第06講函數的圖象及其應用(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識點必背 2第二部分：高考真題回歸 2第三部分：高頻考點一遍過 4高頻考點一：函數的圖象變換 4高頻考點二：根據圖象確定函數的解析式 8高頻考點三：五點法作圖 16高頻考點四：三角函數圖象、性質的綜合應用 28角度1：圖象與性質的綜合應用 28角度2：函數的零點（方程的根）的問題 34角度3：三角函數模型 44第四部分：高考新題型 51①開放性試題 51②探究性試題 53③劣夠性試題 55第五部分：數學思想方法 61①函數與方程的思想 61②數學結合的思想 64溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點必背1、用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖(1)在正弦函數,的圖象上,五個關鍵點是:(2)在余弦函數,的圖象上,五個關鍵點是:2、由的圖象變換得到(，)的圖象的兩種方法(1)先平移后伸縮(2)先伸縮后平移第二部分：高考真題回歸1．（2022·天津·統考高考真題）已知，關于該函數有下列四個說法：①的最小正周期為；②在上單調遞增；③當時，的取值范圍為；④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．以上四個說法中，正確的個數為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以的最小正周期為，①不正確；令，而在上遞增，所以在上單調遞增，②正確；因為，，所以，③不正確；由于，所以的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到，④不正確．故選：A．2．（2022·浙江·統考高考真題）為了得到函數的圖象，只要把函數圖象上所有的點（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【詳解】因為，所以把函數圖象上的所有點向右平移個單位長度即可得到函數的圖象．故選：D.3．（2022·全國（甲卷文）·統考高考真題）將函數的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關于y軸對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意知：曲線為，又關于軸對稱，則，解得，又，故當時，的最小值為.故選：C.第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：函數的圖象變換典型例題例題1．（2023春·四川成都·高一成都外國語學校?？茧A段練習）要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（

）.A．向左平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向右平移個單位【答案】D【詳解】解：因為，而，所以將向右平移個單位即可得圖象.故選：D例題2．（2023春·河南南陽·高一校聯考階段練習）要得到的圖象，只需將函數的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【詳解】由于函數，故只需將函數的圖象向右平移可得函數的圖象.故選：D．例題3．（2023·全國·高三專題練習）為了得到函數的圖像，只需將的圖像（

）A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度【答案】C【詳解】因為，所以只需將的圖像上的所有點向左平移個單位長度即可得到函數的圖像．故選：C例題4．（2023秋·浙江麗水·高三浙江省麗水中學校聯考期末）將函數的圖像向右平移個單位長度得到的圖象與原圖象重合，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【詳解】由題有，則，得，結合，得.故選：B例題5．（2023·全國·高三專題練習）若要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【詳解】因為，故將已知轉化為要得到函數的圖象，又，所以將的圖象向右平移個單位長度即可得到的圖象.故選：D練透核心考點1．（2023春·江西南昌·高一?？紝W業考試）為了得到函數的圖像，可以將函數的圖像上（

）A．每個點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再向左平移個單位B．每個點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再向右平移個單位C．每個點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再向右平移個單位D．每個點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再向左平移個單位【答案】B【詳解】由可知，函數的圖像每個點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，可得函數的圖像，再向右平移個單位，得函數的圖像.故選：B2．（2023·河南·統考模擬預測）要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（

）A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度【答案】A【詳解】因為，所以只需將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象.故選：A.3．（2023·全國·高三專題練習）將函數的圖象向左平移個單位長度后，得到函數的圖象，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為.將函數的圖象向左平移個單位長度后，得到函數的圖象，所以有，所以，所以有，.對于A項，令，即，解得，A項錯誤；對于B項，令，即，解得，B項正確；對于C項，令，即，解得，C項錯誤；對于D項，令，即，解得，D項錯誤.故選：B.4．（2023·全國·高三專題練習）若兩個函數的圖象經過若干次平移后能夠重合，則稱這兩個函數為“同形”函數，給出下列四個函數：，，，，則“同形”函數是（

）A．與 B．與 C．與 D．與【答案】C【詳解】，，因為正弦型函數的圖象經過若干次平移后，振幅不改變，所以只有與的振幅相同，故只有這兩個函數是“同形”函數，故選：C5．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中學?？茧A段練習）將函數的圖象向右平移個單位長度后，得到函數的圖象，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，將函數的圖象向右平移個單位長度后，得到函數的圖象，由題意可得，可得，當時，，故選：D.高頻考點二：根據圖象確定函數的解析式典型例題例題1．（2023秋·河南鄭州·高一鄭州市第四十七高級中學校考期末）已知函數的部分圖象如圖所示，為了得到的圖象，可將的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】C【詳解】解：由題意可得，所以，，又因為，所以，所以，又因為，所以，所以，所以只需將的圖象向左平移個單位，即可得的解析式.故選：C.例題2．（多選）（2023秋·廣東汕頭·高二統考期末）已知函數的部分圖像如圖所示，下列說法正確的是（

