2023-2024學年山東省青島市黃島區九年級第一學期期中數學試

卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每個題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.方程-5無2=1的一次項系數是（）

C.-1

2.某小區有5000人，隨機調查了1200人，其中400人觀看了杭州亞運會的比賽.在該小

區隨便問一個人，他觀看了杭州亞運會比賽的概率是（）

12廠6八2

AA.—BD.——C.■D.-

325253

3.如圖，在△ABC中，ZA=78°,AB=4,AC=6,將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下

的陰影三角形與原三角形不相似的是（）

4.如圖，在矩形A8CD中，兩條對角線AC與8。相交于點O,已知A8=3,OD=2,則

的長為（）

B.疾c.77

5.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AB=5,AC=4,。為AB的中點，AE//CD,CE

A

//AB,則四邊形ADCE的對角線E。的長為（

6.關于x的方程（相-3）尤2-4x-2=0有兩個不相等的實數根，則實數m的值可以是（）

A.-1

7.按照如下步驟進行作圖：如圖，已知線段A8,過點8作使BD總AB，連接

DA,在D4上截取OE=r>8,在AB上截取AC=AE.則與的值為（）

AB

D

3-反

8.某新能源汽車銷售公司，在國家減稅政策的支持下，原價25萬元每輛的純電動新能源汽

車兩次下調相同費率后售價為16萬元，求每次下調的百分率.設每次下調的百分率為x,

則可列方程為（）

A.16(1+x)2=25B.16(1+N)=25

C.25(1-N)=16D.25(1-尤)2=16

9.如圖，已知。是△ABC中的邊BC上的一點，ZBAD^ZC,NABC的平分線交邊AC

于E,交AO于尸，那么下列結論中錯誤的是（）

A.△BDFs^BECB.ABFAs^BECC.D.ABDFsLBAE

10.如圖，將圖①中的菱形紙片沿對角線剪成4個直角三角形，拼成如圖②所示的四邊形

ABCD（相鄰紙片之間不重疊，無縫隙）.設直角三角形的較短直角邊為。，較長直角邊

為b,若（a+b）2=25,四邊形ABC。的面積為13,則中間空白處的四邊形EEG8的面

積為（）

A

D.4

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11.若2=導，則"=___________________.

a2a

12.根據下列表格對應值：

X-1.5-1-0.500.51

a^+bx+c1325.15.2

T1

可求得關于X的方程ox2+6x+c=2QWO）的解是.

13.一個不透明的袋子中有6個白球和若干個黑球，這些球除顏色外其它都相同，搖勻后隨

機摸出一個球，如果摸到白球的概率為0.4,由此可估計黑球的個數為.

14.如圖，平行于地面的圓桌正上方有一個燈泡（看作一個點），它發出的光線照射桌面后，

在地面上形成圓形陰影，經測量得，地面上圓形陰影的半徑比桌面半徑大0.5米，桌面的

直徑為2米，桌面距離地面的高度為1.5米，則燈泡到桌面的距離為米.

15.把長為40C〃3寬為30cm的長方形硬紙板，剪掉2個小正方形和2個小長方形（陰影

部分即剪掉的部分），把剩余部分折成一個有蓋的長方體盒子，記剪掉的小的正方形邊

長為（紙板的厚度忽略不計）若折成的長方體盒子表面積為950"〃2,求此時長方

體盒子的體積為

30cm

16.如圖，四邊形ABC。是正方形，尸。是等邊三角形，延長3尸，CP分別交AO于點E,

F,連接80,DP,BD與CF相交于點”，給出下列結論：①AE,BE；②4CPD=75°；

③APDEsADBE；@ED2^EP'PB；其中正確的是.(只填寫序號即可)

三、作圖題(本題滿分4分)請用直尺、圓規作圖，不寫作法,但要保留作圖痕跡。

17.已知：在△ABC中，ZC=90°.求作：點。，使得點。在邊AB上，并且以點A,C,

。為頂點的三角形與△A8C相似.

四、解答題(本大題共8小題，共68分)

18.(16分)用適當的方法解下列方程：

Q

(1)2(x-1)2-w=0；

(2)N-2X=4；

(3)2x(x-3)=3-x；

(4)(3x-2)2=4N-4x+l.

19.如圖，矩形4BCD中，AC與8。相交于點。.若AO=3,ZOBC=30°,求矩形48。

的面積.

