考向27圓的基礎知識垂徑定理圓周角和圓心角

【考點梳理】

知識點一：圓的有關概念

(1)圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成

的圖形.如圖所示的圓記做G)0.

(2)弦與直徑：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，過

u.圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內最長的弦.

與圓有(3)弧：圓上任意兩點間的部分叫做弧，小于半圓的

關的概念弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優弧.

和性質(4)圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.

(5)圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓還有一個

交點的角叫做圓周角.

(6)弦心距：圓心到弦的距離.

知識點二：垂徑定理及其推論

定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.___________

(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；

推論

(2)弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

根據圓的對稱性，如圖所示，在以下五條結論中:—

①弧AC=弧BC;z??

2.垂徑定

②弧AD=弧BD；

理及其推B

論延伸③AE=BE;

④AB_LCD;⑤CD是直徑.

只要滿足其中兩個，另外三個結論一定成立，即推二知三

.關于垂徑定理的計算常與勾股定理相結合，解題時往往需要添加輔助線，一

般過圓心作弦的垂線，構造直角三角形.__________________________________

知識點三：圓心角、弧、弦的關系_________________________________________________

3.圓心角、定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等.

弧、弦的在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相

推論

關系等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.___________________

知識點四：圓周角定理及其推論___________________________________________________

(1)定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

(2)推論：

①在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等.如圖b,ZA=ZC.

4.圓周角

②直徑所對的圓周角是直角.如圖c,∕C=90°.

定理及

其推論③圓內接四邊形的對角互補.如圖a,ZA+ZC=180o,ZABC+Z

ADC=180".

【題型探究】

題型一：圓的基本概念

1.(2022?河北唐山?統考一模)下列語句：①平分弦的直徑垂直于弦；②三角形的內心到三角形各邊的距離相等;

③在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓周角相等；④過平面內三點可以作一個圓；⑤經過半徑并且垂直于這條半徑

的直線是圓的切線；⑥90。的圓周角所對的弦是直徑；⑦相等的圓心角所對的弧相等.其中正確的個數是（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

2.（2022?安徽?統考一模）下列說法正確的有（）

①兩個半圓是等弧

②直線4上一點到圓心的距離等于半徑，則〃和圓有公共點

③過圓心的線段是半徑

④相等的圓心角所對的弧相等

⑤一個三角形有唯一的一個外接圓

A.5個B.4個C.3個D.2個

3.（2021?山東威海?統考模擬預測）如圖，點A,B的坐標分別為A（2,0）,B（0,2）,點C為坐標平面內一點,

BC=I,點M為線段AC的中點，連接OM,則OM的最大值為（）

C.2√2+lD.√2--!-

2

題型二：垂徑定理

4.（2023?遼寧撫順?統考一模）如圖。的半徑為3,AB是弦，點C為弧AB的中點，若NAeC=30。,則弦AB的長

為（）

B

o?

A

當

A.?B.3C.D.3√3

5.（2022.浙江杭州?校考模擬預測）如圖,AB是O的直徑，C是O上一點，點。是弧8C的中點，DEJ.AB于

點E,交BC于點F,已知AC=2,.O的半徑為2,則所的長為（）

0

?2√3√3「363√3

A.-----Jro?C?-----nU.-----

3343

6.（2022.浙江杭州.校考二模）如圖，O的半徑LAB于點C,連接AO并延長交。于點E,連接EC.若43=8,

CD=2,貝IJtan/OEC為（）

0

D

AjB.警C.tD.當

題型三：垂徑定理的推論

7.（2022?海南省直轄縣級單位?統考二模）如圖,AB是O的直徑，點E,C在。上，點A是EC的中點，過點A

畫：。的切線，交BC的延長線于點。，連接EC.若“汨=58。，則/ACE的度數為（）

A.29oB.310C.58oD.32o

8.（2022?貴州畢節?統考模擬預測）如圖，AB是。。的直徑，點E,C在。。上，點A是EC的中點，過點A作。。

的切線，交BC的延長線于點。，連接AC,EC.若/ACE=32。，則/AOB的度數為（）

8、

A.48°B.52°C.58°D.68°

9.（2022?廣東?一模）如圖，AB是。的直徑，C,。是:。上的點，且OC〃BD,AO分別與BC,OC相交于

點E,F,有下列結論：?ADlBD-,?ZAOC=ZAEC-,③BC平分/AB。；?AF=DF⑤3。=2。尸；

@ACEFABED.其中一定成立的是（）.