）A．的圖像關于點對稱B．的圖像關于直線對稱C．將函數的圖像向左平移個單位長度得到函數的圖像D．若方程在上有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是【答案】BD【詳解】由題圖可得，，故，所以，又，即，所以，，又，所以，所以.對于A：當時，，故A錯誤；對于B：當時，，故B正確；對于C：將函數的圖像向左平移個單位長度得到函數，的圖像，故C中說法錯誤；對于D：當時，，則當，即時，單調遞減；當，即時，單調遞增，因為，，，所以方程在上有兩個不相等的實數根時，的取值范圍是.故選：BD.例題3．（2023春·北京·高一北京育才學校?？茧A段練習）已知函數部分圖象如圖所示．(1)求的解析式；(2)將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，求曲線的對稱軸只有一條落在區間上，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由圖象可知的最大值為1，最小值-1，故；又且，∴，將點代入得，，∴，即，又，∴，所以；（2）由的圖象向右平移個單位長度得到函數，令得，∴曲線的對稱軸為，∵曲線的對稱軸只有一條落在區間上，∴.例題4．（2023春·山東日照·高一日照一中?？茧A段練習）已知函數的圖象如圖所示.(1)求函數的解析式及單調遞增區間；(2)先將函數圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的3倍（橫坐標不變），然后將得到的函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），最后將所得圖象向左平移個單位后得到函數的圖象.若對任意的恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由圖可知：，所以，所以，，由圖易得,則，又，則，則，，所以，，所以.令，，解得，，所以的單調遞增區間為，.（2）由題.當時，.因為對任意的恒成立，則，即所以.練透核心考點1．（多選）（2023春·江西南昌·高一校考學業考試）已知函數的部分圖像如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．周期為B．直線是圖像的一條對稱軸C．點是圖像的一個對稱中心D．將的圖像向左平移個單位長度后，可得到一個偶函數的圖像【答案】AC【詳解】由函數圖像可知，，最小正周期為，，將點代入函數解析式中，得：，又，，故．對于選項A：函數的最小正周期為，故A正確；對于選項B：令，即，因此其對稱軸為，，無論取何值，，故B不正確；對于選項C：令，所以，即的對稱中心為，點是圖像的一個對稱中心，故C正確；對于選項D：將的圖像向左平移個單位長度后，得到的圖像，該函數不是偶函數，故D不正確；故選：AC.2．（2023春·湖北十堰·高一?？茧A段練習）如圖，是函數的一段圖象．(1)求此函數的解析式；(2)分析一下該函數的圖象是如何通過的圖象變換得來的？【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）由圖象知函數的最大值為，最小值為，所以，又，，所以．所以因為當時，，所以所以，所以．所以所求函數的解析式為．（2）把的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，然后縱坐標保持不變?橫坐標縮短為原來的，得到的圖象，再橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的，得到的圖象，最后把函數的圖象向下平移1個單位長度，得到的圖象．3．（2023春·江西南昌·高一?？茧A段練習）已知函數的部分圖象如圖所示.(1)求的解析式及對稱中心坐標；(2)先將的圖象的向上平移1個單位，再保持橫標不變、縱標縮短到原來的倍，最后向右平移個單位，得到的圖象，求函數在上的單調增區間.【答案】(1)；對稱中心坐標為(2)【詳解】（1）根據圖象及可知，解得，且，可得，所以，把點代入得，即，又因為，所以，即的解析式為；令，即，解得故所求對稱中心坐標為．（2）將的圖象的向上平移1個單位可得，再保持橫標不變、縱標縮短到原來的倍可得，再向右平移個單位可得即可得到由，解得，因為，所以時，可得的增區間為．4．（2023春·廣東江門·高一江門市棠下中學?？茧A段練習）已知函數的部分圖象如圖所示．，，．(1)求的解析式；(2)將的圖象先向右平移個單位，再將圖象上的所有點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），所得到的圖象對應的函數為，求在上的最大值與最小值．【答案】(1)(2)最大值為2，最小值為【詳解】（1）由圖象可得：，故，且，解得，可得，∵的圖象過點，則，可得，且，則，∴，解得，可得，又∵的圖象過點，則，解得，故.