專題10反比例函數

——----------------.---

中考分折一

V.I、'

反比例函數是中學數學重要的重難點知識，中考中多以選擇題、填空題和解答題形式計算問題出現,

主要考查基本概念、基本技能以及基本的數學思想方法，還有與其他數學模型結合的思想，特別是與一些

其他函數和幾何問題結合時，對綜合能力的考查要求較高，掌握反比例函數的概念，圖像與性質，還有一

次函數的實際應用和幾何應用，難度系數中等偏上。主要體現的思想方法：轉化的思想、分類討論思想、

數形結合的思想等。

L了解反比例函數的概念，以及反比例函數解析式的變形.

2.掌握反比例函數的圖象與性質.

3.掌握用待定系數法求反比例函數的解析式.

4.熟悉反比例函數與其他幾何圖形結合.

殺識柩架J

\\-------=L-二------------

/\

一、反比例函數的概念和性質

1.反比例函數的概念

形如________(?≠0,4為常數)的函數叫做反比例函數，其中X是

定義

___________,y是X的函數，k是________

k

關系式y=;或尸kx^'或xy^k(k≠O')

防錯提醒(D?≠O;⑵自變量?≠O;(3)函數值∕≠O

2.反比例函數的圖象與性質

(1)反比例函數的圖象

呈現形式反比例函數y=(AWO)的圖象是_________

它既是關于_______對稱的中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，其對稱軸

對稱性為第一、三象限或第二、四象限坐標軸夾角的平分線，即直線y=x或直線

y^-χ

(2)反比例函數的性質

函數圖象_______________所__在象限性質___________________________

k>0y

一、三象限

在每個象限內y隨X增大而減小

二(χ-y同號)

k

y=x

k<0

(k≠0)

二、四象限

在每個象限內，y隨X增大而增大

O(χ,y異號)

(3)反比例函數比例系數k的幾F何意義

k的幾反比例函數圖象上的點(χ,y)具有兩數之積(χy=k)為常數這一特點，即過雙曲線上

何意義任意一點，向兩坐標軸作垂線，兩條垂線與坐標軸所圍成的矩形的面積為常數Ik

MJ-X

推導

如圖，過雙曲線上任一點P作X軸，y軸的垂線段PM、PN,所得的矩形PMON的面積

S=PM,?PN=∣y∣?∣xI=IxyI.

k

Vy=~,Λxy=k,ΛS=|k|

過雙曲線上任意一點，向兩坐標軸作垂線，一條垂線與坐標軸、原點所圍成的三角

拓展形的面積為常數；Ik1l

一、單選題

k

1.(2018?遼寧阜新?中考真題)反比例函數y=±的圖象經過點(3,-2),下列各點在圖象上的是()

X

A.(-3,-2)B.(3,2)C.(-2,-3)D.(-2,3)

【答案】D

【解析】

分析：直接利用反比例函數圖象上點的坐標特點進而得出答案.

詳解：：反比例函數y=&的圖象經過點(3,-2),

X

xy=k=-6,

A、(-3,-2),此時xy=-3×(-2)=6,不合題意;

B、(3,2),此時xy=3×2=6,不合題意；

C、(-2,-3),此時xy=-3×(-2)=6,不合題意；

D、(-2,3),此時xy=-2×3=-6,符合題意；

故選D.

點睛：此題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，正確得出k的值是解題關鍵.

2.(2018?黑龍江哈爾濱?中考真題)已知反比例函數產”上的圖象經過點(1,1),則左的值為()

X

A.-1B.0C.ID.2

【答案】D

【分析】

把點的坐標代入函數解析式得出方程，求出方程的解即可.

【解析】

解：Y反比例函數產生上的圖象經過點(1,1),

X

，代入得：2?-3=l×l,

解得：k=2,

故選D.

【點睛】

本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，能根據已知得出關于k的方程是解此題的關鍵.

