝也是等差數列，則號U的最小值為一.

?+1

28.（2021春?東湖區校級月考）設等差數列｛α,,｝的前〃項和為S,,,若-1<%<3,-3<q0<l,

則用的取值范圍為一?

4

?

29.(2021?新建區校級模擬)已知數列0｝的前〃項和S“滿足：S?+26z,,=6-6×(-)"(?∈N*),

則數列｛0,,｝中最大項等于一.

30.(2021秋?鎮海區校級期中)已知數列｛%｝中，al=a,a2=2-a,an+2-an=2,若數

列｛4｝單調遞增，則實數α的取值范圍為一，S2,,=-.

四.解答題(共6小題)

31.(2021秋?浙江期末)已知數列｛q｝滿足:al=l,αn+,=ln(l+an?neN*),設數列｛」?｝

凡

的前〃項和為7；.證明：

(I)an>0(〃∈N*)；

(∏)aπ+l,,屈、(〃wN*)；

4+3

22

zτττλn+5nn+5n

(III)---“Tir---(〃∈N*).

64

O

32.(2021春?武侯區校級期末)已知數列｛α,,｝的前〃項和為S“，a,=~,且

4S,,+1=3?-9.

(1)求數列｛%｝的通項；

(2)設數列的,｝滿足3b,+("-4)α,,=0("∈M),記的｝的前〃項和為雹.

①求小

②若&/16"對任意恒成立，求實數/1的取值范圍.

33.(2021?溫嶺市校級模擬)正項等差數列｛an｝和等比數列｛bn｝滿足％=1,

幺+%+...+%=2-3

Ub2bnT

(I)求數歹∣J｛α,,｝,｛b,,｝的通項公式;

(H)若數列▼——?+，，，求最大整數…得黑嗡

34.(2021?寧波二模)設S〃為等差數列｛%｝的前〃項和，其中q=l,且==2%討(〃∈N*).