預習05數量積的坐標表示一、平面向量的數量積與兩向量垂直的坐標表示設向量,（1）數量積:兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和,即（2）向量垂直:二、平面向量的模與夾角的坐標表示（1）向量的模:設,則（2）兩點間的距離公式:若,則（3）向量的夾角公式:設兩非零向量,a與b的夾角為θ,則考點01數量積的坐標運算【方法點撥】進行向量的數量積運算的兩條途徑:（1）先將各向量用坐標表示,直接進行數量積運算;（2）先利用數量積的運算律將原式展開,再依據已知計算.【例1】已知向量滿足，則（

）A． B．0 C．5 D．7【答案】C【分析】先求出，進而利用向量數量積公式求出答案.【詳解】因為，所以，故.故選：C【例2】在等腰直角中，，，是邊上一點，且，則.【答案】【分析】建立平面直角坐標系，利用坐標法求得.【詳解】以為原點，建立如圖所示平面直角坐標系，由于，所以，由于，所以，，所以.故答案為：【變式11】若為坐標原點，過點的直線與函數的圖象交于兩點，則．【答案】4【分析】首先得出是函數圖象的對稱中心，所以，然后由數量積的坐標運算公式計算即可.【詳解】因為，所以是函數圖象的對稱中心，則為線段的中點，可得，則．故答案為：4.【變式12】已知向量，，則使成立的一個充分不必要條件是．【答案】（答案不唯一）【分析】根據向量坐標運算公式將原問題轉化為的一個充分不必要條件進而求解.【詳解】因為，，所以，，所以，解得，所以使成立的一個充分不必要條件是.故答案為：（答案不唯一）【變式13】已知為內一點，若，則．【答案】【分析】建立平面直角坐標系，設，利用平面向量數量積公式求出答案.【詳解】以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，因為，所以，則，設，則.故答案為：考點02向量模的坐標表示【方法點撥】若,則,于是有【例3】在平面向量，中，已知，，如果，那么；如果，那么.【答案】【分析】根據數量積的坐標運算及向量模的坐標運算即可求解.【詳解】由，即，解得；，，由，得，解得：.故答案為：；.【例4】已知向量滿足.(1)求；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據向量的線性運算求出，再根據向量的夾角公式計算可得結果；（2）因為平行求出，再根據向量的數量積求出模長，最后應用二次函數的最值求出模長最值.【詳解】（1）由，得，同相減得，，代入中，得.所以，所以.（2）因為，所以，所以當時，取最小值.【變式21】（多選）已知向量，若，則等于（