AD

BC

20.閱讀下列材料，并解答問題:

人類對一元二次方程的研究經歷了漫長的歲月.一元二次方程及其解法最早出現在公元

前兩千年左右的古巴比倫人的《泥板文書》中.到了中世紀，阿拉伯數學家花拉子米在

他的代表作《代數學》中給出了一元二次方程的一般解法，并用幾何法進行了證明.我

國古代三國時期的數學家趙爽也給出了類似的幾何解法.趙爽在其所著的《勾股圓方圖

注》中記載了解方程/+5尤-14=0（尤＞0）,即x（x+5）=14（尤＞0）的方法.首先構

造了如圖1所示的圖形，圖中的大正方形面積是（x+x+5）2,其中四個全等的小矩形面

積分別為xG+5）=14,中間的小正方形面積為52,所以大正方形的面積又可表示為4

X14+52=81,據此易得x=2.

（1）參照上述圖解一元二次方程的方法，請在下面三個構圖中選擇能夠用幾何法求解方

程N-4X-12=0（X＞0）的正確構圖是.（從序號①②③中選擇）

（2）請你結合上述問題的學習，在圖2的網格中設計用幾何法求解方程x2-2x-15=0

（尤＞0）的構圖（類比圖1標明相關數據，不需寫出解答過程）.

21.在校內課后托管服務實施過程中，某校設置了多種社團活動供同學們選擇.小明喜歡的

社團有：籃球社團、足球社團、書法社團、科技社團.分別用字母A,B,C,。依次表

示，并寫在四張完全相同的不透明的卡片的正面，然后將這四張卡片背面朝上，洗勻后

放在桌面上.

（1）小明從中隨機抽取一張卡片是足球社團2的概率是;

（2）由于受資源的限制，學校規定，本學期每人最多可報兩個社團參加活動.小明打算

從四張卡片中一次性抽取兩張卡片決定自己的最終志愿.請你用列表法或畫樹狀圖法，

求出小明抽取的卡片中有一張是科技社團D的概率.

22.已知不等臂蹺蹺板長為3米，當AB的一端點A碰到地面時，（如圖一）點B離地

高1.5米；當AB的另一端點8碰到地面時，（如圖二）點A離地高1米，求蹺蹺板A8

的支撐點O到地面的距離為多少米？

23.如圖，在平行四邊形A8C。中，ZB=60°,/BAD,/BCD的平分線分別與BC,AD

相交于點E,F.

(1)求證：LABE義ACDF；

(2)當AB與BC滿足什么數量關系時，四邊形AEC「為菱形？請說明理由.

24.為解決山區蘋果滯銷的難題，鎮助農直播間發起了“愛心助農”蘋果直銷活動，某水果

批發商響應號召，以市場價每千克10元的價格收購了6000千克蘋果，并立即將其冷藏，

請根據下列信息解答問題：

①該蘋果的市場價預計每天每千克上漲0.1元；

②這批蘋果平均每天有10千克損壞，不能出售；

③每天的冷藏費用為300元；

④這批蘋果最多保存110天.

若將這批蘋果存放一定天數后按當天市場價一次性出售.

(1)多少天后這批蘋果的市場價為每千克13元？

(2)求2天后一次性全部售出所得的利潤為多少元？

(3)若n天后一次性出售所得利潤為9600元，求”的值.

25.如圖，在矩形ABC。中，AB=6cm,BC=12cm,點、P從點D出發沿ZM向終點A運動；

點。從點8出發沿BC向終點C運動.P,。兩點同時出發，它們的速度都是2cm/s.連

接尸。AQ,CP.設點P,。運動的時間為ts(0<Z<6).

(1)當f為何值時，四邊形ABQP是矩形？

(2)當f為何值時，四邊形AQCP是菱形？

(3)是否存在某一時刻3使得尸。，尸C?若存在，請求出f的值；若不存在，請說明理

參考答案

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每個題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.方程-5N=1的一次項系數是（）

A.3B.1C.-1D.0

【分析】方程整理為一般形式，找出一次項系數即可.

解：方程整理得：-5N-1=O,

則一次項系數為0,

故選：D.

【點評】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：a^+bx+c

=0（a,b,c是常數且aWO）特別要注意aWO的條件.這是在做題過程中容易忽視的

知識點.在一般形式中辦2叫二次項，云叫一次項，c是常數項.其中a,b,c分別叫二

次項系數，一次項系數，常數項.

