第3講函數的奇偶性和單調性本講義整體上難度中等偏上，題目有一定的分層，題量略大！1函數單調性的概念(1)增函數和減函數一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，區間D∈I:如果?x1,x2∈D，當x1<x2時，都有f(如果?x1,x2∈D，當x1<x2時，都有f2單調性概念的拓展①若y=f(x)遞增，x2>x②若y=f(x)遞增，fx2≥f(y=f(x)遞減，有類似結論！3判斷函數單調性的方法①定義法解題步驟(1)任取x1,x(2)作差fx(3)變形(通常是因式分解和配方)；(4)定號(即判斷差f(x1)(5)下結論(指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性)．②數形結合③性質法增函數+增函數=增函數，減函數+減函數=減函數；但增函數×增函數不一定是增函數，比如y=x，y=x-2均是增函數，而y=x(x-2)不是.④復合函數的單調性(1)如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、(2)同增異減設函數u=g(x)(x∈A)的值域是M，函數y=f(u)(u∈M)若y=fu,u=g(x)在各自區間單調性相同，則復合函數y=f[g(x)]在區間若y=f(u),u=g(x)在各自區間單調性不同，則復合函數y=f[g(x)]在區間A上遞減.4函數奇偶性的概念(1)一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數.(2)一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數.由奇偶函數的概念可知道其定義域I是關于原點對稱的.5函數奇偶性的性質①偶函數關于y軸對稱；②奇函數關于原點對稱；③若奇函數f(x)定義域內含有0，則f(0)=0；④在公共定義域內，兩個偶函數(或奇函數)的和(或差)仍是偶函數(或奇函數)，兩個偶函數(或奇函數)的積(或商)是偶函數，一個偶函數與一個奇函數的積(或商)是奇函數．6判斷函數奇偶性的方法①定義法先判斷定義域是否關于原點對稱，再求f(-x),看下與f(x)的關系：若f-x=f(x)，則y=fx是偶函數；若f-x②數形結合若函數關于原點對稱，則函數是奇函數；若函數關于y軸對稱，則函數是偶函數.③取特殊值排除法(選擇題)比如：若根據函數得到f(1)≠f(-1)，則排除f(x)是偶函數.④性質法偶函數的和、差、積、商(分母不為0)仍為偶函數；奇函數的和、差(分母不為0)仍為奇函數；奇(偶)數個奇函數的積為奇(偶)函數；兩個奇函數的商(分母不為0)為偶函數；一個奇函數與偶函數的積為奇函數.【題型1】函數單調性和奇偶性的判斷【典題1】下列函數中，既是偶函數，又在(0，+∞)上單調遞增的是()A．f(x)=1-x2 C．f(x)=解析A：f(x)=1-x2在B：f(x)＝x-1C：f(x)=log12D：f(x)=2故選：D．【鞏固練習】1.(★★)下列函數中，既是奇函數，又在(1,+∞)上單調遞減的是()A．f(x)=x B．f(x)=ln1|x| C答案C解析對于A，其在定義域上為增函數，不符合題意，舍去；對于B，其在定義域上為偶函數，不符合題意，舍去；對于C，其是奇函數，又在(1,+∞)上單調遞減，符合題意；對于D，f(2)=-4，f(3)=33-18=9，其在故選：C．2.(★★)下列函數中，既是偶函數，又在(﹣∞,0)內單調遞增的函數為(A．y=x2+2x B．y=e|x| C答案D解析根據題意，依次分析選項：對于A，y=x2+2x，為二次函數，其對稱軸為x=對于B，y=e|x|=對于C，y=2x-對于D，y=1-lg?|x|=&1-故選：D．3.(★★★)已知f(x)是R上的奇函數且單調遞增，則下列函數是偶函數且在(0,+∞)上單調遞增的有()①y=|f(x)|A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④答案B解析因為f(x)是R上的奇函數且單調遞增，故當x>0時，f(x)>f(0)=0，①g(-x)=|f(-x)|=|f(x)|=g(x)為偶函數，且當x>0時，g(x)=|f(x)|=f(x)單調遞增，符合題意；②g(-x)=f(x③g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=g(x)，且x>0時g(x)=f(x)單調遞增，符合題意；④g(-x)=e滿足偶函數，且x>0時，f(x)>0，ef根據對勾函數的單調性可知g(x)=e故選：B．