投影變換3.1換面法的基本概念3.2點的投影變換

3.5換面法的應用舉例退出3.3直線的投影變換3.4平面的投影變換

如果能將一般位置直線變換成特殊位置（投影面平行線或垂直線），對解決它的度量和定位問題很有利。這種方法稱為變換投影面法，簡稱換面法。

當直線對投影面處于一般位置時，它們的投影既不反映實長，也不反映直線對投影面傾角的真實大小；3.1換面法的基本概念

但當直線為投影面平行線時，其投影可反映直線的實長和對投影面的真實傾角。

若幾何要素在兩投影面體系中不處于特殊位置時，則可保留一個投影面，用另外一個與保留的投影面垂直的新投影面去替換另一投影面，構成一個新的投影體系，使幾何要素在新的投影體系中處于特殊位置，以便于作圖求解。返回AX1O13.2點的投影變換點的換面是直線換面的基礎，因此我們首先討論點的換面問題。V1H在X1中，得到A點V1面投影a1’，（均反映空間點A到H面的距離）VHX1O1HV1a1'圖示A點位于VHX體系中，由投影關系可知：aa'將投影面展開攤平后得到投影圖：VXH0空間情況X0投影圖axax1a1’ax1=a'ax

點的新投影到新軸的距離等于被替換的投影到舊軸的距離a1’ax1=a'ax=Aaa1'V1ax1現在用V1去替換V（V1⊥H），axaa'VH1在X1中，得到點的H1面投影a1。題目要求是用H1去替換H（H1⊥V），[例1]如圖所示，求A點的H1投影a1。

點的新投影到新軸的距離等于被替換的投影到舊軸的距離H1a1X1aa'VHXV3.3直線的投影變換直線的換面是通過直線上兩個點（一般取端點）的換面來實現的。3.3.1直線的一次變換①一般位置直線投影面平行線（求實長與傾角）X1a1’b1’α空間情況：求一般位置直線的實長及傾角ααXHVaa'bABb'實長[例1]求一般位置直線AB的實長及對H面的傾角α。空間情況分析

用∥AB、⊥H的新投影面V1替換V，在新投影體系V1/H

中，直線AB成為正平線，其正面投影a1’b1’為實長，它與X1軸的夾角為對H面的傾角α。原理圖baX1V1Hα實長b1’a1’V1實長X1a1'b1’αHV1V1X1a1’b1’ααXHVaa'bABb'實長空間情況分析：[例1]求一般位置直線AB的實長及對H面的傾角α。投影作圖方法步驟（1）作新軸X1∥ab；（2）過a、b分別作X1軸的垂線，得到a1’、b1’；（3）連接a1’、b1’即可求得ＡＢ的實長和傾角α。XVHa'b'ba[例2]求直線AB的實長及對V面的傾角β。實長βX1a1b1a'b'XVHbaH1V分析：

水平線反映直線的實長及對V面的傾角β，應用H1去替換H，構成新投影體系H1/V，得到AB的H1投影a1、b1，從而求得實長和β。作圖步驟：（1）作新軸X1∥a’b’；（2）過a’、b’分別作X1軸的垂線，得到a1、b1；（3）連接a1、b1即可求得AB

的實長和傾角β

。

也可用換面法反過來去求原投影。a1b1H1VX1βa'b'實長HVXABbaa'b'空間情況②投影面平行線投影面垂直線（解決一些度量問題）X1V1bab'a'a1’b1’HV1X1a1'b1’新軸應垂直于反映實長的投影。[例3]

將水平線AB變換成投影面垂直線。XVH投影圖分析：水平線只能變換成正垂線，用V1（

V1⊥AB）替換V，構成H/V1體系。3.3.1直線的一次變換①一般位置直線投影面平行線（求實長與傾角）3.3.2直線的二次變換[例4]將一般位置直線AB變換成投影面垂直線。實長作圖步驟：（1）將AB變成正平線（X1∥ab）；（２）將正平線變成鉛垂線（X2⊥a1’b1’）；HV1X1αb1’a1'V1H2X2b2a2XVHbaa'b'通過二次換面可將一般位置直線變換成投影面垂直線（先平行、再垂直）XVHa’b’c’abc[例5]過A點作直線BC的垂線AD

