第13講軸對稱現象與探索軸對稱的性質

.目標導航________________________________________________

視知識精講

知識點Ol生活中的軸對稱現象

（1）軸對稱的概念：把一個圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形

關于這條直線對稱，也稱軸對稱：這條直線叫做對稱軸.

（2）軸對稱包含兩層含義：

①有兩個圖形，且這兩個圖形能夠完全重合，即形狀大小完全相同；

②對重合的方式有限制，只能是把它們沿一條直線對折后能夠重合.

【知識拓展】（2020秋?十堰期末）如圖是臺球桌面示意圖，陰影部分表示四個入球孔，小明按圖中方向擊

球（球可以多次反彈），則球最后落入的球袋是（）

A.1號袋B.2號袋C.3號袋D.4號袋

【即學即練1]（2021?商河縣校級模擬）如果一個三角形是軸對稱圖形，且有一個內角是60°,那么這個

三角形是（）

A.等邊三角形B.等腰直角三角形

C.等腰三角形D.含30°角的直角三角形

【即學即練2】（2020?薛城區模擬）如圖，在矩形ABCZ）中，AB=8,BC=4,一發光電子開始置于AB邊

的點P處，并設定此時為發光電子第一次與矩形的邊碰撞，將發光電子沿著PR方向發射，碰撞到矩形的邊

時均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°,當發光電子與矩形的邊碰撞2020次后，它與AB邊的

碰撞次數是.

【即學即練3]（2020秋?鼓樓區校級月考）已知：如圖，CZ）EF是一個長方形的臺球面，有A、8兩球分別

位于圖中所在位置，試問怎樣撞擊球A,才能使A先碰到臺邊FC反彈后再擊中球B?在圖中畫出A球的運

動線路.

El----------------------------------------------\D

B.

Fl----------------------------------------------∣C

知識點02軸對稱的性質

（1）如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.

由軸對稱的性質得到一下結論：

①如果兩個圖形的對應點的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱；

②如果兩個圖形成軸對稱，我們只要找到一對對應點，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這

兩個圖形的對稱軸.

（2）軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.

【知識拓展1】（2021秋?思明區校級期末）如圖，己知AB〃C￡）,AD//BC,乙48C=60°,8C=2AB=8,

點C關于AO的對稱點為E,連接BE交AO于點R點G為CO的中點，連接EG、BG,則SMEG=（）

E

占D

BC

A.7√3B.14√3C.16D.32

【即學即練4（2021秋?高郵市期末）如圖,直線A8、CO相交于點O,P為這兩條直線外一點，連接。P.點

P關&于直線A8、CO的對稱點分別是點尸I、Pi.若0P=4,則點Pi、P2之間的距離可能是（）

X

A.OB.7C.9D.10

【即學即練2］（2021秋?普蘭店區期末）如圖,長方形ABCD中，點F在邊3C上，Z?AED與aFED關于

直線DE對稱，若N3FE=50°,則NAED=_—度.

AD

BFC

【即學即練3】(2021秋?望城區期末)如圖，Z?ABC和△”￡：關于直線AB對稱，ZVlBC和AAQC關于直

線AC對稱，CD與AE交于點F,若NABC=32°,ZΛCB=18°,則/CFE的度數為.

【知識拓展2](2021秋?鎮海區期末)【定義】如圖1,OM平分/AO8,則稱射線OB,OA關于OM對稱.

【理解題意】

(1)如圖1,射線08,OA關于OM對稱且NAoB=45°,則NAOM=度；

【應用實際】

(2)如圖2,若NAoB=45°,OP在NAOB內部，OP,OPl關于OB對稱，OP,0P2關于。4對稱，

求NPIoP2的度數；

(3)如圖3,若NAoB=45°,QP在/A08外部，且0°<ZAOP<45°,OP,OPl關于。8對稱，

OP,0P2關于OA對稱，求NPloP2的度數；

【拓展提升】

(4)如圖4,若NAoB=45°,OP,OP?ZAOBOB?M?<,ZAOP?=4ZBOP?,求NAoP(直

接寫出答案).

知識點03軸對稱圖形

（1）軸對稱圖形的概念：

如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做

對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱.

