2021全國中考真題分類匯編（四邊形）

——矩形、菱形、正方形

一、選擇題

1.（2021?安徽省）如圖，在菱形A8C。中，45=2，NA=120°,過菱形ABC。的對稱中

心。分別作邊AB,BC的垂線，交各邊于點E,F,G,H,則四邊形EFG”的周長為（）

A.3+百B.2+2&C.2+V3D.1+273

2.（2021?海南省）如圖，在菱形48CO中，點E、F分別是邊BC、C￡＞的中點，連接AE、

AF.EF.若菱形ABC。的面積為8,則△4￡：產的面積為（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2021?重慶市4）如圖，正方形A8CQ的對角線AC,BD交于點O,M是邊AO上一點,

連接。M,過點。做ON_LOM,交CD于點、N.若四邊形MONZ）的面積是1,則A8的長為

C.2D.2夜

4.（2021?四川省成都市）.如圖，四邊形ABC。是菱形，點E,F分別在8C,0c邊上,

添加以下條件不能判定尸的是（）

A.BE=DFB.NBAE=/DAFC.AE=ADD.ZAEB=ZAFD

5.（2021?四川省南充市）如圖，在菱形ABC。中，/A=60°,點E,尸分別在邊AB,

BC上，AE=BF=2,△￡）￡■尸的周長為3加，則的長為（）

D

A.娓B.273C.V3+1D.273-1

6.（2021?廣西玉林市）一個四邊形順次添加下列中的三個條件便得到正方形:

4.兩組對邊分別相等6.一組對邊平行且相等

c.一組鄰邊相等。一個角是直角

順次添加的條件：①a—ffd②bf<jfc③a—Z?-c則正確的是：（）

A.僅①B.僅③C.①②D.②③

7.（2021?浙江省寧波市）如圖是一個由5張紙片拼成的QABC。，相鄰紙片之間互不重

疊也無縫隙，其中兩張等腰直角三角形紙片的面積都為5，另兩張直角三角形紙片的面積

都為S?,中間一張矩形紙片EFG”的面積為S3,FH與GE相交于點O.當

的面積相等時，下列結論一定成立的是（)

C.AB=ADD.EH=GH

8.（2021?浙江省溫州市）由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形ABC。

如圖所示.過點。作。下的垂線交小正方形對角線EF的延長線于點G,連結CG,延長

BE交CG于點、H.若AE=2BE,則堡.（）

BH

C3技

2,7D善

9.（2021?重慶市8）如圖，把含30。的直角三角板PMN放置在正方形ABCO中，NPMN

=30°,直角頂點戶在正方形A8CC的對角線上，點M,N分別在AB和CC邊上，

MN與8。交于點O,且點。為MN的中點，則/AMP的度數為（）

C.75°D.80°

10.（2021?湖北省江漢油田）如圖，在正方形ABCD中，A3=4,E為對角線AC上與A,

C不重合的一個動點，過點E作EF_LAB于點尸，EGLBC于點G,連接。E,FG.下

列結論:

AD

①DE=FG；②）DE人FG；③ZBFG=ZADE：④FG的最小值為3.其中正確結論

的個數有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

11.（2021?內蒙古包頭市）如圖，在AABC中，AB^AC,△D3C和AABC關于直線BC

對稱，連接AD,與BC相交于點O,過點C作CE_LCD,垂足為C,與A。相交于點￡若

7DF+AF

AD=S,BC=6,則上------值為（）

BD

12.（2021?深圳）在矩形ABCO中，AB=2,點E是8C邊的中點，連接。E,延長EC

至點F,使得EF=DE,過點尸作EGLOE,分別交C。、AB于N、G兩點，連接CM、

EG、EN,下列正確的是（）

①tan/GFB=；；②MN=NC；③弁=：；?SmcBEM

Z￡S(,jZZ

A.4B.3C.2D.1

二.填空題

1.（2021?湖南省衡陽市）如圖1,菱形ABC。的對角線4C與8。相交于點O,P、Q兩

點同時從。點出發，以1厘米/秒的速度在菱形的對角線及邊上運動.點P的運動路線為

O-A-D-O,點Q的運動路線為O-C-B-O.設運動的時間為x秒，P、Q間的距離

為y厘米，y與x的函數關系的圖象大致如圖2所示，當點P在A-Z）段上運動且尸、Q

兩點間的距離最短時，P、Q兩點的運動路程之和為厘米.

