2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)二模試卷

1.-2023的相反數(shù)是（）

A?2023B.-?C.?D.-2023

2.下列運(yùn)算正確的是（）

A.α+2a2=3α2B.a3-a2=a6C.（x2）3=x5D.（-x3）2=X6

3.“雜交水稻之父”袁隆平培育的超級雜交稻在全世界推廣種植.某種植戶為了考察所種植

的雜交水稻苗的長勢，從稻田中隨機(jī)抽取9株水稻苗，測得苗高（單位：Cnl）分別是：25,26,

27,26,27,28,29,26,29.則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.26,27B,26,28C.27,27D,27,29

4.中芯國際集成電路制造有限公司，是世界領(lǐng)先的集成電路晶圓代工企業(yè)之一，也是中國

內(nèi)地技術(shù)最先進(jìn)、配套最完善、規(guī)模最大、跨國經(jīng)營的集成電路制造企業(yè)集團(tuán)，中芯國際第

一代14納米RXFET技術(shù)取得了突破性進(jìn)展，并于2019年第四季度進(jìn)入量產(chǎn)，代表了中國大

陸自主研發(fā)集成電路的最先進(jìn)水平，14納米=0.000000014米，0.000000014用科學(xué)記數(shù)法

表示為（）

A.1.4×10^7B.14x10-7c.1.4×10^8D.1.4×10^9

5.下列關(guān)于防范“新冠肺炎”的標(biāo)志中是中心對稱圖形的是（）

A.戴口罩講衛(wèi)生B,勤洗手勤通風(fēng)

C.有癥狀早就醫(yī)D.少出門少聚集

6.如圖，已知a〃b,直角三角板的直角頂點(diǎn)在直線。上，若

Zl=30°,貝吐2等于（）

A.70。

B.60°

C.50°

D.40。

7.某同學(xué)在解不等式組的過程中，畫的數(shù)軸除不完整外，沒有其它問題.他解的不等式組

可能是（）

A

?fx—3>ORfx-3≤O「ex—3?oD儼一3≥O

a,U+1≤Olχ+1>Oc?Ix÷1≥OIx+1<O

8.如果J（x-2）2=2-X,那么X取值范圍是（）

A.X≤2B.X<2C.X≥2D.x>2

9.將一些小圓點(diǎn)按如圖規(guī)律擺放，前4個圖形中分別有小圓點(diǎn)6個，10個，16個，24個,

依此規(guī)律，第20個圖形中，小圓點(diǎn)有個.（）

（1）（2）（3）（4）

A.414B,418C.420D.424

10.如圖，已知一次函數(shù)y=依+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)4（一1,2）和點(diǎn)

B（-2,0）,一次函數(shù)y=mx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,則關(guān)于X的不等式組0<

kx+b<mx的解集為（）

Al

A.-2<%<-1

B.-1<X<0

C.X<—1

D.X>-1

如圖，△的內(nèi)切圓。與分別相切于

11./!BCOA8,BC,ACbχ,

點(diǎn)、D,E,F,連接OE,OF,NC=90。，AC=6,BC=8,

則陰影部分的面積為（）

A.2——τt

B.4-TTr

CEB

C.4-π

D.1—?rr

4

12.如圖，在邊長為1的菱形ABC。中，?ABC=60°,動點(diǎn)

三AZ--------------#

E在AB邊上（與點(diǎn)A,B均不重合），點(diǎn)廠在對角線AC上，CE

與B尸相交于點(diǎn)G,連接AG,DF,若4F=BE,則下列結(jié)論：

①。F=CE；②NBGC=I20°；@AF2=EG-EC;④AG的最

小值為亨,其中正確的有（）BC

A.1B.2C.3D.4

13.在函數(shù)y=中，自變量X的取值范圍是_______.

14.關(guān)于X的方程/÷mx+n=0的兩個根分別是√~Σ+1、√~2-1,則?n+n=_____.