（2）軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對稱

軸折疊時，互相重合；軸對稱圖形的對稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無數條.

（3）常見的軸對稱圖形：

等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等.

【知識拓展11（2021秋?巴彥縣期末）下列圖標是節水、綠色食品、回收、節能的標志，其中是軸對稱圖

形的是（）

?a般

【即學即練1]（2021秋?微山縣期末）下列圖形是軸對稱圖形的是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.三角形D.四邊形

【即學即練2]（2021秋?湖州期末）如圖，在3X3的正方形網格中，從空白的小正方形中再選擇一個涂黑,

使得3個涂黑的正方形成軸對稱圖形，則選擇的方法有（）

A.3種B.4種C.5種D.6種

【即學即練3】（2021秋?嘉魚縣期末）在如圖所示的正方形網格中，己有兩個正方形涂黑，請再將其中的

一個空白正方形涂黑，使整個圖形是一個軸對稱圖形（最少三種不同方法）.

圖1圖2圖3

知識點04軸對稱■■最短路線問題

1、最短路線問題

在直線L上的同側有兩個點A、B,在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確

定，即作出其中一點關于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點.

B

Rl

2、凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合本節所學軸對稱變換來解決，多數情況要

作點關于某直線的對稱點.

【知識拓展1】（2021秋?澄城縣期末）如圖，NAOB=30°,ZAOB內有一定點P,且OP=I5,若在

OA.OB上分別有動點M、N,則APMN周長的最小值是（）

【即學即練1】（2021秋?鋼城區期末）如圖，高速公路的同一側有A,B兩城鎮，它們到高速公路所在直線

MN的距離分別為AC=2版，BD=4km,CD=Skm.要在高速公路上C,。之間建一個出口P,使A,B兩

城鎮到P的距離之和最小，則這個最短距離為（）

B

A

A.SkmB.10kmC.12kmD.

【即學即練2】（2021秋?澄海區期末）如圖，若NAoB=44°,P為NAoB內一定點，點〃在。4上，點

N在OB上，當APMN的周長取最小值時，/MPN的度數為（）

C.88oD.92°

【即學即練3]（2021秋?思明區校級期末）小茗同學在公園的花圃里發現一只小螞蟻在搬食物，因為食物

比它大，所以它搬得很辛苦.但是它不放棄，一直慢慢往回爬.一會它咬住食物使勁往后拖，一會又咬住

食物來回轉圈，小茗同學急的想幫它.于是他連續幾天都在觀察，發現這個花圃的形狀，如圖，是一個銳

角三角形，且NACB=50°,邊AB上一定點P是小螞蟻的家，小螞蟻從家出發，它沿直線尋找食物，線路

是從P出發走到AC,再從4C走到BC,最后回到家.假設M、N分別是AC和BC邊上的動點，小茗同學

想幫小螞蟻尋找最短的行走路線，所以他求出當小螞蟻行走路線所構成的APMN周長最小時，NMPN的度

【即學即練4］（2021秋?海滄區期末）如圖，海上救援船要從A處到海岸/上的M處攜帶救援設備，再回

到海上C處對故障船實施救援，使得行駛的總路程AM+CM為最小.已知救援船和故障船到海岸/的最短

路徑分別為AB和CO,BO=20海里，ZAMB=60o,救援船的平均速度是25節（1節=1海里〃J、時），則

這艘救援船從A處最快到達故障船所在C處的時間為小時.

【知識拓展2］（2021秋?南昌縣期末）某班級在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數學模型：

直線/同旁有兩個定點A、B,在直線/上存在點P,使得P4+PB的值最小.解法：如圖1,作點A關于

直線/的對稱點4,連接4'B,則A'B與直線/的交點即為P,且∕?+PB的最小值為A'B.

圖1圖2圖3

請利用上述模型解決下列問題；

（1）如圖2,zλA8C中，∕C=90°,E是AB的中點，尸是BC邊上的一動點，作出點尸，使得RHPE

的值最??；

（2）如圖3,∕AOB=30°,M、N分別為。4、OB上一動點，若OP=5,求APMN的周長的最小值.

知識點05翻折變換（折疊問題）

1、翻折變換（折疊問題）實質上就是軸對稱變換.