及其垂足D，并求出A與BC之間的真實距離。（用換面法）真實距離d’c1’d1’b1’a1’X1HV1d2a2V1H2X2⊥d1’b1’c1’a1’d分析：

通過換面將BC變換為投影面平行線，則可據直角投影定理作出垂線AD，如下圖所示。作圖步驟：（1）一次換面將CB變換為正平線，并作出D，連接AD為所求垂線；（2）第二次換面法求出AD實長。ac’cb’ba’dd’oXa’b’abc’d’c(d)oX[例6]求作交叉兩直線AB、CD的公垂線MN，以及AB、CD間的距離（實長）。分析：CD為鉛垂線，因此MN的水平投影n應重合在c(d)上；又因AB是一般位置直線，CD為鉛垂線，所以二者的公垂線MN為水平線，據直角投影定理可求出m和m’。由MN為水平線，可求出n’。而mn即為AB、CD間距離實長。作圖步驟：（1）定出n后，過n作nm⊥ab

得到m，求出m’；（2）過m’作直線∥OX軸，與c’d’

的交點為n’；（3）mn為AB、CD間距離。n’mm’nCDc(d)abBAMNHnm距離實長[例7]作AB、CD的公垂線EF，EF與AB、CD分別交于E、F,并求出AB、CD之間的距離實長。真實距離分析：

只要將AB、CD之一變換為投影面垂直線就轉換為了與前一題相同的問題，按前題思路即可完成該題。e’f’efXVHb’a’d’c’badcc1’e1’f1’d1’X2V1H2X1HV1a1’b1’∥X2e1’f1’e2f2⊥c2d2c2d2f2a2b2e2c’d’cda’b’a(b)oXn’mm’n距離上一題3.4平面的投影變換平面的換面，可通過平面上不在同一直線上的三個點的換面來實現。①一般位置平面投影面垂直面（求傾角和解決一些度量問題）X1V1d’D

這樣即可將V/H中的一般位置平面變換成V1/H中的V1面垂直面（平面在V1

的投影積聚為一直線）。在V/H中有一般位置的△ABC，要將它變成V1/H中的垂直面，方法為：1、在△ABC中任取一條水平線AD。（使a’d’∥OX軸）2、用一個⊥AD和H面的V1面替換V面。（使X1軸⊥ad）bBCAaca’b’c’XVHb1’c1’d1’a1’d返回3.4.1平面的一次變換b’a’c’acbXVH（1）在△ABC中任取一條水平線AD。作a’d’∥OX，并求出ad；（2）作X1⊥ad，并作出A、B、C點在

V1中的投影a1’d1’、b1’、c1’；c1’b1’與X1軸夾角即為α。作圖步驟：[例1]求出△ABC與H面的傾角α。αd’dX1HV1c1’a1’b1’分析：用V1替換V，將△ABC變換為H/V1體系中的正垂面即可求出α。dX1V1d’DbBCAaca’b’c’XVHb1’c1’d1’a1’若要求β，則應在平面中取正平線，用H1替換H，構成H1/V體系求解。αXVHb’c’a’bac②投影面垂直面投影面平行面（求實形）一、平面的一次換面①一般位置平面投影面垂直面（求傾角和解決一些度量問題）實形作圖步驟：[例2]求出△ABC的實形。分析：△ABC為正垂面，用H1替換H（X1軸平行于平面有積聚性的正面投影），將△ABC變換為H1/V體系中的水平面即可。（1）作X1軸平行于△ABC的正面投影；（2）求出a1、b1、c1，連接即得實形。X1VH1a1b1c1[例3]

