第八節直線與圓錐曲線問題知識點歸納1.直線與圓錐曲線的位置關系(1)直線與圓錐曲線的位置關系有相交、相切、相離；相交有兩個交點(特殊情況除外)，相切有一個交點，相離無交點.(2)判斷直線l與圓錐曲線C的位置關系時，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0代入圓錐曲線C的方程.消去y(或x)得到一個關于變量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①當a≠0時，可考慮一元二次方程的判別式Δ，有Δ＞0時，直線l與曲線C相交；Δ＝0時，直線l與曲線C相切；Δ＜0時，直線l與曲線C相離.②當a＝0時，即得到一個一次方程，則l與C相交，且只有一個交點，此時，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對稱軸平行或重合.2.圓錐曲線的弦長公式設直線與圓錐曲線的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（y1＋y2）2－4y1y2)))，k為直線斜率且k≠0.[常用結論]與橢圓有關的結論：(1)通徑的長度為eq\f(2b2,a)；(2)過原點的直線交橢圓于A，B兩點，P是橢圓上異于A，B的任一點，則kPA·kPB＝－eq\f(b2,a2)；(3)若點P(x0，y0)在橢圓上，過點P的切線方程為eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.題型歸類題型一直線與圓錐曲線位置關系的判斷例1已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.試問當m取何值時，直線l與橢圓C：(1)有兩個不同的公共點；(2)有且只有一個公共點.解將直線l的方程與橢圓C的方程聯立，得方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋m，①,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，②))將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)當Δ>0，即－3eq\r(2)<m<3eq\r(2)時，方程③有兩個不同的實數根，可知原方程組有兩組不同的實數解.這時直線l與橢圓C有兩個不同的公共點.(2)當Δ＝0，即m＝±3eq\r(2)時，方程③有兩個相同的實數根，可知原方程組有兩組相同的實數解.即直線l與橢圓C有且只有一個公共點.感悟提升在判斷直線和圓錐曲線的位置關系時，先聯立方程組，再消去x(或y)，得到關于y(或x)的方程，如果是直線與圓或橢圓，則所得方程一定為一元二次方程；如果是直線與雙曲線或拋物線，則需討論二次項系數等于零和不等于零兩種情況，只有二次方程才有判別式，另外還應注意斜率不存在的情形.題型二弦的有關問題角度1焦點弦例2(2023·武漢質檢)已知橢圓C的焦點為F1(－1，0)，F2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B兩點.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為________.答案eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1解析設橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0).連接F1A，令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由橢圓的定義知，4m＝2a，得m＝eq\f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，則點A為橢圓C的上頂點或下頂點.如圖，不妨設A(0，－b)，由F2(1，0)，eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(b,2))).由點B在橢圓上，得eq\f(\f(9,4),a2)＋eq\f(\f(b2,4),b2)＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2，橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.角度2中點弦例3已知P(1，1)為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1內一定點，經過P引一條弦，使此弦被P點平分，則此弦所在的直線方程為________________.答案x＋2y－3＝0解析法一易知此弦所在直線的斜率存在，∴設斜率為k，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\f(xeq\o\al(2,1),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),2)＝1，①eq\f(xeq\o\al(2,2),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,2),2)＝1，②①－②得eq\f(（x1＋x2）（x1－x2）,4)＋eq\f(（y1＋y2）（y1－y2）,2)＝0.∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴eq\f(x1－x2,2)＋y1－y2＝0.