2023年安徽省淮南市統招專升本數學自考

測試卷(含答案帶解析)

學校:班級:姓名:考號:

一、單選題(30題)

1.

設/(①)為奇函數?則F(I)=/(①)。一一)為()

A.奇函數B.偶函數C非奇非偶函數D.無法確定

2.

已知函數f(1)=[rsiτvd∕,則/'(/)=()

JO

A.SinjrB.?eos?C.一?eos?D.?sin?

x-I,:::中)存在"

)

{2x+?

3."TB.0G1

4.

.若［?fQ?,y)dσ=「曲]/(廠CO的?FinO)rdr*,則區域Q可表示為()

A.?2+y2≤a2B.X2+y2≤α2?x≥0

2222,

C.X+y≤s,αV0D.?+ey≤<u,α>0

5.

若α≠0,q≠0為常數,則級數Zaqi是()

M-I

A.調和級數B.p■級數

C.混級數D.等比級數

6.

若Iim八"),2/七=—1.則?(?)=()

—3?—916

A.√r+lB./+5

C.Zr+13D.√7T6

7.

OC8

若級數?”，?>“均發散,則必有

IW-J

r*>

A.∑(α,+6J發散B.∑(4l+lAl)發散

*=1n??1

Ca8

C.∑(α≡+?;)發散D.ZaA發數

8.

設/(?r)是連續函數，滿足/(工)=W?丁(/(?)d?.wɑ?im/(?)=()

?I-XJ-Iz-*∞

Λ.0B.?C.?D.?

O八O6

9.

,如果/(?)的一個原函數為E—arcsinι.則"(?r)cLτ=()

A.1+—?-r+CB.1——?+C

]+M/f?Tr

C.?—aresin?+CD.1H-----,1+C

√fl—X2

10.

，設矩陣45為M階方陣，AB=O（。為零矩陣），則下列說法正確的是（）

A.4,B均不可逆B.A+B=O

C.行列式M=O或網=OD.N=O或B=O

11.

當ZfO時,下列無窮小量中，與Z等價的是（）

A.1—cosZB.?/l+?2-1C.ln（1+?）+?'D.e'—1

12.

r?+1??≥O?

曲線/(?r)=1在點(0,1)處的切線斜率是()

(1+sin?,?V0,

A.0B.1C.2D.3

13.

設函數/(?)=ze'.則∕1,,<x)=()

Λ.lθ?e?B.1l?e?

C.(?+lθ)e?D.(x+ll)e?

14.

當工-*0時.函數/（?r）=ln（l+工）一工是函數g（?r）=M的（）

A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小D.等價無窮小

15.

已知函數/(.r)=In2ι.則/“(2)=()

A----LKJ-c

22?~τD?T

16.

設/（1）=1（1+1）（1+3）,則/'（1）=0有1個根.（）

Λ.3B,2C.lD.0

17.

.函數匕=/Q”）在點5，*。）處有兩個偏導數普和答存在,則它住點5.%）處

A.連續B.可微C.不一定連續D.一定不連續

A.[dy]j(?x,y)drB.[dyjf(z,y)dx

ΓI-ΛriDJedyJy(x,y)dz

C.dyf(x,y)dι

18.j?J°

19.

∣.sin.(1-z)

陽(Z-1)2(∕+2)

A?B.-?C.OD

??5-f

20.

已知/(?)=,則工=o為

A.連續點B.可去間斷點

C.跳躍間斷點D.無窮間斷點

21.

已知事件A.B滿足P(AB)=P(R豆).且P(A)=0.4.則P(B)=

A.0.4B.0.5C.0.6D,0.7

22.

.設D={(x,y)II才I≤2.IyI≤1},則Jkrdy=

D

A.8B.4C.2D.0

23.

.函數==/(.3)在點(了…。)處有兩個偏導數空和會存在,則它在點5,R)處

dΛ")!yl

.(

A.連續B.可微C.不一定連續D.一定不連續

24.

/、a+bx2,x≤0,

若函數/(x)=<,I在X=O處連續，則常數α,b應滿足(

ln(l+5x)7,x>0

A.a<bB.a≈bC.a>bD.a≠b

25.

r2.1

蜘雌是(

e

A.

?

e

B.

O

D.

已知y=y(x)由方程92-siny=O所確定，則學=()

dr

22

A,B.-2—

2xycosj-2xy

C.丁+2砂d./

eos?COSJ/+2Λ7

函數y=ln(x-l)+-廠」―-的定義域為()

-√16-X2

27A?(l,4]B.[1,4]C(L4)D.[l,4)

28.