15.如圖所示的電路圖中，當(dāng)隨機(jī)閉合Si，S2,S3,S’中的兩個開關(guān)時，能夠讓燈泡發(fā)光的

概率為.

16.如圖，《擲鐵餅者》是希臘雕刻家米隆于約公元前450年雕刻

的青銅雕塑，刻畫的是一名強(qiáng)健的男子在擲鐵餅過程中具有表現(xiàn)力

的瞬間.擲鐵餅者張開的雙臂與肩寬可以近似看像一張拉滿弦的弓，

弧長約為VTr米，“弓”所在的圓的半徑約1.25米，則“弓”所對的

O

圓心角度數(shù)為.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=g(kι≠0)的圖象與函

數(shù)y=k2x(k2≠0)的圖象交于A,8兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC1X軸于點(diǎn)

C,連接BC.若SAABC=8,則七=.

18.如果一個數(shù)的平方等于-1,記作步=-1,這個數(shù)叫做虛數(shù)單位.形如α+bi(α,b為有理

數(shù))的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中α叫這個復(fù)數(shù)的實(shí)部，6叫做這個復(fù)數(shù)的虛部，它的加，減，乘法運(yùn)算

與整式的加，減，乘法運(yùn)算類似.如：(2+i)+(3-5i)=(2+3)+(1-5)i=5-4i,(5+O×

(3—4i)=5X3+5X(—4i)+iX3+iX(-4i)=15-20t+3i-4X產(chǎn)=15-17i—4×

(-1)2=19-17i,請利用以前學(xué)習(xí)過的有關(guān)知識將科化簡成α+bi的形式為(即化為分母中

L-I

不含i的形式).

19.計(jì)算

_____1

:(√J2023-π)°+(2尸+Iq-1|-3tan30o.

先化簡，再求值：(先一Ξ其中

20.^x2-4x+W2y)+x-2?,

X=V-3+1.

21.中華五千年的歷史孕育了深厚的民族文化，每一部國學(xué)經(jīng)典都是無盡的寶藏，內(nèi)含古代

人民智慧的結(jié)晶.陳陽的學(xué)校開展了“品讀經(jīng)典文學(xué)”的讀書打卡活動，為了解學(xué)生平均每天

“品讀經(jīng)典文學(xué)”的時間，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽查了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并將調(diào)查統(tǒng)計(jì)

的結(jié)果分為四類，每天誦讀時間i≤30分鐘的學(xué)生記為A類，30分鐘＜t≤60分鐘的學(xué)生記

為B類,60分鐘＜t≤90分鐘的學(xué)生記為C類，t＞90分鐘的學(xué)生記為。類.將收集的數(shù)據(jù)繪

(1)這次共抽查了多少名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(2)求“D類”所在扇形的圓心角度數(shù)；

(3)如果該校共有2000名學(xué)生，請你估計(jì)該校C類學(xué)生有多示人？

22.如圖是某種云梯車的示意圖，云梯。。升起時，。。與底盤OC夾角為α,液壓桿AB與

底盤OC夾角為/?.已知液壓桿AB=3m,當(dāng)a=37。，夕=53°時，求A。的長.(參考數(shù)據(jù)：

sin37o≈I，tan37o≈?sin53o≈1tan53o≈

?4??

23.某服裝店用4500元購進(jìn)一批襯衫，很快售完，服裝店老板又用2100元購進(jìn)第二批該款

式的襯衫，進(jìn)貨量是第一次的一半，但進(jìn)價每件比第一批降低了10元.

(1)這兩次各購進(jìn)這種襯衫多少件？

(2)若第一批襯衫的售價是200元/件.老板想讓這兩批襯衫售完后的總利潤為1950元，則第

二批襯衫每件售價多少元？

24.如圖，在。0中，48是。。的直徑，PA是。。的切線，切點(diǎn)是A,連接PO,過點(diǎn)B作

BC//PO,與。。交于點(diǎn)C,連接PC.