A.②④⑤⑥B.①③④⑤C.②③④⑥D.①③⑤⑥

題型四：垂徑的實際應用

10.（2023?福建南平?統考一模）我國古代數學經典著作《九章算術》中記載了一個“圓材埋壁”的問題”今有圓材埋在

壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，間徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知

大小，用鋸子去鋸這個木材，鋸口深OE=I寸，鋸道AB=I尺（1尺=10寸），則這根圓柱形木材的直徑是（）

B

A.12寸B.13寸

C.24寸D.26寸

11.（2023秋?貴州遵義?九年級統考期末）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，如圖1,筒車盛水桶的運行軌

道是以軸心。為圓心的圓，如圖2,己知圓心。在水面上方，且（。被水面截得弦A8長為4米，。半徑長為3

米.若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（）

圖1圖2

A.1米B.2米C.(3-0)米D.(3+石)米

12.（2021?湖北鄂州?統考中考真題）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，明朝科學家徐光啟在《農政全書》

中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1,筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2,已知圓心。在

水面上方，且O被水面截得的弦AB長為6米，。半徑長為4米.若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB

所在直線的距離是（）

米

米

米U2D

A.B.14

題型五：弧弦圓周角的關系

13?（2023?陜西西安?西安市慶華中學校考一模）如圖，O的直徑A3的長為10,弦AC長為6,ZAC8的平分線交

。于。，則長為（）

C.8√2D.9

14.（2023?山東泰安?校考模擬預測）如圖，在.ΛBC中，以AB為直徑的。分別與BCAC交于點F,D,點、F是BD

的中點，連接AfBD交于點E.若AB=IO,CO=4?連接。尸，則弦。尸的長為（）

15.（2022?山東泰安?統考二模）如圖,。中，AB=CB,過點A作BC的平行線交過點C的圓的切線于點。，若

ZABC=46。，則NAr>C的度數是（）

A.74°B.67°C.66°D.60°

題型六：圓心角和圓周角問題

16.（2023.陜西漢中.統考一模）如圖，AB為。的直徑，C,。為一）。上的兩點，若NAC￡>=56。，則/D4B的度

數為（）

C.45oD.54o

17.（2023?山東青島?統考一模）如圖，JeC是O的直徑，點A是。外一點，連接Ae交，。于點E,連接AB并

延長交。于點O?若NA=35。，則NooE的度數是（）

C.120.5°D.115°

o

18.（2023?陜西西安?高新一中校考二模）如圖,AB是《O的直徑，8是O的弦，ZABD=50f則NC的度數

C.140°D.150°

題型七：圓的綜合問題

19.（2023?江蘇蘇州?統考一模）如圖,已知AB是。O的直徑，點。，點C均在。。上,連接QC交AB于點E,

3

NA=45°,tan∠fOZ)E=-

4

⑴若OA=4,求CE的長；

S

（2）若記:OZ）E的面積為R,AACE的面積為邑，求U的值.

%

20.（2023?湖南衡陽?校考一模）如圖，四邊形ABa）內接于。0,Nl=/2,延長BC到點E,使得CE=M,連接

ED.

⑴求證：BD=ED;

（2）若AB=4,BC=6,NABC=60。，求tanNDC8的值.

21.（2022?浙江杭州?校考模擬預測）已知O的直徑AB=2,弦AC與弦8。交于點E,且0￡>J_AC,垂足為點F.

備用圖

⑴如圖1,若AC=BD,求線段OE的長.

(2)如圖2,若DE:BE=3:2,求NTIBE)的正切值.

（3）連結BC,CD,DA,若BC是；。的內接正"邊形的一邊，C。是二。的內接正2"邊形的一邊，求，ACQ的面積.

