南開中學2024屆高三第一次月檢測

數學學科試卷

考試時間：120分鐘

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷兩部分，共150分.考試結束后，請交回答題卡.

第I卷

一、選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

A-<x|x2-3.-0'B-：1,2,3,41則

1.已知集合；（6）（）

AB

A.B.{1,2,314

1,23,44

2.“sinx_0”是“c°sx1”的（D.

A充要條件充分不必要條件

必要不充分條件既不充分也不必要條件

3.函數/⑴Tx|sin2%的部分圖象可能是（

A

2

,0,）/

4.下列函數中，是奇函數且在（上單調遞減的是（

sinx

A.y二2

C.y=1g'f.2x

28

5.計算：j°+*log2lflglO+lne+log4W<（）

A.0B.—C.2D.3

2

1（1A09i

6.已知a-sin-,,_.,c-—log9）

3⑴2則（

27

A.a^ccbB.a<b〈cC.b<a<cD.c-a-b

7.已知J^cos；”—；cos（i—,則sin[2u—'）

I6）3L6）（

第1頁/共5頁

8.將函數（/戶-3sm勿+展的圖象向右平移個單位長度后，所得圖象對應的函數為y且工

=（）一

,有

下列命題：

①函數g5的圖象關于直線兀

對稱

②函數g廂圖象關于點歷，0；對稱

③函數g腑]或，,上單調遞增

④函數g用10,23上恰有5個極值點

其中正確的命題個數為（）

A.1B.2C.3D.4

,Inx-2,x>0

9.設函數/'（x）=!.：n1有7個不同的零點,,則正實數”的取值范圍為（）

isin.（*）x4—-—，-兀[%二0

114）2

「1317）「1721、「49651；6573

AB

-[XT）-[TT）c./，可DTT

第n卷

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.）

10.已知i是虛數單位，化簡一3二2i的結果為______

1.21

11.在代數式’4的展開式中，常數項為—

2

12函數fX2sin（（■>%4（,）>0,——?”一；的部分圖象如圖所示，則1不=__________

?122/kJ/

第2頁/共5頁

13.在亞運會女子十米跳臺決賽頒獎禮上，五星紅旗冉冉升起，在坡度15。的看臺上，同一列上的第一排和

最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60。和30。，第一排A點和最后一排E點的距離為94米（如圖所示），

則旗桿的高度為米.

14.已知定義在［+，）上的函數（）,當xc［0,2）時，（）_（|I）

0,fx，且對任意的實數

1（x{*161x1

xw［2"一2,2""2）（〃-N,，〃三2（）=一廣一-1,若函數（g）冬（f>logflx

fx2{2i有且僅有

），Mt

五個零點，則。的取值范圍_________.

15.記（）*nx+ax+耳（<7>0）在區間［+］（為正數）上的最大值為Mt（a,b）,若

fxt,t2

{b\Mr（a,b）>ln3^a}R,則實數/的最大值為.

三、解答題（本大題共5小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

16.已知函數/（%）-23瓜一+x2sin（7i+x）cosx-旨

（1）求V制最小正周期及對稱軸方程;

兀兀

（2）當無三—時，求（）的最大值和最小值.

-42J

17.在便43。中，角A,3,C所對的邊分別為a,6,c,其中1,已知“ccos/1ZtzC0SjKC0SC

（1）求角B的大小;

（2）若》2+3,2=12—5。。，求了IBC面積的最大值.

18.如圖，在四棱錐PA3CD中，P4一底面ABC。，AD.AB,AB//DC,ADDC=AP2,

第3頁/共5頁

AB1,E為棱尸C的中點.

(1)證明：BE//平面尸AD；

(2)求直線3E與平面尸3。所成角的正弦值；

(3)求點。到平面P3C的距離.

19.已知橢圓C:二，匚1。60的離心率為它，短軸長為2J5.

ab,、、、2

(1)求C的方程；

k.k/0.