）A．0 B．－1 C．1 D．－2【答案】CD【分析】根據向量的坐標運算，求出，，由，求出的值，判斷選項.【詳解】，，，，又，，解得或.故選：CD【變式22】已知向量，．(1)求的坐標及；(2)若與共線，求實數的值．【答案】(1)(2)1或【分析】（1）由向量坐標的線性運算以及模的坐標公式即可得解.（2）由向量平行的充要條件列出方程即可得解.【詳解】（1）由題意，，所以，所以.（2）由題意與平行，所以當且僅當，化簡得，解得，即實數的值為1或1.【變式23】在直角坐標系中，已知，，若，恒成立，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據，恒成立，將該不等式兩邊平方可得到恒成立，結合二次函數的最值，即可得，從而可得答案.【詳解】由題意可得，，，若，恒成立，則，恒成立，即恒成立，即恒成立，而，時等號成立，故，即，故選：D考點03向量垂直的坐標表示【方法點撥】【例5】已知向量，，若，則.【答案】/2.5【分析】由題可得，再利用向量數量積的坐標公式即可求解.【詳解】向量，，，又，則，解得.故答案為：【例6】已知為矩形，點在線段上，且滿足，則滿足條件的點有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．4個【答案】C【分析】以為原點，為軸，為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系,設出點坐標，算出坐標，由得到，構建方程求解即可.【詳解】以為原點，為軸，為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，可得,因為點在線段上，所以可設，所以,又，所以，可得，解得；，即滿足條件的點P有2個.故選：C.【變式31】已知向量，，，則實數的值為（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【分析】確定，，根據計算得到答案.【詳解】，，，解得.故選：A.【變式32】（多選）已知為直角三角形，且，則實數的可能取值有（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】分、和三種情況，根據向量垂直時數量積為0，列方程求解即可.【詳解】當時，，解得；當時，，解得；當時，，無實解，綜上可得，或1.故選：AC.【變式33】設A、B、C、D為平面內的四點，且，，．(1)若．求D點的坐標；(2)設向量，，若向量與垂直，求實數k的值．【答案】(1)點的坐標為；(2)k的值為.【分析】（1）求出向量坐標，再利用相等向量列出方程組，求解作答.（2）求出的坐標，再利用向量線性運算的坐標表示，及向量垂直的坐標表示求解作答.【詳解】（1）設，因為，，，，于是，整理得，即有，解得，所以點的坐標為，（2）因為，所以，，因為向量與垂足，因此，解得，所以實數k的值為.考點04向量夾角的坐標表示【方法點撥】利用數量積的坐標運算求兩向量夾角的步驟：（1）利用平面向量數量積的坐標表示公式求出這兩個向量的數量積；（2）利用計算出這兩個向量的模；（3）由公式直接求出的值；（4）在內,由的值求角【例7】設，向量，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據條件，利用向量垂直的坐標運算，得出，從而可得出，再利用向量數量積公式即可求出結果.【詳解】因為，，又，所以，得到，所以，得到，所以，故選：B.【例8】已知點，，向量，若與成銳角，則y的取值范圍為．【答案】【分析】根據向量夾角為銳角利用數量積求解.【詳解】因為，，與成銳角，所以，解得，當與同向時，，即，解得，此時滿足，但與所成角為0，不滿足題意，綜上，與成銳角時，y的取值范圍為.故答案為：【變式41】已知向量，若實數滿足，則與的夾角為．【答案】/【分析】利用平面向量的坐標運算得到的坐標，從而計算兩向量的數量積，由兩向量的數量積為0得結果．【詳解】因為向量，所以，又，所以，故與的夾角為．故答案為：．【變式42】已知向量，，若非零向量滿足，則取最小值時，的坐標為.【答案】【分析】設，根據已知列出關系式，代入坐標整理得出.表示出，根據二次函數的性質，即可得出最值，求出答案.【詳解】設，則由，得，所以，所以，即，化得.又，所以.當時，取得最小值，此時，即.故答案為：.【變式43】已知向量，向量．(1)若，求與的夾角；(2)若與的夾角為鈍角，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據得到與的夾角；（2）根據與的夾角為鈍角得到且不反向共線，然后求即可.【詳解】（1）當時，，，與的夾角為.（2）因為與的夾角為鈍角，所以，解得，當與反向共線，即時，，解得，綜上，實數的取值范圍為.考點05投影向量的坐標表示【方法點撥】將已知量代入在方向上的投影向量公式(是與方向相同的單位向量,且)中計算即可【例9】已知向量，，且，若，則在方向上的投影向量的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據垂直向量的坐標運算建立方程求得參數，結合投影的定義，可得答案.【詳解】，故，解得，所以，則在方向上的投影向量為.故選：A.【例10】設向量在向量上的投影向量為，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根據投影向量的知識列式，然后利用基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意，，向量在向量上的投影向量：，所以，當且僅當時等號成立.故選：A【變式51】已知非零向量，滿足，，若，則向量在向量方向上的投影向量的坐標為．【答案】【分析】根據已知求出.結合已知推得，求出，然后即可根據投影向量得出答案.【詳解】由已知可得，.因為，所以，解得或（舍去），所以，，所以，向量在向量方向上的投影向量為，坐標為.故答案為：.【變式52】向量，，那么向量在上的投影向量為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由平面向量的坐標運算、投影向量的計算公式即可求解．【詳解】因為，，所以，則在上的投影向量的模為，則在上的投影向量為.故選：A．【變式53】已知，，為，的夾角，且，則在上的投影向量的坐標為．【答案】【分析】根據題意，由條件可得，再由投影向量的定義，代入計算，即可得到結果.【詳解】由，則，解得，則．考點06數量積的坐標表示與三角函數的結合【例11】已知向量，，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據向量的坐標運算及數量積的運算性質、夾角公式求解.【詳解】，，，，，.故選：A【例12】已知向量，，若，則（

）A． B．1 C．或1 D．【答案】C【分析】結合數量積的坐標運算，兩角和的平方關系和切化弦即可求解.【詳解】，則，即，當時，即，則，結合，解得或者，結合檢驗得；當時，滿足題意.故選：C【變式61】已知點，若，則.【答案】【分析】由向量的線性運算、數量積的坐標表示結合三角恒等變換即可求解.【詳解】因為，所以，，所以，即，所以，即，所以.故答案為：.【變式62】（多選）已知向量，，則下列命題正確的是（

