2023屆高考數學一輪復習收官卷（二）（上海市）

一、填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）

1.（2022?上海市市北中學高三期中）已知復數Z滿足z?∣3-4i∣=2+5i（i為虛數單位），則復數Z在復平

面內對應的點的坐標.

2.（2022?上海楊浦?高三期中）集合人=｛捫^^0｝,8=｛力;^〃｝,若4=8,則實數。的取值范圍為.

3.（2022?上海交大附中高三開學考試）若函數/O）=In“-1匚+〃是奇函數，貝IJj________.

1+xa-

（3m1、

4.（2022?上海?模擬預測）已知一個關于x、y的二元一次方程組的增廣矩陣是I〃§'其解為

貝（Jm-?-n=.

5.（2022?上海市七寶中學模擬預測）已知

23tl3

x+x÷x++x=α0+α1（x-3）+α2（x-3）-+?（x-3）++all（x-3）”∈M）,且

Δ

?=4+6+4++4，則Iim-?=.

∏→∞4

%+2γ-l≤0

6.(2022?上海市光明中學模擬預測)已知MN滿足,3x-y-2≤0,則z=2x+y的最小值為

x≥0

?,設函數/(x)=(4CoS2∣?-2)sinx+cos2x+2,

7.（2022.上海靜安.模擬預測）已知等差數列｛4｝中，％

8

記H=/（%），則數列｛Λ｝的前9項和為.

8.（2022?上海黃浦?二模）一個袋子中裝有大小與質地均相同的，"個紅球和〃個白球（4Wm<"）,現從

中任取兩球，若取出的兩球顏色相同的概率等于取出兩球顏色不同的概率，則滿足機+"W30的所有有序數

對（加,〃）為.

9.（2022?上海?高三專題練習）如圖，在棱長為2的正方體ABCo-ABC。中，點P為平面ACGA上一

動點，且滿足QPLCP,則滿足條件的所有點尸圍成的平面區域的面積為.

,、［log,x,x>0

10.（2022?上海靜安?二模）已知函數/（x）=7χM∣χ<0,若對任意α≤-1,當—1<6≤，〃時，總有

“（∕（6）7）≥匕成立，則實數機的最大值為.

?l.（2022.上海.高三專題練習）對于曲線C所在平面上的定點6，若存在以點片為頂點的角α,使得

ɑ承對于曲線C上的任意兩個不同的點A,B恒成立，則稱角α為曲線C相對于點外的“界角”，并

稱其中最小的‘'界角”為曲線C相對于點《的“確界角”.曲線Uy=JX相對于坐標原點。的

2-√1-X2（X<0）

“確界角''的大小是.

12.（2022.上海.華師大二附中模擬預測）已知非零平面向量4,人。滿足卜一司=4,且（°-0”。-4=-1,

πTT

若α與匕的夾角為。，且6e,則C的模取值范圍是.

二、選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）

13.（2022?上海市復興高級中學高三期中）若實數。、b滿足a>b>0,下列不等式中恒成立的是（）

A.a+b>2?∣abB.a+b<I-JabC.—+2?>2'JcibD.-+2b<2>[ab

14.（2022?上海?高三專題練習）從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個數中任取5個不同的數，則這

5個不同的數的中位數為4的概率為（）

1C3C5r7

Aa.—B.—C.—D.—

21212121

15.（2022?上海?曹楊二中高三期中）已知函數/（x）=∣x∣T,關于X的方程「a）-"。）I+&=O,給出下

列四個命題：

①存在實數%,使得方程恰有2個不同的實根；

②存在實數3使得方程恰有3個不同的實根；

③存在實數底使得方程恰有5個不同的實根；

④存在實數K使得方程恰有8個不同的實根.