圖1圖2

2.（2021?長沙市）如圖，菱形ABCO的對角線AC,30相交于點。，點E是邊AB的

B

3.（2021?株洲市）《蝶幾圖》是明朝人戈汕所作一部組合家具的設計圖（蠕，同“蝶”）,

它的基本組件為斜角形，包括長斜兩只、右半斜兩只、左半斜兩只、閨一只、小三斜四只、

大三斜兩只，共十三只（圖①中的“槎”和“集”為“樣”和“只”）.圖②為某蝶幾設計

圖，其中△A3。和△CBO為“大三斜”組件（“一棣二堡”的大三斜組件為兩個全等的等

腰直角三角形），已知某人位于點P處，點P與點A關于直線。Q對稱，連接CP、DP.若

ZADQ=24°,則乙吐=度.

\

縫

修:

泌/

3加

M\

舊

方

+圃

口

/

圖I圖2

4.（2021?株洲市）如圖所示，線段BC為等腰AABC的底邊，矩形ADBE的對角線AB與DE

交于點0,若0D=2,貝IJAC=

5.（2021?江蘇省連云港）如圖，菱形ABC。的對角線AC、80相交于點。，OELAD,

垂足為E,AC=8，BD=6,則OE的長為.

6.（2021?江蘇省蘇州市）如圖，四邊形ABC。為菱形，ZABC=70°,延長8c到E,

在NOCE內作射線CAf,使得NECM=15°,過點。作DFLCM,垂足為F.若DF=后,

則對角線8。的長為▲.（結果保留根號）

7.（2021?上海市）定義：在平面內，一個點到圖形的距離是這個點到這個圖上所有點的

最短距離，在平面內有一個正方形，邊長為2,中心為O,在正方形外有一點P,OP=2,

當正方形繞著點。旋轉時，則點P到正方形的最短距離”的取值范圍為

p

8.（2021?山西）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O,BD=8,AC=6,

OE//AB,交BC于點E,則OE的長為

9.（2021?四川省涼山州）菱形ABC。中，對角線AC=1（）,80=24,則菱形的高等于

10.（2021?瀘州市）如圖，在邊長為4的正方形ABC。中，點E是8C的中點，點尸在

上，且CF=3B凡AE,BF相交于點G,則“G尸的面積是.

11.（2021?四川省南充市）如圖，點E是矩形A8CZ）邊AO上一點，點凡G,H分別是

BE,BC,CE的中點，AF=3,則G4的長為

D

12.（2021?青海省）如圖，正方形ABC。的邊長為8,點"在。C上且。例=2,N是4c

上的一動點，則。N+MN的最小值是

13.（2021?浙江省紹興市）圖1是--種矩形時鐘，圖2是時鐘示意圖，時鐘數字2的刻度在

矩形4BC。的對角線BO上，則BC長為cm（結果保留根號）.

14.（2021?浙江省臺州）如圖，點E,F,G分別在正方形ABCQ的邊AB,BC,上,

AFA.EG.若AB=5,AE=DG=1,則8尸=_____.

15.（2021?湖北省十堰市）如圖，O是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD的中點,

若AB=5,AD=12,則四邊形ABOM的周長為.

16.（2021?北京市）如圖，在矩形48切中，點6,尸分別在比；加上，AF=EC.只需添加

一個條件即可證明四邊形力的是菱形，這個條件可以是（寫出一個即可）.