【必刷基礎】

一、單選題

22.（2022.廣東揭陽.揭陽市實驗中學校考模擬預測）如圖，在。。中，弦AB等于。。的半徑，OC_L48交。。于點

C,則NAOC等于（）

O

23.（2022.西藏?統考中考真題）如圖，AB是。O的弦，OCLAB,垂足為C,OD//AB,OC=g。。，則N?BQ的

A.90oB.95oC.100oD.105°

24.（2022?青海?統考中考真題）如圖所示，A（2夜,0）,AB=3垃,以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交X軸負半軸

于點C,則點C的坐標為（）

A.(3√2,θ)B.(√2,θ)C.(-√2,θ)D.(-3√2,θ)

25.（2023?全國?九年級習）45是。的直徑，弦CDLAB,ZC=30o,CD=4^,則5陰影=（）

B

g

A.πB.2πC.-πD.4π

3

26.（2022?廣東佛山?校考一模）如圖，已知。中，直徑A尸于點4，點。在AB上，且ZACD=30。，過點A

作AE_LCD于點E,已知488的周長為+4,且BH=2,則二Q的半徑長為（）

A

F

aBZd2

?3也?Γc?乎?T^

27.（2022春?九年級課時練習）如圖，ABC內接于（O,ZA=60o,BC=2√3,則8C的長為（）

32

28.（2022?浙江杭州?校考二模）如圖，AB是半圓。的直徑，。是AC的中點，若N5AC=40。，則NDAC的度數是

C.30oD.35°

29.（2023春?九年級課時練習）有下列說法：①任意三點確定一個圓；②圓的兩條平行弦所夾的弧相等；③任意一

個三角形有且僅有一個外接圓；④平分弦的直徑垂直于弦；⑤直徑是圓中最長的弦，其中錯誤的個數有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

30.（2022.湖北省直轄縣級單位.校考一模）如圖，點4、8分別在X軸、y軸上（Q4>O8）;以AB為直徑的圓經過

原點O,C是408的中點，連結AC，BC.下列結論：①ZACB=90。；@AC=BCx③若OA=4,OB=2,K∣J.ABC

的面積等于5；④若。4-03=4,則點C的坐標是（2,-2）,其中正確的結論有（）

B.3個C.2個D.1個

31.（2023?全國?九年級專題練習）如圖，點A,B,C,。在。上，且AC=2AB,若44。8=30。，則NBQC的

度數為（）

A.350B.40oC.450D.50°

32.（2023?陜西安康?統考一模）如圖，已知在。中，ΛDOA:ZAOB=2:1,且NAcB=25。，則/。的度數為（）

B.45°C.50°D.55°

33.（2022.廣西百色?統考二模）如圖，已知AB為。。的直徑，過。。上點C的切線交AB的延長線于點E,ADLEC

于點。，且交。O于點R連結8C,CF,AC.

A

O

B

DCE

(1)求證：BC=CF-

⑵若A￡)=3,OE=4,求BE的長和tanNC4E的值.

34.（2022?遼寧鞍山?統考二模）如圖1,四邊形ABCZ）內接于O,BD為直徑,AO上點E,滿足AE=CD，連接

BE并延長交8的延長線于點F,BE與4。交于點G,連接CE,EF=DG.

(1)求證：CE=BG;

若SinNADB=誓,求FGo的周長.

(2)如圖2,連接CG,AD=2.

【必刷培優】

一、單選題

35.（2023?遼寧沈陽?沈陽市第一二六中學校考一模）如圖，AB是。。的直徑，C為圓上一點，點。是弧BC的中點,

若NABC=50。，則/8AD的度數為（）

25°C.20°D.40°

36.（2023.山東泰安?校考一模）如圖，等邊一ABC的邊長為4,點。是邊AC上的一動點，連接8。，以BO為斜邊

向上作等腰RtaBDE,連接AE,則AE的最小值為（）

A.1B.√2C.2D.2√2-l

37.（2023.山東東營?東營市東營區實驗中學校考一模）如圖，PA.PB是O的切線，切點分別為A、8,BC是O

的直徑，PO交。于E點，連接AB交Po于凡連接CE交AB于。點.下列結論：①PA=PB；②OPlAB；③CE

平分/4C3；④OF=；AC；⑤E是q∕?β的內心；⑥ACDA名ZlEDF.其中一定成立的有（）個.