【題型2】函數單調性和奇偶性的性質【典題1】已知f(x)是定義在R上的偶函數，且在區間[0,+∞)單調遞增則()A．f(log2π)>f(loC．f(2-π解析∵f(x)是偶函數，∴flog∵1<log2?3<log2∵f(x)在[0,+∞)為增函數，∴f2即f2故選：A．【典題2】設函數f(x)=lg(x2+1)，則使得f(3x-2)>f(x-4)成立的x的取值范圍為A．(13,1)解析根據題意，函數f(x)=lg(x2+1)有f(-x)=lg(x2+1)=f(x)設t=x2+1在區間[0,+∞)上，t=x2+1為增函數且t≥1，y=lgt則f(x)=lg(x2+1)f(3x-2)>f(x-4)?f(|3x-2|)>f(|x-4|)?|3x-2|>|x-4|，解可得：x<-1或x>32，即x的取值范圍為故選：D．【鞏固練習】1.(★★)如果奇函數f(x)在區間[1,5]上是減函數，且最小值為6，那么f(x)在區間[-5,-1]上是()A．減函數且最大值為-6 B．增函數且最大值為C．減函數且最小值為-6 D．答案A解析當-5≤x≤-1時1≤-x≤5，∴f(-x)≥6，即-f(x)≥6．從而f(x)≤-6，又奇函數在原點兩側的對稱區間上單調性相同，故f(x)在[-5,-1]是減函數．故選：A．2.(★★)若偶函數f(x)在(-∞,-1]上是減函數，則()A．f(-32)<f(-1)<f(2) BC．f(2)<f(-1)<f(-32) 答案B解析根據題意，f(x)為偶函數，則f(2)=f(-2)，又由函數f(x)在(-∞,-1]上是減函數，則f(-1)<f-32故選：B3.(★★★)函數f(x)的定義域為，若f(x+1)是奇函數，f(x-1)是偶函數，則()A．f(x)是奇函數 B．f(x+3)是偶函數 C．f(3)=0 D．f(x)=f(x+3)答案B解析由奇函數條件得f(x+1)=-f(-x+1)，由偶函數條件得f(x-1)=f(-x-1)?f(x+1)=f(-x-3)，∴-f(-x+1)=f(-x-3)?f(x)+f(x+4)=0，則f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，即周期為8；另一方面f(x+5)=-f(x+1)=f(-x+1)?f(x+3)=f(-x+3)，即f(x+3)是偶函數．故選：B．4.(★★★)已知函數f(x)為(-1,1)上的奇函數且單調遞增，若f(2x-1)+f(-x+1)>0，則x的值范圍是()A．(-1,1) B．(0,1)答案B解析根據題意，f(x)為(-1,1)上的奇函數且在(-1,1)單調遞增，則f(2x-1)+f(-x+1)>0?f(2x-1)>f(x-1)，則有-1<2x-1<1,-1<x-1<1,2x-1>x-1,解可得即x的值范圍是(0,1)；故選：B．5.(★★★)函數f(x)是R上的增函數且f(a)+f(b)>f(－a)+f(－b)A．a>b>0 B．a答案C解析設a+b≤0，則a≤－b，∵f(x)是R上的增函數，∴f(a)≤f(－b)，∴f(a)+f(b)≤f(－這與題設f(a)+f(b)>f(－∴a+b>0故選：C．6.(★★)已知f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數，滿足f(1-x)=f(1+x)，若f(1)=2A．-50 B．0 C．2 D．50答案C解析∵f(x)是奇函數，且f(1-x)=f(1+x)，∴f(1-x)=f(1+x)=-f(x-1)，f(0)=0，則f(x+2)=-f(x)，則f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，即函數f(x)是周期為4的周期函數，∵f(1)=2，∴f(2)=f(0)=0，f(3)=f(1-2)=f(-1)=-f(1)=-2，f(4)=f(0)=0，則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2+0=2，故選：C．7.(★★★)已知函數f(x)=ln|x|+x2，設a=f(-2),b=f(1),c=f(20.3)A．a>b>c B．a>c>b答案B解析根據題意，函數f(x)=ln|x|+x2，其定義域為且有f(-x)=ln?