2、折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應

邊和對應角相等.

3、在解決實際問題時，對于折疊較為復雜的問題可以實際操作圖形的折疊，這樣便于找到圖形間的關系.

首先清楚折疊和軸對稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件.解題時，我們常常設要求的線段長為X,

然后根據折疊和軸對稱的性質用含X的代數式表示其他線段的長度，選擇適當的直角三角形，運用勾股定

理列出方程求出答案.我們運用方程解決時，應認真審題，設出正確的未知數.

【知識拓展1】（2022?渝中區校級開學）如圖，有一塊直角三角形紙片，NC=90°,AC=S,BC=6,將

斜邊AB翻折，使點8落在直角邊AC的延長線上的點E處，折痕為AzX則2。為（）

A.2B.lθC.?D.4

33

【即學即練0（2021秋?宿城區期末）將一張長方形紙片按如圖所示的方式折疊，EAPG為折痕.若NERr

=30°,貝IJNGFB=.

【知識拓展2］（2021秋?河源期末）如圖，在RlZ?A8C中，ZACB=90o,AC=6,BC=8,將44CB沿

CO折疊，使點A恰好落在BC邊上的點E處.

（1）求48CE的周長；

（2）若/2=37°,求/CQE的度數.

【即學即練1】.（2021秋?斗門區期末）如圖1,將長方形ABEF的一角向長方形內部折疊，使角的頂點A

落在點A'處，OC為折痕，則OC平分NAoA'.

（1）若N4OC=25°,求N4OB的度數；

（2）若點。在線段BE上，角頂點B沿著折痕。。折疊落在點夕處，且點夕在長方形內.

①如果點B'剛好在線段4'。上，如圖2所示，求/C。。的度數；

②如果點B'不在線段A'。上，且NAO8,=40°,求NAOC+NBO。的度數.

E_____________.EF.______________EF_____________E

AOBAOBAOB

圖1圖2備用圖

【即學即練2]（2021秋?德城區期末）同學們,我們已經學習了角的平分線的定義，請你用它解決下列問

題:

（!）如圖1,己知NAOC,若將N40C沿著射線OC翻折，射線04落在。B處，則射線OC一定平分

ZAOB.

理由如下：因為NBoC是由N40C翻折而成，而翻折不改變圖形的形狀和大小，所以/80C=

所以射線是NAoB的平分線；

（2）如圖2,將長方形紙片的一角折疊，使頂點A落在A'處，EF為折痕.

①若EA'恰好平分NFEB,求出/F砂的度數；

②過點E再將長方形的另一角做折疊，使點B落在NFEB的內部夕處（B'不在射線EA'上）,

E”為折痕，，為與射線BC的交點.請猜想NA'EF,ZB'EH與NA'EB'三者的數量關系，并

Q能力拓展

—.解答題（共9小題）

1.（2017春?漢陽區期中）對于特殊四邊形，通常從定義、性質、判定、應用等方面進行研究，我們借助于

這種研究的過程與方法來研究一種新的四邊形---------箏形.

定義：在四邊形ABC。中，若A8=AD,BC=CD,我們把這樣四邊形ABCD稱為箏形

性質：按下列分類用文字語言填寫相應的性質：

從對稱性看：箏形是一個軸對稱圖形，它的對稱軸是；

從邊看：箏形有兩組鄰邊分別相等；

從角看：;

從對角線看：.

判定：按要求用文字語言填寫相應的判定方法，補全圖形，并完成方法2的證明.

方法1：從邊看：運用箏形的定義；

方法2：從對角線看：；

如圖，四邊形ABCZ）中，.求證：四邊形ABCz）是箏形

應用：如圖，探索箏形A8C。的面積公式（直接寫出結論）.

2.（2021秋?渭濱區期末）如圖，在四邊形ABCQ中，NBAD=NB=NC=90°,AD=BC=20,AB=DC

=16.將四邊形ABCD沿直線AE折疊，使點。落在BC邊上的點F處.

（I）求B尸的長.