12

3.(2019天津?中考真題)若點A(Ty),B(-2,y),C(Ly3)都在反比例函數>=--的圖象上，則凹，J,

2X2

丫3的大小關系是（）

A.>2<y∣<%B.%<%<%C.D.>?3<y2<?l

【答案】B

【分析】

將A、B、C三點坐標分別代入反比例函數的解析式，求出％、必、%的值比較其大小即可

【解析】

12

Y點A（-3,%,以-2,%）,C（l,%）都在反比例函數V=的圖象上，

X

12

，分別把x=-3、x=2χ=l代入y=——得y=4,必=6,%=T2

X

二>3<>1<%

故選B

【點睛】

本題考查了反比例函數的圖像和性質，熟練掌握相關的知識點是解題的關鍵.

4.（2019?廣西梧州?中考真題）下列函數中，正比例函數是（）

Q

A.y=-8xB.y=-C.y=8x2D.y=8x-4

X

【答案】A

【分析】

直接利用正比例函數以及反比例函數、二次函數、一次函數的定義分別分析得出答案.

【解析】

解：A、y=-8x,是正比例函數，符合題意；

Q

B、y=2,是反比例函數，不合題意；

X

C、y=8Y,是二次函數，不合題意；

D、y=8x-4,是一次函數，不合題意；

故選A.

【點睛】

考核知識點：反比例函數.理解反比例函數定義是關鍵.

5.（2020?湖南衡陽?中考真題）反比例函數y=α經過點（2,1）,則下列說法錯誤的是（）

X■?

A.k=2B.函數圖象分布在第一、三象限

c.當x>o時，y隨X的增大而增大D.當x>o時，y隨X的增大而減小

【答案】C

【分析】

將點（2,1）代入y=K中求出k值，再根據反比例函數的性質對四個選項逐一分析即可.

X

【解析】

將點（2,1）代入y=］中,解得：k=2,

X

A.k=2,此說法正確，不符合題意；

B.k=2>0,反比例函數圖象分布在第一、三象限，此書說法正確，不符合題意；

C.k=2>0且x>0,函數圖象位于第一象限，且y隨X的增大而減小，此說法錯誤，符合題意；

D.k=2>0且x>0,函數圖象位于第一象限，且y隨X的增大而減小，此說法正確，不符合題意；

故選：C.

【點睛】

本題考查了反比例函數的性質，熟練掌握反比例函數的性質，理解函數圖象上的點與解析式的關系是解答

的關鍵.

-x+l（x<2）

6.（2020?四川?中考真題）已知函數y=2,.、，當函數值為3時，自變量X的值為（）

——（x≥2）

IX

223

A.-2B.—C.-2或--D.-2或——

332

【答案】A

【分析】

根據分段函數的解析式分別計算，即可得出結論.

【解析】

解：若x<2,當y=3時,-x+l=3,

解得：-X--2；

2

若A≥2,當尸3時，---=3,

X

2

解得：X=-§，不合題意舍去；

.,.X=-2,

故選：A.

【點睛】

本題考查了反比例函數的性質、一次函數的圖象上點的坐標特征；根據分段函數進行分段求解是解題的關

鍵.

7.（2021?湖北荊門?中考真題）在同一直角坐標系中，函數y=依-々與y=5（kxo）的大致圖象是（）

【分析】

根據k的取值范圍，分別討論人>0和k<0時的情況，然后根據?次函數和反比例函數圖象的特點進行選擇

正確答案.

【解析】

解：當k>0時，

一次函數y=kχ-k經過一、三、四象限，

函數的y=?j(%≠O)(k≠0)的圖象在一、二象限，

故選項②的圖象符合要求.

當k<0時,

一次函數y=kx-k經過一、二、四象限,

函數的y=?j(k≠θ)(k≠o)的圖象經過三、四象限,

故選項③的圖象符合要求.

故選：B.

【點睛】

此題考查反比例函數的圖象問題；用到的知識點為：反比例函數與一次函數的左值相同，則兩個函數圖象

必有交點；?次函數與y軸的交點與?次函數的常數項相關.

2k

8.(2021?遼寧丹東?中考真題)如圖，點A在曲線到弘=-(x>0)上，點8在雙曲線%=Tx<0)上，AB∕∕x

XX

軸，點C是X軸上一點，連接AC、BC,若ABC的面積是6,則Z的值()

【答案】C

【分析】

根據AB〃X軸可以得到S,帆=S/3=6,轉換成反比例函數面積問題即可解題.