(1)求證：PC是。。的切線；

(2)若。。的半徑為3,P4=4,求BC的長度.

25.如圖，尸是正方形A8C。的對角線AC上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且PE=PB.

(1)求證：PE=PD：

(2)求證：PD1PE；

(3)試探究8C,EC,PE三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

26.如圖1,二次函數(shù)y=a/+bχ+?的圖象經(jīng)過點(diǎn)4(-4,0),且與直線y=一2交于坐

(1)求此二次函數(shù)解析式；

(2)如圖①，連接PC,PB,設(shè)aPCB的面積為5,求S的最大值;

(3)如圖②，拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得ZABQ=2/4BC?若存在，則求出直線BQ的解析

式及。點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：-2023的相反數(shù)是2023.

故選：A.

利用相反數(shù)的定義判斷.

本題考查了相反數(shù)，掌握相反數(shù)的定義是關(guān)鍵.

2.【答案】D

【解析】解：A、。與2α2不能合并，故A不符合題意；

B、a3-a2=a5,故B不符合題意；

C、（/）3=久6,故C不符合題意；

。、（-X3）2=X6,故。符合題意；

故選：D.

根據(jù)塞的乘方與積的乘方，同底數(shù)基的乘法，合并同類項(xiàng)法則，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答.

本題考查了幕的乘方與積的乘方，同底數(shù)幕的乘法，合并同類項(xiàng)，熟練掌握它們的運(yùn)算法則是解

題的關(guān)鍵.

3.【答案】A

【解析】解：將這組數(shù)據(jù)從小到大重新排列為25,26,26,26,27,27,28,29,29,

??.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為26,中位數(shù)為27,

故選：A.

將這組數(shù)據(jù)從小到大重新排列，再根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可.

本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)，將一組數(shù)據(jù)按照從小到

大（或從大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位

數(shù).如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

4.【答案】C

【解析】解:0.000000014=1.4×10^8.

故選：C.

絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為αxlθ-n,與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法

不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，指數(shù)〃由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的O的個數(shù)

所決定.

本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為αxlθf,其中l(wèi)≤∣α∣<10,〃為由原數(shù)左邊

起第一個不為零的數(shù)字前面的O的個數(shù)所決定.

5.【答案】C

【解析】解：4不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

員不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

C.是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

。.不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

根據(jù)中心對稱圖形的概念求解.

此題主要考查了中心對稱的概念.判斷中心對稱圖形是要尋找對稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)180度后與原

圖形重合.

6.【答案】B

【解析】解：如圖，

???直角三角板的直角頂點(diǎn)在直線a上，Zl=30°,

.?.Z3=90°-30°=60°,

?.?a∕∕b,

.,.z.2=z.3=60°>

故選：B.

根據(jù)直角三角形的直角與平角之間的關(guān)系可得到43與Nl互余，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可知42的度

數(shù).

本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

7.【答案】B

【解析】解：4、不等式組無解，與數(shù)軸不合，不符合題意；

B、不等式組的解集為一l<x≤3,與數(shù)軸相吻合，符合題意；

C、不等式組的解集為一l≤x<3,與數(shù)軸不合，不符合題意；

D、不等式組無解，與數(shù)軸不合，不符合題意；

故選：B.

求出每個不等式組的解集，與數(shù)軸相比較可得.

本題主要考查解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小

取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

8.【答案】A

【解析】解：,?,?/(x-2)2=2—X,

?'?X—2<0,

解得X≤2.

故選4

根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是一個≥O的數(shù)，可得不等式，解即可.

本題考查了二次根式的化簡與性質(zhì).解題的關(guān)鍵是要注意被開方數(shù)的取值范圍.