(2)如圖，經過橢圓左頂點A且斜率為()的直線/與。交于A,B兩點,交y軸于點點尸為

線段A8的中點，若點E關于冗軸的對稱點為“，過點石作。尸(。為坐標原點)垂直的直線交直線于

點且面積為巫，求上的值.

3

Inxa

20.已知函數()

X1X41

Fx

(I)設函數(。%(一x-l)F(x),當〃—2時，證明：當九二j

時，。XQ

(11)若尸(無)、0恒成立，求實數〃的取值范圍;

aa

()有兩個不同的零點而，沏，證明：2后—2a■：.|x2-x.I<e-e

(HI)若使px1211

第4頁/共5頁

南開中學2024屆高三第一次月檢測

數學學科試卷

考試時間：120分鐘

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷兩部分，共150分.考試結束后，請交回答題卡.

第I卷

一、選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.已知集合A-產，2》3、0,，B；1,2,3,4[，則（6）（）

AcB=

A.{}B.{1,2,3}C.{1{}

1,23,44

【答案】BD.

【解析】

【分析】首先解一元二次不等式求出集合A,再根據補集、交集的定義計算可得.

【詳解】由P2x-3.0,即（+）（）>0,解得x>3或登；-1'

x1x3

所以{2}

A-x|x-2x-30{x|x>1

所以6RA-；X|1<XL3；.,或

又B11,2,3,4[.m2"）B={1,2,3）.

故選：B

2.“sinx-0”是“c°s%i”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】根據充分性和必要性的定義結合同角三角函數的關系即可得出結論.

5廨fmx-u,根據三角函數的基本關系式，可得8sx.士心^.如，

反之：若c°sx=L根據三角函數的基本關系式，可得sinx=±71-cos2x.0,

所以“smx0”是"cosxT”的必要不充分條件

故選：C.

3.函數f（x）-IxIsin2x的部分圖象可能是（）

第1頁洪21頁

【答案】c

【解析】

【分析】根據“X)是奇函數，排除B,再取特殊值驗證.

【詳解】因為/X-x)-1-x|sin(-2x)-|x|sin2x-/(x)

nJT[CZ*/兀J兀1(r?*

所以f(x)是奇函數，排除B,由廣，亍I-0,排除A,由九1一1，排除D.

故選：C.

【點睛】本題主要考查函數的圖象和性質，還考查了數形結合的思想和理解辨析的能力，屬于基礎題.

4.下列函數中，是奇函數且在)上單調遞減的是()

2e

C.y-lg^4x+l-2x^D.y-

【答案】c

【解析】

【分析】根據奇偶性定義、對數函數、指數函數單調性，結合復合函數的單調性依次判斷各個選項即可.

【詳解】A選項：(力X2/(町，不是奇函數，故A選項錯誤；

B選項：f[x1Sin(X)--sin%.^fx,不是奇函數，故B選項錯誤；

-%-%X_()

c選項：因為(/)肉定義域為R，

且八一?+/(%)=lg("^一)一)(22)()是奇函

+1+2x+lg4x+12x-1g4x-t-1-4x-Igl-0.fx

數.設'丁2_i_2x-1——，"

.1,2%

因為‘聲"(。一

y一Igf在(0,一)

上單調遞減，上單調遞增,

由復合函數單調性知，()去X(+℃)上單調遞減，故C選項正確;

0,

第2頁洪21頁

11x1

/U)--7P因為y-e,y(+8)上都單調遞增，所以(虎￡蟲+，9,上單

0,

在

調遞增，故D選項錯誤,

故選：C.

5.計算:+em2-log21+lgl0Jne?+log/的值()

15

A.0B.——C.2D.3

2

【答案】B

【解析】

【分析】根據指數及對數的運算法則計算可得;

315

110ln22

【詳解】-+e-log2UlglO+lne+log481-2-0U+2.|log22-

故選：B

1\0.91

D-

6.已知<7-sin-,—I,c=—log9)

33/2，則(

27

A.a.c.bB.abcC.bacD.c<a-b

【答案】A

【解析】

【分析】化簡得

c=L，構造函數/'(X)=sin%-%,xu|0,4|sinx<x,xc0,—|,可

3I2人通過導數可證得I2)

得a、：c,而Z?-,—|c,從而可得答案.