（2）將的圖象先向右平移個單位，得到；再將圖象上的所有點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），得到，故，∵，則，∴，可得，故在上的最大值為2，最小值為.高頻考點三：五點法作圖典型例題例題1．（2023春·四川成都·高一成都外國語學校?？茧A段練習）已知函數.(1)利用“五點法”完成下面表格，并畫出在區間上的圖象；0(2)解不等式.【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）由題意，列表如下：0畫出在區間上的圖象如圖：（2）不等式，即，所以，所以，即，故的解集為.例題2．（2023春·北京·高一北京二十中?？茧A段練習）已知函數(1)求的最小正周期；(2)用“五點法”畫出在一個周期內的圖象，并直接寫出函數在區間上的取值范圍.【答案】(1)(2)圖象見解析，【詳解】（1）設最小正周期為，則所以，當時故答案為：（2）0010-10易知函數在區間上的取值范圍為：例題3．（2023秋·福建廈門·高一統考期末）某同學用“五點法”畫函數在某一個周期內的圖像時，列表并填入了部分數據，如下表：0x0200(1)請將上表數據補充完整，并根據表格數據做出函數在一個周期內的圖像；(2)將的圖形向右平移個單位長度，得到的圖像，若的圖像關于軸對稱，求的最小值.【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）0x0200由表中數據可得，，，所以，則，當時，，則，所以（2）由題意可得，，因為的圖像關于y軸對稱，則，，解得，且，所以當時，例題4．（2023秋·山東臨沂·高一?？计谀┮阎瘮禐槠婧瘮担蚁噜弮蓚€對稱軸之間的距離為.(1)求的最小正周期和單調增區間；(2)若時，方程有解，求實數的取值范圍.(3)將函數的圖象向左平移個單位長度，再把橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，再向上平移一個單位，得到函數的圖象.填寫下表，并用“五點法”畫出在上的圖象.【答案】(1)最小正周期；單調遞增區間為(2)(3)表格和圖象見解析【詳解】（1）相鄰兩個對稱軸之間的距離為，的最小正周期；，，解得：，，為奇函數，，解得：，，，；令，解得：，的單調遞增區間為.（2）當時，，，則；若方程有解，則的取值范圍為.（3）向左平移個單位長度得：，將橫坐標伸長到原來的倍得：，將向上平移一個單位得：；補全表格如下：則在上的圖象如下圖所示：練透核心考點1．（2023春·江西南昌·高一南昌市第三中學校考階段練習）已知函數，.(1)在用“五點法”作函數的圖象時，列表如下：完成上述表格，并在坐標系中畫出函數在區間上的圖象；(2)求函數的單調遞增區間；(3)求函數在區間上的值域.【答案】(1)圖表見解析(2)(3)【詳解】（1）0020-20函數圖象如圖所示，（2）令，得，所以函數的單調遞增區間為（3）因為，所以，所以.當，即時，；當，即時，.所以函數在區間上的值域為.2．（2023春·河南南陽·高一南陽中學?？茧A段練習）要得到函數的圖象，可以從正弦函數圖象出發，通過圖象變換得到，也可以用“五點法”列表、描點、連線得到．(1)由圖象變換得到函數的圖象，寫出變換的步驟和函數；(2)用“五點法”畫出函數在區間上的簡圖．【答案】(1)答案見解析(2)作圖見解析【詳解】（1）步驟1：把圖象上所有點向右平移個單位長度，得到函數的圖象；步驟2：把圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；步驟3：最后把函數的圖象的縱坐標變為原來的2倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．（2）列表：3．（2023春·湖南·高一湖南省東安縣第一中學校聯考開學考試）已知函數.(1)化簡函數解析式，并填寫下表，用“五點法”畫出在上的圖象；0(2)將的圖象向下平移1個單位長度，橫坐標擴大為原來的4倍，再向左平移個單位長度后，得到的圖象，求的對稱中心.【答案】(1)表見解析，圖見解析(2)【詳解】（1）000（2）將的圖象向下平移1個單位長度，得到的圖象，再將橫坐標擴大為原來的4倍，得到的圖象，.再向左平移個單位長度后，得到的圖象，由得，所以的對稱中心為.4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.(1)利用“五點法”完成下面的表格，并畫出在區間上的圖象；(2)解不等式.【答案】(1)答案見解析(2)(1)完成表格如下：00200在區間上的圖象如圖所示：(2)不等式，即.由，解得.故不等式的解集為.高頻考點四：三角函數圖象、性質的綜合應用角度1：圖象與性質的綜合應用典型例題例題1．（多選）（2023春·山東濟南·高一濟南外國語學校?？茧A段練習）關于函數，下列結論正確的是（

