微專題強(qiáng)化練U空間向量與空間角

一、單項(xiàng)選擇題

1.A,B,C三點(diǎn)不共線，對(duì)空間內(nèi)任意一點(diǎn)0,若δ>=,5?+??+!不?，則P,A,B,C

4oo

四點(diǎn)（）

A.一定不共面B.一定共面

C.不一定共面D.無(wú)法判斷是否共面

2.（2022?溫州模擬）在四棱臺(tái)A8CO-A∕ιGQ]中，側(cè)棱與底面垂直，上、下底面均為矩

形，AB=I,AD=AA?=A?B?=29則下列各棱中最長(zhǎng)的是（）

A.BB↑B.BiCi

C.CC∣D.DD\

3.如圖，在正四棱柱A3CQ-A[8]CQ]中，AA↑=2ADfE為側(cè)棱。上一點(diǎn)，若直線BDi〃

平面AEC,則二面角E—AC—8的正切值為（）

A..y∣2B.-也C.乎D.-乎

4.（2022?荷澤檢測(cè)）已知三棱柱ABC-AIBIC1的底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為3,

4在底面ABC上的射影點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與CG所成角的大小為（）

A兀C兀一兀C兀

A%Bqɑ,?D.5

5.（2022?全國(guó)甲卷）在長(zhǎng)方體A8CD-A∣8Cd中，已知80與平面ABCD和平面A4∣8歸所

成的角均為30。，貝∣J（）

A.AB=IAD

B.AB與平面ABlCQ所成的角為30。

C.AC=CBl

D.BID與平面ClC所成的角為45°

6.向量的運(yùn)算包含點(diǎn)乘和叉乘，其中點(diǎn)乘就是大家熟悉的向量的數(shù)量積.現(xiàn)定義向量的叉乘：

給定兩個(gè)不共線的空間向量Q與b,規(guī)定：①αX）為同時(shí)與α,%垂直的向量；②a,b,a×b

三個(gè)向量構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系（如圖1）;③IaXbl=Ia11“Sin（a,?）;④若。=（乃，yi，z?）,b

yι,ZlXl，Zlκι,y???a，h

=(12,>2，Z2),貝！JaXb=+.+,其中J=Gd—be.如圖

丫2，Z2X2，Z2M，C,d

2,在長(zhǎng)方體ABCo-48]GG中，AB=AD=2,AA=3,則下列結(jié)論正確的是（）

A.?AB×AD?=?AA↑?

B.ABXAD=ADXAB

■>,>……“A''A……-'+■■AA

C.（AB-AD）XAA1=AB×AA↑-AD×AA↑

A，A■-IA

D.長(zhǎng)方體ABCD-A?B?C?D?的體積V=（Aβ×AD）C↑C

二、多項(xiàng)選擇題

7.（2022?山東聯(lián)考）若｛"，從c｝構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（）

A.4+6+c,a-bt2?+c

B.a-b<a~c,b-c

C.α+2?,a—2b,α+c

D.a^~2b,6b-3>a,~c

8.（2022?廣州模擬）在長(zhǎng)方體ABs-AI8∣CQ∣中，48=2,A4=3,AD=4,則下列命題為

真命題的是（）

A.若直線AG與直線CO所成的角為外則tan9=|

B.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線I與長(zhǎng)方體所有棱所成的角相等，且/與平面BCCIBl交于點(diǎn)M,則AM

=√29

C.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線機(jī)與長(zhǎng)方體所有面所成的角都為仇則Sine=坐

D.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的平面用與長(zhǎng)方體所有面所成的二面角都為〃，貝IJSin〃=乎

三、填空題

9.在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)M是點(diǎn)N（2,—3,5）關(guān)于坐標(biāo)平面OX），的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)P（l,2,3）

關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q,則線段MQ的長(zhǎng)度等于.

10.如圖，矩形ABC。是圓柱OIO2的軸截面，AB=2,AO=3,點(diǎn)E在上底面圓周上，且茂=

2DE,則異面直線AE與O2C所成角的余弦值為.

11.如圖，在二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A,B,線段AC,BQ分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并

且都垂直于棱AB,若AB=1,AC=2,BD=3,CD=2√2,則這個(gè)二面角的大小為.

12.（2022?南通模擬）已知正六棱柱A8CL>EF-A∣8GZ）∣EιF∣的底面邊長(zhǎng)為1,尸是正六棱柱

內(nèi)（不含表面）的一點(diǎn)，則祚腦的取值范圍是.

四、解答題

13.（2022?莆田質(zhì)檢）如圖，在四棱錐P-ABCQ中，底面ABC。是菱形，F(xiàn)為PO的中點(diǎn).