|x|+x則a=f(-2)=f(2)，又由x>0時，f(x)=ln?x+x則有f(1)<f2故與a>c>b；故選：B．8.(★★★)已知函數f(x)=x2+(4a-3)x+3a,x<0loga(x+1)+1,x≥0(a>0且a≠1)在A．[34,1) 答案C解析由題意，分段函數是在R上單調遞減，可得對數的底數需滿足0<a<1，根據二次函數開口向上，在(-∞,-b2a)即-4a-32≥0且x故而得3a≥1，解得a≥1∴a的取值范圍是13,39.(★★★)已知函數f(x)=x|x|+4x+1,x∈R，若f(a)+f(a2-1)<2，則實數a的取值范圍答案(解析設g(x)=x|x|+4x，x∈R，則g(x)=-x又g(-x)=(-x)|-x|+4(-x)=-(x|x|+4x)=-g(x)，∴g(x)為R上的奇函數，且為增函數；由f(x)=g(x)+1，∴不等式f(a)+fa2-1即ga2-1∴a2-1<-a，，即∴a的取值范圍是(-1-【題型3】函數圖像的判斷【典題1】已知函數f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式可能是()A．f(x)=cos(2x)x B．C．f(x)=12x2解析由圖象看出，在x的正半軸函數f(x)有增有減，選項C，D的函數在(0，+∞)上都是減函數，∴排除選項C，D，由圖象看出，f(x)在x正半軸的第一個零點在(0，1)區間上，選項B不滿足，選項B的f(x)在正半軸的第一個零點為x=π選項A的在x軸的第一個零點為x=π∴排除選項B，選項A正確．故選：A．【鞏固練習】1.(★★)已知函數y＝f(x)的部分圖象如圖所示，則該函數的解析式可能是()A．f(x)＝x(ex+e﹣x) B．f(x)＝ln(ex+e﹣x) C．f(x)=|x|x2+1+1 D．f(x)答案B解析根據圖象看出，f(x)為偶函數，且定義域為R，在[0，+∞)上單調遞增，選項A的函數為奇函數，選項D的函數定義域為{x|x≠0}，∴選項A，D都錯誤，選項B，C的函數都是偶函數，選項C的函數在[0，+∞)上顯然不是增函數．故選：B．2.(★★)如圖，已知函數f(x)的圖象關于坐標原點O對稱，則函數f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝x2|x| B．f(x)＝xln|x|| C．f(x)=e|x|x D．f(答案D解析根據f(x)關于原點對稱可知該函數為奇函數，對于A選項f(﹣x)＝x2ln|x|＝f(x)，為偶函數，不符合；對于B選項定義域不對；對于C選項當x＞0的時候，f(x)＞0恒成立不符合該函數圖象，故錯誤；對于D選項，f(-x)=ln|x|故選：D．3.(★★)已知函數y＝f(x)的部分圖象如圖，則f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝x+tanx B．f(x)＝x+sin2x C．f(x)＝x-12sin2x D．f(x)＝x-答案C解析由圖象可知，函數的定義域為R，故排除A；又f(0)＝0，故排除D；若選擇B，則f(π故選：C．4.(★★★)函數f(x)=sinx?ln(x2+1-x)A． B． C． D．答案C解析根據題意，f(x)=sinx?ln(x則f(﹣x)＝sin(﹣x)?ln(x2+1+x)＝sinx?ln(x2+1-x)即函數f(x)為偶函數，排除A、B，f(x)=sinx?ln(x2+1-x)=sinx?ln在區間(0，π)上，sinx＞0，ln(1x2+1+x)＜0，則f(x)＜故選：C．【題型4】函數的最值【典題1】已知函數f(x)=2x+1x-1，其定義域是[-8,-4)，則下列說法正確的是(A．f(x)有最大值53，無最小值 B．C．f(x)有最大值75，無最小值 D解析函數f(x)=2x+1即有f(x)在[-8,-4)遞減，則x=-8處取得最大值，且為53由x=-4取不到，即最小值取不到．故選：A．【典題2】函數f(x)=log2(xA．[1,1+C．[1,2]解析由復合函數的單調性可知，函數f(x)在[0,1]上單減，在[1,3]又f0=log∴函數值域為[1,1+log故選：A．【鞏固練習】1.(★★)若函數y=x2-5x-1的定義域[0,m]，值域為[-29A．(0，5] B．[5,294] C．[答案D解析根據題意，函數y=x函數的對稱軸為x=52且有又由函數的定義域[0,m]，值域為[-294,-1]即m的取值范圍[52故選：D．2.(★★)函數f(x)=12x2-6x+5A．