3.（2021秋?濟南期末）在數學實驗課上，李靜同學剪了兩張直角三角形紙片，進行了如下的操作:

操作一：如圖1,將RtZXABC紙片沿某條直線折疊，使斜邊兩個端點A與B重合，折痕為

(1)如果AC=5cm,BC=7cm,可得AACD的周長為；

(2)如果/C4O：/8Ao=1：2,可得NB的度數為；

操作二：如圖2,李靜拿出另一張RtZVlBC紙片，將直角邊AC沿直線CO折疊，使點A與點E重合,

若AB=IOc切，BC=Scm,請求出8E的長.

4.(2020秋?饒平縣校級期末)如圖，點P是/AOB外的一點，點Q是點P關于OA的對稱點，點R是點

戶關于08的對稱點，直線QR分別交/AO8兩邊。4,OB于點M,N,連接PM,PN,如果NPMo=

33°,NPNO=70°,求/QPN的度數.

5.(2020秋?含山縣期末)如圖①，將筆記本活頁一角折過去，使角的頂點A落在A'處，BC為折痕

（I）圖①中，若N1=30°,求NA'B力的度數；

（2）如果又將活頁的另一角斜折過去，使BZ）邊與84'重合，折痕為BE,如圖②所示，/1=30°,

求/2以及NCBE的度數；

（3）如果在圖②中改變Nl的大小，則BA'的位置也隨之改變，那么問題（2）中NCBE的大小是否改

變？請說明理由.

圖②

6.（2021春?章貢區期末）如圖，C為線段8。上的一個動點，分別過點B,D作48"LBO,EDLBD,連接

AC,EC.已知AB=5,DE=I,BD=S,設Cf>=x.

（1）用含X的代數式表示AC+CE的長；

（2）請問：點C滿足什么條件時，AC+CE的值最??？求出這個最小值.

（3）根據（2）中的規律和結論，請構圖求出代數式在鼠川（i2-χ）2+9的最小值.

7.（2021秋?義烏市期中）如圖，A、B兩個小鎮在河流的同側，它們到河流的距離AC=10千米，BD=30

千米，且CD=30千米，現要在河流邊修建一自來水廠分別向兩鎮供水，鋪設水管的費用為每千米3萬

元.

(1)請在河流上選擇水廠的位置M,使鋪設水管的費用最少.(不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)最低費用為多少？

B

CD

8.(2020?濟寧模擬)準備一張矩形紙片，按如圖操作：

將aABE沿BE翻折，使點4落在對角線BD上的例點，將ACOF沿力尸翻折，使點C落在對角線BD

上的N點.

(1)求證：四邊形BFDE是平行四邊形；

(2)若四邊形B∕R>E是菱形，BE=2,求菱形BFf)E的面積.

%

BCB

9.(2019春?江陰市期中)直線MN與直線PQ垂直相交于0,點4在射線OP上運動，點B在射線。例上

運動，如圖1,已知AC、8C分別是NBAP和/A3M角的平分線，

(1)點A、8在運動的過程中，/AC8的大小是否發生變化？若發生變化，請說明理由：若不發生變化，

試求出NACB的大小.

(2)如圖2,將AABC沿直線AB折疊，若點C落在直線PQ上，則NABO=；如圖3,將aABC

沿直線AB折疊，若點C落在直線MN上，則/ABO=；

(3)如圖4,延長54至G,己知/BA。、NOAG的角平分線與NBoQ的角平分線及其延長線交于E、

F,則NEAF=；在aAEF中，如果有一個角是另一個角的旦倍，求N4B0的度

2

羔分層提分

題組A基礎過關練

選擇題（共14小題）

1.（2021秋?公安縣期末）下列標志中，可以看作是軸對稱圖形的是（）

2.（2021秋?海曙區期末）下列四個數學符號中，是軸對稱圖形的是（）

A.烏B.≠C.±D.2

3.（2020春?漳州期末）如圖，桌面上有〃、N兩球，若要將M球射向桌面的任意一邊，使一次反彈后擊

中N球，則4個點中，可以瞄準的是（）

___________________匚

ABCD

A.點AB.點BC.點CD.點。

4.（2019秋?桐梓縣期末）在漢字“生活中的日常用品”中，成軸對稱的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