其中真命題的序號為（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

16.（2022?上海市進才中學高三階段練習）若存在實常數k和6,使得函數尸（力和G（X）對其公共定義域

上的任意實數X都滿足：F（X）≥6+。和G（X）≤履+b恒成立，則稱此直線y=kχ+b為F（X）和G（X）的“隔離

直線”，已知函數/U）=*XeR）,g（x）=l（x<0）,MX）=2elnx（e為自然對數的底數），有下列兩個命

題：

命題α：“X）和MX）之間存在唯一的“隔離直線"y=2J￡-e；

命題6/（x）和g（x）之間存在“隔離直線”，且〃的最小值為-L

則下列說法正確的是（）

A.命題命題夕都是真命題B.命題a為真命題，命題夕為假命題

C.命題0為假命題，命題4為真命題D.命題。、命題4都是假命題

三、解答題(本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分)

17.(2022?上海.模擬預測)如圖，四棱錐S-ABa)的底面是邊長為1的菱形，其中NZMB=60。，SD垂

直于底面ABC￡>,SB=√3；

(1)求四棱錐S-ABa)的體積；

(2)設棱弘的中點為M,求異面直線DM與SB所成角的大小.

18.(2022?上海?位育中學模擬預測)如圖所示，在一條海防警戒線上的點4B、C處各有一個水聲監測

點，B、C兩點到點A的距離分別為20千米和50千米.某時刻，8收到發自靜止目標戶的一個聲波信號,

8秒后A、C同時接收到該聲波信號，已知聲波在水中的傳播速度是1.5千米/秒.

⑴設A到P的距離為X千米，用X表示8、C至IJP的距離，并求X的值；

(2)求靜止目標P到海防警戒線AC的距離.(結果精確到0.01千米).

19.(2022?上海?高三專題練習)大數據時代對于數據分析能力的要求越來越高，數據擬合是一種把現有數

據通過數學方法來代入某種算式的表示方式.比如4(4,幻U=I,2,3〃)是平面直角坐標系上的一系列點，

其中正是不小于2的正整數，用函數y=∕(x)來擬合該組數據，盡可能使得函數圖像與點列4(4也)比較

接近.其中一種衡量接近程度的指標是函數的擬合誤差，擬合誤差越小越好，定義函數y=∕(χ)的擬合誤差

22

為：?(∕(x))=?[(/(?,)-bl)+(f(a2)-b2)++(/(%)-縱A].已知在平面直角坐標系上，有5個點的坐標

數據如下表所示:

X12345

y127

(1)若用函數<(X)=X2-4x+5來擬合上述表格中的數據，求,.(X(X));

(2)若用函數力(X)=2卜避+m來擬合上述表格中的數據.

①求該函數的擬合誤差二(力(x))的最小值，并求出此時的函數解析式>=力(x);

②指出用/(x),力(x)中的哪一個函數來擬合上述表格中的數據更好？

22

20.(2022?上海?華東師范大學第一附屬中學高三階段練習)已知橢圓E：—+^-=1的左焦點為尸，下

84

頂點為A,斜率為&的直線/經過點尸(0,-3).

⑴若/與直線4尸垂直，求/的方程；

(2)若直線/與橢圓E相交于不同的8,C,直線48,AC分別與直線y=-3交于M,N且IPMl+∣PN∣≤16,

求女的取值范圍.

21.(2022?上海市進才中學高三期中)已知數列｛%｝的前〃項和為S,,滿足：至t=%+ι("eN*).

nZ

(1)求證：數列｛α,J為等差數列；

⑵若g=3,數歹∣J｛4｝滿足4=4也=4T,lgd+lgd+2=21gd+""eN'),記。為他｝的前〃項和，求證:

ττT

n'n+2?L\；

(6〃-7應為奇數4”

⑶在⑵的前提下，記叫=a,,an+2,數列｛%｝的前2〃項和為K2n,若不等式(T)=+5π<K",

JOg2%,〃為偶數

對一切"∈N*恒成立，求4的取值范圍.

2023屆高考數學一輪復習收官卷（二）（上海市）

一、填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）

1.（2022?上海市市北中學高三期中）已知復數Z滿足Z?∣3-4i∣=2+5i（i為虛數單位），則復數Z在復平

面內對應的點的坐標.

【答案】尋）

2.（2022.上海楊浦?高三期中）集合A={x∣x≥0},B={xIXNa},若AWB,則實數0的取值范圍為.