）A．函數的最大值是B．函數在上單調遞增C．函數的圖象可以由函數的圖象向右平移個單位得到D．若方程在區間有兩個實根，則【答案】BCD【詳解】.對于A：函數的最大值是，A選項錯誤；對于B：時，，是正弦函數的遞增區間，故B選項正確；對于C：函數的圖象向右平移個單位得到函數的圖象，即函數的圖象，C選項正確；對于D：當時，，令，則，由題意可知，直線與函數在上的圖象有兩個交點，如下圖所示：當時，，由圖可知，當時，直線與函數在上的圖象有兩個交點，因此，實數的取值范圍是，D對.故選：BCD.例題2．（多選）（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習）函數與的定義域為，且.若的圖像關于點對稱.則（

）A．的圖像關于直線對稱 B．C．的一個周期為4 D．的圖像關于點對稱【答案】AC【詳解】A選項：由，得，又，所以的圖像關于對稱，A選項正確；B選項：由的圖像關于點對稱，得，由選項結論知，所以，從而，故，即的一個周期為4，因為，所以B選項錯誤；C選項：由，及，則，得，函數的周期為C選項正確；D選項：取，又，與的圖像關于點對稱矛盾，D選項錯誤，故選：AC.例題3．（多選）（2023春·江西南昌·高一南昌市鐵路第一中學校考階段練習）將函數的圖象先縱坐標不變，橫坐標縮短為到原來的，然后向左平移個單位長度得到函數圖象，則（

）A．是函數的一個解析式B．直線是函數圖象的一條對稱軸C．函數是周期為π的奇函數D．函數的遞減區間為【答案】BD【詳解】由函數的圖象先縱坐標不變，橫坐標縮短為到原來的，得，再由函數的圖象向左平移個單位長度得到函數圖象，所以.對于A：，故A錯誤；對于B：，要求的對稱軸，只需令，則，當k=1時，解得：，所以直線是函數圖象的一條對稱軸，故B正確；對于C：，故，所以函數不是奇函數，故C錯誤；對于D：要求函數的遞減區間，只需，解得：，即函數的遞減區間為，故D正確.故選：BD例題4．（多選）（2023春·遼寧鐵嶺·高一鐵嶺市清河高級中學校考階段練習）已知函數，則下列敘述中，正確的是（

）．A．函數的圖象關于點對稱 B．函數在上單調遞增C．函數的最小正周期為 D．函數是偶函數【答案】AB【詳解】，A正確；時，，因此此時遞增，B正確；，但不存在，C，D均不正確，故選：AB．練透核心考點1（多選）（2023春·福建南平·高一?？茧A段練習）已知函數，則（

）A．函數的最小正周期為 B．函數的一個對稱中心為C．函數在區間上單調遞減 D．將函數的圖象向右平移個單位后的圖象關于y軸對稱【答案】AC【詳解】，對選項A：，正確；對選項B：當時，，錯誤；對選項C：時，，函數單調遞減，正確；對選項D：平移后的函數為，不關于軸對稱，錯誤.故選：AC2．（多選）（2023春·河北保定·高一河北省唐縣第二中學校考階段練習）已知函數，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期是 B．最小值是C．直線是圖像的一條對稱軸 D．在處取得最大值【答案】ABD【詳解】，最小正周期，A正確；當時，即時，取得最小值為，B正確；函數的對稱軸為，即，，設為函數的一條對稱軸，則，解得，矛盾，C錯誤；函數最大值在，處取到，即，，取，可得，所以在處取得最大值，D正確.故選：ABD.3．（多選）（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考階段練習）聲音是由物體振動產生的聲波，純音的數學模型是函數，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復合音，若一個復合音的數學模型是函數，則下列選項中結論正確的是（

）A．是函數的一條對稱軸B．函數為偶函數C．函數在為增函數D．函數在區間上有20個零點【答案】BD【詳解】.A：，因此不是函數的一條對稱軸，所以本選項說法不正確；B：，顯然函數是偶函數，所以本選項說法正確；C：，，所以此時函數為減函數，因此本選項說法不正確；D：，當時，令，所以函數在區間上有20個零點，因此本選項說法正確，故選：BD4．（多選）（2023春·貴州黔東南·高二凱里一中?？茧A段練習）已知函數，其圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且函數是奇函數，則下列判斷正確的是（