5.（2021秋?五常市期末）如圖，NMON內有一點P,P點關于OM的軸對稱點是G,尸點關于ON的軸對

稱點是H,GH分別交OM、ON于4、B點、,若/MON=35°,則/GOH=（）

A.60°B.70°C.80°D.90°

6.（2021秋?遷安市期末）如圖，將長方形紙片沿MP和NP折疊，使線段PU和PC重合，則下列結論正確

()

①NBPB'=AZC,PC

2

@ZBPM+ZB'PM=90°

③∕8PM+∕NPC=90°

④∕NPM=90°

⑤NB，PM+NNPC=90°

D八'，

A.①②③B.③④⑤C.②③④D.①⑤

7.（2021秋?鯉城區校級期末）將一張長方形紙片按如圖所示的方式折疊，BD、BE為折痕，則/E8。的度

數（）

8.（2021秋?宜興市期末）將一張紙如圖所示折疊后壓平，點下在線段BC上，EF、GF為兩條折痕，若/

EFG=a,則/8,FC的度數是（）

A.α-45oB.2a-90°C.90--aD.180o-2a

9.（2021秋?灤州市期末）某市計劃在公路/旁修建一個飛機場M,現有如下四種方案，則機場M到A,B

兩個城市之間的距離之和最短的是（）

10.（2021秋?余杭區期中）下列圖形不一定是軸對稱圖形的是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.線段D.圓

11.（2021春?東坡區校級期末）如圖1,OABC。的對角線交于點O,OABC。的面積為120,AO=20.將

XAOD、Z?COB合并（A與C、。與B重合）形成如圖2所示的軸對稱圖形，則MN+PQ=（）

圖2

C.24D.25

12.（2021秋?應城市期末）如圖，NMON=50°,P為/MON內一點,OM上有點A,ON上有點B,當

△租B的周長取最小值時，NAPB的度數為（）

N

A.60°B.70°C.80°D.100°

13?（2021秋?博白縣期末）如圖，將長方形紙片的一角作折疊，使頂點A落在A'處，EF為折痕，若EA'

恰好平分NFEB,則NFEB的度數為（)

A.60°B.120°C.130°D.IOOo

14.（2021秋?平輿縣期末）如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸CC的距離分別為AC、BD,

且AC=B￡>,若A到河岸C。的中點的距離為500〃?.牧童從A處把牛牽到河邊飲水后再回家，牧童回家

所走的最短路程為（）

_____________2—

AB

A.500/nB.1000wC.1500%D.2000??

二.填空題（共2小題）

15.（2021秋?浦東新區期末）如圖，長方形ABCQ中，長BC=a,寬AB=b,（b<a<2b?四邊形ABEH

和四邊形ECGF都是正方形.當a、6滿足的等量關系是時，圖形是一個軸對稱圖形.

A____________HD

F

16.（2021秋?思明區校級期末）如圖，園區入口A到河的距離AE為100米，園區出口B到河的距離BF

為200米，河流經過園區的長度EF為400米，現策劃要在河上建一條直徑CD為100米的半圓形觀賞步

道（如圖：C在。左側），游覽路線定為A-C-O-8,問步道入口C應建在距離E米處，才能

使游覽路線最短.

三.解答題（共10小題）

17.（2019秋?石景山區期末）如圖，在4X4的正方形網格中，有5個黑色小正方形.

（1）請你移動一個黑色小正方形，使移動后所形成的4X4的正方形網格圖形是軸對稱圖形.如：將8

號小正方形移至14號；你的另一種做法是將號小正方形移至_______號（填寫標號即可）；

（2）請你移動2個小正方形，使移動后所形成的圖形是軸對稱圖形，你的一種做法是將號小正

方形移至號、將號小正方形移至號（填寫標號即可）.

（圖D（圖2）（圖3）

19.（2015秋?相城區期中）畫圖：試畫出下列正多邊形的所有對稱軸，并完成表格,

正多邊形的34567

邊數

對稱軸的條

數

根據上表，猜想正H邊形有條對稱軸.

20.(2014秋?興化市校級月考)請找出下列符號所蘊含的內在規律，然后設計一個恰當的圖

,K￡28Hδ?6

21.(2021秋?溫嶺市期末)如圖，。是RtZXABC斜邊BC上的一點，連接AO,將AACC沿AO翻折得△

AFD.AFLBC.