【答案】（-∞,0]

3.（2。22?上海交大附中高三開學考試）若函數/（x）=∣nα-占+'是奇函數,則）=一

【答案】

（3]↑χ1A

4.（2022?上海?模擬預測）已知一個關于x、y的二元一次方程組的增廣矩陣是I〃§'其解為

則m+n=.

【答案】1

5.（2022?上海市七寶中學模擬預測）已知

23n23

x+x÷x++x=a0+al（x-3）+α2（x-3）+?（x-3）++4（X-3）”（M∈N'）,且

A=a+a+a++a,則Iime=

n0i2nn→χ4

【答案】I4

x+2y-140

6.（2022?上海市光明中學模擬預測）已知x，y滿足?3x-y-2≤0,則z=2x+y的最小值為

x≥0

【答案】-2

—,設函數/(x)=(4cos??∣-2)sinx+cos2x+2,

7.（2022?上海靜安?模擬預測）己知等差數列{%}中，為=

8

記％=/（%），則數列{y,,}的前9項和為.

【答案】18

8.（2022?上海黃浦?二模）一個袋子中裝有大小與質地均相同的陽個紅球和〃個白球（4W,”<"）,現從

中任取兩球，若取出的兩球顏色相同的概率等于取出兩球顏色不同的概率，則滿足機+〃W30的所有有序數

對（"1,"）為.

【答案】（10,15）,（6,10）

9.（2022?上海?高三專題練習）如圖，在棱長為2的正方體ABCo-ASGA中，點P為平面ACGA上一

動點，且滿足。尸，CP,則滿足條件的所有點尸圍成的平面區域的面積為.

OiC

【答案】y

/.[log?x,x>0

10.(2022?上海靜安?二模)已知函數/(x)=^2x；l[x<0,若對任意44T,當T<6≤機時，總有

”(∕3)7)N6成立，則實數機的最大值為.

【答案】1

11.(2022?上海?高三專題練習)對于曲線C所在平面上的定點外，若存在以點分為頂點的角ɑ,使得

ɑ承AT?/對于曲線C上的任意兩個不同的點A,B恒成立，則稱角α為曲線C相對于點B的“界角”，并

√x2+l(x≥O)

稱其中最小的“界角”為曲線C相對于點為的“確界角曲線C:y=「"相對于坐標原點。的

2—y∣l-X2(%<0)

“確界角”的大小是.

【答案】二57F

12.(2022?上海?華師大二附中模擬預測)已知非零平面向量d,b,C滿足,叫=4,且(α-c)?(b-c)=-l,

JrJT

若“與的夾角為。，且?€§，'，則。的模取值范圍是.

【答案】[2-6,3√J]

二、選擇題(本大題共4題，每題5分，共20分)

13.(2022?上海市復興高級中學高三期中)若實數。、匕滿足a>b>0,下列不等式中恒成立的是()

A.a+b>2y[abB.a+b<2?[cibC.—+2?>2?JabD.-+2b<2>∕ab

【答案】A

14.(2022?上海?高三專題練習)從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個數中任取5個不同的數，則這

5個不同的數的中位數為4的概率為()

1C3C5C7

A.—B.—C.—D.—

21212121

【答案】C

15.(2022?上海?曹楊二中高三期中)已知函數/(x)=∣x∣-l,關于X的方程/(X)Tf(X)|+&=O,給出下

列四個命題：

①存在實數%,使得方程恰有2個不同的實根；

②存在實數k,使得方程恰有3個不同的實根；

③存在實數底使得方程恰有5個不同的實根；

④存在實數K使得方程恰有8個不同的實根.