.設函數*=h—4?si∏?r.則翌=()

2ɑ?

29.

1—?

?≠1?

函數/（?）的間斷點為

O..1'=1,

A.?=OB.?=-1

C.τ=1D.不能確定

下列級數條件收斂的是（)

8Vl001

A.B.

<1sinw81

C.D.

30.

二、填空題（20題）

31,與向量｛一3,4.1｝平行的單位向量是

(ln?H-1)d?=

32.J

曲線L為-+√=α2>cVZJ+>'ds=

33.

34若∕2"+">"則/⑺=

若極限Iim―迪絲一=3.則常數α

35.…√1+--1

，2

.lim?/sin二

Jt-DO

36.

37.

過曲線y=aretan??e4∣.的點(0,1)處的法線方程為

xf(?2)ff(x1)d?=

38.

塞級數S品制收斂半徑是

收斂域是

39..，

40.

函數/卜---2+￡++-------------^7，則/(.r—1)=.

22

設平面區域θ:?+√≤K?,則二重積分√R-√-yd,zd3<=

已知Fu⑺]=F(τυ),則函數/(2L5)的傅里葉變換為

81

塞級數∑-A7(X-1)”的收斂區間是

n?l"5

Cl

\/1—Jc2el?=

44.0

若f⑺=Iim(1-1----”則/"(f)=

45.…\

46.

X23?r20,?t?≥0?

設/(?)=<(P(H)=則當<0時,父歡Jr)I

2

X9N<0,—X?工V0,

ln(1+7)_

Iim

x→-∣-ooareeot?

47.

sin2ι

極限Iim

ln(1+aresin?)

48.

49.

設/(x)是可導的函數，/(0)=1,則滿足方程Cy(Z)d,=jζf(x)-χ2的函數

/(?)

aretan?

1÷

50.

三、計算題(15題)

計算定積分1呀l+：)dz.

Jo(2—j?Y

51.

52.

已知某種產品的總成本函數為C(q)=Iooo+q+9(單位：元).其中q為產

量（單位：件）?

求：（1）生產IOO件產品的總成本；

（2）生產100件產品的平均成本；

（3）從生產100件到200件時總成本的平均變化率;

（4）產量為件時總成本的變化率（邊際成本）.

f1+?2??≤0.「3

設∕?(j*)=J求/(?—2)d.r.

le?.∕>0,Jl

53.

y,--------y=(χ+l)2,

求微分方程，x+1?的特解.

y,=0=一弓

54.I

55求y2=2x在（0.5,1）處的法線與y2=2x所圍成的圖形面積.

求不定積分arctan?∕xdjc.

56.J

57.

計算曲線積她（2.ry/）d.r+Gr+V）dy,其中L是由拋物線y=/及.y2=Z所

圍成的區域的正向邊界曲線.

58.

f?=αcos∕,ujz

已知橢圓的參數方程1確定了函數）="1）?求v￥和衿v.

].y=ftsin∕d/（I】

59.

設某產品的需求函數為x=125-5P,若生產該產品的固定成本為IOO(百元)，

多生產一個產品成本增加2(百元)，工廠產銷平衡，問如何定價，使工廠獲得最大利潤？

最大利潤是多少？

60.

求過點(0,2.4)且與平面πιj.r÷2sr=1及及：?—3?=2都平行的直線方程.

求曲線exy+y+cosx-l=0在X=O處的切線方程.

61.

62.

計算二重積分JJG壽匕砂,其中0是圓環區域：a2≤x2+y2≤b2.

D

63.

若函數/"(X)是連續函數，/(2)=3,/'⑵=0,Cy"(x)dx=2,求f∕∕γ2x)(k.

求定積分P手膽Λdx?

64.U√Γ√

計算不定積分fei?.

65J1+s】n?r

四、證明題(10題)

證明對任意］都有Z—>〈工.

66.e

設eVαV〃Ve?,證明In2/?—ln2a>—a).

67.e

68.

設。階方陣人滿足N=O(k為正整數),證明：E-4可逆(E為/1階單

位陣).

證明當M>0時.ln(l+l)>平警.

1+J-

69.

證明：當OV彳Vl時，(l-2)In(l-^z)>2JC.

70.

7］證明：當OVz≤式時t.rsin?I2cosx<2.

72.

設函數/(Z)在閉區間［0,1］上可導,且八0)?∕(D<0.證明在開區間(0,1)內至少存在

一點&使得2∕(ξ)+ξf?ξ)=0.