）A．函數f（x）的最小正周期為 B．函數f（x）的圖像關于點（，0）對稱C．函數f（x）在上單調遞增 D．函數f（x）的圖像關于直線對稱【答案】ABD【詳解】因為函數圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離為，則，又，又函數是偶函數，因為，所以，即，又，，則.函數最小正周期，故選項A正確；函數圖像對稱點的橫坐標為：，即，令時，，故選項B正確；又由：，得到所以函數的單調增區間為：，令時，得到一個增區間為：故選項C錯誤；函數圖像的對稱所在直線方程為；，令時，，故選項D正確.故選：ABD角度2：函數的零點（方程的根）的問題典型例題例題1．（2023春·上海青浦·高一?？茧A段練習）已知函數，若存在實數滿足互不相等，則的取值范圍是__________.【答案】【詳解】函數的圖象如下圖所示：存在實數滿足互不相等，不妨設，則由圖可知關于對稱，所以；當時，，，則，此時；當時，因為解得或，故而，，且由圖可得，即，可得，所以設，則，在上單調遞減，所以，所以，綜上所述；故答案為：.例題2．（2023春·山東淄博·高一?？茧A段練習）已知函數（）的相鄰兩對稱軸間的距離為.(1)求的解析式；(2)將函數的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的(縱坐標不變)，得到函數的圖象，記方程在上的根從小到大依次為，求的值域.【答案】(1)(2)【詳解】（1）函數，因為函數圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，所以，可得，所以.（2）將函數的圖象向右平移個單位長度，可得的圖象，再把橫坐標縮小為原來的，得到函數的圖象，由方程，即，即，因為，可得，設，其中，即，結合正弦函數的圖象，方程在區間要有5個解，則，即.其中，即，，，解得，，，.所以.因為，.例題3．（2023春·重慶·高一校聯考階段練習）函數的部分圖象如圖所示．(1)求函數的解析式；(2)若函數在區間上恰有個零點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）令，由圖象可知：，最小正周期，，，則，解得：，又，，，.（2）由（1）得：，當時，，令，則在上與恰有個交點，作出與的圖象如下圖所示，由圖象可知：當時，與恰有個交點，即若在上恰有個零點，則的取值范圍為.例題4．（2023春·江西南昌·高一南昌二中?？茧A段練習）定義在上的函數，對任意的，恒有，且時，有(1)判斷的奇偶性并證明；(2)若，且對，都有恒成立.求的取值范圍：(3)若，函數在有五個不同的零點，求實數的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)(3)【詳解】（1）因為對任意的，恒有，令，則，即，令，則，所以，即，所以是奇函數；（2）令，，則，不妨設，則，因為，，即，又當時，，所以，即，所以在上單調遞增，令，則，令，則，，因為，都有，又在上單調遞增，所以，都有，即即有解得（3）因為，令，則，，，所以由，可得，又在上單調遞增，所以有五個不同的零點，令，則，作出函數的大致圖象如下圖所示，由圖象可知，當或時，與交點個數為2，當時，與交點個數為3，由題可得必有兩個不同解，且，所以，解得或①時，，方程為，（舍去）②時，，方程為，此時（舍去）③，時，則解得綜上所述：的取值范圍為練透核心考點1．（2023春·江西南昌·高一?？茧A段練習）已知函數，關于x的方程在上有四個不同的解，且.若恒成立，則實數k的取值范圍是__________.【答案】【詳解】畫出函數的圖象，如圖所示：當時，；當時，，當時取等號.由，，由圖易知，當時，方程無解，故只有時才有四個不相同的解，且.由，解得或，由余弦函數的性質知，關于直線對稱，則，由，即①，解得或，從而，令得，則，故等價于，故，恒成立，所以（當且僅當時取得最小值），所以.故答案為：.2．（2023春·河南南陽·高一校聯考階段練習）已知函數的最小值為，其圖像經過點，且圖像上相鄰的最高點與最低點之間的距離為4．(1)求函數的解析式；(2)若關于的方程在上有且僅有兩個實數根，，求實數的取值范圍，并求出的值．【答案】(1)(2)，的值見解析.【詳解】（1）由題意，得，，∴，，∴又函數的圖像經過點，則，即，由，得，∴．（2）由題意，關于的方程在上有且僅有兩個實數根，，即函數與的圖像在上有且僅有兩個交點，由（1）知．設，則，∵，∴，則，其函數圖像如圖所示，由圖可知，實數的取值范圍為，①當時，，關于對稱，則，得；②當時，，關于對稱，則，得；綜上，實數的取值范圍為，當時，的值為；當時，的值為．3．（2023春·新疆省直轄縣級單位·高一校考開學考試）已知函數．