A.5B.4C.3D.2

o

38.（2023?湖北省直轄縣級單位?校考一模）如圖，四邊形ABCz）內接于：O,ZΛBC=135,AC=A1則O的半徑

C.√3D.4√2

二、填空題

39.（2022?廣東云浮?校聯考三模）如圖，AB是O的弦，半徑"，居于點。，且4。=OD（OD<1）,OC=2,則

tanZABC=

40.（2023?全國?九年級專題練習）如圖，。的半徑為2,OAYBC,∕CDA=22.5°,則弦BC的長為

41.（2023春?九年級課時練習）己知在平面直角坐標系Xoy中，。為坐標原點，點P是反比例函數y=9（χ>0）圖像

X

上的一個動點，若以點尸為圓心，3為半徑的圓與直線V=X相交，交點為A、B,當弦AB的長等于2石時，點尸的

坐標為.

42.（2022?湖北省直轄縣級單位?校考二模）如圖，A、B是半徑為2的。上的兩點，若NAOB=I20。，點C是AB

的中點，則四邊形AoBC的周長為.

B

43.（2022春.九年級課時練習）如圖，AB為。的直徑，點。是弧AC的中點，過點。作DEIAβ于點E,延長Z）E

交：。于點尸，若AC=I2,AE=3,則二。的直徑長為.

44.（2023春?河南省直轄縣級單位?九年級專題練習）如圖，。是以AB為直徑的半圓。的中點，CD=2CB,E是直

徑AB上一個動點，已知AB=2cm,則圖中陰影部分周長的最小值是cm.

45.（2023?安徽合肥?合肥市第四十五中學校考一模）如圖，C、。兩點在半圓。的弦AB上，點E在半圓O上,且

為等邊三角形，已知AC=6,8=3,ZAQB=I20。，則劣弧A3的長為

46.（2022?湖北省直轄縣級單位?校考一模）如圖，點4,B,C在。上，ZAOC=90o,AB=2√2,BC=X,則O

的半徑為.

47.（2022?浙江溫州?統考模擬預測）如圖，ABC內接于O,IB90?,AB=BC,。是。上與點B關于圓心。

成中心對稱的點，P是BC邊上一點，連接A￡>,DC,AP.已知AB=8,CP=2,Q是線段”上一動點，連接BQ

并延長交四邊形ABCz）的一邊于點R,且滿足AP=BR,則黑的值為.

48.（2023?四川瀘州?統考一模）如圖，AB為。的直徑，E為弦CQ的中點，若/840=30。，且BE=2,則BC的

49.（2023?河南?校考模擬預測）如圖，在SABC中，NAcB=90。，ZA=30o,BC=3.點。是AB上一動點，以OC

為斜邊向右側作等腰直角三角形COE,使NCED=90。，連接BE.

（1）若點E恰好落在A3上，則AO的值為;

（2）線段BE的最小值為.

三、解答題

50.（2022?黑龍江哈爾濱?統考三模）已知：O兩條弦AC與8D相交于點E,AC=BD.

⑴如圖1,求證：CE=BE;

（2汝口圖2,直徑B尸/AC于點N,連接。尸，求證：DF=2ON；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接A。交B尸于點G,若">=11,BN=G求QN的長.

51.（2022.黑龍江哈爾濱.統考二模）如圖1,OA為。的半徑，B,C為圓周上的點，連接AB,BC,若NABC=2NA.

（2）如圖2,點。在。上，連接班>,CD,若NBCO-g/4=90。，求證：ZABD=3ADBC；

（3）如圖3,在（2）的條件下，E在O上，連接。E,過B作BPLOE,垂足為H,BF與O交于點F,連接A尸,

14

DF,若BD=CE，DF=2CD,^F=-,求QBF的面積.

52.（2022春?九年級課時練習）如圖，。是ABC的BC邊上一點，連結A。，作aABO的外接圓0,將ZVlOC沿

直線AO折疊，點C的對應點E落在。上.

⑴若NABC=30。，如圖1.

①求-ACB的度數.

②若AE>=DE,求NEAB的度數.

(2)若4O=BE,4C=4,CO=2，如圖2.求BC的長.

參考答案:

1.A

【分析】根據圓的相關知識以及內心是角平分線的交點進行逐一判斷即可.

【詳解】解：①平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，說法錯誤；

②三角形的內心是三條角平分線的交點，到三角形各邊的距離相等，說法正確；

③在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓周角相等或互補，說法錯誤；

④過平面內不在同一直線上的三點可以作一個圓，說法錯誤：

⑤經過圓上一點并且垂直于這點與圓心的連線的直線是圓的切線，說法錯誤；

⑥90。的圓周角所對的弦是直徑，說法正確；

⑦在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，說法錯誤：

故選A.

