第三章圓錐曲線與方程

3.1橢圓.....................................................................1

3.2雙曲線..................................................................12

3.3拋物線..................................................................26

3.1橢圓

一、單選題

/2

I.已知命題p：方程一二+二v一=ι表示焦點在y軸上的橢圓，則使命題。成立的充分不必

5-tntn-?

要條件是（）

A.3<m<5B.4<m<5C.1<WJ<5D.m>?

【答案】B

22

【解析】若方程一匚+工一=ι表示焦點在y軸上的橢圓，

5-min-1

則〃2-1>5-〃2>0,解得：3<m<5.

所以〃成立的充要條件是：3<m<5,

結合四個選項可知：〃成立的充分不必要條件是4<m<5,

2.阿基米德既是古希臘著名的物理學家，也是著名的數學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面

積除以圓周率乃等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的中心為原點，焦點K、?

在y軸上，橢圓C的面積為2鬲，且離心率為g,則C的標準方程為（）

【答案】c

【解析】由題意可知，橢圓C的面積為乃M=2島?，且。、匕、C均為正數,

ab=a=2

,解得N=6,

即,

a2

a2=b2+c2

29

因為橢圓C的焦點在y軸上，所以C的標準方程為三+二=I.

34

3.橢圓E：］+g=l（a>6>0）的左、右焦點分別為月、F2,E上存在兩點A、8滿足

EA=2gB,M6∣=gα,則E的離心率為（）

A.立B.-C.BD.；

3322

【答案】A

【解析】作點5關于原點的對稱點C,連接BK、CK、CF2、BC,

則。為Be、KK的中點，故四邊形Me瑪為平行四邊形，故C不/3鳥且KMl=I眶I,則

CFi=F2B,

所以，F,A=2CFl,故A、環、C三點共線，

由橢圓定義，∣A制+∣A段=24,有IA周=∣α,所以IC用=?∣,則IAC=α,

再由橢圓定義附+|固=2α,有陽=半，

因為∣Cg∣2=∣AC∣2+∣A/?,所以NCA居=90,

在鳥中，I耳/?=IMr+h??即de?=?/,所以，離心率e=好.

4.已知產是橢圓C:[+1=l的右焦點，點4（2,苧）在C上，直線他與y軸交于點8,

點戶為C上的動點，則尸A?PB的最小值為（）

【答案】C

‘36丫

【解析】由題可得2?、虧,

__十L

m-15-

22

m=16,即橢圓C:土+"=I,

1615

ΛF(l,0),直線AF方程為y=苧(x-l),

22Q/C

j

設夕(不，九)，則務+?=l，PA=2-x0,---%,PB=-x0,-----%

16152.?L

.??PΛ?PB=(2-x0)(-x0)÷%

=XQ-2x0+y^一~—

2?15245

=XO-2x0+15--X0-

1、49

=ττ(-ro-?e)--T,乂-4'x<>’4,

Io4

13

，當XO=4時，P4P8有最小值為一丁.

4

5.如圖，橢圓的中心在坐標原點。,頂點分別是4,&,綜約，焦點分別為耳巴，延長B石與

4為交于尸點，若NBr4為鈍角，則此橢圓的離心率的取值范圍為()

【答案】D

【解析】解：由題意，設橢圓的長半軸、短半軸、半焦距分別為。，b,c,則與人=(α,-6),

F2Bt=(-c,—b),

因為NBf4就是與人與84的夾角，所以與4與84的夾角為鈍角，

所以與4,月4<。，W-ac+b2<0.Xfe2=a2-c2,

所以“2—九—c2<o,兩邊同時除以“2,得i_e—e2<0,即/+e-l>O,

解得eV-"'或e>—+逐,又0<e<],

22

所以土史<e<l,

2

所以橢圓離心率的取值范圍為七一，1，

6.在平面直角坐標系XOy中，若的頂點40,-2)和C(0,2),頂點3在橢圓1+:=1上,

12o

sinA+sinC

則的值是()

sinB

A.√3B.2C.2√3D.4

【答案】A

【解析】由題設知：AC為橢圓的兩個焦點，而8在橢圓上,

所以IAB∣+∣C8∣=24=46,?AC?=2c=4,

,+eq,,乂才，sinA+sinC?AB?+?CB?