17.（2021?廣西賀州市）如圖，在矩形ABC。中，E，尸分別為BC,ZM的中點，以CO

為斜邊作RtAGCD,G￡>=GC,連接GE,GF.若BC=2GC,則/EGF=_______.

「ED

BFC

18.（2021?呼和浩特市）已知菱形ABC￡>的面積為26，點E是一邊3c上的中點，點戶

是對角線3。上的動點.連接AE,若46平分ZBAC,則線段尸￡與PC的和的最小值為

最，最大值為.

19.（2021?內蒙古包頭市）如圖，8。是正方形A8CD的一條對角線，E是8。上一點，F是

CB延長線上一點，連接CE,EF,AF.若=EF=EC,則N84廠的度數為

20.（2021?襄陽市）如圖，正方形ABCD的對角線相交于點。，點E在邊上，點尸在

C8的延長線上，ZEAF=45°,AE交BD于點、G,tanZBAE=~,BF=2,貝U

2

FG=.

21.（2021?貴州省貴陽市）如圖，在平面直角坐標系中，菱形A3C。對角線的交點坐標是

O（0,0）,點B的坐標是（0,1）,且BC=泥，則點A的坐標是

22.（2021?綏化市）在邊長為4的正方形ABQD中，連接對角線AC、BD,點尸是正方

形邊上或對角線上的一點，若PB=3PC，則PC=.

23.（2021?四川省眉山市）如圖，在菱形A8C。中，AB=AC=W,對角線AC、8。相交于

點。，點M在線段4c上，且AM=3,點P為線段8。上的一個動點，則的最小

三、解答題

1.如圖，的對角線AC,3。相交于點。，是等邊三角形，AB=4.

（1）求證：QABC￡＞是矩形;

(2)求AD的長.

2.(2021?株洲市)如圖所示，在矩形A8CD中，點E在線段CO上，點尸在線段A3的

延長線上，連接￡尸交線段于點G,連接8D，若DE=BF=2.

(1)求證：四邊形8阻)是平行四邊形；

2

(2)若tan/46Q=一，求線段BG的長度.

3

3.(2021?湖南省衡陽市)如圖，點E為正方形ABCQ外一點，NAEB=90°,將RtZVIBE

繞A點逆時針方向旋轉90°得到△4OF,。尸的延長線交BE于”點.

(1)試判定四邊形AFHE的形狀，并說明理由;

(2)己知84=7,8c=13,求。，的長.

D

B

H

4.（2021?湖南省邵陽市）如圖，在正方形ABC。中，對角線AC,BZ）相交于點。，點E,

產是對角線4c上的兩點，且4E=CF.連接OE,DF,BE,BF.

（1）證明：

（2）若48=4M，AE=2,求四邊形尸的周長.

5.（2021?江蘇省連云港）如圖，點C是8E的中點，四邊形A3QD是平行四邊形.

（1）求證：四邊形4CE。是平行四邊形;

（2）如果A3=AE，求證：四邊形ACEO是矩形.

AD

BCE

6.（2021?江蘇省揚州）如圖，在AABC中，41C的角平分線交于點

DE//AB,DF//AC.

（1）試判斷四邊形AEDE的形狀，并說明理由；

（2）若NB4c=90°,且AO=20，求四邊形AFDE的面積.

7.（2021?山東省泰安市）四邊形4BCD為矩形，E是AB延長線上的一點.

（1）若AC=EC,如圖1,求證：四邊形BECD為平行四邊形；

（2）若AB=AQ,點尸是AB上的點，AF=BE,EGLAC于點G,如圖2,求證：/XDGF

是等腰直角三角形.

圖1圖2

8.（2021?遂寧市）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點。，過點。

的直線EF與8A、DC的延長線分別交于點E、F.

（1）求證：AE=CF；

（2）請再添加一個條件，使四邊形8FDE是菱形，并說明理由.

AD

9.（2021?四川省自貢市）如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別是邊AB、CD的中點.求證:

DE=BF.