又x2－x1≠0，∴k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2).經檢驗，k＝－eq\f(1,2)滿足題意.∴此弦所在的直線方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.法二易知此弦所在直線的斜率存在，∴設其方程為y－1＝k(x－1)，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－1＝k（x－1），,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，∴x1＋x2＝eq\f(4k（k－1）,2k2＋1).又∵x1＋x2＝2，∴eq\f(4k（k－1）,2k2＋1)＝2，解得k＝－eq\f(1,2).經檢驗，k＝－eq\f(1,2)滿足題意.故此弦所在的直線方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.角度3一般弦例4如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,2)，過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD.當直線AB的斜率為0時，|AB|＝4.(1)求橢圓的方程；(2)若|AB|＋|CD|＝eq\f(48,7)，求直線AB的方程.解(1)由題意知e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝eq\r(3)，所以橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)①當兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時，另一條弦所在直線的斜率不存在，由題意知|AB|＋|CD|＝7，不滿足條件.②當兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時，設直線AB的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線CD的方程為y＝－eq\f(1,k)(x－1).將直線AB的方程代入橢圓方程中并整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，則x1＋x2＝eq\f(8k2,3＋4k2)，x1·x2＝eq\f(4k2－12,3＋4k2)，所以|AB|＝eq\r(k2＋1)|x1－x2|＝eq\r(k2＋1)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\f(12（k2＋1）,3＋4k2).同理，|CD|＝eq\f(12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)＋1)),3＋\f(4,k2))＝eq\f(12（k2＋1）,3k2＋4).所以|AB|＋|CD|＝eq\f(12（k2＋1）,3＋4k2)＋eq\f(12（k2＋1）,3k2＋4)＝eq\f(84（k2＋1）2,（3＋4k2）（3k2＋4）)＝eq\f(48,7)，解得k＝±1，所以直線AB的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0.感悟提升1.弦及弦中點問題的解決方法(1)根與系數的關系：直線與橢圓或雙曲線方程聯立，消元，利用根與系數關系表示中點；(2)點差法：利用弦兩端點適合橢圓或雙曲線方程，作差構造中點、斜率間的關系.若已知弦的中點坐標，可求弦所在直線的斜率.2.弦長的求解方法(1)當弦的兩端點坐標易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解.(2)當直線的斜率存在時，斜率為k的直線l與橢圓或雙曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個不同的點，則弦長公式的常見形式有如下幾種：①|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])；②|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[（y1＋y2）2－4y1y2]).題型三圓錐曲線的切線問題例5已知橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，直線l：4x－5y＋40＝0，橢圓上是否存在一點，使得它到直線l的距離最小或最大？并求最小值與最大值？解設與直線l：4x－5y＋40＝0平行的直線l′：4x－5y＋m＝0，當直線l′與橢圓相切于A點時，此時A到l距離最小；當直線l′與橢圓相切于B點時，此時B到l的距離最大.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－5y＋m＝0，,\f(x2,25)＋\f(y2,9)＝1，))消去y得25x2＋8mx＋m2－225＝0，Δ＝64m2－100(m2－225)＝0，∴m＝±25.當直線經過點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(9,5)))時，l1：4x－5y＋25＝0，此時距離最小，dmin＝eq\f(|40－25|,\r(41))＝eq\f(15\r(41),41).