【解析】

連接。A、03,設AB與y軸交點為M,

56

."8_Ly軸，SΛBC=Λoβ=

S=1岡,XOU=—×l2∣=1

∏(∕Λ√2IIΛlyΛ12II

?Sabc—Saob=SBoM+SAOM~6

Λ^∣?∣+l=6

解得k=±10

L

???點B在雙曲線內=一(x<0)上，且B在第二家限

X

Λ?<0

ΛΛ=-10

故選C

【點睛】

本題考查反比例函數問題，熟記反比例函數面積與人的關系是解題的關鍵.

9.(2021?遼寧大連?中考真題)下列說法正確的是()

2

①反比例函數)，=士中自變量X的取值范圍是XWO；

X

②點P(-3,2)在反比例函數y=-g的圖象上；

③反比例函數y=士的圖象，在每一個象限內，y隨X的增大而增大.

X

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【分析】

根據反比例函數的圖象與性質可直接進行判斷求解.

【解析】

2

解：①反比例函數y=±中自變量X的取值范圍是XH0,正確；

X

②把X=-3代入反比例函數尸-g得：y=-3=2,

X-3

；.點P(-3,2)在反比例函數y=-g的圖象上，正確；

③由反比例函數y=士可得％=3>0,則有在每一個象限內，y隨X的增大而減小，錯誤；

X

說法正確的有①②；

故選A.

【點睛】

本題主要考查反比例函數的圖象與性質，熟練掌握反比例函數的圖象與性質是解題的關鍵.

10.(2021?山東威海?中考真題)一次函數M=KX+A依KO)與反比例函數％=§■化≠0)的圖象交于點

A(T—2),點8(2,1).當％<必時,K的取值范圍是()

A.X<—1B.-IcxvO或x>2

C.0<x<2D.OVJrV2或XV-I

【答案】D

【分析】

先確定一次函數和反比例函數解析式,然后畫出圖象，再根據圖象確定X的取值范圍即可.

【解析】

解：Y兩函數圖象交于點A(-l,-2),點3(2,1)

f—2=—Ie1+bkI

，，解得：k,=l

A13;-2*,I，依2

[l=2Zr,÷?-1I?=-l

?_.2

,?y↑—?-1?,y——

2X

畫出函數圖象如下圖：

由函數圖象可得X的解集為：0<x<2或x<-l.

故填D.

【點睛】

本題主要考查了運用待定系數法求函數解析式以及根據函數圖象確定不等式的解集，根據題意確定函數解

析式成為解答本題的關鍵.

II.（2021?黑龍江.中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的邊ADLy軸，垂足為E,頂點A在

第二象限，頂點8在y軸正半軸上，反比例函數y=A*≠O,x>O）的圖象同時經過頂點C、D.若點C的橫

【答案】A

【分析】

由題意易得AB=BC=CD=4D=5,AO∕∕BC,則設DE=x,BE=2x,然后可由勾股定理得（5—x）?+4/=25,

求解X,進而可得點則￡>（2（+4）,最后根據反比例函數的性質可求解.

【解析】

解：???四邊形A38是菱形，

：.AB=BC=CD=AD,AD//BC,

ILy軸,

???ZDEB=ZAEB=90°f

：.NDEB=/CBO=90°,

丁點C的橫坐標為5,

點C（5《），AB=BC=CD=AD=5,

?.'BE=2DE,

.?.設OE=x,BE=Ix,貝IJA￡=5-x,

.?.在RfAAEB中，由勾股定理得：（5-xf+4χ2=25,

解得：X[=2,X2=0（舍去），

：.DE=2,BE=4,

.?.點+

Λ2×f→4^=fc,

解得：無號40

故選A.

【點睛】

本題主要考查菱形的性質及反比例函數與幾何的綜合，熟練掌握菱形的性質及反比例函數與幾何的綜合是

解題的關鍵.

12.（2021.山東棗莊?中考真題）在平面直角坐標系XQy中，直線48垂直于X軸于點C（點C在原點的右側）,

并分別與直線V=X和雙曲線相交于點A,8,且AC+8C=4,則一。48的面積為（）

X

A.2+√Σ或2-0B.2a+2或2血-2

C.2-√2D.2√2+2

【答案】B

【分析】

設點C的坐標為C（M,0）（m>0）,從而可得A（∕n,M,仇九2）,AC=m,BC=-,再根據AC+BC=4可得一

tnm

個關于加的方程，解方程求出m的值，從而可得OCAB的長，然后利用三角形的面枳公式即可得.