【點睛】本題主要考查了圓的相關知識，三角形內心，熟知相關知識是解題的關鍵.

2.D

【分析】根據圓的相關知識進行逐一判斷即可.

【詳解】解：①同圓或等圓中兩個半圓是等弧，故說法錯誤；

②直線。上一點到圓心的距離等于半徑，則。和圓有公共點，故說法正確；

③過圓心的線段是不一定是半徑，故說法錯誤；

④同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等，故說法錯誤；

⑤一個三角形有唯一的一個外接圓，故說法正確；

故選：D

【點睛】本題主要考查圓的基本知識，熟知圓的相關知識是解題的關鍵.

3.B

【分析】根據同圓的半徑相等可知：點C在半徑為1的。B上，通過畫圖可知，C在80與

圓8的交點時，OM最小，在。8的延長線上時，OM最大，根據三角形的中位線定理可得

結論.

【詳解】解：如圖，

：點C為坐標平面內一點，BC=I,

??.C在。8上，且半徑為1,

MXOD=OA=I,連接C0,

"：AM=CM,OD=OA,

：.OM是AACO的中位線，

.?.OM=gm

當OM最大時，即Cn最大，而Q,B,C三點共線時，當C在。B的延長線上時，OM最大,

?；OB=OD=2,NBoD=90。,

：.BD=Iy∣2,

；.CD=2近+1,

OM=?CD=-1∕2+?>即OM的最大值為a+g；

故選：B.

【點睛】本題考查了坐標和圖形的性質，三角形的中位線定理等知識，確定OM為最大值時

點C的位置是關鍵，也是難點.

4.D

【分析】連接。4、OCOC與AB交于點力,根據垂徑定理的推論可得OOJ.A3,AB=24O,

然后根據圓周角定理可得NAOC=2NABC=60。,最后利用銳角三角函數求出AO,即可求出

結論.

【詳解】解：連接。4、0C,。C與AB交于點。

點C為AB的中點，

ODYAB,AB2AD

ZABC=30°

ZAOC=2ZABC=60°

在RtZ?OAO中，AD=OA-s?nAAOD=-

2

.?.AB=2AD=3√3

故選：D

【點睛】此題考查的是垂徑定理的推論、圓周角定理和銳角三角函數，掌握垂徑定理的推論、

圓周角定理和銳角三角函數是解決此題的關鍵.

5.A

【分析】延長OE交。于點G,連接8。、OD,先由圓周角定理得NDBC=NBzm，得

DF=BF,由圓周角定理得NAC3=90。，勾股定理得8C=2√5,則∕)E=g∕JC=G,再由勾

股定理求出QE=1,則BE=OB-OE=I,設DF=BF=a,則EF=6-",然后在RtZXBEF

中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

【詳解】解：延長OE交Q于點G,連接80、OD,如圖所示：

；點。是弧Be的中點，

??CD=BD，

又YDE_LAB,

???BG=BD,

:?CD=BG=BD,

：.ZDBC=ZBDF,

：?DF=BF,

???A8是。的直徑，。的半徑為2,

：.AB=4f

：.ZACB=90o,OB=OD=2,

???BC=^AB2-AC2=√42-22=2√3，

"?'CD=BG=BD

:?BC=DG，

???BC=DG=2DE;

即：DE=LBC=6,

2

?.,DE上AB,

，OE=>JOD2-DE2=^22-(√3)2=1,

.?.BE=OB-OE=X,

設=8尸二4,W∣JfF=√3-a,

在Rt△跳戶中，由勾股定理得:

I2——6fj=a2,

解得：”=也，

3

?nzr26

??DF=----->

3

故選：A.

【點睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理、圓心角、弧、弦的關系、勾股定理等知識；熟

練掌握圓周角定理和垂徑定理是解題的關鍵.

6.A

【分析】連接8E,過C作CQLAE于。，根據垂徑定理求出AC=BC=4,根據圓周角定

理求出NABE=90。，根據勾股定理求出。的半徑，求出AE,根據勾股定理求出BE,根

據三角形的面積公式求出CQ,根據勾股定理求出EQ,再解直角三角形求出答案即可.