由正弦定理邊角關系知：-=-rττr.-=vr?.

SinBIAC∣

7.已知點44,0)和風2,2),M是橢圓上+片=1上的動點，則IMAI+∣M8∣最大值是()

259

A.10+2√10B.10-2√10C.8+√IOD.8-√K)

【答案】A

r2v2

【解析】解：楠圓'+二=1,所以A為橢圓右焦點，設左焦點為尸(T,0),

259

則由橢圓定義IMAl+∣MF∣=20=10,

于是IM4∣+1MBI=10+∣M8∣-IMF∣.

當M不在直線BF與橢圓交點上時，M、F、B三點構成三角形，于是IMBlTMFIVBFI,

而當M在直線即與橢圓交點上時，在第一象限交點時，有IMBI-IM尸I=-IBFI,

在第三象限交點時有∣M8∣-∣MFRBF∣.

顯然當M在直線BF與橢圓第：象限交點時IM4∣+∣MBl有最大值，其最大值為

22

?MA?+?MB?=?0+?MB?-?MF?=?0+?BF?=↑0+y∣(2+4)+(2-0)=10+2√10.

22

8.已知橢圓C:，+g=l(a>A>O"，K為C的左、右焦點，P(肛〃)(加>0,〃>0)為C上一點，

且△「/=；E的內心/(s,l),若的面積為2〃，則〃的值為()

348

A.-B.—C.-D.3

533

【答案】C

【解析】由題意可得，APG用的內心/(s,l)到X軸的距離就是內切圓的半徑.又點P在橢圓C

上，.?.?PFl?+?PF2?+?FlF1?=2a+2c,.?.S,=!(2α+2c)xl=α+c=2?.又c=eα,.?.6=?^?^,

-Λ]222

222222

α=Z?+C,Λ+ae=a,即(l+c)2+4/=4,.?.5e2+2e-3=0,解得e=j或T(舍)，

.?.C=]∕>="又SW=樂閭"=c",.?.∕+α=?∣α",解得”=?∣.

二、多選題

9.(多選)設定點6(0,-3),E(0,3),動點尸滿足IP用+∣P用=α+'(α>0),則點尸的軌跡可

能是()

A.圓B.線段C.橢圓D.直線

【答案】BC

【解析】由題意知,定點6(0,-3),心(0,3),可得忸1|=6,

因為q>0,可得IP用+∣P耳∣=4+242^ΣJ=6,

9

當且僅當。=一，即。=3時等號成立.

a

當α+?=6時，可得的|「耳|+歸周=閨勾，此時點尸的軌跡是線段耳巴；

當α+:>6時，可得∣P6∣+∣P閭>|耳閭，此時點P的軌跡是橢圓.

10.已知橢圓/∕=l(4>b>O)的左、右焦點分別是耳，F2,尸是橢圓上一點，若

?PFλ?=2?PF2?,則橢圓的離心率可以是()

1112

A.-B.-C.-D.—

5433

【答案】CD

【解析】由橢圓的定義,可得Ipl+∣"∣=20.

又IP周=2∣P閭，所以IP用=>,?PF2?=ja.

①當點尸與6,K不共線時，在APEK中，|「周一|明|<出閭,

2c1

即一α<2c,所以e=—>—.