10.（2021?湖北省恩施州））如圖，矩形ABC。的對角線AC,8力交于點O,5.DE//AC,

AE//BD,連接OE.求證：OE_LAQ.

11.（2021?浙江省金華市）已知：如圖，矩形ABCD的對角線AC,30相交于點。，ZBOC

=120°,AB=2.

（1）求矩形對角線的長.

（2）過。作于點E,連結BE.記NABE=a,求tana的值.

E

D

12.（2021?江蘇省鹽城市）如圖，D、E、尸分別是AABC各邊的中點，連接。E、EF、AE.

（1）求證：四邊形AOEF為平行四邊形；

（2）加上條件后，能使得四邊形/為菱形，請從①N84C=90°；②AE平

分/84C；③A8=AC這三個條件中選擇1個條件填空（寫序號），并加以證明.

13.（2021?湖北省十堰市）如圖，已知AABC中，。是AC的中點，過點。作。E_LAC

交8c于點E,過點A作A///BC交OE于點F,連接AE、CF.

(1)求證：四邊形AEb菱形；

(2)若Cr=2,N￡4C=30°,ZB=45°,求AB的長.

14.(2021?湖南省張家界市)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與3。相交于點。,

408=60",對角線4C所在的直線繞點。順時針旋轉角。(0°<?<120°),所得

的直線/分別交AO,BC于點E,F.

(1)求證：AAOE=ACOF；

(2)當旋轉角tz為多少度時，四邊形4尸。￡為菱形？試說明理由.

15.(2021?福建省)如圖，在正方形ABC。中，E,尸為邊AB上的兩個三等分點，點A關

于。E的對稱點為A',44'的延長線交8c于點G.

(1)求證：DE//A1尸；

(2)求NG4'8的大小；

(3)求證：A'C=2A'B.

FB

16.（2021?襄陽市）如圖，80為oABCD的對角線.

（1）作對角線BO的垂直平分線，分別交AO，BC,BD于點、E，F，0（尺規作圖,

不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）連接BE,DF.求證：四邊形BEDF為菱形.

17.（2021?吉林省長春市）實踐與探究

操作一：如圖①，已知正方形紙片ABCD,將正方形紙片沿過點A的直線折疊，使點8落

在正方形ABCD的內部，點B的對應點為點折痕為AE,再將紙片沿過點A的直線折疊，

使AZ）與AM重合，折痕為AF,則NE4F=度.

操作二：如圖②，將正方形紙片沿EF繼續折疊，點C的對應點為點N.我們發現，當點E

的位置不同時，點N的位置也不同.當點E在BC邊的某一位置時，點N恰好落在折痕AE

上，則/4￡戶二度.

在圖②中，運用以上操作所得結論，解答下列問題：

（1）設AM與NF的交點為點正求證△/WP之△”￡：.

（2）若AB=G,則線段AP的長為.

18.（2021?貴州省貴陽市）如圖，在矩形ABCO中，點M在。C上，AM=AB,且BN_L

AM,垂足為N.

（1）求證：XABN空/

（2）若AO=2,AN=4,求四邊形8CMN的面積.

19.（2021?呼和浩特市）如圖，四邊形ABC0是平行四邊形，〃。9且分別交對角線AC

于點E,F.

（1）求證：AABE'CDF；

（2）當四邊形ABC。分別是矩形和菱形時，請分別說出四邊形尸的形狀（無需說明

理由）

答案

一、選擇題

1.（2021?安徽省）如圖，在菱形ABC。中，AB=2,NA=120°,過菱形ABC。的對稱中

心。分別作邊A8,BC的垂線，交各邊于點E,F,G,H,則四邊形EFG”的周長為（）

A

A.3+石B.2+273C.2+V3D.1+273

【答案】A

【解析】

【分析】依次求出0E=。尸=OG=OH,利用勾股定理得出EF和0E的長，即可求出該四邊形

的周長.