2.某小區有5000人，隨機調查了1200人，其中400人觀看了杭州亞運會的比賽.在該小

區隨便問一個人，他觀看了杭州亞運會比賽的概率是（）

1262

A.-B."C.-TT-D.-

325253

【分析】根據隨機事件概率大小的求法，找準兩點：①符合條件的情況數目；②全部情

況的總數.二者的比值就是其發生的概率的大小.

解：???隨機調查了1200人，其中400人觀看了杭州亞運會的比賽，

該小區隨便問一個人，他觀看了杭州亞運會比賽的概率是卷肉=4，

JL乙UUO

故選：A.

【點評】本題考查概率公式和用樣本估計總體，概率計算一般方法：如果一個事件有n

種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現加種可能，那么事件A的概率尸

（A）=—.

n

3.如圖，在△A8C中，NA=78°,AB=4,AC=6,將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下

的陰影三角形與原三角形不相似的是（）

78

【分析】根據相似三角形的判定定理對各選項進行逐一判定即可.

解：A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；

2、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；

C、兩三角形的對應邊不成比例，故兩三角形不相似，故本選項正確.

。、兩三角形對應邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；

故選：C.

【點評】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關

鍵.

4.如圖，在矩形A8CD中，兩條對角線AC與83相交于點O,已知A8=3,0D=2,則

的長為（）

A.2B.遙C.V?D.3

【分析】依據矩形的性質，即可得到AC的長，再根據勾股定理即可得到8c的長，即可

得出結論.

解：?..矩形ABCD中，兩條對角線AC與8。相交于點O,OD=2,

：.AC=2AO=2OD=4,

又；AB=3,ZABC=90°,

：.BC=V42-32=V7>

故選：C.

【點評】本題主要考查了矩形的性質以及勾股定理的運用，解決問題的關鍵是掌握：矩

形的對角線相等且互相平分.

5.如圖，在Rt&lBC中，ZACB=90°,AB=5,AC=4,。為AB的中點，AE//CD,CE

//AB,則四邊形AOCE的對角線ED的長為（）E

【分析】根據兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形，得出四邊形AECD是平行四邊形，

再由直角三角形斜邊上的中線的性質得出CD=AO得出四邊形A￡CD是菱形，得出AC

LDE,再根據勾股定理即可求解.

解：如圖，

'：AE//CD,CE//AB,

.??四邊形AECD是平行四邊形，

在RtZ\A8C中，ZACB=90°,AB=5,。為AB的中點,

15

?*.CD=AD=—^>=^,

四邊形AECO是菱形，

：.AC±DE,CO=/AC=2，

在RtACO￡)中，由勾股定理得，

OO=7CD2-C02=^(1-)2-22=p

:.DE=2DO=3,

故選：B.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定與性質，勾股定理，直角三角形斜

邊上的中線的性質，證明四邊形AEC。是菱形是解題的關鍵.

6.關于x的方程3）尤2-4x-2=0有兩個不相等的實數根，則實數機的值可以是（）

A.-1B.0C.2D.3

【分析】利用二次項系數非零及根的判別式△>（）,可列出關于機的一元一次不等式組,

解之即可得出m的取值范圍.

解：：關于尤的方程（加-3）N-4x-2=0有兩個不相等的實數根，

nr3盧0

△=（-4）2-4*（m-3）X（-2）>0）

解得：機>1且加W3,

實數機的值可以2.

故選：C.

【點評】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，利用二次項系數非零及根的

判別式A>0,找出關于m的一元一次不等式組是解題的關鍵.

7.按照如下步驟進行作圖：如圖，已知線段A3,過點B作瓦使BD弓AB，連接

DA,在D4上截取在A8上截取AC=AE.則繪的值為（）

【分析】先設從而可得48=22。=2小再根據垂直定義可得NDBA=90°,

然后在中，利用勾股定理可得從而可得AC=A￡=（A/5-1）a,

最后進行計算即可解答.

解：設BD=DE=a,

'JBD^AB,

.\AB=2BD=2a,

'：BD.LAB,

：.ZDBA=90°,

?1?A￡,=7AB2+BD2=V（2a）2+a2=V5?-

.'.AE=AD-DE=y[^>a-a=（5/5-1）a,

\'AC^AE,

：.AC=（V5-1）a，

.AC_1'而T）a_'J5-1

"AB2^

故選：B.