3a3

②當點尸與K,K共線時，分析知∣PK∣=α+c,∣p閭=α-c,

所以α+c=2(α-c),即α=3c,所以e='=L

a3

綜上，橢圓的離心率的取值范圍是?,l],

11.某顆人造地球衛星的運行軌道是以地球的中心廠為一個焦點的橢圓，如圖所示，已知它

的近地點A(離地面最近的點)距地面機千米，遠地點B(離地面最遠的點)距地面W千米，

并且R48三點在同一直線上，地球半徑約為R千米，設該橢圈的長軸長、短軸長、焦距

分別為2?3、2c,則

A.a-c=m+RB.a+c=n+RC.2a=m+nD,b=J(一+R)(n+R)

【答案】ABD

【解析】因為地球的中心是橢圓的一個焦點，

[m=a-c-R

并且根據圖象可得,(*)

[n=a+c-Rd

.?a-c=m+R,故A正確；

4+c="+R,故B正確；

(*)兩式相加機+〃=2α-2R,可得2α=A∏+"+2R,故C不正確；

由(*)可得J,+R=α+c，兩式相乘可得(m+4(,+R)=a一0

,-c^=b~，

2

.-.b=(m+R)(n+R^h=y∣(m+R)(n+R),故D正確.

12.已知橢圓C:^+?=l上有一點P,片、尸2分別為其左右焦點，ZF?PF[=e,△/=；「心的

169

面積為S,則下列說法正確的是()

A.若6=60°,則S=3√LB.若S=3,則滿足題意的點尸有4個；

C.若心是鈍角三角形，則Seθ?；D.橢圓C的內接矩形的周長的最小值為

\7

12.

【答案】ABC

【解析】由橢圓C:工+匯=1可得α=4,6=3,貝!∣C=√7,

169

,,..[m+n=2a

對于A,設附=租,格=〃，NF?PF°=8,則L,,2c“，由此可得

[4c=m+n-2mncosθ

mn=————，所以鳥的面積為SSine=J——------sinθ=b2?Sine=力tan—

1+cosΘ221÷cosθ1+cosθ2

所以S=b2tan'=9xtan30o=3宕,所以A正確,

2

對于B,因為S=g忻用?∕ι=gx2√7∕z=3,則fl=亞<b=3,所以由桶圓的對稱性可知滿

足題意的點尸有4個，所以B正確，

對于C,因為△耳Pg是鈍角三角形，所以中有一個角大于90。，當NP巴耳=90。時,

設IP制=聞”|=〃，則/=〃2+4/="2+28,因為祖+〃=2a=8,所以解得n=?,所以

S=；IKElIPKI=TX2√7χ'=乎，所以△/:；2鳥是鈍角三角形時，有Se。,乎，所以C

正確，

f%=4cos^(π?

對于D,令.,0,-,則橢圓內接矩形的周長為

[y=03sιn6n<2)

4(3Sine+4COSe)=I6cos6+12sin0=2θ(^sin6+[cosθ)=20sin(6+e)(其中夕e且

滿足Sine=*cos=∣),由θ∈(θ,f得"夕+9+"所以橢圓內接矩形的周長的范圍

為(20Sin(S+∣θ,20sin/，即(12,20],所以D錯誤，

三、填空題

13.已知B,B是橢圓工+V=I的兩個焦點，點P在橢圓上，PF,Lc軸，則PKK的面

4

積為.

【答案】巫##：6

22

【解析】由題意不妨設6(-√3,O),F《60),

?.?P尸2,X軸，???Λ√3,+?),

,：XPF?F[的面積=；FF2Il耳心I=J*?×2√3-?,

2222

22

14.已知橢圓C:^+方=1,>Z>>O)的焦點為F-F2,若橢圓C上存在一點P,使得

PFiPF2=O,且^FiPF2的面積等于4.則實數b的值為.

【答案】2

【解析】由題設，→2c×∣y,>∣=c∣?|=4,且(-c-x0,-yj(c-巧,,-%)=(),可得￡=<?-W，

又C：軍+洛=匕先+哈=1，則∣y,∣=0,

abab^^c

綜上，從=4,又6>0,W∣J?=2.

22

15.已知橢圓E:二+2=1的一個頂點為“(2,0),對于X軸上的點Pa0),橢圓E上存在點

43

M,使得MPLMH,則實數f的取值范圍是.