當直線經過點Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－\f(9,5)))時，l2：4x－5y－25＝0，此時距離最大，dmax＝eq\f(|40＋25|,\r(41))＝eq\f(65\r(41),41).感悟提升1.處理圓錐曲線的切線問題的常用方法為代數法，即聯立直線與圓錐曲線的方程，根據Δ＝0來求解.2.(1)過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上一點P(x0，y0)的切線方程為eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1；(2)過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上一點P(x0，y0)的切線方程為eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1；(3)過拋物線C：y2＝2px(p＞0)上一點P(x0，y0)的切線方程為y0y＝p(x＋x0).題型四直線與圓錐曲線的綜合例6已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，短軸長為2.(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點P(1，0)的直線l與橢圓C交于A，B兩點，若△ABO的面積為eq\f(3,5)(O為坐標原點)，求直線l的方程.解(1)由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,2b＝2，,c2＝a2－b2，))解得a2＝4，b2＝1，故橢圓C的標準方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)由題意可知直線的斜率不為0，則設直線的方程為x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2).聯立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,\f(x2,4)＋y2＝1，))整理得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，Δ＝(2m)2－4(m2＋4)×(－3)＝16m2＋48＞0，則y1＋y2＝－eq\f(2m,m2＋4)，y1y2＝－eq\f(3,m2＋4)，故|y1－y2|＝eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2m,m2＋4)))\s\up12(2)＋\f(12,m2＋4))＝eq\f(4\r(m2＋3),m2＋4)，因為△ABO的面積為eq\f(3,5)，所以eq\f(1,2)|OP||y1－y2|＝eq\f(1,2)×1×eq\f(4\r(m2＋3),m2＋4)＝eq\f(2\r(m2＋3),m2＋4)＝eq\f(3,5)，設t＝eq\r(m2＋3)≥eq\r(3)，則eq\f(2t,t2＋1)＝eq\f(3,5)，整理得(3t－1)(t－3)＝0，解得t＝3或t＝eq\f(1,3)(舍去)，即m＝±eq\r(6).故直線的方程為x＝±eq\r(6)y＋1，即x±eq\r(6)y－1＝0.感悟提升(1)解答直線與橢圓相交的題目時，常用到“設而不求”的方法，即聯立直線和橢圓的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根與系數的關系，并結合題設條件，建立有關參變量的等量關系求解.(2)涉及直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.課時作業一、單選題1．P為橢圓上一點，、為左右焦點，若則△的面積為A． B． C．1 D．3【答案】D【分析】利用橢圓焦點三角形的面積公式，直接計算得所求三角形的面積.【詳解】橢圓，根據橢圓焦點三角形的面積公式，故選D.【點睛】本小題主要考查橢圓焦點三角形的面積公式.屬于基礎題.如果橢圓焦點三角形的頂角為，則焦點三角形的面積為.對于雙曲線來說，如果雙曲線焦點三角形的頂角為，則焦點三角形的面積為.解題過程中可以作為結論來應用.這些結論平時注意收集.2．若直線和圓沒有公共點，則過點的直線與橢圓的公共點個數為（

）A．0 B．1C．2 D．需根據a，b的取值來確定【答案】C【分析】根據題意，利用直線與圓的位置關系，得到，進而結合圓和橢圓的位置關系，即可求得答案.【詳解】因為直線和圓沒有公共點，所以原點到直線的距離，即，所以點是在以原點為圓心，為半徑的圓內的點，又因為橢圓，可得，所以圓內切于橢圓，所以點在橢圓的內部，所以過點的一條直線與橢圓的公共點的個數為.故選：C.3．已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標為，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，可得，，將兩點的坐標分別代入橢圓方程，兩式相減可求出===，進而可求出的值.【詳解】設，則，，則，兩式相減得：，∴===，又==，∴，聯立，得.∴橢圓方程為.故選：D．4．已知斜率為的直線過拋物線的焦點，與拋物線交于，兩點，又直線與圓交于，兩點.若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】寫出直線方程為與拋物線方程聯立方程組，設，方程組消元后求得，由點在直線上求得（也可消去，直接用韋達定理得結論），再由焦點弦長公式表示出弦長，圓心就是拋物線的焦點，圓半徑是，則，代入已知條件可求得．