9.【答案】D

【解析】解：由題意可知，第1個圖形，有4+1x2=6個小圓點(diǎn),

第2個圖形，有4+2x3=10個小圓點(diǎn)，

第3個圖形，有4+3x4=16個小圓點(diǎn)，

第4個圖形，有4+4X5=24個小圓點(diǎn)，

二第"個圖形，有4+n(?i+1)個小圓點(diǎn)，

???第20個圖形中，小圓點(diǎn)有4+20×(20+1)=424個.

故選：D.

根據(jù)4個角的小圓點(diǎn)數(shù)為定值，中間的圓點(diǎn)數(shù)為τι(n+l),相加計(jì)算求解即可.

本題考查了圖形類規(guī)律，推導(dǎo)出一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

10.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，利用函數(shù)圖象，寫出在X軸上方且函數(shù)y=kx+b的函

數(shù)值小于函數(shù)y=mx的函數(shù)值對應(yīng)的自變量的范圍即可.

【解答】

解：當(dāng)%>-2時，y=kκ+b的圖象在X軸上方，此時*x+b>O;

當(dāng)》<-1時，y=kx+b的圖象在y=mx的圖象下方，此時kx+b<mx,

所以不等式組0<kx+b<mx的解集為-2<x<-1.

故選：Ao

11.【答案】C

【解析】解：連結(jié)A。、BO、DO,CO,設(shè)。。半徑為r,

???Z.C——90°,AC——6,BC—8,

AB-10>

???△ABC的內(nèi)切圓Oo與48,BC,AC分別相切于點(diǎn)D,E,F,

??ACLOF9AB10D,BC1OEtS.0F=OD=OE=rf

VZC=90°,

???四邊形OFCE是正方形，

λSMRC=S—BO+SAACo+SABCO

Illl

???“C?r+%8.r+?r=/6X8,

_6X8_=

6+8+10

90ττx4

?,?S陰影=S正方形OFCE~S扇的FE=4_=4-7Γ,

故選：C.

連結(jié)A。、B0、DO,CO,設(shè)。。半徑為r,利用面積公式求出內(nèi)切圓半徑，r=-^-=2,再

6÷8+10

說明四邊形OFCE是正方形，得S陰影=S正方形OFCE_S嬉形OFE=4-甯=4-R,

本題考查了勾股定理，三角形內(nèi)切圓，面積法求內(nèi)切圓半徑，扇形面積等知識，解題關(guān)鍵是求出

內(nèi)切圓半徑.

12.【答案】C

【解析】解：???四邊形ABC。是菱形，乙4BC=6(Γ,

.?.?BAD=120o,BC=AD,2.DAC=^?BAD=60%

??DAF=乙CBE,

???BE—AFf

ZDZWZkBCE(SAS),

ΛDF=CEf乙BCE=乙ADF,故A正確；

VAB=AD,Z-BAF=?DAF,AF=AF,

MBAFaZMF(SAS),

??.?ADF=4ABF,

：.?ABF=Z-BCE,

???乙BGC=180o-(ZGFC+乙GCB)=180o-Z-CBE=120°,故B正確；

VZ-EBG=Z.ECB,Z.BEG=Z-CEB,

???△BEGs>CEB,

.BE_EG

???~CE='BEf

:?BE2=CE×EG,

VBE=AF,

.?.AF2=EGEC,故C正確;

以BC為底邊，在Be的下方作等腰AOBC,使ZoBC=40CB=30。,

???乙BGC=120o,BC=1,

???點(diǎn)G在以。為圓心，08為半徑的圓上運(yùn)動，

連接4。，交。。于G,此時AG最小，4。是BC的垂直平分線,

OB=0C,4BOC=120°,

乙BCO=30°,

.?.?ACO=90°,

.?.?OAC=30",

.?.OC=?，

.?.AO=2OC=祟，

.??4G的最小值為40-OC=?,故。錯誤.

故選：C.