(1)求函數的最小正周期；(2)將函數的圖象向右平移個單位長度后，再將得到的圖象上所有點的縱坐標變為原來的倍，橫坐標不變，再將得到的圖象向下平移個單位長度得到函數的圖象．若函數在上的零點個數為，求的取值范圍．【答案】(1)函數的最小正周期為(2)【詳解】（1）解：因為，所以，函數的最小正周期為.（2）解：將函數的圖象向右平移個單位長度，可得到函數的圖象，再將得到的圖象上所有點的縱坐標變為原來的倍，橫坐標不變，再將得到的圖象向下平移個單位長度得到函數的圖象，則，其中，由可得，則直線與函數在上的圖象有兩個公共點，因為，則，如下圖所示：因為，由圖可知，當時，直線與函數在上的圖象有兩個公共點，因此，實數的取值范圍是.4．（2023春·江西·高一江西師大附中?？茧A段練習）已知函數.(1)將函數的解析式寫成分段函數;(2)函數與直線有2個交點，求實數的范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，當時，得，當時，得，所以；（2）如圖，作出函數的圖象，由圖可知，當函數與直線有2個交點，.角度3：三角函數模型典型例題例題1．（2023春·廣東·高一校聯考階段練習）為了研究鐘表秒針針尖的運動變化規律，建立如圖所示的平面直角坐標系，設秒針針尖位置為點．若初始位置為點，秒針從（規定此時）開始沿順時針方向轉動，若點的縱坐標為，，則時的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設y與時間t的函數關系式為，由題意可得，初始位置為，即初相為，故可得，，則，．又函數周期是60（秒）且秒針按順時針方向旋轉，即，所以，即，．令，則，解得．故選：B例題2．（2023春·湖北·高一校聯考階段練習）水車是一種利用水流的動力進行灌溉的工具，其工作示意圖如圖所示，設水車的半徑為，其中心O到水面的距離為，水車逆時針勻速旋轉，旋轉一周的時間為，當水車上的一個水筒從水中（處）浮現時開始計時，經過后水筒A距離水面的高度為（單位：，在水面下時，高度為負數），則當時，_______．【答案】【詳解】由題設，水車的角速度為．又水車的半徑為，所以中心O到水面的距離為，設經過后水筒A距離水面的高度為，由題意可知，由于時，水筒A在處，即，即，由于，故取，故后水筒A距離水面的高度可表示為．故答案為：.例題3．（2023春·山東濟南·高一山東師范大學附中?？茧A段練習）如圖，某公園摩天輪的半徑為40m，圓心距地面的高度為50m，摩天輪做勻速轉動，每3min轉一圈，摩天輪上的點的起始位置在最低點處．(1)已知在時刻（單位：min）時點距離地面的高度（其中，，，求函數解析式及2023min時點距離地面的高度；(2)當點距離地面m及以上時，可以看到公園的全貌，求轉一圈中有多少時間可以看到公園的全貌？【答案】(1)，70m(2)0.5min【詳解】（1）依題意，，，，則，所以，由可得，，，因為，所以．故在時刻t時點P距離地面的離度．因此，故2023min時點P距離地面的高度為70m．（2）由（1）知，其中．依題意，令，即，所以，解得，則，由，可知轉一圈中有0.5min時間可以看到公園全貌．例題3．（2023春·四川雅安·高一雅安中學校考階段練習）某企業一天中不同時刻的用電量（萬千瓦時）關于時間（小時）的函數近似滿足（，，）．如圖是函數的部分圖象對應凌晨0點）．(1)根據圖象，求，，，的值；(2)由于當地冬季霧霾嚴重，從環保的角度，既要控制火力發電廠的排放量，電力供應有限，又要控制企業的排放量，于是需要對各企業實行分時拉閘限電措施．已知該企業某日前半日能分配到的供電量（萬千瓦時）與時間（小時）的關系可用線性函數模型（）擬合．當供電量小于該企業的用電量時，企業就必須停產．初步預計這一時刻處在中午11點到12點間，為保證該企業即可提前準備應對停產，又可盡量減少停產時間，請從這個初步預計的時間段開始，用二分法將這一時刻所處的時間段精確到15分鐘．【答案】(1),,,(2)【詳解】（1）由函數圖象知，∴，，，代入，得，則,又,綜上，,,,.（2）由（1）知,令，設，則為該企業的停產時間．當時，，則在上單調遞增，而（）為減函數，故在上是單調遞增函數．由，又，則，即11點到11點30分之間（大于15分鐘），又，則，即11點15分到1點30分之間（正好15分鐘），故估計在11點15分到11點30分之間的時間段停產．練透核心考點1．（2023秋·浙江·高一校聯考期末）如圖所示，摩天輪的直徑為，最高點距離地面的高度為，摩天輪按逆時針方向作勻速轉動，且每轉一圈．若游客甲在最低點坐上摩天輪座艙，則在開始轉動后距離地面的高度為________m．【答案】##【詳解】由題意可知，距離地面的高度與時間所滿足的關系式為，因為摩天輪的直徑為，最高點距離地面的高度為，所以，解得，因為每轉一圈，所以，，當時，，所以，所以可取，所以，所以當時，故答案為：2．