【詳解】，一;l°g279-；“昌一；，|||一；

.71

設f(x)-sinx-；0,—，則有「(x)-COSX-0,f(x)單調遞減,

jr,故；即?

從而f(x)</(0)-0,所以sinxvX,xc'0,—sinac

[2

0.9]

而

b=f，—

>—Cf故有a?二c?b.

I33

故選：A.

第3頁洪21頁

7.已知曲cos；“-三：—cos”一一，則sin|2a-K；-)

I6)3I6；(

【答案】A

【解析】

【分析】利用三角恒等變換化簡已知條件，結合誘導公式、二倍角公式求得正確答案.

______心r兀\2

【詳解】V3cos[ix-Jcosa--,

(/J1)2

I22)3

A/3.1.(7i\2

22I3

(jr\兀，71l"l

sin2a——；-cos—2cx--；'

I6)[26H

-cos!--2a]-cos7i-'2(x+—；!

(3)[I3〃

=-cos(2?-f-—j-2sin2|"+—j-1

=2x([2-j丫-1=--1.

故選：A

1兀兀

8.將函數(/,y/sin的圖象向右平移z個單位長度后,所得圖象對應的函數為yg%

\O/o=()

,有

下列命題：

①函數g地圖象關于直線無一兀對稱

②函數g師圖象關于點1彳，°;對稱

△、「兀5兀1

③函數g用?五，五j|上單調遞增

第4頁/共21頁

④函數g概￡1。,2兀1上恰有5個極值點

其中正確的命題個數為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根據函數圖象平移變換的特點，利用正弦弦函數的對稱性、單調性、最值，結合函數的極值點定

義逐項判斷即可求解.

I詳的函數(力廠3叫2口力的圖象向右平移4個單位長度后，所得圖象對應的函數為

y--3sin2x3sinj2x\,

.兀5

對于①，當X-兀時，g(7T)-3sin[2兀--j-不是函數yhg(x)的最值，故①錯誤;

n

對于②，當X―上時,|展卜3sin2?3一0

123故②正確;

“工乙八上K5nc7131

對于③，當工€24,24'^^2X^6i~14,4，故函數在該區間上單調遞增，故③正確;

對于④，令2x—+x」R」(k「Z)左一0,1,2,3

62{1,解得23，,，當時，

兀5兀4兀11兀[八_I.A/-t-t-1,x-x,、r

x二一,—?——,,在0,2兀上有4個極值點，故④錯灰.

3636

故選：B.

）叫|lnx|-2,x>0

設函數（）（

9.rx=1Ti\1有7個不同的零點，則正實數”'的取值范圍為(）

Lsin（j）x-f—!—?—，-兀二元三。

I4）2

「4965]?6573\

C[司司D.11r司

【答案】C

【解析】

【分析】分段函數分段處理，在0各有1個零點，所以兀WxWO有5個零點，利用三角

函數求出所有的零點，保證-兀WxW0之間有5個零點即可.

【詳解】由題，當“之1時，/(x)_x+lnx2,顯然f(x)在U，+”>/(l)--l-0

上單調遞增，且，

第5頁洪21頁

()=2^1n2-2：0/(x)4(l,+x)

f2,此時在有一個零點；

1V()

當。二%?1時，f(x)-X-Inx-2/'(%)-1',所以/⑴在(0』)上單調遞減,

=4+2-210,此時/X)在(0,1)上只有一個零點;

e

/兀\1./兀1

所有當一兀WxWf(x)=sin|1」——有5個零點，令(f~x，Q[Jsin,(■>%4—即

0時，\42k4j2

7171G7715兀-,.

(*)x-f-———?2&JI,或十一一---+2左兀，左匚Z,

4646

解得-『2航，或噌+2尿，kJ，

X=—-X=——--------

0J(!)