根據(jù)菱形的性質(zhì)，利用SAS證明△4。尸絲ABCE,可得DF=CE,故A正確；利用菱形的軸對稱

知，^BAF^^DAF,得NaDF=NABF,^??BGC=180o-(/.GBC+Z.GCB)=180o-/.CBE=

120°,故B正確，利用ABEGSACEB,得籌=翌，且AF=BE,可得C正確，利用定角對定邊

可得點(diǎn)G在以。為圓心，OB為半徑的圓上運(yùn)動，連接AO,交OO于G,此時AG最小，A。是

BC的垂直平分線，利用含30。角的直角三角形的性質(zhì)可得AG的最小值，從而解決問題.

本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用定邊對

定角確定點(diǎn)G的運(yùn)動路徑是解題的關(guān)鍵.

13.【答案】x≥3

【解析】解：由題意得：x-3≥0,

解得：%≥3.

故答案為：x≥3.

根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)列出不等式，解不等式得到答案.

本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍的確定，當(dāng)函數(shù)的表達(dá)式是偶次根式時，自變量的取值范圍

必須使被開方數(shù)不小于零.

14.【答案】-2，7+1

【解析】解：???關(guān)于X的方程/+m工+71=0的兩個根分別是「+1、√^2-l,

-=

x1+X2=V-2+1+√2—1=—m<x1?x2(V-2+1)(√~^—1)=n，

?*?Tn=-2V_2?n=1,

.?.m+n=-2'J-2+1.

故答案為：-2Λ∏,+1.

根據(jù)根于系數(shù)的關(guān)系求出m和〃的值，再代入m+n計(jì)算即可.

本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】I

【解析】解：設(shè)Si、S2、S3、S4中分別用1、2、3、4表示，

畫樹狀圖得：

234134124123

???共有12種等可能的結(jié)果，能夠讓燈泡發(fā)光的有6種結(jié)果，

能夠讓燈泡發(fā)光的概率為：?=∣,

故答案為：?.

根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與能夠讓燈泡發(fā)光的情況，然后利用

概率公式求解即可求得答案.

此題考查了列表法與樹狀圖法求概率的知識.正確的畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵.

16.【答案】90。

【解析】解：設(shè)“弓”所對的圓心角度數(shù)為n。,

即“弓”所對的圓心角度數(shù)為90。,

故答案為：90。.

由弧長公式進(jìn)行變形計(jì)算即可.

本題考查了弧長公式，熟記弧長公式是解題的關(guān)鍵.

17.【答案】-8

【解析】解：函數(shù)y=B(kιH0)的圖象與函數(shù)、=心4七聲0)的圖象交于A，8兩點(diǎn)，

二點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)。對稱，

???AO=BO,

???OC是△4BC的中線，

1

λSMOC=5SMBC=4,

?OCxAC=4,即OCXaC=8,

設(shè)點(diǎn)A(X，B)，

.?.AC=—>OC=-x,

X

7X(-χ)=8,

,

.?fc1=-8.

故答案為：-8.

首先根據(jù)題意得到點(diǎn)A和點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)。對稱，進(jìn)而得到“0=8。，然后由三角形中線的性質(zhì)得

I

≡J5ΔΛOC=∣SΔΛBC=4,點(diǎn)4(尤,竺)，根據(jù)三角形面積公式代入求解即可?

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是得出OC是AABC

的中線.

18.【答案】|+y

【解析】解：告

2-ι

(2+I)?

-(2-i)(2+i)

4+4i+3

4-i2

4+4i+(—1)

4—(—1)

_3+4i

=-5-

_3Ji

=5+T,

故答案為：I÷?.

利用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

19.【答案】解：原式=ι+2+√飛-1—3X?

=1+2+√^^-1-√3

=2.

【解析】直接利用負(fù)整數(shù)指數(shù)累的性質(zhì)以及零指數(shù)基的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性

質(zhì)分別化簡，進(jìn)而得出答案.

此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

20.【答案】解：原式=TS余3.頭

)?X~Δ)X—1

X+2X—2

=(x+2)(x-2)

1

=X→,

當(dāng)x=C+l時，原式=強(qiáng)=?.