【點評】本題考查了黃金分割，作圖-基本作圖，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

8.某新能源汽車銷售公司，在國家減稅政策的支持下，原價25萬元每輛的純電動新能源汽

車兩次下調相同費率后售價為16萬元，求每次下調的百分率.設每次下調的百分率為x,

則可列方程為（）

A.16（1+x）2=25B.16（1+尤2）=25

C.25（1-N）=16D.25（1-尤）2=16

【分析】設出平均每次下調的百分率為X,利用原價X（1-每次下調的百分率）2=實際

售價列方程解答即可.

解：設平均每次降價的百分率是無，根據題意列方程得，

25（1-x）2=16.

故選：D.

【點評】此題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，基本數量關系：原價X（1-每次

下調的百分率）2=實際售價.

9.如圖，已知。是△ABC中的邊上的一點，/BAD=NC,NABC的平分線交邊AC

于E,交于尸，那么下列結論中錯誤的是（）

A./XBDF^/XBECB./\BFA^/XBECC.ABAC<^>ABDAD.

【分析】根據相似三角形的判定，采用排除法，逐項分析判斷.

解：；NBAD=NC,

/B=NB,

:ABACsABDA.故C正確.

平分/ABC,

ZABE=ZCBE,

：.ABFAsABEC.故2正確.

:./BFA=/BEC,

：.ZBFD=ZBEA,

:.△BDFs^BAE.故。正確.

而不能證明故A錯誤.

故選：A.

【點評】本題考查相似三角形的判定.識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注

意正確找出兩三角形的對應邊和對應角.

10.如圖，將圖①中的菱形紙片沿對角線剪成4個直角三角形，拼成如圖②所示的四邊形

ABCD(相鄰紙片之間不重疊，無縫隙).設直角三角形的較短直角邊為較長直角邊

為6,若(a+b)2=25,四邊形ABCD的面積為13,則中間空白處的四邊形EFGH的面

積為()

【分析】由四邊形ABCD是四條邊分別為同一個菱形的四條邊，且每個內角都等于同一

個直角三角形兩個銳角的和，說明四邊形A8CD是以直角三角形的斜邊為邊長的正方形，

則而(a+b)2=25,可求得4a6=2[25-(t^+Z?2)]=24,因為四邊形

EFGH是正方形，且邊長為b-a,即可求得ER=(a-6)2=(a+6)2-4ab=25-24

=1,則中間空白處的四邊形EFGH的面積為1,于是得到問題的答案.

解：???四邊形ABC。是四條邊分別為同一個菱形的四條邊，

：.AB=BC=CD=DA,

：四邊形ABCD的每個內角都等于同一個直角三角形兩個銳角的和,

ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,

???四邊形ABCD是以直角三角形的斜邊為邊長的正方形，

：.AB2=d2+b2=13,

???(〃+b)2=25,

a1-^b2+2ab=25,

：.4ab=2[25-(扇+/)]=50-2X13=24,

???四邊形是正方形，且邊長為匕-d(4+6)2=25,

.\EF2=(a-b)2=(a+b)2-4ab=25-24=1,

中間空白處的四邊形EFGX的面積為1,

故選：A.

【點評】此題重點考查菱形的性質、直角三角形的兩個銳角互余、正方形的性質、乘法

公式等知識，根據々2+62=13,(。+6)2=25,求出4湖的值是解題的關鍵.

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)

-

ii.什若b義=3裝，?,則ba1之.

a2a—2-

【分析】根據2=4■可設。=2匕b=3k,再將a,b代入"計算可求解.

a2a

解：設〃=2匕b=3k,

.b-a=3k-2k_k」

??丁―2k五方

故答案為

【點評】本題主要考查比例的性質，靈活運用比例的性質計算是解題的關鍵.

12.根據下列表格對應值:

X-1.5-1-0.500.51

aj^+bx+c1325,15,2

TII

可求得關于x的方程＜?N+b尤+c=2(a=0)的解是T或1.

【分析】直接根據表格中x,y的對應值即可得出結論.

解：由表格可知，當尤=T或尤=1時，ax2+bx+c—2.

故答案為：-1或1.

【點評】本題考查的是代數式求值，能直接根據表格得到方程的解是解題的關鍵.

13.一個不透明的袋子中有6個白球和若干個黑球，這些球除顏色外其它都相同，搖勻后隨

機摸出一個球，如果摸到白球的概率為0.4,由此可估計黑球的個數為9

【分析】直接根據概率公式求解.