兀7兀工兀

--2712

當左—0時，x12，元12；當“］時，x

1---------2---------312嗔12

兀/兀

71_-

當上一2時，x-12-r_12

5,46-

(!)(1)

71

4A兀

12—3

由題可得-兀WxWo區間內的5個零點,(!)

7兀A

-----4兀

-1--2-------JL77r

竺,即3.竺竺)

解得——(O

1212[1212A

故選：C.

【點睛】分段函數的零點問題點睛：根據函數的特點分別考慮函數在每段區間上的單調性，結合零點存在

性定理，得到每一段區間上的零點的個數，從而得出函數在定義域內的零點個數.

第II卷

二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分.)

3-2i

10.已知i是虛數單位，化簡一二的結果為____________

1?21

1Q

【答案】_l_2i

55

【解析】

【分析】運用復數運算法則計算即可.

第6頁洪21頁

，、*即、2

3-2i(3-2i)(l2i)3-6i-2i+4i3—8i.418

［詳解］----------------------------------5----------------------——i.

2

l+2i(l+2i)(l-2i)l-4i1+455

1Q

故答案為：--i.

55

11.在代數式1&--I的展開式中，常數項為____________.

I%/

2

【答案】-5

【解析】

【分析】寫出二項式定理的通項，化簡后，使得x的指數募為0,即可求得左的值.

【詳解】〔口丫的展開式的通項為：［f-4)qx^(-iy

\x))\X)

5-5r,(1\5

令三一-0,解得廠1，所以72」-￡(-1)--5,|?-丁;的展開式中的常數項為-5.

2

故答案為：-5

兀兀、I兀

12.函數f12s叫…叫"。,一萬的部分圖象如圖所示，則f步---------

【答案】V3

【解析】

【分析】根據函數(y的圖象結合正弦函數的圖象及性質，求得函數的解析式，再代入求值即可.

/<l3T57r(兀\3兀1-).(12兀2

【詳解】由函數()的圖象可知，—------—丁，貝I=71,

412I314(.)

■kn3兀i\c3兀兀ci-r-；兀兀二匚［、1兀

把行()，則2■■—+3—7+24兀'M-----<?--->所以9二-工,

12fx122223

代入(一

所以-2sin2龍,

第7頁/共21頁

=2sin2-

所以f7)iJ|'r2sin1^V3

故答案為：73.

13.在亞運會女子十米跳臺決賽頒獎禮上，五星紅旗冉冉升起，在坡度15。的看臺上，同一列上的第一排和

最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60。和30。，第一排A點和最后一排E點的距離為9a米（如圖所示），

則旗桿的高度為米.

c

第一排

【答案】27

【解析】

【分析】根據已知可得EC430。，在4cAC，再利用Rt^ABC中計算可得答

中由正弦定理可得

【詳解】由圖可得，ECA-360。.90?！?0?！?0。J0。，

“ACEA

在AEAC中,由正弦定理可得sin（3075。）無而,

即.345。舄^與9限2=183

在RdABC中，.CA3-60。，可得3c一AC.sin60。一189,由一27米.

故答案為：27.

14.已知定義在[十/）上的函數（），當xc[0,2）時，（）=（-I-I）

0,fx，且對任意的實數

1/fx161%1

工€[2"-2,2'"一2）（〃，N*,〃三2（）一一1,若函數（g）法（/?林logflx

fx212i有且僅有

），都有'

五個零點，則。的取值范圍__________.

【解析】

第8頁洪21頁

【分析】寫出了(x)的解析式并畫出了(x)的圖象，結合已知條件將問題轉化為y=/(x)圖象與1

圖象

(0,+，，)上有且僅有5個交點，結合圖象分析即可求得結果.