【答案】(-2,-1)

【解析】設M(Xt),%)(-2<Λ0<2),則J+*=],①

MP=(r-x0,-y0),MH=(2-x0,-y0),

由MPJ,Λ∕“可得MP?MH=0，即(，-天)(2-%))+乂=0,②

由①②消去治,整理得[2-%)=-；京+2x0-3,

13

因為XoW2,所以I=1/-,,

因為一2<x0<2,所以—2<t<—1,

所以實數Z的取值范圍為(-2,-1).

16.已知橢圓C的焦點4(-20,0),fζ(2√2,0),長軸長為6,設直線y=x+2交橢圓C于A,

8兩點，則線段A8的中點坐標為.

【答案】，弱

【解析】由已知條件得橢圓的焦點在X軸上，其中c=2√∑,。=3,從而b=l,

.?.其標準方程是：y+∕=l,

----FV=1

聯立方程組2,消去V得，IOX2+36χ+27=0.

γ=x+2

設A(XP必)、B(X2,M)，A8線段的中點為M(X°，％),則x∣+x2=-1,/=刀2=-二，

191

.?.%=$+2=《，即線段AB中點坐標為(-∣Λ).

四、解答題

17.已知AABC底邊兩端點8(0,6)、C(0,-6),若這個三角形另外兩邊所在直線的斜率之積為

4

求點A的軌跡方程.

【解析】設A(X,y)且XW0,則3∕AC=E∑1空/=匕型=一±，

22

整理得：A的軌跡方程土+匕=1("0)?

8136v)

18.已知圓C滿足:圓心在直線x+y=O上，且過圓x2+y>2-2x+]0γ-24=0與圓x2+y2+2x+2y-8=0的

交點A,B.

(1)求弦AB所在直線的方程；

(2)求圓C的方程.

22

X+γ-2x+10γ-24=0z

【解析】(1)由,7,^x-2y+4=0

x2+y2+2x+2y-8=0

故弦A8所在直線的方程為x-2y+4=0

,IX2+y2+2χ+2y-8=0fx=-4JX=O

(2)由《:,八，解得〈八或＜C

[x-2y+4=0[y=o[y=2

故4(TO),3(0,2)

設圓心C(α,-α),由(α+4)2+a?=42+(a+2尸，解得a=—3,即C(—3,3)

r2=a2+(a+2)2=9+1=10,故圓C的方程為(x+3)?+(y—3)?=10

19.已知直線/：∣wc-y+2-m=0,。C的方程為Y+y?-2x-4y=0.

⑴求證：/與。C相交；

(2)若/與。C的交點為A、B兩點，求OAB的面積最大值.(。為坐標原點)

【解析】⑴

由宜線/：mx-y+2-m=0,得"z(x—l)+2-y=0,

(X—1=0[x=1、

叫2-y=0可得|y=2'所以直線'過定點P。z⑵，

由圓C：X2+y2-2x-4y=0可得(X-Iy÷(y-2)2=5,

可得圓心坐標C(l,2),從而可得直線/過圓心，則/與G)C相交;

(2)

因為直線/過圓C的圓心，所以I陰=2石，

因為O點在圓C上，則C到直線AB距離的最大值為IoCl=逐，

所以.OAB的面枳最大值為gx2√^x石=5.

20.已知點P是橢圓=l(α>6>0)上一動點，F∣(-6,0),∕?(√3,0)分別為橢圓的左焦

點和右焦點，NiPE的最大值為90。，圓O：/+y2=2.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)過圓。上任意一點Q作圓的的切線交橢圓C于點M,N,求證：以MN為直徑的圓過

點0?