（1）證明：P8〃平面4FC；

（2）請(qǐng)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上，并作答.

①/ABC=：；②BO=√%C;③PC與平面ABCO所成的角為也

若平面ABC￡>,AB=AP=2,且,求平面HCF與平面ACo夾角的余弦值.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

14.(2022?湖北聯(lián)考)如圖，已知在四棱錐P—ABCQ中，∕?±5FSABCD,在四邊形ABCC中，

NABC=90。，AB//CD,AB=I,BC=I,8=2,點(diǎn)A在平面PCO內(nèi)的射影恰好是△小〃

的重心G.

⑴求證：平面以BJ_平面P8C；

(2)求直線DG與平面P8C所成角的正弦值.

參考答案

?.B2.B3.B

4.C［如圖，連接A。，AD,A∣B,

由CCi//AAi,

知/AAB為異面直線AB與Cel所成的角，

因?yàn)槿庵鵄BC—4BlG的底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且側(cè)棱長(zhǎng)為3,4在底面ABC

上的射影點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，

可得AD=1=小，

A?D-y∣9-3-yβ,

Λ∣B=√(√6)2+1=√7,

9+4—71

由余弦定理得CoSN弦ιA5=o丫QYo=不

Z^??Z乙

因?yàn)楱MA∣4BW(0,5

所以NAιA8=1,

所以異面直線A8與CG所成角的大小為爭(zhēng)］

5.D［如圖，連接BD,易知∕BD8∣是直線與平面ABC。所成的角，所以在RtZ?BO8∣

中，

ZBDβ∣=30°,

設(shè)BBI=1,

則BlD=2*=2,BD=√B∣D2-BBτ=√3.

易知NABQ是直線8Q與平面AA∣3∣B所成的角，

所以在RtAADB1中，ZABiD=30°.

因?yàn)锽lD=2,

所以1,AB]=y∣BtD2-AD2=yj3,

所以在Rt4A8B∣中，AB=y∣AB↑-BB↑=y∣2,所以A項(xiàng)錯(cuò)誤；

易知/8ABl是直線AB與平面ABlG。所成的角，

因?yàn)樵赗tZ?ABBι中，sinNBABI=煞i=W≠J,

所以N2ASW30。，所以B項(xiàng)錯(cuò)誤；

2

在RtACBBi中，CB1=√BC+BBT=√2,

而AC=√AB2+BC2=√3,

所以C項(xiàng)錯(cuò)誤；

易知NOBC是直線B。與平面BSGC所成的角，因?yàn)樵赗tA1OBiC中，CBι=CD=√2,

所以/Z)BlC=45。，所以D項(xiàng)正確,]

6.C[如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則。(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),5(2,2,0),4(2,0,3),C1(0,2,3),

施=(020),AO=(-2,0,0).離=(0,0,3),

則矗XAb=(0,0,4),所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

AbXQ=(O,o,-4),故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

AB-AD=DB^(,2,2,0),

貝I」(B-Ab)XR=(6,-6,0),

贏XZr=(6,0,0),AbX麗=(0,6,0),

則檢X高一病X瑞=(6,-6,0).

所以(贏一說(shuō))X訝=A?x高一AbXM7,故選項(xiàng)C正確；

>“1A,IA-——'A

GC=(0,0,—3),則(ABXAo)?C∣C=-12,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.]

7.ABD

8.ACD[對(duì)于A,如圖，直線AG與直線CD所成的角，即為直線ACl與直線AB所成的

角即NBAG,

Rr—∣,正確;

則tanφ-tanZBACt=~^

對(duì)于B,構(gòu)建如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，過(guò)A的直線/與長(zhǎng)方體所有棱所成的角相等，與

平面BCGBl交于M(x,2,Z)且X,z>0,

則病=(X,2,z),

又AΛ]=(0,0,3),

贏=(020),

病=(4,0,0),

______Z

則CoS<AA∣,AM)

?√X2+4+Z2

2

=cos(AB,AM)

y∣x2+4+z1

工

(AD,AM)=

y∣x1+4+z2f

故x=z=2,則AM=2*?∕5,錯(cuò)誤;

對(duì)于C,如圖，過(guò)A的直線〃?與長(zhǎng)方體所有面所成的角都為仇則直線“為以4為棱長(zhǎng)的

正方體的體對(duì)角線AP,故Sine=坐，正確;

對(duì)于D,如圖，過(guò)A的平面α與長(zhǎng)方體所有面所成的二面角都為〃，只需平面4與以4為棱

長(zhǎng)的正方體中相鄰的三條棱頂點(diǎn)所在平面平行，如平面EDE故cos〃=坐，則sin〃=坐,

正確.

