第三節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

【課標標準】1.會推導兩角差的余弦公式2會用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正

弦、正切公式.3.掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會簡單應用.

必備知識夯實雙基

知識梳理

1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(a±β)=.

(2)cos(α±6)=.

(3)tan(a±B)=.

2?輔助角公式：“sinx+6COSX=------------，其中Sin9=春,cos9=∕?

［常用結論］

1.公式的常用變形

(1)tana±tan/?=tan(?±^)(1+tano?tan￡).

tanα+tanβ_tanα-tanβ

(2)tanrx?tanβ=11.

tan(α+β)tan(α-β)

2.常用拆角、拼角技巧

2a=(a+β)+(α-β)；a=(a+β)-β=(a-β)~?~β;4a-β=(a~γ)+(γ-β);

夯實雙基

1.思考辨析(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角0,S是任意的.()

⑵存在實數ɑ,使等式sin(α+尸)=sina+sinβ成立.()

(3)公式tan(α+(=Jan0t+ta嗎可以變形為tana+tanS=Ian(α+^)(l—tanatanβ),

1-tanextanp

且對任意角扇/?都成立.()

(4)γsinα÷∣cosa=sin(α÷^).()

2.(教材改編)sinI640?sin2240+sin2540?sin314°=()

1

A.—B.

22

_1

C.--D.

22

3.(教材改編)若tanα=1,lan(α+p)=點則tan￡=.

4.已知π<a<a+β<2π,且滿足cosa=-1∣,cos(a+β)=^^,則β=.

5.(易錯)已知α,/3為銳角,且COSα=意，cosB=焉則a+片

關鍵能力?題型突破

題型一兩角和與差的正弦、余弦、正切

例l(1)[2023?河北衡水模擬]己知α為銳角，且sin(α+f=sin(α—工)，則tana=()

36

A.√3B.2+√3

C.√6D.√6+√3

(2)[2023?安徽蕪湖模擬]已知在aABC中，tan4,tanB是X的方程/+切。+1)+1=0

的兩個實根，則NC=.

題后師說

在使用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式時，首先要記住公式的結構特征和符號變化

規律，特別要注意角與角之間的關系，完成統一角和角轉換的目的.

鞏固訓I練1

(l)[2023?河北張家口模擬]已知COSa=0<α<-,則sin(α+>=()

A.四B.這

1010

C.—在D.一型

1010

(2)[2023?山東濟南章丘四中月考]若cosa=；,PI1Jcos(-÷cc)cos(-—?)=()

566

A.—B.—

100100

題型二兩角和與差的正弦、余弦、正切的逆用與變形

例2(1)已知M=Sin100o—cos100o,TV=√2(cos44ocos78o+cos46ocos120),P=

浣霽，那么M,N,P之間的大小順序是()

A.M<N<PB.N<M<P

C.P<M<ND.P<N<M

(2)[2023?河北石家莊模擬]已知sina÷cos,cosa+sin夕=*則Sin{a~?~β)=

(3)[2023?河南南陽模擬]log2(l+tanl0)÷l0g2(l÷tan2o)÷log2(l+tan3o)÷???÷log2(l÷

tan45。)=.

題后師說

(1)逆用公式時，要準確找出所給式子和公式的異同，創造條件逆用公式.

(2)逆用公式時，要注意公式成立的條件和角之間的關系.

鞏固訓練2

(1)一三一二震的值是()

'zSinlOosin80°\/

1

A.1B.2C.4D.?

4

(2)[2023?江蘇蘇州一中月考]計算:tanIO0+tan20o+tan30o+tan10otan20otan30°=

題型三角的變換問題

例3(1)已知cos(0+")=∣,a∈(0,?),則cos(a+；)=()

B?3

A?1*05

C.一涯D.立

1010

(2)［2023?山東濟寧模擬］已知SinG—α)=-3cosG+份=［且Q∈g,?,jβ∈(θΛ),

45413444

則cos(α+^)=()

.16C56

A.—B.—

6565

C.-D.-

6565

題后師說

利用角的變換求三角函數值的策略

鞏固訓練3

⑴己知a∈(0,-),sin(?+-)=^,則Sina的值為(

445)

_V2√2

A.B.

1010

7√2

D.-

CYio

(2)[2023?安徽淮南模擬]已知0<α<^,BSV兀，sina=∣,CoS(G+')=-%則SiIl尸=()

24

AA.——24B.

2525

d

c?得嗯?。或最

第三節兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

必備知識?夯實雙基

知識梳理

1.(1)sin6tcosB±CQSasinβ(2)cosɑeos歷SinISinβ(3)‘警"士匕，

ffλI=Ftanatanfβ

2.√α2÷h2sin(X+9)

夯實雙基

1.答案：⑴J(2)√(3)×(4)×

2.解析：原式=Sin160?(-cos46o)+(—cos16。)?(一sin460)=sin46o?cos16o-

cos46osin16o=sin(46o-16o)=sin30o=∣

故選B.