［解析】⑴當點P在短軸端點處時，N耳尸鳥最大,而N耳尸鳥的最大值為90。，則有。=C=有，

a2=b2+c2=6,

所以所求橢圓的標準方程為《+q=1：

63

(2)過點。的圓O的切線斜率不存在時.，切線方程為X=或X=五，由橢圓及圓的對稱性，

不妨令切線為X=應，

由(1)可得M(虛,0"),N(√Σ,-點)，OM=(√Σ,α^),ON=(√Σ,-√Σ),于是得0W?ON=0,即

OMLON,

過點。的圓。的切線斜率存在時,設切線方程為y="+，”，則有4?=應，即k=2公+2,

√l+%~

[y=kx+m,C

由〈，C)/消去y得：(2?2÷l)x2+4k∕wc+2∕n*?-6=0,

[x~+2y=6

顯然圓O在橢圓C內，則圓。的每一條切線都與橢圓C交于兩點，設M(χ,y),N(x2,y2),

Δ.km7∕77~—6

?1+?=--?,XX=->而OM=(Λ,χ),ON=(x,y),

NK2II12乙KI?122

22

于是得OM?ON=X1Λ2+y1y2=x1x2+(fcc1+∕n)(?x2+ιri)={k+V)xxx2+Am(x1+x2)+∕w

2--6_4∏+/=(?2+l)(2∕n2-6)-4?W+∕√(2?2+l)

2?2+l~2k2+?+m—2?2+l

22公八

-3-m---6--k---6---3-(-2-4-2-+--2-)---6----—-6--()?

2jt2+l2?2+l

則有OMION,

綜上，過圓。上任意一點。作圓的的切線交橢圓C于點M,N,都有OMLON,

所以，以MN為直徑的圓過點0.

22I

21.己知橢圓C言r+方v?=l（a>b>O）的離心率為左、右焦點分別為耳，鳥，。為坐標原

點，點P在橢圓C上，且有IP制=4,NE-鳥=60。.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知過點（2,0）的直線/與橢圓C交于",N兩點，點Q（8,0）,求證：NMQo=NNQO.

【解析】（1）在△片P心中，IP乙I=24-4,￡=；,4C2=16+（2?-4）：-4（2?-4）,

22

解得4=4,C=2,所以/=12,則橢圓C的方程為：—+?=1.

1612

（2）當直線斜率為0時，易知NMQO=NNQO成立，

當直線斜率不為O時，設直線/方程為x="+2,Ma,χ）,N（x2,3）

x=ty+2

22

Xy,,消去X有（3產+4）y2+12）-36=0,y+y?=薩JMM=薩r

----1----=1?r÷4?/+4

1612

1-72t72,

*+*=_21_+必=2》%-6（—+），2）=3產+4+3產+4=0,

wρ

,*Qx∣-8x2-8S-6）（優-6）（∕>∣-6）（d-6）

所以NMQO=NNQO,

綜上可知不論直線/的斜率是否為3怠有NMQo=NNQO.

22.已知橢圓C：m+y=1（“>b>0）,點￡、%分別是其左、右焦點，點A、3分別為其左、右

ab

-2

頂點,若兩焦點與短軸兩端點圍成四邊形面積為2√L且圓f+丁二；為該四邊形的內切圓.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若以（1）中較圓的橢圓為研究對象，過耳的直線/交橢圓于P，。兩點，求ABPQ面積

的最大值.

【解析】（1）設半焦距為c,則S=g?26?2c=2bc=2小即加=6，

又直線2+?=1與圓V+/=］相切，

cb4

.be_?c_>/3

"yfb2+C2=^=T'

故be=。?-?,

2

be-y∣3

.?.α=2,故,

b2+c2=4

故.b=邪,C=I或b=l,,c=>/3>

222

橢圓方程為土r+上v=1或土+y2=ι.

434-

(2)較圓的橢圓為止+￡=1

43

根據題意，直線/斜率不為0,設直線PQ:X=O-I,

x=fy-l

聯立方程VV2得，(3產+4)y2-6<y-9=0

—+—=1

143

2

,?,Δ=144(∕+l)>0,y1+y2=^^,yly2=^^

C1-I3Γ--------?_：——312√∕2+1

s

MiPQ=∕?3?∣y∣一%l=-√(?∣÷J2)-4y%=2?3產+4

令〃=J/?+1≥1,5=/—1,則

SΔ*Q=18?在亙=18?―1-=18?―5—

AB2

PQ3Γ+43W+13H+1

U

易知y=3〃+」在口,+8)單調遞增,

u

Q

所以當〃=1時，S..Q取最大值萬，此時f=o.