(I)若NC=35°,NBAF=；

(2)試判斷AABD的形狀，并說明理由.

22.(2021春?龍口市月考)如圖，直線“〃6點A,。在直線》上，射線A8交直線α于點B,CO_Lq于

點C,交射線AB于點E,AB=15cm,BE：4E=1：2,P為射線AB上一動點，尸從A點出發沿射線AB

方向運動，速度為ISZ∕s,設點P運動時間為f,M為直線α上一定點，連接PC,PD.

(1)當f=m時，PC+P。有最小值，求機的值；

(2)當(In為(1)中的取值)時，探究NPCM、NPD4與/CP。的關系，并說明理由；

(3)當f>n?Gn為(1)中的取值)時，直接寫出NPeM、NPD4與NCPO的關系.

a

b

D

23.（2022?碑林區校級開學）如圖，有一直角三角形紙片，兩直角邊AB=6α",AC=8ox,現將直角邊AB

沿直線8。進行對折，使點A剛好落在斜邊BC上，且與A'B重合，求8。的長.

24.（2021秋?江源區期末）如圖，把直角三角形放置在4X4方格紙上，三角形的頂點都在格點上.在方格

紙上用三種不同的方法畫出與已知三角形成軸對稱的三角形.（要求：畫出的三角形的頂點都在格點上,

不涂黑）

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廠:X一廠

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25.（2020秋?德惠市期末）教材呈現：如圖是華師版八年級上冊數學教材Ill頁的部分內容.

如圖①，RtZ?ABC的斜邊AC比直角邊AB長2cm,另一直角邊BC長為6c”?，求AC的長.

（I）請根據教材內容，結合圖①，寫出完整的解題過程.

（2）拓展：如圖②，在圖①的AABC的邊AB上取一點。，連接CO,將AABC沿CQ翻折，使點B的

對稱點E落在邊AC上.

①求4E的長.

②DE的長為

AA

26.（2021秋?亭湖區校級月考）如圖的三角形紙板中，沿過點B的直線折疊這個三角形，使點C落在AB

邊的點E處，折痕為BD

（1）若AB=IOaBC=Scm,AC=Gcm,求△/!￡￡）的周長；

（2）若NC=Io0°，/4=70°，求NBoE的度數.

題組B能力提升練

一.選擇題（共5小題）

1.（2020秋?儀征市期末）如果一個三角形是軸對稱圖形，那么這個三角形一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.銳角三角形D.等邊三角形

2.（2021秋?訥河市期末）如圖，∕AOB=30°,點P在/408的內部，點C,。分別是點P關于。4、OB

的對稱點，連接CQ交。4、。8分別于點E,Fx若aPEF的周長的為10,則線段OP=（）

C

A.8B.9C.10D.11

3.（2021秋?上杭縣期末）如圖，將一張長方形紙片ABC。沿對角線BO折疊后，點C落在點E處，連接

BE交AD于點F,再將三角形。EF沿QF折疊后，點E落在點G處，若QG剛好平分NAQB,那么/

8。C的度數為（）

A.60oB.54oC.40oD.36°

4.（2021秋?高郵市期末）如圖，在AABC中，ZC=90o,AC=8cm,BC=Gcm,點。、E分別在AC、BC

邊上.現將AOCE沿。E翻折，使點C落在點，處.連接AH,則A"長度的最小值為（）

A.OB.2C.4D.6

5.（2021秋?西城區校級期中）如圖，在5X6的正方形格紙中，格線的交點稱為格點，以格點為頂點的三

角形稱為格點三角形.圖中448C是一個格點三角形，在格紙范圍內，與BC成軸對稱的格點三角形

二.填空題（共7小題）

6.（2021秋?廣陵區期中）等邊三角形是一個軸對稱圖形，它有條對稱軸.

7.（2020春?蘭考縣期末）如果一個三角形是軸對稱圖形，且有一個角為60°,那么這個三角形是,

它有條對稱軸.