【詳解】解：連接BE,過C作CQj?AE于Q,設。的半徑為R,

VOCkAB,OC過O,AB=S,

/OC4=90。，AC=BC=4,

由勾股定理得：OA2=OC2+AC2,

即Λ2=(Λ-2)2+42,

解得：R=5,

即AE=5+5=10,

,：AE為，。的直徑，

/8=90°,

?-?BE=√AE2-AB2=71O2-82=6，

,.?AC=4,

:.sACK=^ACBEΛAECQ,

.?.l×4×6=∣×lθ×cρ,

∣2

解得：Cβ=y,

由勾股定理得：CE=>JBC2+BE2=√42+62=2√13>

22

EQ=y∣CE-CQ

：.XanAOEC=-=

EQ

故選：A.

【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，三角形的面積，解直角三角形等知

識點，能求出CE的長度是解此題的關鍵.

7.D

【分析】根據切線的性質得到孫，AO,根據直角三角形的性質求出/8,根據圓周角定理

得到NACB=90。，進而求出NBAC,根據垂徑定理得到BAJ_EC,進而得出答案.

【詳解】解：AO是。O的切線，

.".BA1AD,

?/NAQB=58°,

.?./2=90。-/AD8=32。，

?.?AB是。。的直徑，

ZACB=90o,

ZBAC=90o-ZB=58o,

：點A是EC的中點，

：.BAlEC,

：.NACE=90。-NaAC=32。，

故選：D.

【點睛】本題考查的是切線的性質、圓周角定理、垂徑定理，掌握圓的切線垂直于經過切點

的半徑是解題的關鍵.

8.C

【分析】根據垂徑定理得到BAJ_EC,求得NBAC,根據圓周角定理得到NACB=90。，根據

直角三角形的性質求出/8,根據切線的性質得到54J_4。，進而得出答案.

【詳解】解：點A是EC的中點，

/.BA±EC,

?/ZACE=32o,

，NBAC=90°-NACE=58°,

「AB是。。的直徑，

ZACB=90o,

ZB=90o-ZBAC=32o,

：A。是。。的切線，

：.BAlAD,

：.ZADβ=90o-ZB=58o,

故選：C.

【點睛】本題考查的是切線的性質、圓周角定理、垂徑定理，掌握圓的切線垂直于經過切點

的半徑是解題的關鍵.

9.B

【分析】根據直徑所對的圓周角是直角可判斷①；根據三角形內角和定理可判斷②；根據平

行線的性質和等腰三角形的性質可得NoBC=NOBC,進而可判斷③；根據平行線的性質和

垂徑定理的推論可判斷④；根據結論④和三角形的中位線性質可判斷⑤；由于無法得到兩個

三角形的對應邊相等，故可判斷⑥.

【詳解】解：①AB是一，。的直徑，

NADB=90。，

：.ADA.BD,故①一定成立：

②和ACFE中，VZAFO=ZCFE=90°,但NA與NC不一定相等，

.?.NAOC與NAEC不一定相等，故②不一定成立；

③：OC//BD,

：.NDBC=NOCB,

'：OB=OC,

：.NOCB=∕OBC,

：.NOBC=NDBC,

.?.8C平分/AB。，故③一定成立；

@VOC//BD,ADLBD,

.'.OC±AD,又OC是半徑，尸為垂足，

.?AF=DF,故④一定成立；

(S)VAF=DF,OA=OB,

，。尸是AABO的中位線，

：.BlJ=WF,故⑤一定成立；

⑥?.?△(7。和4BEO中，無法判斷相等的邊，

；.ACEF與ABED不一定全等,故⑥不一定成立，

綜上，結論一定成立的是①③④⑤，

故選：B.

【點睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理的推論、平行線的性質、三角形的中位線性質、

角平分線的定義、等腰三角形的性質等知識，熟練掌握圓的性質是解答的關鍵.

10.D

【分析】延長OE,交.O于點E,連接。4,由題意知OE過點0,且。力LAB,由垂徑定

理可得AE=BE=LAB=I尺=5寸，設半徑04=0D=Z則0E=r-l,在RtaOAE中，

22

根據勾股定理可得：(r-l)2+52=r2,解方程可得出木材半徑，即可得出木材直徑.

【詳解】解：延長OE,交。于點E,連接0A,

βΓ------/

由題意知￡)￡；過點0,且QDJLAB,

OD為。半徑，

.,.AE=BE=LAB=工尺=5寸，

22

設半徑O4=OD=r,

,：DE=?,

：.OE=r-?