【解析】

解：設點C的坐標為CQ",O）Q”>O）,則&九川）,8（〃?,工），

m

2

AC=m,BC=—,

m

AC+BC=4,

2

/./77+—=4ZI,

m

解得加=2+及或〃?=2-0,

經檢驗，機=2+&或祖=2-夜均為所列方程的根，

O

(1)當加=2+正時，OC=m=2+Λ∕2,AB=m=2?∣2,

m

則，04B的面積為LA8?OC=Lχ2√5x(2+0)=2√^+2;

22

(2)當機=2-/時，OC=In=2-6,AB=2-m=2近,

m

則/04B的面積為LAB?OC=LX2√ΣX(2-0)=2√5-2;

22

綜上，一OAe的面積為2夜+2或2√Σ-2，

本題考查了反比例函數與正比例函數的綜合、解一元二次方程，正確求出點C的坐標是解題關鍵.

二、填空題

13.(2021?廣西河池?中考真題)在平面直角坐標系中，一次函數y=2x與反比例函數y=g(kwθ)的圖象交

于Aa,χ),B(X2,%)兩點，則M+%的值是.

【答案】0

【分析】

根據正比例函數和反比例函數的圖像關于原點對稱，則交點也關于原點對稱，即可求得X+%

【解析】

L

?.?一次函數y=2x與反比例函數y=y%≠0)的圖象交于A(Λ,,X),8(Λ2,%)兩點，

L

一次函數y=2x與反比例函數y=[%≠0)的圖象關于原點對稱，

,-X+%=0

故答案為：0

【點睛】

本題考查了正比例函數和反比例函數圖像的性質，掌握以上性質是解題的關鍵.

14.(2021,山東濱州?中考真題)若點A(TX)、8(一；，%)、C(I,%)都在反比例函數＞=一(%為常數)

的圖象上，則M、%、%的大小關系為.

【答案】

【分析】

根據反比例函數的性質和后2+1>O,可以得到反比例函數y=—的圖象所在的象限和在每個象限內的增

X

減性，然后即可判斷％、〉2、丫3的大小關系.

【解析】

解：反比例函數y="?k為常數），?2+1>0.

X

該函數圖象在第一、三象限，在每個象限內y隨X的增大而減小，

點A（Ty）、fi（-?必）、C（l,%）都在反比例函數y=5（k為常數）的圖象上，點A、B在

4X4

第三象限，點C在第一象限，

%<y∣<%，

故答案為：必<,<必.

【點睛】

本題考查反比例函數的性質，解答本題的關鍵是明確反比例函數的性質，會用反比例函數的性質判斷函數

值的大小關系，注意第三象限內點的縱坐標始終小于第--象限內點的縱坐標.

15.（2021?江蘇淮安?中考真題）如圖，正比例函數尸如X和反比例函數尸與圖象相交于4、B兩點,若點

A的坐標是（3,2）,則點8的坐標是一.

【分析】

由于正比例函數與反比例函數的圖象均關于原點對稱，所以A、B兩點關于原點對稱，由關于原點對稱的點

的坐標特點求出B點坐標即可.

【解析】

解：；正比例函數與反比例函數的圖象均關于原點對稱，

?'?A>B兩點關于原點對稱，

VA的坐標為（3,2）,

...B的坐標為（-3,-2）.

故答案為：（-3,-2）.

【點睛】

本題主要考查了關于原點對稱點的坐標關系，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.

-36

16.（2021.江蘇徐州.中考真題）如圖，點分別在函數y=上,y=?的圖像上，點8,C在X軸上.若四邊

XX

形ABc。為正方形，點。在第一象限，則。的坐標是.

PCX

【答案】（2,3）

【分析】

根據正方形和反比例函數圖像上點的坐標特征，設。點坐標為（〃?，9）,則A點坐標為（-：，9）,進

m2m

而列出方程求解.

【解析】

解：；四邊形A3C。為正方形，

???設。點坐標為（m,-）,則A點坐標為Y,-）,

m2m

解得：m=±2（負值舍去），

2m

經檢驗，，"=2是方程的解，

，。點坐標為（2,3）,

故答案是：（2,3）.