解：設有黑球x個，

根據題意得：舁=0.4，

6+x

解得：x=9,

經檢驗x=9是原方程的解，

故答案為：9.

【點評】本題考查了概率公式：隨機事件A的概率尸（A）=事件A可能出現的結果數除

以所有可能出現的結果數.

14.如圖，平行于地面的圓桌正上方有一個燈泡（看作一個點），它發出的光線照射桌面后，

在地面上形成圓形陰影，經測量得，地面上圓形陰影的半徑比桌面半徑大0.5米，桌面的

直徑為2米，桌面距離地面的高度為1.5米，則燈泡到桌面的距離為3米.

【分析】標注字母，根據常識，桌面與地面是平行的，然后判斷出△ADEs△ABC,根

據相似三角形對應高的比等于對應邊的比列出比例式，然后求出地面陰影部分的直徑，

再根據圓的面積公式列式進行計算即可得解.

解：構造幾何模型如圖：

依題意知。￡=2米，BC=2+1=3（米），FG=1.5米，

由得黑若，即,

Av3Ar'1.D

解得AB=3,

答：燈泡距離桌面3米.

【點評】本題考查了相似三角形的應用，根據相似三角形對應高的比等于對應邊的比列

式求出陰影部分的圓的直徑是解題的關鍵，也是本題的難點.

15.把長為40s,寬為30s的長方形硬紙板，剪掉2個小正方形和2個小長方形（陰影

部分即剪掉的部分），把剩余部分折成一個有蓋的長方體盒子，記剪掉的小的正方形邊

長為（紙板的厚度忽略不計）若折成的長方體盒子表面積為950c〃於，求此時長方

【分析】根據圖示，可得40X30-2尤2-2X20x=950,求出x的值，再根據長方體的體

積公式列出算式，即可求出答案.

解：EF=（30-2x）cm,GH=（20-x）cm.

根據題意，得：40X30-2x2-2X20x=950,

解得：xi=5,改=-25（不合題意，舍去），

所以長方體盒子的體積=無（30-2無）（20-%）=5X20X15=1500（cm3）.

答：此時長方體盒子的體積為1500c".

【點評】此題考查了一元二次方程的應用，用到的知識點是長方體的表面積和體積公式,

關鍵是根據圖形找出等量關系列出方程，要注意把不合題意的解舍去.

16.如圖，四邊形ABCD是正方形，△2PC是等邊三角形，延長BP,CP分別交AD于點E,

F,連接8。，DP,8。與CF相交于點H,給出下列結論：①AE卷BE;②NCPD=75。；

③APDEs^DBE；@ED2=EP-PB；其中正確的是①②③.（只填寫序號即可）

BA

【分析】利用正方形的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角

三角形的判定與性質，等腰三角形的性質和相似三角形的判定與性質對每個選項進行逐

一判斷即可得出結論.

解：:△8PC是等邊三角形，

:.BP=PC=BC,/PBC=/PCB=/BPC=60°,

在正方形ABCD中，

；.NABE=NDCF=30°,

在△ABE和△DC尸中，

，ZA=ZCDF=90°

"ZAEB=ZDFC=60°,

.AB=DC

.?.△ABE當ADCF(AAS),

:.BE=CF,

;AE二BE,

故①正確；

VZBCP=60°,ZBCD=90°,

：.ZPCD=30°,

,;CD=CP,

1800-30°。

ZCPD=ZCDP=0-=75°,

②的結論正確；

,：ZCDP=75°,ZADC=90°,

：.ZPDE=15°.

,：ZCBD=45°,ZCBP=60°,

：.ZPBD^15

ZPDE=ZPBD.

：.ZPED=ZDEB,

:APDEsADBE,

...③的結論正確；

'：/\PDE^/\DBE,

.DEJB

"PE

:.ED2=EP?EB,

...④的結論錯誤，

綜上，正確的結論的序號為：①②③，

故答案為：①②③.

【點評】本題主要考查了正方形的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質,

等腰直角三角形的判定與性質，等腰三角形的性質和相似三角形的判定與性質，熟練掌

握上述性質是解題的關鍵.

三、作圖題（本題滿分4分）請用直尺、圓規作圖，不寫作法,但要保留作圖痕跡。

17.已知：在△ABC中，/C=90°.求作：點、D,使得點。在邊AB上，并且以點A,C,

。為頂點的三角形與△ABC相似.

【分析】過C點作于。點，由于NA為公共角，ZADC=ZACB=90°,所以

△ACDs△ABC.

