大一高數第一章復習總結及相關習題大一高數第一章復習總結及相關習題

第一章函數與極限習題課

一、主要內容

（一）函數的定義（二）極限的概念（三）連續的概念一）函數

1.函數的定義函數的分類

2.函數的性質有界、單調、奇偶、周期3.反函數4.隱函數

5.根本初等函數6.復合函數7.初等函數

8.雙曲函數與反雙曲函數（二）極限

1、極限的定義：\“N\“定義\“\“定義\“X\“定義單側極限極限存在的條件2、無窮小與無窮大

無窮小；無窮大；無窮小與無窮大的關系無窮小的運算性質3、極限的性質四則運算、復合函數的極限4、求極限的常用方法

a.多項式與分式函數代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質求極限;e.利用左右極限求分段函數極限；f.利用等價無窮小；g.利用重要極限

5、判定極限存在的準則夾逼定理、單調有界原理6、兩個重要極限

(1)limsinx1x0x某過程limsin1;

1x(2)1xlim(1)exx1lim(1x)x0e

某過程

7、無窮小的比擬

8、等價無窮小的替換性質

9、極限的唯一性、局部有界性、保號性（三）連續

1、連續的定義單側連續連續的充要條件閉區間的連續性

lim(1)e.2、連續點的定義連續點的分類第一類、其次類

3、初等函數的連續性連續性的運算性質反函數、復合函數的連續性

4、閉區間上連續函數的性質最值定理、有界性定理、介值定理、零點定理二、例題例當x1時,

242n求lim(1x)(1x)(1x)(1x).n解將分子、分母同乘以因子(1-x),則

n(1x)(1x)(1x2)(1x4)(1x2)原式limn1x

2242n(1x)(1x)(1x)(1x)limn1x

n22n2n11(1x)(1x)1xn1.(當x1時,limx20.)limlimnn1xn1x1x1例1tanxx3求lim().x01sinx111tanxtanxsinx33xx解原式lim[1(1)]lim[1]x0x01sinx1sinx

1tanxsinx1limsinx(1cosx)1limsinx1cosx1lim3x0x0xx2(1sinx)cosx211sinxx3x0(1sinx)cosxx

原式e2.p(x)x3例xx2p(x)lim1,求p(x).x0x

p(x)x32,解limxx2

可設p(x)x32x2axb(其中a,b為待定系數)

p(x)又lim1,

x0x32p(x)x2xaxb~x(x0)

從而得b0,a1.故p(x)x32x2x

x1,x1例6爭論f(x)的連續性.x

cos,x12將f(x)改寫成解1x,x1xf(x)cos,1x12x1,x1

設p(x)是多項式,且lim2,明顯f(x)在(,1),(1,1),(1,)內連續.當x1時,

x1limf(x)lim(1x)2.x1x1x1x1limf(x)limf(x)coslimf(x)xlim1x20.故f(x)在x1連續.當x1時,x1limf(x)limcosx1x20.f(x)limf(x)limf(x)lim(x1)limx1x1x1x1

故f(x)在x1連續.f(x)在(,1)(1,)連續.

[0,1]上連續,且f(0)f(1),例設f(x)在閉區間1證明必有一點[0,1]使得f()f().211令F(x)f(x)f(x),則F(x)在[0,]上連續.證明22111F(0)f()f(0),F()f(1)f(),222爭論:1f(0)f(0);若F(0)0,則0,211111若F()0,則,f()f();222221若F(0)0,F()0,則2例證

即xn單調減，有下界

xn存在故由單調有界原理得limn1a設x10,證明xn1(xn)有極限(a0)2xn1ax(x)an1n明顯xn02xn21aax1nxn1xn(xn)02xn2xn1a1aA(A)設limxnA，則A0在xn1(xn)兩邊取極限得n2A2xn解得Aa,Aa（舍去）12sinxxcos例求xlimx0(1cosx)ln(1x)

解sinx1xcos101xx原式limx0ln(1x)212(1cosx)x例求

令ux1則x1u解3n(1u1)(1u1)(1u1)由(1u)1~u得Ilimu0un1111uuu1

lim23n1nu0n!u

(x1)(3x1)(nx1)limx1(x1)n1xxxcoscos,(x0)例.求極限2nn222

xxxxcoscos2cosn2sinn

2222解原式limnx2sin

2n

xxxxcoscoscos2sinn1n12422limnx22sin2nx

nsinxsinx2limlimnnxxnsinx2sinnn22

limcossinxxxxc設lim例4，求cxxcxc2ccxx2c2c2c2climxc11limlim1xxcxc解一xxcxxc

e2c42c2ln2得cln2

x解二c1xxxceclime2climxcxxcexc1x

limnn1例證明n

n(n1)2n(n1)22nhn1hn證首先nn1記nn1hnn(1hn)1nhn2!2!

220hn

nlimhn0limnn1由夾逼定理知nn

xb例確定a,b的值，使f(x)有無窮(xa)(x1)

連續點x0,，有可去連續點x解因f(x)在x=0處為無窮連續，即limf(x)x0

xa1(xa)(x1)lim0limlimx0xbx0f(x)x0xb

又x=1為可去連續，故limf(x)存在例解

x1a0,b01blim(xb)lim[f(x)(xa)(x1)]limf(x)lim(xa)(x1)0x1x1x1x1b11f(x)sin2x12,求limf(x)x0x0e3x11f(x)sin2x1由lim23xx0e1而lim(e3x1)0lim(1f(x)sin2x1)已知limx0x0limx0x01f(x)sin2x13x(e1)201*xe1f(x)sin2x0lim1f(x)sin2x1limx0從而由等價無窮小的代換性質得

1f(x)sin2x1sin2x1f(x)sin2x12limf(x)2limlim3x3x02xx0x0e13xsin2xf(x)存在，且limf(x)6由lim1limx0x0x02xnn1例利用介值定理證明，當n為奇數時，方程a0xa1x至少有一實根

證令f(x)axnaxn1axa0,01n1n

an1anf(x)a1limlim(a)a000xxnxxxn1xn

故由函數極限的保號性質可知

an1xan0,(a00)又n是奇數，所以

x)nX00,使當|x|X0時f(n與a0同號，亦即，當|x|X0時，f(x)與a0x同號xf(2X0)f(2X0)0a(2X)n與a(2X)n異號0000

即a0xna1xn1an1xan0至少有一實根

和差化積積化和差

sinθ+sinφ=2sin*(θ+φ)\/2+cos*(θ-φ)\/2+sinαsinβ=*cos(α+β)-cos(α-β)+\/2sinθ-sinφ=2cos*(θ+φ)\/2+sin*(θ-φ)\/2+cosαcosβ=*cos(α+β)+cos(α-β)+\/2cosθ+cosφ=2cos*(θ+φ)\/2+cos*(θ-φ)\/2+sinαcosβ=*sin(α+β)+sin(α-β)+\/2cosθ-cosφ=-2sin*