【點睛】

本題主要考查反比例函數與平面幾何的綜合，掌握反比例函數圖像上點的坐標特征，是解題的關鍵.

3

17.（2021.湖北黃石.中考真題）如圖，A、3兩點在反比例函數y=-±（x<0）的圖象上，AB的延長線

X

交X軸于點C,且AB=2BC,則AAOC的面積是.

過A、B兩點作X軸的垂線，交X軸分別于E、F兩點，得到△CBFs∕?CAE,設3）,其中（α<0）,進而

a

得到BF=-AE=--,OC=Ta即可求出△AOC的面積.

3a

【解析】

解：過A、B兩點作X軸的垂線，交X軸分別于E、F兩點,如下圖所示：

??——，

CA3

?：EF〃BF,

:?l?CBFsχckE,

.CBCFBF_\

**C4^CE^AE^3,

設其中(α<0),則AE=-L

ka)a

：.BF=-AE=--,

3a

??3(3〃,—),

a

.*.OF=-3a,OE=-a,EF=-2a,CF=?EF=-〃，OC=-4a,

2

：.Smco=-OC^?E=-(-4tz)?(3=6,

22a

故答案為：6.

【點睛】

本題考查了反比例函數的圖形及性質，相似三角形的判定及性質，熟練掌握各圖形的性質及判定方法是解

決本題的關鍵.

18.(2021.黑龍江齊齊哈爾.中考真題)如圖，點A是反比例函數y=2(x<O)圖象上一點，ACLX軸于點C

X

k

且與反比例函數y=二(X<O)的圖象交于點8,AB=3BC，連接OA,OB,若JOAB的面積為6,則

X

k`+k2=.

【答案】-20

【分析】

利用反比例函數比例系數k的幾何意義得到SAAOLI化I=-Y,s^oc=^?k2?=-^-k2,利用AB=3BC得到

N2N2

SAA80=3SAoBc=6,所以-；的=2,解得網=-4,再利用-；匕=6+2得尢=-16,然后計算占+七的值.

【解析】

解：；ACLx軸于點C,與反比例函數產生(x<0)圖象交于點B,

X

而k[VO,k2<0,

?,?5?AOC=?II=-；K，s&BOC=?Ik2I=-~&2，

;AB=33C,

??Sd48。=3S^OBC=6,

即一;a=2,解得e=4,

v-?^i=6+2,解得尤=-16,

二?l+?2=-16-4=-20.

故答案為：-20.

【點睛】

本題考查了反比例函數比例系數上的幾何意義：在反比例函數的圖象上任意一點向坐標軸作垂線，這一點

和垂足以及坐標原點所構成的三角形的面積是3因，且保持不變.

19.(2021.江蘇宿遷?中考真題)如圖，點4B在反比例函數y=[(x>O)的圖像上，延長AB交X軸于C點,

若AAOC的面積是12,且點3是Ae的中點，則％=.

【答案】8

【分析】

由Δ4OC的面積為12,故作4)，OC,設C(〃,0)即可表示Δ4OC的面積，再利用中點坐標公式表

示B點坐標，利用B點在反比例圖像上即可求解.

【解析】

解：作AD_LoC,設A∣〃?,'),C(n,0)

AD=—,OC=n

m

MOC的面積為12

1▲Clknk

=-×OC×AD=-×n×——=——=12

22m2m

8點是AC中點

m+nk

??8點坐標

2'2m

B點在反比例圖像上

k,2

??------=ZCX------------

2mm+n

又k≠b

：.n=3m

3mk.

.?.——=112

2m

：,k=8

故答案是：8.

【點睛】

本題考查反比例函數的綜合運用、中點坐標公式和設而不解的方程思想，屬于中檔難度的題型.解題的關

鍵是設而不解的方程思想.此外設有Aa,%）,3（々，必）兩點，則48的中點坐標是：（芍土■,券1）?

20.（2021?山東蒲澤?中考真題）如圖，一次函數V=X與反比例函數y='（X>0）的圖象交于點A,過點A

X

作A3J?O4,交X軸于點8；作BA//OA,交反比例函數圖象于點A；過點A作4向，AB交X軸于點5；

再作44//BA，交反比例函數圖象于點4,依次進行下去......則點A2⑼的橫坐標為.