（2023春·山東濟南·高一校考階段練習）如圖所示，某摩天輪設施，其旋轉半徑為50米，最高點距離地面110米，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，轉一周大約21分鐘．某人在最低點的位置坐上摩天輪座艙，并開始計時，則第7分鐘時他距離地面的高度大約為________米．【答案】85【詳解】設乘客乘坐摩天輪與地面的高度與時間的關系為：，，,，由題意可知，，，，即，又，即，故，，．∴第7分鐘時他距離地面的高度大約為85米.故答案為：85.3．（2023春·北京·高一首都師范大學附屬中學?？茧A段練習）某港口的水深y（單位：m）是時間t（，單位：h）的函數，下面是該港口的水深表：t（單位：h）0…3…9…15…h（單位：m）10…13…7…13…經過長時間的觀察，描出的曲線如下圖所示，經擬合，該曲線可近似地看成函數的圖象.(1)試根據數據表和曲線，求出函數的表達式；(2)一般情況下，船舶航行時船底同海底的距離不少于4.5m時是安全的.如果某船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時間段能夠安全進港?若該船欲當天安全離港，它在港內停留的時間最多不能超過多少小時?（忽略離港所用的時間）【答案】(1)(2)16【詳解】（1）由圖象知最大值，最小值，得，，得，即，得，此時，又當時，,故．（2）由，得，即，得，得，，解得，，，時，，時，，故當1時至5時，或13時至17時，能夠安全進港，若該船欲當天安全離港，它在港內停留的時間最多不能超過多長時間為小時．4．（2023春·河南南陽·高一校聯考階段練習）直徑為8m的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面2m，已知水輪沿逆時針方向勻速旋轉，每分鐘轉動6圈，當水輪上點從水中浮現時（圖中點）開始計算時間．(1)將點距離水面的高度表示為時間的函數；(2)在水輪轉動的一圈內，有多長時間點在水面下？【答案】(1)(2)秒．【詳解】（1）由題意可知，，設角是以Ox為始邊，為終邊的角，由條件得，將，代入，得，∴，∴；（2）由題意知，即，∴，．即，，∴.答：在水輪轉動的一圈內，點在水下時間為秒．第四部分：高考新題型①開放性試題1．（2023·全國·校聯考模擬預測）寫出一個同時具有下列性質①②③的函數：_________．①的周期為2；②在上為減函數；③的值域為．【答案】（答案不唯一）【詳解】不妨設，由的周期為2可得，當時，，不妨令，則，要使在上為減函數，且的值域為，則有，解得，所以，故答案為：（答案不唯一）.2．（2021春·陜西漢中·高一統考階段練習）函數的圖像向右平移個單位長度后與函數的圖像重合，則的一個值為__________．【答案】（答案不唯一）【詳解】將函數的圖像向右平移個單位長度后，可得，由函數與的圖像重合，所以即令時，可得所以的一個值為.故答案為：（答案不唯一）.3．（2023春·陜西安康·高一統考開學考試）將函數的圖象先向右平移個單位，再將所得的圖象上每個點的橫坐標變為原來的倍，得到函數的圖象，則的一個可能取值為_________.【答案】（答案不唯一）【詳解】因為，將函數的圖象先向右平移個單位，可得到函數的圖象，再將所得的圖象上每個點的橫坐標變為原來的倍，可得到函數的圖象，因為，所以，，可得，故的一個可能取值為.故答案為：（答案不唯一）.②探究性試題1．（2023秋·安徽滁州·高一校考期末）已知函數只能同時滿足下列三個條件中的兩個：①函數的最大值為2；②函數的圖象可由的圖象平移得到；③函數圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為(1)請寫出這兩個條件序號，說明理由，并求出的解析式；(2)求方程在區間上所有解的和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）函數滿足的條件為①③；理由如下：由題意可知條件①②中的最大值不一樣，所以互相矛盾，故③為函數滿足的條件之一，由③可知，，所以，故②不合題意，所以函數滿足的條件為①③；由①可知，所以；（2）因為，所以，所以或，所以或，又因為，所以x的取值為所以方程在區間上所有的解的和為.2．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習）對于函數，若在其定義域內存在實數，t，使得成立，稱是“t躍點”函數，并稱是函數的“t躍點”．(1)若函數，x∈R是“躍點”函數，求實數m的取值范圍；(2)若函數，x∈R，求證：“”是“對任意t∈R，為‘t躍點’函數”的充要條件；(3)是否同時存在實數m和正整數n使得函數在上有2021個“躍點”？若存在，請求出所有符合條件的m和n的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)存在，或或.