其中真命題的序號為()

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】C

16.(2022.上海市進才中學高三階段練習)若存在實常數上和6,使得函數F(X)和G(X)對其公共定義域

上的任意實數X都滿足：F(X)≥kx+b^?G(X)≤"+A恒成立，則稱此直線y=kx+b為F(X)和G(X)的“隔離

直線”，己知函數/(x)=V(xeR),g(x)=((x<0),MX)=2elnx(e為自然對數的底數)，有下列兩個命

題：

命題α：/(x)和〃(X)之間存在唯一的“隔離直線"y=2&x-e；

命題6/(x)和g(x)之間存在“隔離直線”，且6的最小值為-L

則下列說法正確的是()

A.命題命題?都是真命題B.命題a為真命題，命題少為假命題

C.命題a為假命題，命題夕為真命題D.命題命題夕都是假命題

【答案】B

三、解答題(本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分)

17.(2022?上海?模擬預測)如圖，四棱錐S-ABS的底面是邊長為1的菱形，其中/DAB=60。，S。垂

直于底面ABCr>,SB=幣;

(1)求四棱錐S-ABcD的體積；

(2)設棱SA的中點為M,求異面直線。M與SB所成角的大小.

【詳解】解：(1)Y四棱錐S-ABa)的底面是邊長為1的菱形，其中/ZMB=60。,

SD垂直于底面ABCD,SB=y∕3,

80=],AC=√l+l-2×l×l×cosl20°=小,

SD=y∣SB^BI^=-J^?=42>

SABCD=；*ACXBD=/=與，

，四棱錐S-ABCD的體積V=-×SABCDXSo=IX且x√∑=理.

3326

（2）取BC中點E,以3為原點，D4為X軸，OE為P軸，OS為Z軸，建立空間直角坐標系,

A(l,0,0),s(θ,O,?V∑),M—,0,^-,B—,??,θ

DM=R,O圖,SB=(；,。,一應],

[22J(22J

設異面直線DM與SB所成角為θ,

∣DM?5B∣TIπ

則8S*E"行F故4’

二異面直線。M與S3所成角為。.

18.（2022?上海?位育中學模擬預測）如圖所示，在一條海防警戒線上的點A、B、C處各有一個水聲監測

點，￡C兩點到點A的距離分別為20千米和50千米.某時刻，B收到發自靜止目標尸的一個聲波信號,

8秒后A、C同時接收到該聲波信號，已知聲波在水中的傳播速度是1.5千米/秒.

（1）設A到尸的距離為X千米，用X表示3、C到尸的距離，并求X的值；

（2）求靜止目標P到海防警戒線AC的距離.（結果精確到0.01千米）.

【答案】（I）PC=X（千米），8P=x-12（千米），31

（2）18.33千米

(1)

根據題意可得：AB=20(TMAC=50(千米)，AP=PC=%(千米)，8P=x-12(千米),

?.?cosNPAB=cosZCAP,則純十"少?=AC+A∕)—>U

2AB×AP2AC×AP

即2()2+父(12)-=502+fτ2,解得χ=31

2×20x2×50x

(2)

在-AC中，CoSNaP=寫遙浮哈則SinNdjOy=寄

設尸到AC的距離為d(千米)，則LAPXACXSin/CAP=LACXd

22

'I=4?*18.33

靜止H標P到海防警戒線AC的距離為18.33千米

19.(2022?上海?高三專題練習)大數據時代對于數據分析能力的要求越來越高，數據擬合是一種把現有數

據通過數學方法來代入某種算式的表示方式.比如A(4,bj(i=l,2,3〃)是平面直角坐標系上的一系列點，

其中〃是不小于2的正整數，用函數y=∕(χ)來擬合該組數據，盡可能使得函數圖像與點列4(α,也)比較

接近.其中一種衡量接近程度的指標是函數的擬合誤差，擬合誤差越小越好，定義函數y=∕(χ)的擬合誤差

22

為：Δ(∕U))=?[(/(ɑ,)-?l)+(/(a2)-?2)++(/(4)-2)2].已知在平面直角坐標系上，有5個點的坐標

數據如下表所示：

X12345

y127

(1)若用函數＜(X)=X2-4尤+5來擬合上述表格中的數據，求?."(x));

(2)若用函數力(X)=2卜T+∕M來擬合上述表格中的數據.

①求該函數的擬合誤差.(6CO)的最小值，并求出此時的函數解析式y=人(x)；

②指出用工(力,力(X)中的哪一個函數來擬合上述表格中的數據更好？

【答案】(1)(ZW)=1.84；(2)①,(力(X))的最小值為0.2784,此時啟X)="7-0.04：②答案見解

析.