【答案】√2022+√202T

【分析】

由點A是直線Y=X與雙曲線y=1的交點，即可求出點A的坐標，且可知N4OB=45。，乂AS_LA。可知AAOB

X

是等腰直角三角形，再結合BA//。4可知ABA用是等腰直角三角形，同理可知圖中所有三角形都是等腰直

角三角形，MfeJMBI即4的坐標（”1,2,3……），故想到過點兒⑶作A?⑶G（Hl?LX軸，即過角作

AC軸.設A的縱坐標為犯（m>0）,則A的橫坐標為2+機，再利用點A在雙曲線上即可求解A坐標,

同理可得4。”的坐標.

【解析】

解：過A,作A,CLx軸于點c“

點4是直線y=X與雙曲線y=’的交點

X

'y=xg

1解得《1

y=-Iy=I

X

???4（1,1）

λOC=AC=I9ZAOC=45°

,ABlAO

Δ4OB是等腰直角三角形

OB=IAC=I

BAt//OA

.?.ABA14是等腰直角三角形

AlCt-BCl

設A的縱坐標為犯(相>0),則4的橫坐標為2+叫

?「點A在雙曲線上

.?.∕τ?(2÷w1)=l

解得嗎=?∣2-↑

設A2的縱坐標為“(〃2>0),則A2的橫坐標為2+2町+m2=2y∣2+m2

:.ITi2(2?∕Σ+"Z2)=1

解得色=y∕3-?[2

同理可得乃=V4-Λ∕3

由以上規律知：mn=?∣n+l-y∕n

.?.AΠ2021=√2022-√2021BP?21的縱坐標為,2022-歷'

?,?ΛO2∣的橫坐標為J2。??—J?。？]=，2022+Λ∕2021

故答案是：√2022÷√2021.

【點睛】

本題考察一次函數、反比例函數、交點坐標的求法、等腰直角三角形的性質、一元二次方程的應用和規律

探究，屬于綜合幾何題型，難度偏大.解題的關鍵是結合等腰直角三角形的性質做出輔助線，并在計算過

程中找到規律.

二、反比例函數的應用

利用待定系數法確定反比例函數：①根據兩變量之間的反比例關系，設

k

求函數

方法步驟

關系式

②代入圖象上一個點的坐標，即x、y的一對對應值，求出衣的值；

③寫出關系式_____________________________________________________

反比例函數與一

求直線尸&x+6（AW0）和雙曲線的交點坐標就是解這兩個函數關

次函數的圖象的交點

的求法系式組成的方程組_____________________________________________________

（二）題型、技巧歸納

考點1：反比例函數的概念

技巧歸納：判斷點是否在反比例函數圖象上的方法有兩種：一是口算選項中點的橫坐標與縱坐標乘積

是否都等于比例系數，二是將選項中點的坐標諸個代入反比例函數關系式，看能否使等式成立.

考點2：反比例函數的圖象與性質

技巧歸納：1、比較反比例函數值的大小，在同一個象限內根據反比例函數的性質比較，在不同象限內，

k

不能按其性質比較，函數值的大小只能根據特征確定.2、過反比例函數y=;的圖象上的某點向兩坐標軸作

垂線，兩垂線與坐標軸圍成的矩形的面積就等于IR,故而常過圖象上某點向坐標軸作一條或兩條垂線，引

出三角形或矩形的面積來解決問題..

考點3反比例函數的應用

技巧歸納：先根據雙曲線上點C的坐標求出m的值，從而確定點C的坐標，再將點C的坐標代入一次

函數關系式中確定n的值，在求出兩個函數關系式后結合條件可求出三角形的面積.過反比例函數y=5的

圖象上的某點向兩坐標軸作垂線，兩垂線與坐標軸圍成的矩形的面積就等于|川，故而常過圖象上某點向坐

標軸作一條或兩.條垂線，引出三角形或矩形的面積來解決問題.

一、單選題

L（2021?山東濱州?中考真題）如圖，在.OAB中，NBQ4=45。，點。為邊A3上一點，且3C=2AC.如

o

果函數y=j（x>0）的圖象經過點3和點C那么用下列坐標表示的點，在直線BC上的是（）

A.(-2019,674)B.(-2020,675)

C.(2021,-669)D.(2022,-670)

【答案】D

【分析】

根據反比例函數圖象上點的坐標特征，求出&C點的坐標，再寫出5C解析式,再判斷點在BC上.