73當①>1時，證明:?ln?>?—1.

設e<α<上Ve2,證明In2e—In2a〉-4(6—a).

74.e“

當b>a>0,證明上W<l∏2<"q.

75.baa

五、應用題(10題)

76.

18.計算由丁=9一］.直線，=2及y=-1所圍成的平面圖膨上面部分(面積大的那部

分)的面積A.

77.

設D是曲線y=χ2以及該曲線在（I,。處的切線和y軸所圍成的平面區域。求：（1）

平面區域D的面積S；（2）D繞y軸旋轉而成的旋轉體的體積V。

78.

2.

某工廠按現有設備每月生產X個商品，總費用為25+x+±x-（萬元）.若將這些商

4

品以每個11萬元售出，問每月生產多少個商品時利潤最大？最大利潤是多少？

79.

由曲線V=（?-lX.r-2）和”?軸圍成一平面圖形.求此平面圖形繞y軸旋轉一周所

成的旋轉體的體積.

證明：對?r>0?有士薩二>l+?.

80.J乙

81.

求利物線》=??2將圓y+y=8分割后形成的兩部分的面積.

82.

某公司主營業務是生產自行車.而且產銷平衡.公司的成本函數QA=4（≡+200.r

0.OOZx2.收入函數收7）=350,r-0,004y,則生產多少輛自行車時.公司的利潤最大?

83.

要求設計一個帳篷,它下部的形狀是高為1m的圓柱體,上部的形狀是母線長為3m

的圓錐（如圖所示）.試問當帳篷的頂點。到底面中心。1的距離為多少時.帳篷的體積最大?

84.

已知曲線y="√G7（α>0）與曲線y=In/r在點（心，M））處有公切線.試求:

（1）常數α和切點Qor。）；

（2）兩曲線與1軸圍成的平面圖形的面積S.

85.

某公司主營業務是生產自行車，而且產銷平衡，公司的成本函數C（N）=40000?

200H0.OO2x2,收入函數Rcr）=350H0.004",則生產多少輛自行車時，公司的利潤最大？

六、綜合題（2題）

86.

設連續函數∕<x）在［a向上單調增加,又G∞=??/（^）dn?6"

（1）試證:G'Cr）在（a,b）內非負;

(2)求IinlrG(才).

87.

,過坐標原點作曲線y=1的切線/.切線/與曲線y=1及y軸圍成的平面圖形記為

G求：

切線,的方程；

參考答案

1.B

【精析】因為F(-,r)=/(-.r)(e^j-ez)=/(?)(e'-e~^)=F(Z),所以F(x)為

偶函數.故應選B.

匚答案1D

【精析】f,(?)=/Zsin∕d∕?,=?s?n?.

2.D”。)

3.A

［答案］A

【精析】由于IW(X)存在,則IinV(X)=IiMX),由題可知liπ√G)=Iim(X2-I)=-1,

*→Jx-4i??-O*rWχ-4)-

lim∕(x)=Iim(2x+?)=a,故a=-1.

Xyjr-→0*

4.D

【精析】極坐標積分區域為D={(r,0)I0≤r≤αcos&一^≤8≤會?其積分區

域的邊界方程為r=αcos￠,KP?2+yi=ax,a>0.故應選D.

5.D

CO

【精析】∑laq^=a+M+a√+…十aqi+…，顯然為等比級數，故應選D.

W-I

6.C

【精析】由題可知，lim∕Q?)-2√7不T=O.故八3)=4,因此排除B、D選項.再將A、

JΓ→3

C代入原極限等式?可知C正確.

7.B

8.B

設［j(z)cLr=I,對題中等式兩邊取［1,口上的定積分，

得1=rE?d彳21,

J-L1?X

==

NO??［?f??d?Tf12=?aretan?I+0=?.

3J-11+l’3J-11-Jχz也+［3J/-1?-↑-X31-16

故Iimy(O;)=Iim(?????—7~\=~杳，故選B?

Lgl8\1-f-?6J6

9.C

［答案］C

【精析】由題意知./(.r)=(4一arcsinz)',所以∣"f(H)CLr=a—aresin?+C.

C

10C【評注】此題考查的是行列式和矩陣的性質.

11.C

【精析】當1-?。時，1—eos????2,e'—1?/,/1+?2—1???2均與?不等

2

價，而Iim+ι)+J=∣jm∕二—F2JΓ?=1,所以ln(l÷τ)÷z與ι等價.