[詳解]當XCLU⑷,/Wio”IX-1|；

當〃一2時，x^[2,6),止匕時巳-1.[0,2),則/1)-16(1|--21)8(1|--2|),

222222

當時，xe[6,14),此時二-lc[2,6),則/"(x)-!/'(三一1)一1?8(1-|三-1|)-4(1-|--1|)-

22224242

當〃=4時,xw"叫此時土]叵14),則

2

上/、1q/X八1..XII..,XII,、

f(x)-I)=—,4(Z1I|——I)-2(I|——|),

2228484

因為g(x)-/(x)-log.x有且僅有5個零點,

所以y=/(x)圖象與1一1°&尤圖象在(0,U)上eH墳刊

5個交點,

如圖所示，

由圖可知，當經過點A(10,4)時，兩函數圖象有4個交點，經過點3(22,2)時，兩函數圖象有

6個交點，

所以當y“X)圖象與k2gM圖象在5個交點時，貝IJ

第9頁/共21頁

al

'logfl104,解得1年.4夕.

?log。22：-2

故答案為：(10；,/5.

15.記()41nx+ax+4(a：.0)在區間[+](為正數)上的最大值為M(a，"，若

fxt.t2

[b\Mt(a,b)>ln3^a}-R,則實數/的最大值為.

【答案】1##0.25

4

【解析】

【分析】由函數單調性性質及圖象變換可畫出了(X)的圖象，進而可得Afr(a,6)=/?),結合已知條件可知

由/'⑺=加+2)b皿/'④，＞'2".1),

只需只/)ln3+a,即一(ln」+R+b)ln3+a

可得-2

聯立兩者進而可求得結果.

【詳解】設g(x)-Inx+ax+b,(a--0)'定義域為(o,(y)

由單調性性質可知，g(x)在(0,"—

當X趨近于0時，g(x)趨近于，X+，時,g(x)+了

;當趨近于趨近于

設g(沏)=0,則g(x)的圖象如圖所示，

,/(?),/(?)>/(/-1-2)

則由圖象可知，〃蟲-max2)L,仙,劣］⑺、加，2)

第10頁/共21頁

所以跖(。))三/⑺，

當f⑺一十2)時，有-(ln/十點十Z?)1口?+2)十〃?十2)十/?

9

Dln(r+2)+In/卜2a(t+1)

則----------------------,?

-2

又因為"陷八。，"兄K

所以f(t);-ln3+a,即一(In[+成+6);ln3+a

所以史mrs皿a，②

小gc/口InQ?2)+In?+2a(tt1),,

由①②得—---------------——--一In"R-ln3o-a，

2

整理得ln?+2)2ln/+21n3」n%,即“"",

所以仁-.

4

1

t—.

故的最大值為4

故答案為：-

4

【點睛】恒成立問題解題方法指導：

方法1：分離參數法求最值.

(1)分離變量.構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.

⑵a/(x)恒成立u>aj/(x)；

max

a</(x)恒成立=a=/(x)；

min

a-于(x)能成立oa>/(x)min；

a</(x)能成立oas/(x).

max

方法2：根據不等式恒成立構造函數轉化成求函數的最值問題，一般需討論參數范圍，借助函數單調性求

第11頁/共21頁

解.

三、解答題(本大題共5小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

16.已知函數/(x)-23qGs2；-t-x2sin(7i+x)cosx出

12

(1)求《》的最小正周期及對稱軸方程;

7C71

(2)當時，求()的最大值和最小值.

4,2

fx

5兀wzj

【答案】(1)T—兀，X--+2k

(2)Win,丁5=2

【解析】

【分析】(1)根據誘導公式以及二倍角公式化簡，再根據周期公式、對稱軸公式進行求解;

(2)由x的取值范圍求出整體角的取值范圍，再結合正弦型函數圖像及性質得出結果.

【小問1詳解】

廠「(n廠

f(x)2yJ3cos|—(+),V3

-<2)\2sin7ixcos%

-2VW'xi2sinxcosx-A/3-73(1cos2x)+sin2x-^3

sin2x/cos2%2sin2x-

故周期為丁二絲二兀，

2

令2%-三一三十E,左,Z,解得工一色+色"Z)

32122

對稱軸方程》二區.