【點評】本題考查了相似三角形的判定：有兩組角對應相等的兩個三角形相似.

四、解答題（本大題共8小題，共68分）

18.(16分)用適當的方法解下列方程:

(1)、2(X-1)2-59=0;

(2)x234-2x=4；

(3)lx(x-3)=3-x；

(4)(3x-2)2=4N-4X+1.

【分析】(1)利用直接開平方法求解即可;

(2)利用配方法去即可；

(3)整理后，利用因式分解法求解即可；

(4)利用因式分解法求解即可.

g

解：(1)2(%-1)2一￡=0,

9

(X-1)2=—

4?

(2)N-2X=4,

x2-2x+l=4+l,即(x-1)2=5,

:?X-1=土、底

.??即=1+而,X2=l-V5-

(3)2x(x-3)=3-%,

2x(x-3)+(x-3)=0,

(x-3)(2x+l)=0,

.*.x-3=0或2x+l=0,

?T1

??X\—3,X2-—.

(4)(3x-2)2=4/-4x+l,

(3尤-2)2-(2x-1)』0,

[(3x-2)+(2x-1)][(3x-2)-(2x-1)]=0,

5x-3=0或xT=0,

【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方

法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的

方法是解題的關鍵.

19.如圖，矩形ABCD中，AC與3。相交于點。.若A0=3,/OBC=30°,求矩形A8CD

的面積.

【分析】根據四邊形ABC。為矩形，得出BD=AC,48a>=90°,又因為4。=3,則

8D=AC=2AO=3X2=6,利用勾股定理求出8C,最后求出面積即可.

解：：四邊形ABC。為矩形，

：.BD=AC,ZBCD=9Q°,

：AO=3,

：.BD=AC=2AO=3X2=6,

在RtZkBCQ中，ZOBC=30°,

???CD=yBD=3，

?*-BC=VBD2-CD2=V62-32=3\/3，

矩形ABCD的面積是ABXBC=3x373=973.

【點評】本題考查了矩形的性質，勾股定理，含30度角的直角三角形性質的應用，注意：

矩形的四個角都是直角，矩形的對邊相等，矩形的對角線相等且互相平分，題目比較典

型，難度適中.

20.閱讀下列材料，并解答問題：

人類對一元二次方程的研究經歷了漫長的歲月.一元二次方程及其解法最早出現在公元

前兩千年左右的古巴比倫人的《泥板文書》中.到了中世紀，阿拉伯數學家花拉子米在

他的代表作《代數學》中給出了一元二次方程的一般解法，并用幾何法進行了證明.我

國古代三國時期的數學家趙爽也給出了類似的幾何解法.趙爽在其所著的《勾股圓方圖

注》中記載了解方程N+5x-14=0(x>0),即x(x+5)=14(x>0)的方法.首先構

造了如圖1所示的圖形，圖中的大正方形面積是(x+x+5)2,其中四個全等的小矩形面

積分別為x（x+5）=14,中間的小正方形面積為52,所以大正方形的面積又可表示為4

X14+52=81,據此易得x=2.

（1）參照上述圖解一元二次方程的方法，請在下面三個構圖中選擇能夠用幾何法求解方

程x2-4x-12=0（x>0）的正確構圖是②.（從序號①②③中選擇）

（2）請你結合上述問題的學習，在圖2的網格中設計用幾何法求解方程尤2-2尤-15=0

（x>0）的構圖（類比圖1標明相關數據，不需寫出解答過程）.

①②③

【分析】（1）仿照閱讀材料構造圖形，即可判斷出構圖方法；

（2）仿照閱讀材料構造大正方形面積是（x+x+2）2,其中四個全等的小矩形面積分別為

x（無+2）=15,中間的小正方形面積為22,即可解決問題.

解：（1）.??應構造面積是（x+尤-4）2的大正方形，其中四個全等的小矩形面積分別為尤

（尤-4）=12,中間的小正方形面積為42,

大正方形的面積又可表示為4X12+42=64,

大正方形的邊長為8,

所以x+x-4=8,

??%=6,

故正確構圖②,

故答案為：②；

(2)如圖2所示的圖形,

其中四個全等的小矩形面積分別為x(x+2)=15,中間的小正方形面積為22,

所以大正方形的面積又可表示為4X15+22=64,

進一步可知大正方形的邊長為8,

所以x+x+2=8,

得x=3.