在Rt△(?AE'中，根據勾股定理可得：

(r-l)2+52-r

解得：r=13,

木材直徑為26寸；

故選：D.

【點睛】本題考查的是垂徑定理的應用，掌握垂宜弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的

兩條弧及勾股定理是解題的關鍵.

??.C

【分析】連接OC交AB于點E.利用垂徑定理以及勾股定理求出。E,可得結論.

【詳解】解：連接OC交48于點E.

由題意OCLA8,

.?.AE=BE=gAB=2（米），

在叫AAEO中，G>E=√OA2-AE2=√32-22=√5（米），

.,.CE=OC-OE=O-45）（米），

故選：C.

【點睛】本題考查垂徑定理的應用，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線,

構造直角三角形解決問題.

12.B

【分析】連接OC交48于。，根據圓的性質和垂徑定理可知0C_LA8,AD=BZ）=3,根據勾

股定理求得0。的長，由CO=OC-。。即可求解.

【詳解】解：根據題意和圓的性質知點C為AB的中點，

連接OC交48于。，貝IJoC_LAB,Az）=B。=：A8=3,

在RtAOA。中，OA=4,AD=3,

222

?^?OD-y∣-AD≈√4-3≈41，

：.CD=OC-OD=4-√7,

即點C到弦A3所在直線的距離是（4-幣）米，

故選：B.

水面

【點睛】本題考查圓的性質、垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解答的關鍵.

13.B

【分析】連3。，作CD于E,根據A3是直徑，得出NAee=90。，得出6C=8,根據

C。平分NACB,得出NBCD=45。，得出CE=BE=坨,在RtBoE中得出OE=3√5,

進而即可求解.

【詳解】解：如圖，連B。，作BEJ_CD于E,

AB是直徑，

.-.ZACB=90°,

.AC=6,AB=IO,

.-.BC=8,

CZX平分N4CB,

.-.ZBCD=45°,

BElCD,

..CE=BE,

BC=S,

:.CE=BE=4母

AD=BD,A3是直徑，

.?.BD=5√2,

在RtBDE中,BD=5√2,BE=AyIi,

DE=3?∣2,

.?CD^CE+DE=1√2，

故選：B.

【點睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，角平分線的定義，掌握圓周角定理是解題的關

鍵.

14.A

【分析】連接。尸，先根據圓周角定理可得AFLBC,8。LAC,ZBAF=ZDAF,再根據

等腰三角形的三線合一可得AB=AC=10,BF=CF,從而可得。尸=3BC,然后利用勾股

定理可得BC的長，由此即可得.

【詳解】解：如圖，連接。尸，

A

AB為）-：。的直徑,

.?.AFA-BCyBDLAC,

點F是BQ的中點，

.?.BF=DF,ZBAF=ZDAF,

.?.AB=AC,BF=CF（等腰三角形三線合一）,

.-.DF=-BC,

2

AB=?0,CD=4,

:.AD=AC-CD=AB-CD-6,

又AB2-AD2=BD2=BC2-CD2,

.?.IO2-62=BC2-42,

解得8C=4百或8C=-4√^（舍去），

.?.DF=-!-×4√5=2√5,

2

故選：A.

【點睛】本題考查了圓周角定理、勾股定理、等腰三角形的三線合一等知識點，熟練掌握圓

周角定理是解題關鍵.

15.B

【分析】連接。A?由AB=CB可得出CB=AB,從而可利用“SSS”證明、30C=,即

得出NC80=ZA80=gZABC=23。，再根據等腰對等角可得出NcBO=NBCo=23。.由切

線的性質可得出NOCO=90°,從而得出々8=113。，最后根據平行線的性質，即可求出

/45C的度數.

【詳解】如圖，連接0A.

CG

DA

■:AB=CB，

：.CB=AB.

YOB=OB,OC=OAt

：.BOC=^BOA(SSS)f

：.ZCBO=ZABO=-ZABC=23o.

2

?：OB=OC9

：?NCBo=NBCo=23。,

?.?co為。。切線，

.*.NOCZ)=90。，

/.ZBCD=90o÷23o=113o.

?：AD//BC,

：.ZΛDC=180o-113o=67o.