【解析】原式括號中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時利用除法法則變形，約分

得到最簡結(jié)果，把X的值代入計(jì)算即可求出值.

此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

21.【答案】解：(1)本次共抽查學(xué)生20÷40%=50(人)，

答：本次共抽查學(xué)生50人.

條形圖中“C類”對應(yīng)的人數(shù)為50X20%=10(人)，補(bǔ)全圖形如下:

(2)類”所在扇形的圓心角度數(shù)為360。X。=360o×?=36。.

答：類”所在扇形的圓心角度數(shù)36。；

(3)2000X20%=400(人)，

答：估計(jì)該校C類學(xué)生有400人，

【解析】(1)根據(jù)B類人數(shù)及其百分比可得總?cè)藬?shù)；總?cè)藬?shù)乘以C類百分比可得其人數(shù)，即可補(bǔ)全

條形統(tǒng)計(jì)圖：

(2)用A類的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)可以求得加的值，用360。乘以“D類”的百分比即可；

(3)總?cè)藬?shù)乘以樣本中C類學(xué)生的百分比.

本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體、扇形統(tǒng)計(jì)圖，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需

要的條件.

22.【答案】解：?.?sin0=sin53o=案

—4≈—BE

53

12

：?BE≈-?-m.

--BE

Vtana=tan3rt7o=—

OE

-3≈-T2—,

4OE

Cr16

.??OE=-?-m,

RF

vtan/?=tan53?=-

12

^5^4

.?.-?≈一，

AE3

9

?AE≈?m.

7

：?OA=OE-AE=?m.

【解析】利用銳角三角函數(shù)可求AE,OE的長，即可求解，結(jié)合圖形求得AO的長度.

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)求線段的長是解題的關(guān)鍵.

23.【答案】解：(1)設(shè)第二次購進(jìn)襯衫X件，則第一次購進(jìn)襯衫Zr件，

依題意，得：竽一陋=I0,

2xX

解得：X=15,

經(jīng)檢驗(yàn)，久=15是所列分式方程的解，且符合題意，

：.2x=30.

答：第一次購進(jìn)襯衫30件，第二次購進(jìn)襯衫15件.

(2)由(1)可知，第一次購進(jìn)襯衫的單價為150元/件，第二次購進(jìn)襯衫的單價為140元/件,

設(shè)第二批襯衫每件售價為)，元/件，

依題意，得：(200-150)X30+(y-140)X15=1950,

解得：y=170,

答：第二批襯衫每件售價為170元.

【解析】（1）設(shè)第二次購進(jìn)襯衫X件，則第一次購進(jìn)襯衫2x件，根據(jù)單價=總價÷數(shù)量結(jié)合第二次

的進(jìn)價每件比第一次降低了10元，列出分式方程，解方程即可；

（2）設(shè)第二批襯衫每件售價為y元/件，由題意：第一批襯衫的售價是200元/件.老板想讓這兩批

襯衫售完后的總利潤為1950元，列出一元一次方程，解方程即可.

本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次方程應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出

分式方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程.

24.【答案】(1)證明：如圖1,連接OC,

???P4是。。的切線，

???OA1APf

VBC//PO,

??.?AOP=?OBC1?COP=?OCB,

???OB=OC,

?Z-OCB=?OBC,

：?Z-AOP=?COP,

在和aCOP中，

OA=OC

乙AOP=(COP，

OP=OP

??.△AOP-COP(SAS),

???Z-OCP=乙OAP=90°,

VOC是。。的半徑，

???PC是O。的切線；

(2)解：如圖2,連接AC,

在RtAOAP中，OP=7。用+一。2=5,

???4B是。。的直徑，

4ACB=90°,

:■Z-OAP=Z.BCA,

V?A0P=?CBA,

???△4。PS△CBA,

...絲="即a=9,

BCABBC6

解得：BC=*

【解析】（1）連接OC,證明A40P且ACOP,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NoCP=40AP=90。,

根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論；

（2）證明AAOPSACBA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可.