【點評】本題是材料閱讀題，考查了構造圖形解一元二次方程，關鍵是讀懂材料中提供

的構圖方法，并能正確構圖解一元二次方程，體現了數形結合的思想.

21.在校內課后托管服務實施過程中，某校設置了多種社團活動供同學們選擇.小明喜歡的

社團有：籃球社團、足球社團、書法社團、科技社團.分別用字母A,B,C,。依次表

示，并寫在四張完全相同的不透明的卡片的正面，然后將這四張卡片背面朝上，洗勻后

放在桌面上.

(1)小明從中隨機抽取一張卡片是足球社團B的概率是4；

(2)由于受資源的限制，學校規定，本學期每人最多可報兩個社團參加活動.小明打算

從四張卡片中一次性抽取兩張卡片決定自己的最終志愿.請你用列表法或畫樹狀圖法，

求出小明抽取的卡片中有一張是科技社團D的概率.

【分析】(1)根據概率公式，即可進行解答；

(2)畫出樹狀圖，數出所有的情況數和符合題意的情況數，再根據概率公式，即可求解.

解：(1)社團有：籃球社團、足球社團、書法社團、科技社團.分別用字母A,B,C,

D依次表示，

???小明從中隨機抽取一張卡片是足球社團B的概率是

4

故答案為：

4

（2）畫樹狀圖如圖：

共有12種等可能的結果，其中抽取的卡片中有一張是科技社團D的結果有6種，

，小明抽取的卡片中有一張是科技社團D的概率為備弓.

【點評】本題考查了樹狀圖法求概率.樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結

果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗.用

到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

22.已知不等臂蹺蹺板AB長為3米，當AB的一端點A碰到地面時，（如圖一）點B離地

高1.5米；當AB的另一端點2碰到地面時，（如圖二）點A離地高1米，求蹺蹺板A3

的支撐點O到地面的距離為多少米？

圖1圖2

【分析】直接利用相似三角形的判定與性質分別得出黑■=黑，罌=黑，即可得出答

BNABAMAB

案.

解：如圖所示：過點B作BNLAH于點N,4知，87/于點加，

可得HO〃BN,

則△AOHsAlBN,

長為3米，BN長為1.5米,

.OHACU

,,1.5-3U，

同理可得：^BOHs^BAM,

貝端嚕

:AB長為3米，AM長為1米，

.QH_3-A0^

"1-3U，

由①和②可得：40=1.2,077=0.6,

答：蹺蹺板AB的支撐點。到地面的距離為0.6米.

【點評】此題主要考查了相似三角形的應用，正確得出比例式是解題關鍵.

23.如圖，在平行四邊形A8CD中，ZB=60°,ZBAD,/BCD的平分線分別與BC,AD

相交于點E,F.

（1）求證：AABE義ACDF；

（2）當A3與2C滿足什么數量關系時，四邊形AECF為菱形？請說明理由.

【分析】（1）根據全等三角形的判定和性質解答即可；

（2）根據菱形的判定解答即可.

【解答】（1）證明：???四邊形A8CD是平行四邊形，

J.AB^CD,AD//BC,/B=ND,

'：ZB=60°,

：.ZD=ZB=60°,ZBAD=ZBCD^120°,

由題意可知：

ZBAE=ZEAF=^-ZBAD=60°，NBCF=/FC嗎NBCD=60

/BAE=ZFCD,

：.AABE冬ACDF；

（2）解：當AB=yBC時，四邊形AEB為菱形，

由題意可知：AD//BC,

由（1）得結論可知：

；./￡）=/B=60°,ZBAE=ZFCD=60°,

AABE和都是等邊三角形，

.\AB=BE=AE,

：.ZBEA=ZBCF=6Q°,

：.AE//CF,

...AECr為平行四邊形，

又AB=yBC-

BE.BC，

是的中點，

:.BE=EC,

：.AE=CE,

平行四邊形AECP是菱形.

【點評】此題考查正方形的判定，關鍵是根據全等三角形的判定和性質以及正方形的判

定解答.

24.為解決山區蘋果滯銷的難題，鎮助農直播間發起了“愛心助農”蘋果直銷活動，某水果

批發商響應號召，以市場價每千克10元的價格收購了6000千克蘋果，并立即將其冷藏，

請根據下列信息解答問題：

①該蘋果的市場價預計每天每千克上漲0.1元；

②這批蘋果平均每天有10千克損壞，不能出售；

③每天的冷藏費用為300元；