(0,16] B．[16,+∞)答案A解析x2設t=x2-6x+5則y=12t故函數的值域為(0,16]，故選：A．3.(★★)函數y=x+1-1-x的值域為A．(-∞,2] B．[0,2] C．答案C解析要使函數有意義，需滿足x+1≥01-x≥0，解得－所以函數的定義域為[－根據函數的解析式，x增大時，x+1增大，1-x減小，-1-x增大，所以y所以最小值為f(-1)=-2，最大值為f(1)=所以值域為[-2故選：C．4.(★★)已知定義在R上的函數f(x)=3sinx-2x+1，則f(x)的最大值與最小值之和等于()A．0 B．1 C．2 D．3答案C解析根據題意，設g(x)=f(x)-1=3sinx-2x，有g(-x)=3sin(-x)－即函數g(x)為奇函數，其圖象關于原點對稱，則g(x)則有f(x)變形可得f(x)即f(x)的最大值與最小值之和等于2；故選：C．5.(★★★)已知函數y=sin2x－A．[2,3] B．[2,4]答案D解析y=sin∴sinx=－1時，ymax=6；∴原函數的值域為[2,6]．故選：D．5.(★★★)已知函數f(x)=a+log2(x2－A．a∈(4,5) B．a∈(5,6)答案B解析函數f(x)=a+log2(可得x2顯然a=1時f(x)的最小值不為8；a>1時，由對數函數的性質可得當x=1時，f(x)的最小值為a+log由題意可得a+log設g(a)=a+log2?(a-1)，g(a)g(5)=5+log可得a∈(5,6)，故選：B．【題型4】綜合練習【典題1】已知定義在R奇函數f(x)=2(1)求a,b的值；(2)判斷并證明f(x)在R上的單調性；(3)求該函數的值域．解析(1)因為f(x)是R上的奇函數，所以&f(0)=0&f(-1)=-f(1)(2)即&1-a1+b=0由(1)知f(x)=2x-12x則fx因為y=2x是R上的增函數，且x1又2x所以fx1-f所以f(x)在R上是增函數；(3)f(x)=2由2x>0，得2x所以-1<1-22x所以函數f(x)的值域為(-1,1)．【典題2】定義在R上的單調增函數f(x)滿足：對任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立(1)求f(0)的值(2)求證：f(x)為奇函數(3)若f(1+2x)+f(t?3x解析(1)令x=y=0，則f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0．(2)令y=-x，則f(0)=f(x)+f(-x)，∵f(0)=0，∴f(-x)=-f(x)，∴f(x)為奇函數．(3)∵f(t?3∴f(t?3x)>f(-1-∴t>-(1而-(13)從而t>-1．【鞏固練習】1.(★★★)函數f(x)=ax+b1+x2是定義在區間(1)確定函數f(x)的解析式；(2)用定義證明：f(x)在區間(-1,1)上是增函數；(3)解不等式：f(t-1)+f(t)<0．答案(1)f(x)=x1+x2；(2)略解析(1)由題意知&f(0)=0&f12=2故f(x)=x(2)任取-1<x1<fx2-fx1=x21+x∵-1<x∴-1<x于是fx∴f(x)為區間(－(3)f(t－∵f(x)在區間(－∴－1<t－2.(★★★)已知函數f(x)=(1)計算f(f(log(2)討論函數f(x)的單調性，并寫出f(x)的單調區間；(3)設函數g(x)=f(x)+c，若函數g(x)有三個零點，求實數c的取值范圍．答案(1)2；(2)f(x)的單調增區間是(-∞,-1)和(0,+∞)，單調減區間是[-1,0]；(3)(-3,-1).解析(1)由已知得flog∴fflog(2)當x≤0時，函數f(x)=-2x根據拋物線的性質知，f(x)在區間(-∞,-1)上單調遞增，在區間[-1,0]上單調遞減；當x>0時，函數f(x)=x+1，顯然f(x)在區間(0,+∞)綜上，f(x)的單調增區間是(-∞,-1)和(0,+∞)，單調減區間是[-1,0]，(3)作出f(x)的圖象，如圖：函數g(x)有三個零點，即方程f(x)+c=0有三個不同實根，又方程f(x)+c=0等價于方程f(x)=-c，∴當f(x)的圖象與直線y=-c有三個交點時，函數g(x)有三個零點．數形結合得，c滿足，1<-c<3，即-3<c<-1．因此，函數g(x)有三個零點，實數c的取值范圍是(-3,-1).3.(★★★★)對于定義域為R的函數g(x)，若函數sin[g(x)]是奇函數，則稱g(x)為正弦奇函數．