【詳解】(1)若用函數/(x)=f-4x+5=(x-2)2+l來擬合上述表格中的數據，

工(1)=2,/(2)=1,〃3)=2,/(4)=5,點5)=10,

22

則√Z(x))=∣[(2-2.2)+(1-1)?+(2-2尸+(5-4.6)2+(i0-7)]=1.84:

(2)①若用函數人(x)=2∣T+m來擬合上述表格中的數據，則

_(&1))=∣[(2M+OT-2.2)2+(2RT+〃?-If+(224+m-2)2+(2M+w-4.6)2

+(2M+m-l)2]=m2+0.08m+0,28=(m+0.04)2+0.2784≥0.2784,

則當機=-0.04時，，(人(X))的最小值為0.2784,

此時人(X)=2卜7-0.04.

2

②由上可知，(Z(x))=1.84,...(∕2(x))=/M+0.08w+0.28,

當-洋件＜,“＜當二?時，"(X))＞(啟初，此時用力(X)=2kT-0.θ4來擬合上述表格中的數據更好：

當,”=一匕爭或加=4咚-1時,(/(x))=(啟元))，用工(χ)∕(χ)擬合效果一樣；

當,”_上爭或勺黑時，√Z(X))＜J(Λ(X)),此時用/(X)=X2-4X+5來擬合上述表格中的數據

更好.

22

20.(2022?上海?華東師范大學第一附屬中學高三階段練習)已知橢圓E：—+?-=1的左焦點為尸，下

84

頂點為A,斜率為我的直線/經過點尸(0,-3).

(1)若/與直線AF垂直，求/的方程；

(2)若直線/與橢圓E相交于不同的B,C,直線AB,AC分別與直線丫=-3交于M,N且IPM+∣PM4質，

求左的取值范圍.

【答案】⑴％-y-3=0

⑵典＜%≤2或-2≤&＜—叵.

44

【詳解】(1)橢圓E的左焦點為F(-2,0),下頂點為4(0,—2),

2

所以直線ZM=F=-1,若/與直線AF垂直，則直線/的斜率為1,

—2

又直線/經過點尸(0,-3),所以直線,的方程為y=x-3,即x-y-3=0；

(2)山題意知直線/的斜率存在，

(22

土匕=]

設5(3/),。(肛％)，由84~得(1+2%2卜2_[2自+10=0,

J=AX-3

由A=144二一400+2公)＞0得人＞乎或/＜一乎，

?1kIO

X'+"2=K'k2=Eyl=kxl-3,y2=Ax2-3,

9-8好

所以M+y2=X(*+??)-6=y^^,yy=(fcv-3)(fcr,-3)=?2XΛ,-3?(x+x,)+9=

l2lIl1+2*2

直線AB的方程為y+2=9jf,直線AC的方程為y+2=9χ,

x}x2

一“2

令產-3,可得??=-?=—可得M

>,∣+2必+2.X+2J(必+2

因為Xrr2=J+2公>0,所以不、々同號，且Y+2>0,%+2>0,

所以IPM+網=」-+二^|=卜()+2)廣(#2)=2煙超：&+彳)=愀區16,

y+2y2+2?I(y+2)(%+2)y%+2(χ+%)+4

即W≤2,解得一2≤A≤2,又k〉叵或k<—眄,

44

所以巫<%≤2或-24A<-巫.

44

2,

21.(2022?上海市進才中學高三期中)已知數列也｝的前〃項和為S”，滿足：-^=?+l(n∈N,).

⑴求證：數列｛《,｝為等差數列；

⑵若見=3,數列出｝滿足仿=4也=/-l,lgd+lgd+2=21g*∣("eN"),記。為低｝的前〃項和，求證:

ττT

n-n+2<n+\；

(6〃-7應,“為奇數4”

⑶在(2)的前提下，記C,,=allal,+2,數列｛?,｝的前2〃項和為心，若不等式(T)=+色τ<K",

JOg2%，"為偶數

對一切“eN恒成立，求2的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

⑶(T5)

【詳解】⑴因為拳=q,+l("eN*),所以2S“=