LOX?-o[1十①)

12.B

【精析】Z=O為函數的分段點,故在該點的導數需要分別求左導數和右導數./(O)=

Iim1+N]—1=Iim空耳=1√',(0)=Iim“十1丁=1,故//(0)=1,則函數在

Lo才―0L(I??-0

點(0,1)處的切線斜率為L

13.D

［答案］D

【精析】/z(?)=e?+?e?=(1+?)e??∕,(x)=ex+(l÷x>e^=(2÷j*)ej■???

=(〃+"/?所以/"(1)=(l+x)ej.

14.C

［答案］C

---------1

【精析】Iim=Iim1一J)-----=?im??-----=-Iim-τ-τ^------=-J?即

w

g(?)J→O?∕→oGXr→o2(1^↑'X)

函數/(?)是函數g(-r)的同階無窮小.故選C.

15.C

y

/(?)=In2,r.∕(.r)=亢=?.∕,(J)=一。，所以/“(2)=—故選C.

I6.B

【精析】函數/(/)在定義域內連續可導,且/(0)=/(—1)=/(-3)=0,故由羅爾

定理可得至少存在兩點&∈(-1,0),$,∈(一3,—1)使得/'(&)=0,/'(&)=0,又

/(?)=0為二次方程，因此，(才)=。有兩個根.

17.C

【精析】偏導數存在不一定連續.只有存在連續的偏導數時.函數可微.進而連續?故

應選C

［答案］D

/O≤/W】

【解析】由題意｛°≤y≤-,可畫出區域D

0≤y≤l

由此可得:故選I).

0≤X≤1—y

18.D

I9.A

［精析】岬(Um:2)=如(」;"?；2)=岬+=故應選A.

20.B

rl

【精析】函數/("在點H=O處沒有定義，故為間斷點.又lim∕(z)=Iinjc十G

Hm三=1.故.r=0為函數的可去間斷點.

jr-?O?

21.C

［答案］C

【精析】P(AB)=P(AB)=P(AUB)=I-P(AUB)，又P(AUB)=P(A)+

P(B)-P(ΛB),所以P(A)+P(B)=1.所以P(B)=I-P(A)=1-0.4=0.6.故

選C.

22.A

【精析】因為，等于積分區域的面積,而區域D為矩形區域,其面積為8.故應選A.

23.C

【精析】偏導數存在不一定連續?只有存在連續的偏導數時,函數可微,進而連續，故

應選C

24.B

B

【評注】由連續可知分段函數在X=O處極限存在，即：］im{a+bx2)=a>

XTO-

Iimln(I+hx)；=IneZ)=b,得α=b,所以選B.

x→0*

25.C

2、ILl21

【精析】!?fe?r)=lιm［(1+?)］(1+?)=-ι2=-??

應選C

26.B

B

【評注】由隱函數的求導公式，?=-&=------------=一Y——，選B.

dxFy2xy-cosycosy-2xy

C解析：考查函數定義域.解不等式組［久7：°C即得.

I6-√>0

27.C1

28.B

【精析】半L=(Jr-4^sinι)'=1------^CoSJ?,故應選B.

drLL

29.C

［答案］C

【精析】lim∕(r)=Iim(I-：)(1+工)=2關尸(1).所以/(?)的間斷點為工=1.故

應選C.

30.B

【評注】A不對.因為Iim(-1產」一≠OCD都不對，它們均為絕對收斂的.

Π→Β2M-1

31.

士j^√??,ξM'√??)

向量的模為，(一3尸+42+尸=唇、

故與之平行的單位向量為士(√∑δ1*

32.

?ln?+(

(Irtr÷1)(Lz=ln,rd.z÷d?=x?ln?—Id?+d.r=?ln?÷C.

33.

2παeβ

【精析】由題意可知,積分曲線L可表示為彳=αcos8,

y=αsin8.0≤6≤2π?

故

，e&=?ed√(αsind)2+(acosZ?)2d0=?qeαdθ=2πuea.

34.

【精析】由/"(/)=—=—^=1，得/(?)=?*

?√√√7

-??d?=2√Cr+C.

26+。所以八"=

35.

Q【精析】Iim,'in以=Iim牛-=2a=3.因此a=?∣?.

?—∕r+7-1i_LH2

22

36.

_3

7

?1911Q

lim?fsin——sin—?=IimlSin——IimESin—=2——=—.

JT--OO?JCLJCJΛ?OOJCJ?8z?LL

37.

?I2y-2=0

【精析】八—I』L「2七=得,法線力理為-=-*

即.t+2y—2=0.