本題考查的是切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半

徑是解題的關(guān)鍵.

25.【答案】(1)證明：?.?四邊形ABCo是正方形，

BC=CD,Z-ACB=Z.ACDf

在APBC和APDC中，

BC=DC

Z-ACB=Z-ACDi

PC=PC

.MPBgAPDC(SAS),

：,PB=PD,

???PE=PB,

???PE=PD；

(2)證明：?.?四邊形ABCO是正方形，

???4BC7)=90°由(1)得：APBCAPDC,

：,Z-PBC=Z-PDC,

VPE=PB,

???Z,PBC=乙PEB,

???乙PDC=4PEB,

V?PEB÷?PEC=180°,

???乙PDC+Z-PEC=180°.

在四邊形PECD中,

Z-EPD=360o-QPDC+乙PEC)-4BCD=360°-180°-90°=90°,

???PD1PE；

(3)解：BC2+EC2=2PE2,證明如下：

由(2)得4PDE是等腰直角三角形，

.?.DE2=PE2+PD2=2PE2,

在RtACDE中，由勾股定理得：Co2+EC2=OE2,

???四邊形ABCD是正方形，

?,.BC=CD,

.?.BC2+EC2=2PE2.

【解析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)四條邊都相等可得BC=CD,對角線平分一組對角線可得乙4CB=

?ACD,然后利用“邊角邊”證明△PBC和4POC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得PB=PD,

然后等量代換即可得證；

(2)根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得NPBC=NPOC,根據(jù)等邊對等角可得NPBC=ZPEB,從而得

$UPDC=Z.PEB,再根據(jù)NPEB+Z?PEC=180。求出ZJ5DC+"EC=180。，然后根據(jù)四邊形的

內(nèi)角和定理求出4DPE=90。，進(jìn)而得出結(jié)論；

(3)由(2)得APDE是等腰直角三角形，則。E2=2PE2,最后由勾股定理得CD?+EC?=即

可得出結(jié)論.

本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等

腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與

性質(zhì)，證出APOE為等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.

26.【答案】解：⑴?.?直線y=；x-2分別交X軸、y軸于點(diǎn)8、點(diǎn)C,

.?.B(4,0),C(0,-2),

把A(-1,0)、B(4,0)、C(O,-2)代入y=α∕+bx+c,

(a—b+c=0a=2

得16α+4b+c=0,解得<?=_?，

C=—22

IC=—2

???此二次函數(shù)解析式為y=∣x2-∣x-2.

(2)如圖1,作POIX軸于點(diǎn)。，交直線8C于點(diǎn)E.

設(shè)P(XiX2-∣x-2)(0<x<4),則E(XWX-2)，

...PE=TX-2—∣x2+∣x+2=—∣x2+2x,

???SAPCB=^OD?PEΛ-^BD.PE=jOB.PE,

S=TX4(—?z2+2x)-—X2+4X=—(x-2)2+4,

.?.當(dāng)％=2時，S的最大值為4.

(3)存在.

如圖2,連接并延長AC到點(diǎn)4',使4'C=AC,連接交拋

物線于點(diǎn)。，作4。Iy軸于點(diǎn)。.

???OA=1,OC=2,OB=4,

-OAOC1

OCOB2

VZ-AOC=乙COB=90°,

AOC1SACOB,

???Z-ACO=Z-CBO,

???乙ACB=Z.ACO+乙OCB=乙CBo+乙OCB=90°,

：.BC垂直平分AA',

.?.AB=A'B,

(ABQ=2Z-ABC.

????A'DC=?AOC=90o,?A'CD=Z√1CO,A'C=AC,

A'DC^ΔAOC(AAS),

.?.DA'=OA=1,DC=OC=2,OD=4,

:?∕4,(l,-4).

V

設(shè)直線BQ的解析式為y=kx+d,則