【詳解】,：HFLBC,EGA.AB,

：./BEO=NBFO=90°,

ZA=120°,

.,.ZB=60°,

ZEOF=120°,ZEOH=60°,

由菱形的對邊平行，得HF_LAO,EG_LCZ）,

因為O點是菱形ABCD的對稱中心，

；.O點到各邊的距離相等，即OE=OF=OG=OH,

ZOEF=ZOFE=3Q°,ZOEH=ZOHE=60°,

Z.NHEF=NEFG=NFGH=NEHG=90。,

所以四邊形EFGH是矩形：

設OE=OF=OG=OH=x,

EG=HF=2x,EF=HG=^（2x）2-x2=瓜，

如圖，連接AC,則AC經過點。，

可得三角形ABC是等邊三角形，

AZBAC=60°,AC=AB=2,

.?.OA=1,/AOE=30°,

1

：.AE=-f

，四邊形EFGH的周長為EF+FG+GH+HE=2Gx+2x=2^x—+2x—=3+,

22

故選A.

2.（2021?海南省）如圖，在菱形ABC。中，點E、尸分別是邊BC、C。的中點，連接4E、

AF.EF.若菱形A5CD的面積為8,則△AEF的面積為（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2021?重慶市4）如圖，正方形ABC。的對角線AC,8。交于點O,M是邊A。上一點，

連接OM，過點。做ONLOM,交C￡＞于點N.若四邊形MONO的面積是1,則4B的長為

（）

A.IB.V2C.2D.2夜

【答案】C

【解析】

【分析】先證明△MA0=AND0（AS4）,再證明四邊形MOM）的面積等于，&Q4O的面

積，繼而解得正方形的面積，據此解題.

【詳解】解：在正方形A8Q9中，對角線BQ1.AC,

:.ZAOD^90°

-,-ON1OM

AMON^90°

：.ZAOM=ADON

又ZMAO=ANDO=45°,AO=DO

:.^MAO^NDO（ASA）

…°dNDO

?.?四邊形MON。的面積是1,

S?DAO~1

???正方形ABCD的面積是4,

AB2=4

：.AB=2

故選：C.

4.（2021?四川省成都市）.如圖，四邊形ABC。是菱形，點E,尸分別在8C,DC邊上,

添加以下條件不能判定絲△4￡）尸的是（）

A.BE=DFB.NBAE=NDAFC.AE=ADD.NAEB=NAFD

【分析】由四邊形ABC。是菱形可得：AB-AD,NB=ND，再根據每個選項添加的條

件逐一判斷.

【解答】解：由四邊形ABC。是菱形可得：AB=AD,NB=ND,

A、添加BE=QF,可用SAS證明△ABE絲ZvlOF,故不符合題意；

B、添加NBAE=/D4F,可用ASA證明△ABE0△AZ）F,故不符合題意；

C、添加AE=AO,不能證明AABE四△A。凡故符合題意；

D、添加可用4As證明△ABE彩AW凡故不符合題意；

故選：C

5.（2021?四川省南充市）如圖，在菱形48CO中，NA=60°,點E,尸分別在邊AB,

BC上，AE=BF=2,△DE'F'的周長為3加，則AO的長為（）

【分析】連結B。，作垂足為“，先證明△AB。是等邊三角形，再根據SAS證

明△ADE絲△BDF,得到△￡>￡/是等邊三角形，根據周長求出邊長。E=遙，設AH=x,

則HE=2-x,。，=兩,在RtZXEWE中，根據勾股定理列方程求出蒼進而得到AD=2x

的值.