38.

?/(?2)+c

4

【精析】I.if(.r2)ff(.r^)dr=-?-f/(?2)j'(.r^)d(.r^)

J、/J

=??/(?')dΓ∕(,r2)J

=y∕-(√)+C.

39.

2

40.

x2—.z'÷2

【精析】/付一L)=W2+l+4-L

??)xi?

121

=(*r^7)+(L1)+2?

所以/(?-1)=(^-l)2+(j'-l)+2=j?2-^?+2.

41.

9C

-^πRy

【精析】如圖所示.由被積函數及積分區域可知.該積分利用

極坐標計算較為簡便.在極坐標系下.積分區域可表示為0≤

o≤2n.0W廣WR?所以

,___________2*RJ______

√zR2—T2—V2(LzdV-d0κ?∕R2—K2(1廠

I)00

2π13R

L一與(代一產)寺］do

03O

2x19

033

42.

【精析】由傅里葉變換性質知?f(2/-5)的傅里.葉變換為:

山⑵)」=擊F團=i??(f)'

FL∕(2/—5)J

43.

[-4,6)

[-4,6)

]

【評注】對于寨級數E卷Q-I)”而言,因為㈣如羋?=(,所以收斂半徑R=5,

?5"

必定收斂，而當時，幕級數變為

即當卜-1|<5時，基級數g+(X-Iy1X=6

發散，當x=-4時，需級數變為3~z-,收斂，所以收斂域為[-4,6)?

44.

π

1

【精析】該定積分可看作圓/+/=1位于第一象限部分與坐標軸圍成的圖形的面

積?即為圓面積的四分之一，所以「√T≡7rd.r=??π?I2-?.

JO44

45.

2c2/

因為/⑺=Iim(I+/)=Iim+=e".所以/(f)=2e".

46.

【精析】420時99(])=?≥0，/[夕(2)]=X29

'工'，X'0.

IVo時,叭JC)=-X2<0,∕?(α)]=一爐，所以/[φ(χ)]=J

一工，?<0.

47.1

Inf1÷??—1

一√

【精析】Iim--------------=Iim——-----Iim----------=1.

IT8areeot?L÷∞areeot?`-÷∞

-l+x2

精析】Iim[/；由2".—=Hrn—?—=Iim—=2.

r十

48.2??0ln(1ares?n?)r?oaresm??-o?

49.

2x+l

【評注】[jo"(%∕]=∕(x)+Jζf(x)-2x,f(x)=f[x)+xf,(x)-2x.∕,(χ)=2,

/(x)=2x+C,由/(O)=I得C=L

50.

aretan?.

=aretan?d(aretan?)

1÷?xc

?(aretan?)2+C=-?-(aretan?)2÷C.

J乙

51.

【精析】原式=]＞（1+1占=山9】+川：一；：口+￡2工產

=ln2^?[L2?d?r-LIΓ7d?r]

=I∏2+-^-in(2—?)—?ln(14-?)I

=In2+。-^-∣n2ψln2=-∣-ln2.

52.

IOO2

【精析】(I)C(IoO)=IOOO+100-Io-=2100（元）；

IOO2

1000IIOOI-

(2)C(100)=-------------—奈f（心件）;

（3）當產量從IOO件到200件時總成本的平均變化率為

1000I200I=^?-I1000I100I

Δ('IeuIio

31（元件）：

100

（1）當產量為10（）件時.總成本的變化率為

(100)=]]匕=21(元).

53.

'3Γ3

f(a—2)dw=f(?—2)d(,τ—2)

?J?

'Irorι

=f(f)dt=(1÷X2)d?÷e?d?

J—?J—1JO

1,1

+e?e

O=÷T

54.

解：由通解公式得

to(x41)22tocx+υ2

y=e』百卜Ha+ifJ(M"dr+C]=e∣∫(x+l)e'dx+c]

=(x+l)2∣∫(x÷iy.(x+l)-2dx+c]=(x+l)2(x÷C).

由丸=0=一；得一L=C所以特解為＞=(x+l)2

22

55.

解：先求其法線方程，由2萬/=2解得y=L,當7=1得出/=1得出上法=一1,

y

所以其法線方程為：=即y=∣-χ.拋物線八2X與其在點刖處

的法線的交點為(g,1)(1，一3)，選擇y為積分變量，則所求面積為

56.

令石=￡,則1CLr=2tdt,

=Jarctanr?at=rarctanr—j?ɑr

_f?+r—?.