求三角形ABC的實形Zb’c’a’VWa”b”c”實形Z1作圖步驟：分析：△ABC為側垂面，用V1替換V（Z1軸平行于平面有積聚性的側面投影），將△ABC變換為W/V1體系中的正平面即可。（1）作Z1軸平行于△ABC的側面投影；（2）求出a1’、

b1’、

c1’，連接即得△ABC的實形。a1’b1’c1’WV1

兩次換面可將一般位置平面變換成投影面平行面（先垂直、再平行）[例4]

求出△ABC的實形。d’dc1’b1’a1’c2b2a2V1H2X2X1HV1作圖步驟：XVHa’b’c’abc⑴先將△ABC變換為投影面垂直面：取水平線AD；

X1軸⊥ad，△ABC在H/V1體系中的V1面積聚為直線（正垂面）；⑵X2軸平行于△ABC有積聚性的直線，在V1/H2體系中

△ABC變換為水平面△a2b2c2

即為實形。實形3.4.2平面的二次變換a’b’abXVH45°c1d1b1a1d’c’dcX1H1V分析：

AB為正平線，a’b’＝正方形邊長，根據已知β和邊長，一次換面可將正方形變換為H1/V中的鉛垂面，定出c1d1。據“直角投影定理”和投影關系即可求出c’d’、c、d，完成正方形的兩面投影。b’βX1VH1正方形邊長d’a’c’b1a1c1d1作圖步驟：⑴H1替換H，X1軸⊥a’b’

在H1中，過b1a1作與X1軸成β＝45°的斜線，斜線長等于四邊形邊長a’b’，定出c1d1。⑵過點a’、b’作a’b’的垂線，再據投影關系由c1d1求得c’d’。⑶求出cd后，連接相應點即得到正方形的投影。[例5]正平線AB是正方形ABCD的邊，點C在B的前上方，正方形對V面的傾角β＝45°，補全正方形的兩面投影。（用換面法）習題P7（3）3.5換面法的應用舉例

在投影圖中直接反映點、直線、平面之間的距離和夾角的一些情況a’b’baLXO(a)兩點間的距離m’Xa’b’abmLO(b)點與直線的距離Xd’aba`’b’c’cdLO（c）兩交叉直線的距離a’b’c’abcXOθ（e）兩相交直線的夾角na’b’d’c’n’m’abmXOθdc（f）直線與平面的夾角XOθa’b’d’c’e’f’abdcef（g）兩相交平面的夾角La’b’d’c’abdcm’mXO（d）點與平面的距離返回a’b’c’abcXVHee’f’ff1’[例1]

過點E作ΔABC的垂線EF（垂足為F）,并求點E與ΔABC之間的真實距離。真實距離h’X1HV1hc1’a1’b1’e1’m’a’d’b’c’mabbcXo直接反映點到平面的距離nn’作圖步驟：⑴將ΔABC變換為投影面垂直面，將點E隨同變換得到而e1’；⑵過e1’作直線垂直于

ΔABC有積聚性的投影，得到垂足f1’，連接e1’f1’，得到真實距離。⑶將f1’返回到原投影面體系，與e、e’相連，即得到垂線EF。ef∥X1軸（EF為正平線）距離XVHa’b’abc’d’cdb1’e’[例2]

補全等腰ΔCDE的兩面投影，邊CE=DE，頂點E在直線AB上。⑶將e1’返回到原投影面體系連接相應投影即可。

如右圖所示，頂點E必定在CD的垂直平分面P上。將CD變換為投影面平行線后，即可作出P平面，求出E點。分析：PV1eX1HV1c1’d1’e1’a1’作圖步驟：⑴將CD變換成V1面平行線，ＡＢ也隨之換面；⑵作平面Pv1垂直平分c1’d1’，

Pv1與a1’b1’交點為e1’；ABECDPe2e1’a1’[例3]

已知由四個梯形構成的漏斗，求相鄰兩平面ABCD與CDEF的夾角θ。θ分析：

題中的兩平面處在一般位置，將它們的交線變換為投影面垂直線時，這兩個平面均為投影面的垂直面，夾角即可直接得到（如右圖所示）。作圖步驟：⑴