【解答】解：如圖，連結8。，作垂足為H,

?.?四邊形A8CZ）是菱形，

：.AB=AD,AD//BC,

VZA=60°,

.?.△ABD是等邊三角形，NABC=180°-NA=120°,

：.AD=BD,AABD=ZA=ZADB=60Q,

.?./￡>8C=/ABC-NA8￡>=120°-60°=60°,

"：AE=BF,

：.△A。&ABDF（SAS）,

DE=DF,ZFDB=ZADE,

：.NEDF=ZEDB+ZFDB^NEDB+NADE=ZADB=60°,

尸是等邊三角形，

「△OEF的周長是3近,

設AH=x，則HE=2-x,

"：AD=BD,DHLAB,

...NAQHTNAQB=30°,

2

AD=2~x,DH=，

在Rt^Q”￡中，DH2+HE2=DE2,

；.（心）2+（2-x）2=（V6）2,

解得：》=上突負值舍去），

*??AZ）--2JL—1+A/"^，

6.（2021?廣西玉林市）一個四邊形順次添加下列中的三個條件便得到正方形:

兩組對邊分別相等員一組對邊平行且相等

c.一組鄰邊相等一個角是直角

順次添加的條件：①a-c—d②bfdfc③a-%-c則正確的是：（）

A,僅①B.僅③C.①②D.②③

【答案】C

7.（2021?浙江省寧波市）如圖是一個由5張紙片拼成的相鄰紙片之間互不重

疊也無縫隙，其中兩張等腰直角三角形紙片的面積都為，，另兩張直角三角形紙片的面積

都為S2,中間一張矩形紙片EFG”的面積為S3,F”與GE相交于點0.當

△AECUBWmCGOg。"。的面積相等時，下列結論一定成立的是（)

C.AB-ADD.

EH=GH

【答案】A

【解析】

【分析】根據和aBCG是等腰直角三角形,四邊形A2C。是平行四邊形，四邊形HEFG

是矩形可得出AE=DE=BG=CG=a,HE=GF,GH=EF,點、O是矩形HEFG的中心，設

AE=DE=BG=CG=a,HE=GF=b,GH=EF=c,過點。作OP_LEF于點P,OQ_LGF于點Q,

可得出OP,。。分別是AFHE和AEGF的中位線，從而可表示。P,。。的長，再分別計算

出邑，53進行判斷即可

【詳解】解：由題意得，△4ED和ABCG是等腰直角三角形，

ZADE=ZDAE=ZBCG=ZGBC=45°

四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD=BC,CD=AB,ZADC=ZABC,NBAD=NDCB

:.NHDC=NFBA,NDCH=NBAF,

:./XAED名ACGB,△CDH/BF

：.AE=DE=BG=CG

?.?四邊形”EFG是矩形

:.GH=EF,HE=GF

設AE=DE=BG=CG=a,HE=GF=b,GH=EF=c

過點。作OP_LE尸于點P,OQ_LGF于點。，

Z.OPUHE,OQ//EF

:點。是矩形"EFG對角線交點，即“尸和EG的中點,

AOP,0。分別是AFHE和AEG尸的中位線，

A0P^-HE=-b,OQ^-EF^-c

2222

---S"OF=gBF?OQ=g(a_b)xgc=；(a_b)c

SMOE=；AE.OP=；ax(b='b

，-(a-b')c=-ah,EPac-bc=ab

44

而5=3.m=54小。E=5"，

11121212

S-,—SM*、B=-AF+BF——(a+c)(a—b)——(iz—ab+ac—he)——(a~-cib+cih)——ci

2222

所以，5,=S2,故選項A符合題意，

212

S3=HE*EF=(a-b)(a+c)-a-bc-ab+ac=a+ah-ah=a

：.S^S3,故選項8不符合題意，

而AB=A￡)于E〃=G”都不一定成立，故C。都不符合題意，

故選：A

8.(2021?浙江省溫州市)由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形ABC。

如圖所示.過點。作。F的垂線交小正方形對角線EF的延長線于點G,連結CG,延長

BE交CG于點H.若AE=2BE,則竺()

BH

￡

B

A.3B.V2c.D.因5

275

［分析】如圖，過點G作GTA.CF交CF的延長線于7,設BH交CF于MAE交DF于N.設

BE=AN=CH=DF=a，則AE=5M=CF=QN=2〃,想辦法求出B”,CG,可得結論.