故選B.

【點睛】本題考查切線的性質，弧、弦、圓心角的關系，三角形全等的判定和性質，等腰三

角形的性質以及平行線的性質.連接常用的輔助線是解題關鍵.

16.A

【分析】連接BC,根據直徑所對的圓周角等于90。，得到ZAC8=90。，進而得到“CB=34。，

再根據同弧所對的圓周角相等，得到ND45=NQC即可得到答案.

【詳解】解：連接8。，如下圖所示，

AB為'O的直徑，

.?.ZACβ=90o,

QZAa)=56。，

ooo

.?ZDCB=ZACB-ZΛCD=90-56=34f

.ZDAB=/DCB,

.?ZDAB=34°,

故選A.

【點睛】本題考查了圓周角定理的推論，同弧或等弧所對的圓周角相等，熟練掌握相關知識

點是解題關鍵?

17.A

【分析】連接C33E,根據直徑所對的圓周角是直角可得NBEC=90。，進而可根據NA=35。，

可得NABE=55。，根據圓內接四邊形可得/DCE=NABE=55。，根據圓周角定理即可求得

N。OE的大小.

【詳解】解：如圖，連接81E

BC是。。的直徑

ZBEC=90。

.?.ZAEB=90°

ZA=35。

:.ZABE=55°

四邊形BECQ是O的內接四邊形

???ZDCE=ZABE=55°

BE=BE

:.ZBOE=2ZBCE=↑?0o

故選A.

【點睛】本題考查了圓內接四邊形對角互補，圓周角定理，直徑所對的圓周角相等，直角三

角形的兩銳角互余，掌握圓周角定理是解題的關鍵.

18.C

【分析】根據4?是O的直徑，可得ZAr?=90。，從而得到NA=90。-ZA8O=40。，再根

據圓內接四邊形的性質，即可求解.

【詳解】解：YAB是3。的直徑，

：.ZADB=90°,

9：ZABD=50°,

.*.ZA=90o-ZABD=40o,

???四邊形ABC。是。的內接四邊形，

/.NC+NA=180。，

NC=I40。.

故選：C

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，圓內接四邊形的性質，熟練掌握圓周角定理，圓內接

四邊形的性質是解題的關鍵.

19.(1)5；

S.3

(2)—=—

口S225-

3

【分析】(1)如圖，連接。C,證明NBOC=2NA=90。，tanD=tanZOCD=-,結合

OA=OC=4,求解OE=3,再利用勾股定理可得答案；

2/?E,?

(2)過。作。LCz)于Z7,由tan/OC。=—=,設OC=X=OA=03,可得OE=—x,

4CE4

53734

CE=-xAE=x+-x=-x,證明W:b:OC=3:4:5,可得OF=—x,CF=-X

4f44551

QX57

CD=2CF=-^X9DE=-^x--x=-xf再利用三角形的面積公式進行計算即可.

【詳解】(1)解：如圖，連接。C,

VZA=45o,

JZBOC=2ZA=90o,

*.*OD=OCf

：.AD=AOCDi

3

.,.tanD=tanZOCD=-,而OA=OC=4,

.OEOE3

：.OE=3,

?'?CE=y]θC2+OE2=5?

(2)過。作OP_LC￡>于F,

3OE

???tanNOCo=二=——,設OC=X=OA=O8,

4OC

35

Λ0E=-xCE=-X

4f49

37

.*.AE=X-^--X=-X

449

3OF

在RtOCF中，tanZX)CF=-=----,

4CF

JOF:CF:OC=3:4:5,

3OF

：.SinZOCF=-=-,

5OC

34

Λ0F=-x,CF=-x,

VOFlCD,

Q

：.CD=2CF=-xi

：.DE=-x--x=-x,

5420

173

-DE.OF一x?-x2

c二205一3

S2-AE,OC-x.x25

24

【點睛】本題考查的是圓周角定理的應用，勾股定理的應用，垂徑定理的應用，銳角三角函

數的應用，作出合適的輔助線，靈活運用銳角三角函數解題是關鍵.

20.⑴見解析

⑵孚

【分析】(1)根據圓內接四邊形的性質得到NA=NDCE,證明ABDmCED(SAS),根據

全等三角形的性質證明結論；

(2)過點。作DW工5E于M,根據等腰三角形的性質