==rarctanf-J1+rdf

-Tdz+f?,df

=r2arctanr-

I1■.J;?≠tf*^.........?.?..;

JJ.?IL

....>??,

=rarctarvirtIaret^v`nl.I.

.?,、,∕??.??;5.

??,■■■,?.■

λ,：

Γ-i.??^'-Ty.：：

=G代人得arctan?/?d?=?aretan^fx-J~x+arctan√G^+C.

Qi；：Jf-小小?￡*&；?...>.??_jft.

57.

【精析】令P=2個一一,Q=J÷y?則

望=2a咨=1,

dy?χ

利用格林公式可得

j(2Jry—?2)(Lr-(jr+)dy=IJd-2?r)d?rdy=『dzQl-2工曲

Dr

f(1—2.τ)(vCr-T7)d?

Jo

?(√Gr—V—2>+2x3)dx

1

(r—2?-?——13——4r?≡,-4--1--r43λ)=1—

3352c30'

58.

【精析】￥=?￡"=/?

-------cot∕.

dj?—αsιn∕

2b__h_]_b

d^v1—]—=

da'asin2Z-αsinza2sin3/α2sin3/'

59.

【評注】解：依題意如，總收益函數R(P)=P?x=P(125-5P),

總成本函數C(P)=IOO+2x=100+2(125-5P)=350-10P.

總利潤函數L(P)=R(P)-C(P)=-5P2+135P-350，

L,(P)=-IOP+135,Γ(P)=-10.令ZZ(P)=O,得到尸=13.5.

因僅有唯一的極大值點P=13?5,故亦是最大值.所以當價格P=13?5(百元)時，獲

得利潤最大.最大利潤為：Z(13.5)=561.25(百元).

60.

【精析】π1的法向量為—11,0.2}.7t2的法向量為"2=!0,1.—3).

ijA

依據題意.可取所求宜線的方向向量為S1O2----Zi13jIk.

01-3

所以所求直線方程為一、==?.

一L?1

61.

解：方程兩邊對X求導，2(e"+y+cosx-1)=0,即出=SinE二左二.

dxdxxexy+1

當X=Oj=-1,當IXUo=1，所以切線方程為χ-y=l.

62.

解：???/z2+y2dxdy=￡r`=2π?—∣e=-(bi-a3)-

Da33

63.

解:令“=2x，J>2∕(2x)dx=目："2∕Q)dw=虱2向/,?

=∣w2∕,(w)-∣∫θ∕,(w)?2Mdw=O--J??ud/(u)

=-∣[wf(w)]^+-!?∫^∕(w)dw=-→^?2=-l.

64.

xarcsinx“

【評注】解:?.?∕(x)在_11上連續，且/(X)=/為偶函數,

22

?xarcsinr,..

原式=21j..--dx令X=Smf

Λ∕1-%

65.

【精析】原式=∫T≡爵業=1/等萬d(sm)

=I-----7■二^^Ed(SirfZ)=arctan(sin'jr)+C

J1-(SIm)/

66.

【證明】令"(1)=1?才+M?由Fz(?)=-1÷2J'=O得唯一駐點.r=4??且

c2

Fz'(τ)=2>0.F∕4^?=?—4-+?=--------^->0.

所以FG)為函數F(X)的最小值，故對任意Z都有F&AF^)—；-；>0.即

?-?+.rj>O,

即工一2<?.

e

67.

【證明】令/(?)=IHn因e<α<6<e2,f(r)在［α?61上滿足拉格朗日中值定理

條件.且/(?)=—.

T

故存在?∈(α")?使得2K=嗎一片2".

ξb-a

令g(?)=^??^-得g'(?)=2------??在X∈［e,∕［上g"(?)≤0.

X?*

故g(?)單調減少.g(w)在［e,e?］上最小值為g(e2)=沏L=3?

ee

由于Ae(e?∕).所以Iny-InJ=筆>當，

b-aξei

即In2〃-ln2α>3(〃一ɑ).

e

68.

【證明】由丁=O（k為正整數）,

則(￡_A)(七+A+A；+…+41)=￡+A+A>+…+A/τA"

=E-Ai

因為

則

t-

(Δ-Λ)(t+Λ+4-+???+A')=￡,

所以6-4可逆，

且

(￡-4)-1=上+4+A：+…+A=.

69.

.【精析】令F(?r)=(l+j^)ln(l+?r)-arctanx,R20,顯然F(.r)在［θ?+8)內連

續.且z>0時

F^(x)=ln(1+?)÷1---~~τ