3.2雙曲線

一、單選題

22

1.己知橢圓三+y2=l(a>l)和雙曲線二-V=[(w2>0)有相同焦點，則()

am

A.a=m+2B.ιn=a+2C.a2=n^+2D.m2=a2+2

【答案】A

■>

【解析】由題得橢圓工+V=1(“>1)的半焦距為后二7,

a

2

雙曲線三-y2=](,">o)的半焦距為標R,

m

所以?Jα-1=√∕M+1,.?.α-l=∕M+1,.?.a=MI+2.

2.已知與心是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點,且/￡/蜴=60。,IP制=3|"|,則C的

離心率為()

A.立B.姮C.√7D.√13

22

【答案】A

【解析】因為IP周=3|尸閭,由雙曲線的定義可得IP周一儼閭=2歸用=0,

所以IP用=α,|M|=3a；

因為?戶g=60。,由余弦定理可得4/=姆+Y一2X3α?a?cos60。，

整理可得4C2=7∕,所以句=4=1,即e=立.

a242

3.設P(x,y)是雙曲線：=1的右支上的點，則代數式Jd+/一2)，+1-JX2+/—6x+9的

最小值為()

A.√∣0B.2√5-√10C.√10-√5D.√5+√6-3

【答案】B

222222

【解析】y∣x+y-2y+?-y∣x+y-6x+9=y]x+(y-l)-J(X-3)。+y2,

設A(0,1),*3,0),上式表示IPAHP耳，由于雙曲線I-I=I的左焦點為9(-3,0)*(3,0),

雙曲線的實軸2〃=2后，IP月=IPFl-2?=|PF,?-2√5,

IPAHPFI=IPΛ∣-∣PF,∣+2√5=-(|PF,?-1∕,A∣)+2√5.

∣PF[-IPAI≤∣AP[=有二F=加,當P在尸A的延長線與雙曲線右支的交點處時取到等號，

所以IMTPFl=-(IPFlTPAl)+2正的最小值為2石-TiU.

2222

4.已知橢圓G：。+方=l(a>6>0),雙曲線G：A戶三層=1，片，K為的焦點，戶為G

和。2的交點，若耳鳥的內切圓的圓心的橫坐標為2,G和的離心率之積為,，則。的

值為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】不妨設點尸在第一象限內，的內切圓與邊P小耳工,尸鳥的切點分別為A,B,C,

雙曲線的焦距為2c,.

則IMTp閭=（IPW+1期|）-（IPq+∣C功=（IM+1砌）-（附|+|%|）=|班|-|明|

=（2+c）-（c-2）=4,

因為點P在雙曲線上，所以IPKlTP周=%=4,則6=2,

3

又因為G和G的離心率之積為：，而橢圓的離心率q=雙曲線的離心率為

解得α=4.

Xlv2

5.已知雙曲線C：F-3=M?>0力>0）的左焦點為尸，O為坐標原點，M,N兩點分別在C

的左、右兩支上，若四邊形。FMN為菱形，則C的離心率為（）

A.y∕2+↑B.6C.√3+lD.2應

【答案】C

【解析】由題意外一。,。），四邊形9尸為菱形，如圖，則PWM=IoM=IoFI=C且MN//O尸

,M,N分別為C的左，右支上的點，設M點在第二象限，N在第一象限.由雙曲線的對稱性，

c11c

可得∕=],過點N作M/LX軸交X軸于點//,則IoNl=C,∣OH∣=5∣MN∣=5∣ON∣=],所以

NNO"=60。廁INM=旦，所以所以S-竺=1,則C%2-3C%2=4∕6,

112（22J4?24?2

4

即e-8e2+4=0,解得e2=4+2λ∕L或e2=4-2λ∕L由雙曲線的離心率e>l,所以取

e2=4+2√3-則e=6+l

6'設雙曲線匚.7』人。）與直線/：'+日相交于兩個不同的點兒B，則雙曲線C

的離心率e的取值范圍是（）

作√Σ∣5"+8)C.