8.（2017秋?鄒城市期末）如圖，N3=30°,為了使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，那么擊打白球時,

必須保證Nl的度數為

9.（2016秋?玄武區期末）如圖，一束光線從點O射出，照在經過A（1,0）、B（0,1）的鏡面上的點

經AB反射后，反射光線又照到豎立在y軸位置的鏡面，經y軸再反射的光線恰好通過點A,則點。的

坐標為.

10.（2021秋?西青區期末）如圖，在一個三角形紙片A8C中，N8=90°,A8=3,點。在邊BC上，將

△A3。沿直線AO折疊，點B恰好落在AC邊上的點E處.若AD=CD,則AC的長是.

11.（2022?大渡口區模擬）如圖，在aABC中，點。在BC邊上，BD=2CD,且NAZ）C=45°,將AABC

沿AD折疊，點C落在點C處，連接BC,若BC=I0,則BC的長為.

e/

12.（2021秋?雙流區期末）如圖，在長方形紙片ABC。的邊AO上有一個動點E,連接BE,將aABE沿

8日邊對折,使點4落在點尸處,連接4凡。尸.若48=3,￡。=2,/4尸。=90°,則線段8后的長為.

三.解答題（共6小題）

13.（2016春?桐柏縣校級月考）如圖，直線a_Lb,請你設計兩個不同的軸對稱圖形，使小6都是它的對

稱軸.

bb

14.(2021秋?東陽市期末)綜合實踐課上，小聰用一張長方形紙片A8C。對不同折法下的夾角大小進行了

探究，先將紙片的一角對折，使角的頂點4落在4'處，E尸為折痕，如圖①所示.

(1)若NAEF=30°,

①求NA'EB的度數；

②又將它的另一個角也折過去，并使點B落在￡4'上的夕處，折痕為EG,如圖②所示，求N尸EG的

度數；

(2)若改變/AEF的大小，則EA'的位置也隨之改變，則/FEG的大小是否改變？請說明理由.

15.(2021秋?朝陽區期末)在平面直角坐標系XOy中，對于任意圖形G及直線∕ι,I2,給出如下定義：將

圖形G先沿直線/1翻折得到圖形Gi,再將圖形GI沿直線/2翻折得到圖形G2,則稱圖形G2是圖形G的

<∕l,/2>伴隨圖形.

例如：點P(2,I)的＜尤軸，)，軸＞伴隨圖形是點P'(-2,-1).

(1)點Q(-3,-2)的＜x軸，y軸＞伴隨圖形點Q'的坐標為；

(2)已知A(t,1),B(L3,1),C(n3),直線，"經過點(1,1).

①當/=-1,且直線“與y軸平行時，點A的＜x軸，巾＞伴隨圖形點A'的坐標為；

②當直線m經過原點時，若aABC的＜x軸，"?＞伴隨圖形上只存在兩個與X軸的距離為1的點，直接

寫出f的取值范圍.

16.(2021?河南模擬)賈芳芳同學在研究矩形面積與矩形的邊長X,y之間的關系時，得如表數據:

X…123456…

y???94.53m1.81.5…

請依據表格解答下列問題:

(1)表格中的數據，〃=,y與X之間的函數關系式為

(2)依據表格中的數據描繪出函數圖象，并寫出一條函數圖象的性質;

(3)若函數圖象上有一點P,過點P分別向X,y軸作垂線段，垂足分別為M、N,若點尸的橫坐標為”,

請問當“為何值時四邊形PMON周長有最小值？(提示：a2+h2N2ab)

y

-------——I—T—I—I—r-I—I—I

91l

8---------1------1------L-+--------1------1-------i---I--------1-------I

_____I_L_J._」一L_」__1

7IIIIIIIIII

IIIIIIIIII

IIiTIITIII

6IIIIIIIIII

5------I-------+--------1------I-------+-4--------1-------1----------h-----1

_____I___I____I____X____I___I____L一」__I____I

4IIIIIIIIII

IIIIIIIIII

iTiiT_7iifi

3IIIIIIIIII

2---------1—i—i—τ—i—i—τ—r—i—i

_____I___I____I_-X____I___I____L_J____I____I

1IIIIIIIIII

IlIlIlIlIl

O1234567891()X

17.(2021秋?富縣期中)如圖，已知四邊形ABC。與四邊形EFGH關于直線MV對稱，NO=130°,ZA+

NB=I55°,AD=4cm,EF^5cm.