）A．不存在，使得 B．當時，C．對任意，都有 D．當時，在方向上的投影向量的模為【答案】ABD【分析】根據向量間運算與三角恒等變換逐項判斷即可.【詳解】對于A，若，則有不存在，故A正確；對于B，若，則，故B正確；若，存在，故C不正確；其中所以，，故D正確；故選：ABD【變式63】（多選）已知向量，，以下結論正確的是（

）A．若，，則B．若，則C．若，，則D．若，，則【答案】BD【分析】由向量垂直、平行、數量積、模長的坐標表示列方程或不等式，結合三角恒等變換及正余弦型函數的性質求值或范圍，判斷各項正誤.【詳解】A：若，則，，則，所以，錯；B：若，則，而，對；C：若，則，故，，則或，所以或，錯；D：若，則，可得，，所以，故，對；故選：BD一、單選題1．已知向量滿足，，則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】根據數量積的運算律求出的值，再結合，即可求得答案.【詳解】由題意知向量滿足，，故，則，故選：A2．設，向量，，且，則（

）A． B． C．10 D．【答案】D【分析】根據題意，列出方程求得，結合向量的坐標運算，即可求解.【詳解】由向量，，因為，可得，解得，所以，所以.故選：D.3．已知向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據投影向量的定義運算求解.【詳解】，又，所以在向量上的投影向量為.故選：A.4．已知是的邊上的高，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設，表達出，根據垂直關系得到方程，求出，進而得到答案.【詳解】設，則，由得，解得，故故選：B5．在等腰直角三角形ABC中，，面積為1，則下列結論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】建立平面直角坐標系，利用數量積及模的坐標運算求解即可.【詳解】由題意，，，所以，如圖，以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，建立平面直角坐標系，則，所以，，，所以，，，，，所以，所以選項ABD正確，C錯誤.故選：C6．在三角形中，，若為邊上的一個動點，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意，建立合適的直角坐標系，從而利用平面向量數量積的坐標表示即可得解.【詳解】因為三角形中，，所以是邊長為2的等邊三角形，則以為軸，的中垂線為軸，建立直角坐標系如圖，則，設，則，故，顯然當時，取得最小值，故選：B.二、多選題7．已知向量，，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用坐標計算可判斷A；利用坐標計算是否得0可判斷B；由向量共線的坐標運算可判斷C；利用向量夾角公式的坐標運算可判斷D.【詳解】對于A，，所以，故A錯誤；對于B，，所以，所以，故B正確；對于C，，可得，故C錯誤；對于D，，所以，故D正確.故選：BD.8．已知向量，，則下列說法正確的是（

）A．若，則的值為B．若，則的值為C．若，則與的夾角為銳角D．若，則【答案】AB【分析】根據向量共線和垂直的的坐標表示，向量數量積和向量的模的坐標表示及向量夾角的坐標表示一一判斷即可．【詳解】對于A：若，則，解得，故A正確；對于B：若，則，解得，故B正確；對于C：當時，與同向，此時與的夾角為，故C錯誤；對于D：若，則，即，即，解得，當時，，，，，顯然，當時，，，，，此時，故D錯誤．故選：AB．9．已知向量，則（

）A．若，則B．在方向上的投影向量為C．存在，使得在方向上投影向量的模為1D．的取值范圍為【答案】BCD【分析】由平行向量的坐標表示可判斷A；由投影向量的計算公式可判斷B，C；由向量的模長公式結合三角函數的性質可判斷D.【詳解】對于A，若，則，則，所以A錯誤；對于B，在方向上的投影向量為，故B正確；對于C，，所以在方向上投影向量的模為：，當時，，所以存在，使得在方向上投影向量的模為1，故C正確；對于D，向量，所以，則，故D正確.故選：BCD.三、填空題10．已知向量，，若，則.【答案】【分析】利用向量垂直的坐標表示求出，再利用模的坐標表示計算即得.【詳解】向量，，由，得，解得，即，，所以.故答案為：11．向量，且，則．【答案】/0.8【分析】根據給定條件，結合數量積的運算律可得，再建立平面直角坐標系，利用坐標求解夾角的余弦作答.【詳解】由，得，即，而，則，即，以的方向分別為軸正方向，建立平面直角坐標系，如圖，則，于是，有，所以.故答案為：12．如圖，在平面四邊