【解答】解：如圖，過點G作GTLCF交CF的延長線于T/E交。/于N,則AE=3M=

CF=DN=2a,

：.EN=EM=MF=FN=a,

???四邊形ENFM是正方形，

工/EFH=/TFG=45°,/NFE=/DFG=45°,

VGT1TF,DF1DG,

AZTGF=ZTFG=ZDFG=ZDGF=45°,

:.TG=FT=DF=DG=a,

??CT=3a,CG=\（8a）2+a2=W^”

?:MH〃TG,

:?CM:CT=MH;TG=7,

3

BH=5Q+L=&,

33

?CG=迎恒=3A/IQ

BH工a7

2a

故選：C.

9.（2021?重慶市8）如圖，把含30。的直角三角板PMN放置在正方形A8CD中，NPMN

=30。，直角頂點尸在正方形ABC。的對角線8。上，點M,N分別在A8和C。邊上，

MN與BD交于點、0,且點。為MN的中點，則N4M尸的度數為（)

A.60°B.65°C.75°D.80°

【分析】根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知：OM=OP,從而得出NQPM

=150°,利用四邊形內角和定理即可求得.

【解答】解：在陽△PMN中，NMPN=90。,

???。為MN的中點，

???°2=抑=0M，

VZPW=30°,

???NMPO=30。，

AZ￡>PM=150°,

在四邊形AQPM中，

VZA=90°fZADB=45°fZDPM=150°f

???NAMP=360。-NA-ZADB-/DPM

=360°-90°-45°-150°

=75°.

故選：C.

10.（2021?湖北省江漢油田）如圖，在正方形ABC。中，A5=4,E為對角線AC上與A,

C不重合的一個動點，過點E作石尸，A5于點尸，￡6,3。于點6,連接。及廠G.下

列結論:

AD

①DE=FG；②）DE人FG；③ZBFG=ZADE：④FG的最小值為3.其中正確結論

的個數有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】

【分析】延長。E，交FG于點N,交AB于點、M，連接3E,交FG于點。，先根據正

方形的性質、三角形全等的判定定理與性質得出OE=BE，再根據矩形的判定與性質可得

BE=FG,由此可判斷①；先根據三角形全等的性質可得N4BE=NAOE，再根據矩形

的性質可得OB=Ob,然后根據等腰三角形的性質可得NBFGnNABE,由此可判斷③;

根據直角三角形的性質可得NA0E+NAMD=9O°,從而可得N3FG+N/4MD=90°,

由此可判斷②；先根據垂線段最短可得當AC時，DE取得最小值，再解直角三角形

可得DE的最小值，從而可得FG的最小值，由此可判斷④.

【詳解】解：如圖，延長。石，交FG于點N,交A3于點〃，連接8E,交FG于點0,

???四邊形ABC。是正方形，AB=4,

AD=AB=4,/ABC=NBAD=90°,NBAE=ZDAE=45°,

AB=AD

△ABE和△?1￡＞七中，,N3AE=NOAE,

AE=AE

：.^ABE三AADE（SAS）,

BE=DE,ZABE=ZADE,

ZABC=90°,EF±AB,EGLBC,

二四邊形8EEG是矩形，

:.BE=FG,OB=OF,

:.DE=FG,即結論①正確；

?;OB=OF,

：./BFG=ZABE,

：.ZBFG=ZADE,即結論③正確；

QN84Z）=90。，

:.ZADE+ZAMD=9Q°,

:.ZBFG+ZAMD^90°,

:./FNM=9Q。,即DE人FG,結論②正確；

由垂線段最短可知，當OELAC時，OE取得最小值，

此時在Rt^ADE中，DE=AD-sinZDAE=4義上一=2逝，

2

又,；DE=FG,

.?.EG的最小值與DE的最小值相等，即為2及，結論④錯誤；

綜上，正確的結論為①②③，共有3個，

故選：C.