A.(y∕2,+∞)B.,+8D.,√2

/

【答案】B

人2—1

【解析】='=>(i-4a2)x2+8a2x-8a2=0,

x+γ=l

l-4α2≠0,

所以《<1

Δ=64/+4×8a2(l-4cr)>0,2

a>0

i(Λ∕2,+∞)

7

2222

7.已知雙曲線Cj-3=l（α>0力>0）的焦點到漸近線的距離為1,且與橢圓q→1=l有

公共焦點.則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.y=+^-xB.y-±y∕lxC.y=+^-xD.y=±"x

【答案】C

【解析】由題意已知橢圓的焦點坐標為（±#,0）,即為雙曲線的焦點坐標，雙曲線中C=#，

漸近線方程為y=±2χ,其中一條為反-ay=。，

a

.??漸近線方程為尸±冬

8.方程J(x+10)2+9—J(X-IO)2+y2=12的化簡結果為()

r2v2r2v22222

A.—-?=1B.—-?-=1C.二一2L=1(X>0)D.—-^?=1(Λ>0)

3664643636646436

【答案】C

【解析】解：設4(T0,0),B(l0,0),P(x,y),

由于動點P(Xj)的軌跡方程為J(X+IO)?+/2-J(X_io)2+y2=]2,

貝IJlB4∏P8∣=12,故點P到定點A(To,0)與到定點3(10,0)的距離差為12,

則動點P(x,y)的軌跡是以(±10,0)為焦點，以12為實軸長的雙曲線的右支，

由于20=12,c=10,貝∣J∕√=C?-“2=ιoo-36=64,

22

故P的軌跡的標準方程為三一E=I(X>0)?

3664

所以原方程可以化簡為《一$=l(χ>0).

3664

二、多選題

9.已知雙曲線c：y-√=ι>下列對雙曲線C判斷正確的是()

A.實軸長是虛軸長的2倍B.焦距為4

C.離心率為6D.漸近線方程為x±√Jy=O

【答案】BD

【解析】：雙曲線C：土-y2=ι.?.∕=3."=]..1°2=/+/=4；“=2.，雙曲線的實軸長

3'

是2a=2√J,虛軸長是2?=1,A錯誤；焦距為2c=4.B正確；離心率為￡=2叵，C錯誤:

a3

漸近線方程為y=±立x，D正確.

22

10.已知圓C∣:X+y-IOx-IOy=0?∣S∣C2：x>+y'-6x+2y-40=0貝JI()

A.兩圓相交B.公共弦長為4加

C.兩圓相離D.公切線長4加

【答案】AB

【解析】圓G的標準方程為：(x-5)2+(y-5)2=50,圓心為(5,5)半徑為∕1=5√2

圓G的標準方程為：(x-3y+(y+l)2=50,圓心為(3,-1)半徑為∕?=5√2

所以兩圓心的距離：d=^(5-3)2+[5-(-l)]2=2√10，

.?.0<d<4+4,.?.兩圓相交，選項A正確，選項C錯誤；

設兩圓公共弦長為L則有:(HlHrF)

.?.L=4VlO?選項B正確，選項D錯誤.

11.已知點4(1,1),點尸是雙曲線C:Xq=I左支上的動點，。是圓6(x+4K+y2=;上

的動點，則()

A.C的實軸長為6

B.C的漸近線為y=±券尤

c.∣PQ∣的最小值為T

D.|刑-儼&的最小值為6-√i6

【答案】ACD

【解析】A：由雙曲線方程知：。=3,則C的實軸長為6,正確；

B：由雙曲線方程知：C的漸近線為y=±fx,錯誤；

C：雙曲線、圓如下：D(T,0)為左焦點，當且僅當尸為X軸交點，。為X軸右交點時，IPQl最

小為:，正確；

D：由尸(4,0)為右焦點，∣Pf∣-∣PD∣=2α=6,則TPq=I必+6-∣PF∣,要使IMT叫

最小只需P,4尸共線，此時(IpAT叫)min=6-∣AR∣=6-JiU,正確.