(1)求出AB,E4的長度以及NG的度數；

(2)連接AE,DH,AE與?！逼叫袉幔繛槭裁?？

18.(2021秋?漢陽區期中)如圖，三角形紙片AABC,AB=S,BC=6,AC=5,沿過點3的直線折疊這個

三角形，折痕為BO(點。在線段AC上且不與4,C重合).

(1)如圖①，若點C落在AB邊上的點E處，求AADE的周長；

(2)如圖②，若點C落在AB邊下方的點E處，記的周長為3直接寫出L的取值范圍.

題組C培優拔尖練

一.選擇題（共6小題）

1.（2021秋?梁溪區校級期末）如圖，點A,B在直線MN的同側，A到MN的距離AC=8,B到MN的距

離BD=5,已知8=4,P是直線MN上的一個動點，記B4+PB的最小值為",|布-P8∣的最大值為從

貝Ua2-h2的值為（）

A.160B.150C.140D.130

2.（2021秋?柯橋區期末）如圖，三角形紙片A8C,點。是BC邊上一點，連結AO,把AABO沿著AO翻

折，得到△■￡：￡>,DE與AC交于點尸.若點尸是。E的中點，AD=9,EF=2.5,ZUE尸的面積為9,則

點尸到BC的距離為（）

3.（2021秋?連云港期末）將一張長方形紙片ABC。按如圖所示方式折疊，AE,AF為折痕，點以。折疊

后的對應點分別為8'、D1,若NB'AD1=8°,則/E4F的度數為（）

A.40oB.40.5°C.41oD.42°

4.（2020秋?九龍坡區校級月考）如圖在四邊形ABEC中，/BEC和NBAC都是直角，且AB=AC現將△

BEC沿BC翻折，點E的對應點為E,BE'與AC邊相交于。點，恰好BE'是NABC的角平分線，若

CE=I,則BD的長為（）

5.（2018春?江岸區校級月考）Z?ABC中，∕ABC=97.5°,P、Q兩點在AC邊上，PB=2,ββ=3√2>

PQ=JlR若點加、N分別在邊48、BC上，當四邊形PQVM的周長最小時，（MP+MN+N。）2的值為

（）

A.18+8√5B.24+8√2C.22+6加D.31+√1Q

6.（2018?樂清市模擬）如圖，一張三角形紙片ABC,其中NBAC=60°,BC=6,點。是BC邊上一動點，

將2。，Cz）翻折使得3',C分別落在A8,AC邊上，（B與B，，C與C'分別對應），點。從點B

運動運動至點C,?B,C。面積的大小變化情況是（）

C.先減小后增大D,先增大后減小

二.填空題（共3小題）

7.（2021秋?弋江區期末）利用折紙可以作出角平分線，如圖1則OC為NAoB的平分線.

如圖2、圖3,折疊長方形紙片，OC,OO均是折痕，折疊后，點A落在點A',點B落在點8',連接

OA1.

①如圖2,若點B'恰好落在04'上，且N4OC=32°,則NBoo=；

②如圖3,當點B'在/COA'的內部時，連接08',若N4OC=44°,NBOJD=61°,求NA'OB'

的度數為

8.（2021秋?研口區期末）在AABC中，ZA=α（α<60o）,點E、F分別為AC和AB上的動點，BE與

CF相交于G點，且BE+EF+CF的值最小.

①如圖1,若A8=AC,a=40°,則/ABE=°；

②如圖2,NBGC=.（用含a的式子表示）

圖1圖2

9.（2017?肥城市二模）如圖，將AABC沿著過AB中點。的直線折疊，使點A落在BC邊上的4處，稱為

第I次操作，折痕。E到BC的距離記為加，還原紙片后，再將aAOE沿著過Ao中點O的直線折疊，

使點A落在。E邊上的A2處，稱為第2次操作，折痕。IEl到BC的距離記為例；按上述方法不斷操作

下去…，經過第2017次操作后得到的折痕。2016碩