已知f(x)是單調遞增的正弦奇函數，其值域為R,f(0)=0．(1)已知g(x)是正弦奇函數，證明：“u0為方程sin[g(x)]=1的解”的充要條件是“-u0為方程sin[g(x)]=(2)若fa=π(3)證明：f(x)是奇函數．答案(1)略；(2)0；(3)略.解析證明(1)∵g(x)是正弦奇函數，故sin[g(x)]是奇函數，當：“u0為方程sin[g(x)]=1的解”時，sin則sin?g-u0=-1，即“故：“u0為方程sin[g(x)]=1的解”的必要條件是“-u0為方程sin[g(x)]=當：“-u0為方程sin[g(x)]=－1的解則sin[g(u即“u0為方程sin[g(x)]=1的解”故：“u0為方程sin[g(x)]=1的解”的充分條件是“-u0為方程sin[g(x)]=綜上可得：“u0為方程sin[g(x)]=1的解”的充要條件是“-u0為方程sin[g(x)]=解：(2)∵f(x)是單調遞增的正弦奇函數，f(a)=π則sin[f(a)]＋sin[f(b)]=1－1=0，則證明：(3)∵f(x)是單調遞增的正弦奇函數，其值域為R，故sin?[f(-x)]+即sin?[f(-x)]=-則f(－故f(x)是奇函數．4.(★★★★)已知函數f(x)定義域為[-1,1]，若對于任意的x,y∈[-1,1]，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0時，有f(x)>0.（Ⅰ）證明函數f(x)是奇函數；（Ⅱ）討論函數f(x)在區間[-1,1]上的單調性；（Ⅲ）設f(1)=1，若f(x)<m2-2am+1，對所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立，求實數答案(1)略；(2)單調遞增函數；(3)m<-2或m>2.解析（Ⅰ）因為有f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0，令y=-x可得：f(0)=f(x)+f(-x)=0所以f(-x)=-f(x)，所以f(x)為奇函數.（Ⅱ）∵f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數，由題意設-1≤x則f由題意x>0時，有f(x)>0，∴f∴f(x)是在[-1,1]上為單調遞增函數；（Ⅲ）因為f(x)在[-1,1]上為單調遞增函數，所以f(x)在[-1,1]上的最大值為f(1)=1，所以要使f(x)<m2-2am+1只要m2-2am+1>1，即m2-2am>0令g(a)=由&g(-1)>0&g(1)>0得&2m+∴m<-2或m>2.1.(★★)下列函數中為偶函數且在(0,+∞)上是增函數的是()A．y=12x 答案C解析根據題意，依次分析選項：對于A，y=12|x|對于B，y=|lnx|，其定義域為(0,+∞)，不是偶函數，不符合題意；對于C，y=x2+且當x>0時，f(x)=x對于D，y=x|x|，有f(-x)=-x|x|=-f(x)，為奇函數，不符合題意；故選：C．2.(★★)設f(x)是周期為2的奇函數，當0?x?1時，f(x)=2x(1-x)，則f-A．-12 B．-14 C．1答案A解析∵f(x)是周期為2的奇函數，當0?x?1時，f(x)=2x(1-x)，∴f-523.(★★)如圖，已知函數f(x)的圖象關于坐標原點對稱，則函數f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝x2ln|x| B．f(x)＝xlnx C．f(x)=ln|x|x D答案C解析∵f(x)的圖象關于原點對稱；∴函數f(x)是奇函數；f(x)＝x2ln|x|為偶函數，f(x)＝xlnx是非奇非偶函數，∴A，B都錯誤；∵x＞0時，f(x)=e|x|x＞故選：C．4.(★★)已知函數f(x)是定義域為R的奇函數，當x≥0時，f(x)=2x+2x-a，則f(-1)＝A．3 B．-3答案B解析根據題意，函數f(x)是定義域為R的奇函數，則f(0)=0，則有f(0)=20-a=1-a=0則f(1)=2+2-a=4-1=3，又由f(x)為奇函數，則f(-1)=-f(1)=-3；故選：B．5.(★★★)設f(x)定義在實數集R上的函數，滿足條件y=f(x+1)是偶函數，且當x≥1時，f(x)=(12)x-1，則A．f(23)>f(C．f(32)>f(2答案A解析∵y=f(x+1)是偶函數，∴f(-x+1)=f(