。2

12.已知曲線C:三+二=1,￡,凡分別為曲線C的左右焦點，則下列說法正確的是()

9m

A.若加=-3,則曲線C的兩條漸近線所成的銳角為3

B.若曲線C的離心率e=2,則加=-27

C.若桃=3,則曲線C上不存在點P,使得

D.若，"=3,P為C上一個動點，則面積的最大值為3后

【答案】ABD

【解析】對于A選項，當機=-3時，曲線C：《-E=l表示焦點在X軸上的雙曲線，漸近線

93

方程為y=±立x,故漸近線的傾斜角分別為二,學，所以曲線C的兩條漸近線所成的銳角為

366

y.故A選項正確;

對于B選項，離心率e=2,則曲線C為焦點在X軸上的雙曲線，a=3,e=2,故c=6,所以

-m=c2-a2=36-9=27?所以〃=z-27,故B選項正確；

時于C選項,若機=3,則曲線C蔣+?=1表示焦點在X軸上的橢圓,此時片=9方=3,￠2=6,

a2+a2-4c2-6」＜o,

設橢圓C的短軸的一個頂點坐標為M(0,√3),則cosZFlMf2=

2a2Ti3

故為鈍角，所以線C上存在點P,使得NEPg=故C選項錯誤；

對于D選項,若帆=3,則曲線C:??=1表示焦點在X軸上的橢圓,此時“2=9萬=3,C?=6,

P為C上一個動點，則居面積的最大值為￡“=∣×2c×?=∣×2√6×√3=3√2,

故D選項正確.

三、填空題

13.雙曲線￡:￡-￡=1(。>0力>0)的焦距為4,且其漸近線與圓G[x-2)2+y2=l相切，

ah~

則雙曲線￡的標準方程為.

【答案】--y2=l

3

2

【解析】因為雙曲線G：「-A=l(a>02>0)的焦距為4,所以c=2.

a~b~

由雙曲線Cl的兩條漸近線y=土，》與圓C?:(X—2)2+y2=1相切，可得I=.

乂“'+∕∕=4,所以6=1,a=?∕i,

所以雙曲線G的標準方程為三-y2=l?

14.與雙曲線χ2-丁=1有相同的漸近線，且過點(1,2)的雙曲線的標準方程為.

【答案】?--=1

33

[解析】依題意，設雙曲線方程為：/-V=2(2≠0),于是得4=F一手=-3,則有χ2一V=-3,

所以雙曲線的標準方程為￡=1.

33

15.若坐標原點。和點尸(-2,0)分別為雙曲線±τ-y2=](a>0)的中心和左焦點，點尸為雙曲

線右支上的任意一點，則OP?FP的最小值為.

【答案】3+2√3

【解析】解：由題意得：

F(-2,0)是已知雙曲線的左焦點

??/+1=4,即a2=3

雙曲線方程為5-丁=1

22_

設點P(X0,%),則有3?-%2=i(χ°2拘，解得%2=5_T(*G)

FP=(Xo+2,%)，OP=(X°,%),

γ2Λγ2

2

OPFP=x0(x0+2)+J^o=?(Λ0+2)+^--1=-y-+2?-I

?≥√3

根據二次函數的單調性分析可知函數在［6,+?>)上單調遞增

.??當XO=6時，OR尸戶取得最小值，*3+2相-1=3+2退，

22

16.已知E為雙曲線C：?-?=l(α>0,b>0)的右焦點，。為坐標原點，點A是以。尸

ab"

為直徑的圓與雙曲線C的一個公共點.若點F關于點A的對稱點也在雙曲線C上，則雙曲線C

的漸近線的斜率為.

【答案】+2√3

【解析】因點A是以。尸為宜徑的圓與雙曲線C的一個公共點，則。

設點F關于點A的對稱點為B,雙曲線C的左焦點為F，則。4∕∕F'8,有BF'1BF，如圖，

令IAFl=∕n,則∣AF[="z+2”,?BF?=2m,?