【解析】

解：作CEA.OA,

NBa4=45。，

.-.BD=OD,

設B(a,a),

9

。=一,

a

「?。=3或〃=-3(舍去),

:.BD=OD=3,

伙3,3),

BC=2AC.

?AB=3AC,

BD^OA,CEYOAf

：.BDHCEi

..?.ΔABZ>z^ΔACE

BDABC

—二3,

CEAC

.3&

??—二J,

CE

.?CE=lf

,?,圖象經過點C,

...11=—9,

X

.?.X=9.

C(9,l)

設BC的解析式為y=丘+%

∫3=3A+6

[1=9^+Z?'

k=--

解得3,

b=4

V=——x+4,

3

當x=-20I9時，＞=677,

當X=-2020時，尸677；,

?

當x=2O21時，y=-669∣,

當x=2O22時，y=-67O,

故選：D.

【點睛】

本題考查反比例函數圖象匕的點的性質，能求出BC的解析式是解題的關鍵.

2.（2021?江蘇常州?中考真題）為規范市場秩序、保障民生工程，監管部門對某一商品的價格持續監控.該

商品的價格M（元/件）隨時間r（天）的變化如圖所示，設%（元/件）表示從第1天到第f天該商品的平

均價格，則為隨t變化的圖像大致是（）

【答案】A

【分析】

根據函數圖像先求出％關于f的函數解析式，進而求出上關于r的解析式，再判斷各個選項，即可.

【解析】

解：：由題意得：當仁性6時，χ=2f+3,

當6V∕≤25時,M=I5,

當25<z≤30時，y∣=-2r+65,

，當1W∕≤6時，y,=(5+2f+3)f—+4,

2

^(5+15)×6,J30

當6<r≤25時，y2=-——γ—+15(r-6)÷r=15---,

(5+?,6+]5X(25.6)+口3+(?+：5)]X(T5)

當25V∕≤30時,

630

+64,

.?.當t=30時，必=13,符合條件的選項只有A.

故選A.

【點睛】

本題主要考查函數圖像和函數解析式，掌握待定系數法以及函數圖像匕點的坐標意義，是解題的關鍵.

3.(2021?內蒙古?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，矩形048C的04邊在X軸的正半軸上，OC邊

2

在y軸的正半軸上，點8的坐標為(4,2),反比例函數y=-(x>0)的圖象與8C交于點D,與對角線OB

X

交于點E,與AB交于點片連接。￡),DE,EF,DF.下列結論：①SinN￡X9C=CoSNBOC；②OE=BE；

)

D.1個

【分析】

根據題意，圖中各點的坐標均可以求出來，SinZDoC=三CD，cosNBoC=OWC,只需證C明D三OC即可證

ODODODOD

2

明結論①；先求出直線。8的解析式，然后求直線OB與反比例函數>=—(x>0)的交點坐標，即可證明結

X

論②：分別求出SMOE和S"一進行比較即可證明結論③；只需證明AoC*_。8尸，即可求證結論④.

【解析】

解：；。4BC為矩形，點8的坐標為(4,2),

,A點坐標為(4,O),C點坐標為(0,2),

2

根據反比例函數y=*(χ>0),

X

當y=2時，X=I,即D點坐標為(1,2),

當％=4時，γ=∣,即F點坐標為(4,?),

VOC=2,CD=I,

?>?OD=√2?÷F=√5

VOC=2,CB=4,

,?OB=y∣22+42=2亞，

：.sinZDOC=-=-^==—

OD455

cosZ-BOC-----——γ=——，

OB2√55

JsinZDoC=∞sZBOC,

故結論①正確；

設直線08的函數解析式為:

點8代入則有：2=4%,

解得：k=g

故直線03的函數解析式為:

\9

當?=一時，占=2；/=-2(舍)

2X

即X=2時，y=l,

???點E的坐標為(2,1),

???點E為。8的中點，

：.OE=BE,

故結論②正確；

VCD=],AF=L

2

3

：.BD=3,BF=j

2

13

由②得：Sdoe=SDBE=5XBD×?=—?