解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，且AB=BC=CD=DE=EF=AF=I,

由正六邊形的性質(zhì)可得，

A(0,0,0),8(1,0,0),

、o.13

設(shè)Pa,ytz)9其中一^^唱，

所以AB=(1,0,0),AP-(x,y,z),

所以AB?AP=x,

所以油.辦的取值范圍是(一看|).

13.(1)證明連接BQ交AC于點(diǎn)O,因?yàn)锳BC。是菱形，所以。為8。的中點(diǎn).連接。足

因?yàn)槭瑸槭５闹悬c(diǎn)，所以。F為△尸8。的中位線,

所以O(shè)F〃PB.

因?yàn)镺FU平面AFC,PBQ平面AFC,

所以P8〃平面AFC.

⑵過(guò)O作Oz//AP.

以。為原點(diǎn)，OB,OC,JZ為X,y,Z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

-TT

選條件①：AABC=γ

在菱形ABCO中，AC1.BD.

因?yàn)?3=AP=2,

所以O(shè)8=OQ=2Xs吟=巾，OA=OC=2×cos^=1.

所以O(shè)((W)),4(0,-1,0),B(√3,0,0),C(0,l,0),D(-√3,0,0),P(0,-1,2),《一坐,-?

所以蘇=(—坐，?11AC=(0,2,0).設(shè)〃=a,y,Z)為平面AC/的一個(gè)法向量，

prAC=0+2γ+0=0,

?赤二—^r÷^y÷z=O,

不妨令x=2,

則”=(2,0,√3).

顯然機(jī)=(OQl)為平面ACD的一個(gè)法向量.設(shè)平面ACF與平面Aeo的夾角為仇

、?n?m?_________∣0+0+Λ∕5∣_________V∑I

所以CoSe=ICoS(n

9m~∣m∣∣/m∣-√4+0+3×√0+0+l-7-

所以平面ACF與平面ACO夾角的余弦值為當(dāng)?

選條件②：BD=木AC.

在菱形ABCQ中，BD=√3AC,所以O(shè)B=XβθC,

所以BC^y∕0B2+0C2^20C.

因?yàn)锳B=AP=29

所以O(shè)B=OD=小,OA=OC=I.

所以0(0,0,0),4(0,-1,0),B(√3,0,0),C(0,l,0),D(-√3,0,0),P(0,-1,2),

《-坐'-2'?)

所以蘇=(一半，?11AC=(0,2,0).

設(shè)“=(x,y,Z)為平面ACF的一個(gè)法向量，

pι?AC=0+2y+0=0,

[w?AF=-^x+∣y+z=0,

不妨令x=2,則"=(2,0,√3).

顯然,“=(OQl)為平面ACD的一個(gè)法向量.設(shè)平面4CF與平面ACD的夾角為θ,

“I/、I?n?m?

所以COS9=COS(〃，nι)=Ill∣

_______∣o+o+小I______V2T

^^√4+0+3×√0+0+l^-7.

所以平面ACF與平面ACZ)夾角的余弦值為理?

選條件③：PC與平面ABCD所成的角為全

TT

因?yàn)?_L平面48CZ),所以/PC4為尸C與平面ABC。所成的角，即/PCA=1.

在Rl?B4C中，由/PCA=去

可得PA=CA=I.

所以O(shè)B=OD=√5,OA=OC=I.

所以O(shè)(0,0,0),4(0,-1,0),B(√3,0,0),C(0,l,0),D(-√3,0,0),P(0,一1,2),《一坐，-?1

所以赤=(一坐，；，1)，Ac=(0,2,0).設(shè)"=(x,y,Z)為平面ACF的一個(gè)法向量，

,府=0+2y+0=0,

1∕ι?ΛF≈一坐x+；y+z=O,

不妨令x=2,則”=(2,0,√3).

顯然WI=(0,0,1)為平面AC。的一個(gè)法向量.設(shè)平面4CF與平面ACO的夾角為θ,

所以CoSj=ICOS〈〃，m`)I=K?

∣0+0+√3∣√Z1

√4+0+3×√0+0+l^7

所以平面ACF與平面ACO夾角的余弦值為當(dāng)?

14.(1)證明因?yàn)槠矫鍭BCz),BCU平面ABCZ),所以以_LBC,

因?yàn)镹A8C=90。，所以BCLA8,

PAHAB=A,Λ4u平面B48,

ABU平面PAB,

所以BCJ_平面PAB,