【詳解】拋物線的焦點為，直線方程為，由得，設，則，又，，∴，∴，圓的標準方程是，圓心為，半徑為，∴，∵，∴，解得，∵，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查拋物線的焦點弦長公式，由直線方程與拋物線方程聯立消元后求得，由焦點是的拋物線的焦點弦長為可表示出弦長．5．已知拋物線的焦點為F，若斜率為的直線l過點F，且與拋物線C交于A，B兩點，則線段的中點到準線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，由直線方程與拋物線方程聯立消去后利用韋達定理得，從而可得中點橫坐標，也即可求得中點到準線的距離．【詳解】由題意拋物線標準方程為，，，∴焦點為，準線方程為，直線方程為，代入拋物線方程整理得，設，則，設中點為，則，∴到準線的距離為．故選：A．【點睛】本題考查直線與拋物線相交弦中點問題，解題時直線方程與拋物線方程聯立方程組消元后應用韋達定理可得中點坐標．6．已知雙曲線的左?右焦點分別為，點在雙曲線的右支上，且，則△的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據雙曲線定義以及余弦定理求得，再根據三角形面積公式，利用二倍角正弦與余弦公式化簡得結果.【詳解】因為點在雙曲線的右支上，所以因為所以即因此△的面積為故選：D【點睛】本題考查雙曲線定義、余弦定理、三角形面積公式以及二倍角正弦與余弦公式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.二、多選題7．若經過點的直線與拋物線恒有公共點，則C的準線可能是（

）．A． B．C． D．【答案】BD【分析】由題意得，點在拋物線上或其內部，則，求出的范圍，即可得出答案.【詳解】由題意得，點在拋物線上或其內部，則，解得，∴其準線為.故選:BD．8．已知，分別是橢圓：的左?右焦點，在上，為坐標原點，若，的面積為1，則（

）A．橢圓的離心率為 B．點在橢圓上C．的內切圓半徑為 D．橢圓上的點到直線的距離小于2【答案】ABD【分析】先根據已知條件得到，再利用的面積為1，確定點P為C的短軸的一個端點，然后逐項分析即可.【詳解】由，為的中點可知，.由的面積為1，可知，所以，所以P為橢圓C短軸的一個端點，則，所以，所以，A正確；由A可知，橢圓C的方程為，將點的坐標代入，可知滿足C的方程，B正確；因為為等腰直角三角形，且，所以的內切圓半徑，C錯誤；不妨取，則直線的方程為，即，設橢圓C上的點，則點M到直線的距離，其中，則，D正確.故選：ABD.三、填空題9．已知是拋物線：的焦點，是上一點，的延長線交軸于點.若為的中點，則______.【答案】3；【分析】由題意得：，又因為為的中點，且點在軸上，設點，所以點為，又因為點在拋物線上，代入拋物線便可得出，進而求得.【詳解】根據題意畫出圖象，如下圖所示：因為是拋物線：的焦點，所以點坐標為.設點為，因為為的中點，所以點為，因為點在拋物線上，則.則.故：.故答案為：3.【點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質，屬于基礎題目.10．已知P(x，y)是橢圓上的一個動點，則x＋y的最大值是________．【答案】5【詳解】令x＋y＝t，則問題轉化為直線x＋y＝t與橢圓有公共點時，t的取值范圍問題．由,去y得25x2－32tx＋16t2－144＝0，∴Δ＝(－32t)2－100(16t2－144)＝－576t2＋14400≥0，∴－5≤t≤5，∴x＋y的最大值為5.11．已知橢圓的離心率為，上頂點為A，左頂點為B，，分別是橢圓的左、右焦點，且的面積為，點P為橢圓上的任意一點，則的取值范圍為_______．【答案】【分析】根據的面積和離心率得出a，b，c的值，從而得出的范圍，得到關于的函數，從而求出答案．【詳解】∵的面積為，∴，∴，由已知得，即，所以，所以，又，所以，由，解得，進而，∴，又，∴，∴.即的取值范圍為.故答案為：12．正方形ABCD的頂點A、B在拋物線上，C、D在直線上，則正方形的面積為______．【答案】或/或【分析】設直線的方程為，，聯立方程，利用韋達定理求出，再根據弦長公式求出，再根據兩平行直線的距離公式及求出，即可得解.【詳解】解：由題意可設直線的方程為，，聯立，消得，，則，，由正方形可得直線與直線之間的距離，即，解得或，當時，，此時正方形的面積為，當時，，此時正方形的面積為，所以正方形的面積為或.故答案為：或.四、解答題13．已知直線與拋物線.(1)若直線與拋物線相切，求實數的值；(2)若直線與拋物線相交于兩點，且，求直線的方程；【答案】(1)(2)【分析】（1）根據直線和拋物線相切，聯立方程令，便可求得實數的值；（2）根據韋達定理表達出，代入求解即可求得實數的值，從而解得直線方程.【詳解】（1）解：根據題意得：直線與拋物線相切聯立，得.（2）設，由（1）方程聯立可知.又，且，滿足直線的方程為.14．已知橢圓的右焦點為，為短軸的一個端點，且，的面積為1（其中為坐標原點）．（1）求橢圓的方程；（2）若，分別是橢圓長軸的左、右端點，動點滿足，連接，交橢圓于點，證明：為定值．【答案】（1）；（2）詳見解析．【詳解】試題分析：（1）利用條件，的面積為1，可建立關于，的方程組，從而求解；（2）將直線的方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理以及平面向量數量積的坐標表示證明與直線斜率無關即可得證．試題解析：（1）∵，的面積為1，∴，∴橢圓方程為；（2）由（1）得，，直線的斜率存在，故設其方程為，代入，得，∴，，又∵，∴為定值．考點：1．橢圓的標準方程及其性質；2．直線與橢圓的位置關系；3．平面向量數量積的坐標表示；4．橢圓中的定值問題