答案：B

1_1

tan(α+β)-tanα

3.解析：tan夕=tan[(α+.)-α]=

l+tan(α+β)tanα1+∣×∣7

23

答案：?

4.解析：Vcosa=——,CoS(α+Q)=U^,

1326

且TIVaVa+0V2π,

Λsin?=-?,sin(α+夕)=一(，

Λcos/?=cos[(α+夕)—α]

=cos(a+β)cosa÷sin(α÷^)sina=-y.

?'π<a<a+β<2π,J.0<β<π,:.β音.

答案后

5.解析：因為α,α為銳角，且cosɑ??,cosβ=%所以sina=-η∣=,sinβ

V，UV?V?**

=套由α,S為銳角，可得O<α+S<兀，CoS(G+A)=cosacos夕一Sinasin夕=一字故1

+片乎

答案：V

4

關鍵能力?題型突破

例1解析：(1)因為Sin(Ct+?)=Sin(a一2)，所以工SinCt+與OSa=￡inQ—?eosα,

362222

所以(遮+l)cosa=(√3-l)sin1,所以tana=^ii=2÷√3.

√3-1

故選B.

(2)由題設，tanA+tanB=~m9tanAtanB=m+1,

又tanC=tan[π-(A+β)]--tan(A+β)=-tanA+tanB_?,且o<c<π,

ΛC=-.

4

答案：（I）B（2嚀

鞏固訓練I解析：⑴由CoSa=0<α<p得Sina=|,

所以sin(ot-r~)——sinɑ∣?eosCt——*g+?X~—

故選B.

(2)因為COS(E+ct)cos(工一0)=(CoSICOSQ-sin-?sina)?(cos??eosct÷sin-sina)

666666

=(ycosa—?sinα)?(ycosα+∣sina)=?os2α—?sin2a=?os2α—?(1—cos2a)

219111

=COS~。-—=——

4254100,

故選B.

答案：(I)B(2)B

例2解析：(I)M=SinlOO0-Cos100o=√2(ysin100o-ycos100o)=√2(cos450sinIOOo

—sin45ocos100o)=V2sin550,

N=√∑(cos44°cos78o+cos46ocos12o)=√2(cos440cos78o+sin44osin78o)=√2cos34o

=√2sin56o,

tan45°-tan10。一(2,^5o<↑

1+tanIO0l+tan45otanl0o''

而√∑sin56o>√2sin55o>√2sin45°=1,

所以P<M<N.

故選C.

(2)由于sincc÷cosβ=1,cosa÷sin￡=三,

故(Sina÷cosβ?=1,(cosa÷sin/?)i2=3γ,

兩式相加得：2÷2(sinacos夕+cosɑsinβ)=*

故sinacos夕+cosccsinβ=--,即sin(a~?~β)=L

(3)(1+tanlo)(l+tan44o)=1+tanlo+tan440+tanlotan440=l+tanl0tan44o+tan(lo

+44o)(l-tanlotan44°)=2,

同理可得(l+tan2°)(l+tan43°)=2,…，(1+tan22o)(I+tan23o)=2,

故log2(l÷lanl°)÷l0g2(l÷tan2°)÷log2(l÷tan30)H-----M0g2(l+tan45°)=log2(l÷tan

0ooo23

l)(l+tan2)???(l+tan44)(l+tan45)=log22=23.

答案：⑴C(2箔(3)23

鞏固訓縛2解析?(1)序式=--_______—___=_-______=CoSIo。-√3Sin10。=

0oooooo

仇回川然L解仞.⑴原八siniosin(90-10)sin10cos10sin10cos10

2sin(30。-10。)

i%

-sin20o

故選C.

oootanl0+tan20ooo

⑵因為tan30=tan(10+20)=°°故tan∣o°+tan20=tan30-tan30tan

'''/l-tanl00tan20o

10otan20°,所以tanIO0+tan20o+tan30o+tan10otan20otan30o=tan30o-tan30otan10otan

20o+tan30o+tan10otan20otan30°=2tan30°=—.

3

答案：(I)C(2片

例3解析：⑴因為g∈(0,》所以l+己￡*，羽)，又8S3+J=∣,

所以sin(a+?)=Jl-cos2(α+J=￡

所以CoS(a+；)=cosKa+*+；］=CoS(ct+?)-eos^-sin(a÷γ∣)sin^=∣×y-∣×y=

_V2

10,

故選C.

(2)因為α∈(%γ),6∈(0,》

所以:ae(一；,0),甘蚱弓，≡),

又SinG-α)=—|,CoSG+6)=9,

4O4Io

所以CoSe-Oo=g,sin(：+夕)=￡，

所以cos(a+yJ)=cos[(：+?)—6一㈤],

=Cos(~÷A)cos(：—α)+Sin(：+4)sin(^―a),

=-×-^