13

SBEF=-×BF×2=~,

BEF22

,*S^DOE=SABEF，

故結論③正確；

在RtAOCD和RNDBF中，

OCCDB3C

--=2,---=K=2

CDBF3

2

.?...OC*DBF,

：.OD:DFOC:DB^2:3,

故結論④正確，

綜上：①②③④均正確，

故選：A.

【點睛】

本題主要考查矩形的性質，相似三角形判定與性質，銳角三角函數，反比例函數與幾何綜合，結合題意求

出圖中各點坐標是解決本題的關鍵.

4.（202卜內蒙古通遼?中考真題）定義：一次函數y=ox+6的特征數為[a,6],若一次函數y=-2x+機的圖

象向上平移3個單位長度后與反比例函數y=-±的圖象交于A,B兩點,且點4,B關于原點對稱，則一次

X

函數y=-2x+w的特征數是（）

A.[2,3]B.[2,-3]C.[—2,3]D.[—2,-3]

【答案】D

【分析】

3

先求出平移后的直線解析式為y=-2x+〃?+3,根據與反比例函數y=-±的圖象交于A,B兩點,且點A,B

X

關于原點對稱，得到直線y=-2x+m+3經過原點，從而求出力，根據特征數的定義即可求解.

【解析】

解：由題意得一次函數y=-2x+m的圖象向上平移3個單位長度后解析式為y=-2x+機+3,

3

?.?直線y=-2x+∕n+3與反比例函數y=-2的圖象交于A,B兩點，且點A,B關于原點對稱，

X

，點A,B,。在同一直線上，

直線y=-2x+%+3經過原點，

m+3=0,

m--3,

二一次函數>=-2x+m的解析式為y=-2x-3,

一次函數y=-2x+〃?的特征數是[-2,-3].

故選：D

【點睛】

本題考查了新定義，直線的平移，一次函數與反比例函數交點，中心對稱等知識，綜合性較強，根據點A,

3關于原點對稱得到平移后直線經過原點是解題關鍵.

3

5.（2021?四川樂山?中考真題）如圖，直線《與反比例函數y=—（x>0）的圖象相交于A、B兩點，線段AB的

中點為點C,過點C作X軸的垂線，垂足為點0.直線4過原點O和點C.若直線&上存在點尸（〃?，〃），滿

C.3+石或3-石D.3

【答案】A

【分析】

根據題意，得A(l,3),8(3,1),直線4：y=x；根據一次函數性質，得m=";根據勾股定理，得

PC=J2(∕n-2)2；連接∕?,PB.FB,根據等腰三角形三線合一性質，得C(2,2),OCYAB-,根據勾股

定理逆定理，得NABZ)=90。；結合圓的性質,得點A、B、D、P共圓，直線《和AB交于力:凡點F為圓

心；根據圓周角、圓心角、等腰三角形的性質，得FC=三：分PC=P尸+尸C或PC=P尸-尸C兩種情況,

2

根據圓周角、二次根式的性質計算，即可得到答案.

【解析】

根據題意，得人仁，3),即A(l,3),δ(3,l)

:宜線4過原點。和點C

二直線4：y=χ

?.?尸(〃?,〃)在直線4上

/.m=n

PC=y∣2(m-2)2

連接Λ4,PB,FB

.?.C(2,2),OClAB

過點C作X軸的垂線，垂足為點。

/.0(2,0)

,22222

?.AD=7(2-1)+(O-3)=√10,AB=?/(?-?)+(3-1)=2√2,BD=5∕(3-2)+l=√2

二AD2=AB2+BD?

'ZABD=90°

，點A、B、。、P共圓，直線％和AB交于點凡點尸為圓心

：?cosZADB=—7=

AD√10

VAC=BC,FB=FA=-AD

2

/.ZBFC=-ZAFB

2

?：NAPB=ZADB，且ZAPB=-NAFB

2

ZAPB=ZADB=ABFC

.cosZAPB=cosZBFC=—==

??FB√10√10

2

.“夜

??rC=-----

2

：.PC=PF+FC或PC=PF-FC

當PC=P尸-FC時，ZAPB和NAr)B位于直線AB兩側，BPZAP