【詳解】（1）由已知得存在實數，使得，∴，∴實數m的取值范圍是.（2）由題意得“對任意t∈R，為‘t躍點’函數”等價于：對是任意實數，關于的方程都有解，則對于時有解，即,∴；反之，當時，,等價于，顯然，是此方程的解，故此方程對于任意實數都有實數解.綜上所述，“”是“對任意t∈R，為‘t躍點’函數”的充要條件；（3）由已知得，，化簡得，的最小正周期為；根據函數在上的圖象可知：①當時，在有個“躍點”，故不可能有2021個“躍點”；②當時，在有個“躍點”，此時；③當或時，在上有個“躍點”，故；綜上：或或.③劣夠性試題1．（2023·河南安陽·安陽一中?？寄M預測）已知：①函數；②向量，，且，；③函數的圖象經過點.請在上述三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．已知______，且函數的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為．(1)若，且，求的值；(2)求函數在上的單調遞減區間．(3)請用五點作圖法作出函數的圖象.【答案】(1)(2)，(3)圖象見解析【詳解】（1）選條件因為，又，所以，所以.選條件因為，，所以，又，所以，所以．選條件③由題意可知，，所以，所以．又因為函數圖象經過點，所以，即，因為，所以，所以．因為，，所以，所以．（2）由，得，令，得，令，得，所以函數在上的單調遞減區間為，．（3）列表：0x作出圖象如圖：2．（2023春·山東日照·高一山東省日照實驗高級中學校考階段練習）在①是函數圖象的一條對稱軸，②函數的最大值為2，③函數圖象與y軸交點的縱坐標是1，這三個條件中選取兩個補充在下面題目中，并解答．已知函數，___________．(1)求的解析式；(2)求在上的值域．【答案】(1)(2)【詳解】（1）①是函數圖象的一條對稱軸，所以有，因為，所以令，即；②函數的最大值為2，所以；③函數圖象與y軸交點的縱坐標是1，所以，若選①②：則；若選①③：，所以；若選②③：，因為，所以，則；（2）由（1）可知，當時，，當時，即時，函數有最大值，當時，即時，函數有最小值，所以函數的值域為.3．（2023秋·安徽安慶·高一統考期末）已知函數，且滿足________．從①函數的圖象關于點對稱；②函數的最大值為2；③函數的圖象經過點．這三個條件中任選一個補充到上面的橫線上，并解答下面的問題：(1)求實數a的值并求函數的單調遞增區間；(2)已知函數，若對任意的，總存在，使得，求實數m的取值范圍．【答案】(1)，；(2)．【詳解】（1）由條件知若選①，則，解得，，由，解得，，所以函數的單調遞增區間為．若選②，則函數的最大值為，解得，，由，解得，，所以函數的單調遞增區間為．若選③，則，所以，，由，解得，，所以函數的單調遞增區間為．（2）由題意可知只需即可．當時，，所以，因此函數的最大值為1．令，則，則當即時，函數的最大值為，于是，整理得，解得，均滿足，所以；當即時，函數的最大值為，于是，無實解；綜上所述，實數m的取值范圍為．4．（2023春·山東青島·高一統考開學考試）已知函數（，），記其最小正周期為T，若．(1)求φ；(2)從①；②兩個條件中任選一個，補充在下面的橫線處，并解答，若在上單調，且______，求方程在上的解．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)；(2)答案見解析.【詳解】（1）由題得.因為，所以.因為，所以.（2）由（1）得.如果選擇①，則，.所以.因為.假設函數在上單調遞增，令,所以.所以因為，，所以所以.同理當函數在上單調遞減，此時無解.,所以，所以或.所以或，因為如果選擇②，則函數的圖象關于點對稱.所以,所以.假設函數在上單調遞增，同理所以.同理當函數在上單調遞減，此時無解.,所以，所以或.所以或，因為第五部分：數學思想方法①函數與方程的思想1．（2023·四川攀枝花·高三攀枝花市第三高級中學校?？茧A段練習）已知函數，若函數在區間上有且只有兩個零點，則的取值范圍為（

）．A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：因為，所以，又因為當時，，因為函數在區間上有且只有兩個零點，當時，的零點只能是，所以，解得，所以的取值范圍為是.故選：B.2．（2023·河北衡水·高三校聯考階段練習）如圖所示，某摩天輪上一點從摩天輪的最低點處順時針勻速轉動，經過秒后，點第一次位于摩天輪的最高點，且距離地面米，當點距離地面最低點時開始計時，若點在時刻距離地面高度（米）關于（分鐘）的解析式為，則以下說法正確的是（

）A．摩天輪離地面最近的距離為米B．摩天輪的轉盤直徑為米C．若在時刻，點距離地面的高度相等，則的最小值為D．