122''

【小問2詳解】

jrI

f(X}2sin2x」

3,

兀兀.*。兀兀2兀

—.x<—,??/=2x——七—

4―2363

?兀1if?r1

當‘三時，即X=￡時,Sin/min-sin——,此時yI,

6462min

第12頁/共21頁

止r■兀口4nn3兀I.I.兀i。

當—時，即x—時，sin.%max-sin—1,此時ymax―2.

2122

17.在“WC中，角A,B,C所對的邊分別為a,6,c,其中三，已知"ccos/1"cosbcosc

2

(1)求角B的大??；

(2)若。2.3°2—12.5。。，求遇與。面積的最大值.

【答案】(1)*

(2)

8

【解析】

【分析】(1)根據正弦定理邊化角或余弦定理化簡原式，根據°’所以cosC,0或

2

〃2序_21

――化簡即可得出COS3即可得出答案；

2b2

(1)根據余弦定理結合第一問得出的角8的大小得出片十02.b?=ac,結合已知“2+3°2-12一5公

得出4GCT4c2=12,根據基本不等式得出4c212<_,即可由三角形

面積公式得出答案；或將/+4ac-4c212化簡為(a+2c產1Z,由三角形面積公式結合基本不等式得

出AABC的面積SLacsinB一Bac一好a.2c、：”，即可得出答案?

2488I2J8

【小問1詳解】

萬法一：由根據正弦定理邊化角得：sinB-sinCcosA2sinAcosBcosC,

即sin(A+C)-sinCcosA-2sinAcosBcosC,

匚Ui、〕sin/icosczsin/icos^cosc

所以，

因為C'L,所以COsCrO,

2

sin/i：-uma1

又，所以cosDB--,

2

又0.B71,所以3

3

方法二：由〃"OSAztzcos^cosc根據余弦定理：

,,Z?*23+c2-a-a-rb--c2

得B一c----------2acosB-----------,

2bclab

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22222

pn-C+aa+b-c

即---------------2cos3

2b2b

r7T在［、］a?ib2c2

因為一，所以-----------r0

22b,

所以cosB」，又03；兀B

2，得3

【小問2詳解】

a24.c2~b21

方法一：由（1）及余弦定理知cosB-------------—，

2ac2

所以。2十，62QC,

因為〃+3c之125ac,

222

所以/+C-（12-3C-5ac）-ac,化簡得"14ac-,4c=12,

因為WU'C”,

所以4c2.124ac-2-a-2c,

所以ac三:，當且僅當。一2c一3即a-/,c-9時取等號，

，2

所以AABC的面積s-1acsinB-6-ac＜上行，

248

所以AABC面積的最大值為之目.

8

方法二：由（1）及余弦定理知C0S5---------上，

2ac2

所以a，，-〃-ac.

因為。243c2_125ac,

所以后+。2_02—3。2一5。。）-ac,化簡得。2+4ac.4c2r2,即（a+2c產12

]小

所以△ABC的面積S--acsinB--etc-

28

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當且僅當a-2c-JI,即a-曲,c-g時取等號,

所以AABC面積的最大值為任，

8

18.如圖，在四棱錐「ABCD中，P4一底面ABC。，AD.AB,AB//DC，ADDC=AP2,

AB1,E為棱尸C的中點.

(1)證明：3E//平面PAD；

(2)求直線BE與平面所成角的正弦值;

(3)求點。到平面PBC的距離.

【答案】(1)證明見解析

⑵g

(3)迪

3

【解析】

【分析】(1)以A為原點建立空間直角坐標系，利用向量法證明線面平行；

(2)求出平面尸皮＞的一個法向量，再由向量法求解；

⑶求出平面P3C的法向量式-(XI，M，Z).

一1,再由向量法求解

【小問1詳解】

解：以點A為原點，AB,AD,AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系.

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可得41,0,0),C(2,2,01,q0,2,0),C0,0,2),由助棱PC的中點，得(E1,1,1),

向量BK（0,1,1），AB（1,0,0）

i^B