11.（2021?內蒙古包頭市）如圖，在AAbC中，AB^AC,△OBC和AAbC關于直線BC

對稱，連接AQ,與BC相交于點O,過點C作C￡_LCZ）,垂足為C,與AZ）相交于點￡若

yOF+AF

AD=S,BC=6,則，------值為（）

BD

D

55

C.一D.一

34

【答案】D

12.（2021?深圳）在矩形ABC。中，AB=2,點E是8C邊的中點，連接,延長EC

至點F,使得所=￡應，過點F作EGLOE,分別交C。、AB于MG兩點，連接CM、

EG、EN,下列正確的是（）

①tanNGFB=；；②MN=NC；③段=：；④S四邊形GBEW=2^^-

/COZZ

A.4B.3C.2D.1

FC1

【解答】①tanNGEB=tanNEDC=—2=—,①正確;

CD2

②力MN=4NCF=90°,ZMND=ZCNF,

：.NMDN=/CFN,

'：NECD=NEMF,EF=ED,AMDN=NCFN,

：.△DE84FEM(SAS),：.EM=EC,：.DM=FC,

?：ZMDN=4CFN,ZMND=NCNF,DM=FC,

4DMN會4FCN(AAS),：.MN=NC,故②正確；

③?：BE=EC,ME=EC,：.BE=ME,

；在RfAGBE和Rf^GME中:BE=ME,GE=GE,

；.RtAGBE迫RtAGME(HL),:.ZBEG=NMEG,

ME=EC,：.ZEMC=ZECM,

又ZEMC+ZECM=ABEG+AMEG,

CMCF

：.ZGEB=ZMCE,：.MC//GE,：.——=——，

EGEF

???EF=DE7EC、CD2=6,CF=EF-EC=45-\,

.CM_CF_V5-15-75

故③錯誤;

"~EG~"EF~75-5

④由上述可知：BE=EC=1,CF=h：.BF=&\,

?：tanZF=tanZEDC=—=：.GB=-BF=

BF222

S四邊形GBE”=2SAGBA--?BE-BG-—,故④正確.

故選B.

二.填空題

1.（2021?湖南省衡陽市）如圖1,菱形ABCO的對角線AC與8。相交于點O,P、Q兩

點同時從。點出發，以1厘米/秒的速度在菱形的對角線及邊上運動.點P的運動路線為

O-A-O-O,點。的運動路線為0-C-8-0.設運動的時間為x秒，P、。間的距離

為y厘米，y與x的函數關系的圖象大致如圖2所示，當點P在A-O段上運動且尸、Q

兩點間的距離最短時，P、。兩點的運動路程之和為（2、隔3）厘米.

圖1圖2

【分析】結合圖象當點P運動到A點，點。運動到C點時，即AC=2?“〃，同理求出

BD=2cm,利用菱形性質即可求出4。=48=8。=￡^=2￡77?,再由題意易知當點P在A

-O段上運動，P、Q兩點的最短時P、。分別位于A。、BC的中點時，求出此時尸、Q

兩點的運動路程之和即可.

【解答】解：由圖分析易知：當點尸從O-A運動時，點。從O-C運動時，y不斷增大，

當點P運動到A點，點Q運動到C點時，由圖象知此時y=PQ=2?c〃?，

'.AC=2-\[2cm,

:四邊形ABCD為菱形，

：.AC±BD,0A=。。=4，=心機，

當點尸運動到。點，。運動到8點，結合圖象，易知此時，y—BD—lcm.

：.0D=0B=LBD=1C,%

2

在RtAADO中，3八人2祀D2=J（收2+]2=2（cm）,

：.AD=AB=BC=DC=2cm,

如圖，當點P在A-O段上運動，點尸運動到點E處，點Q在C-8段上運動，點。運

圖1__

此時，OE=OF=°A'°D=近*1

AD22

A"”=而正行=在|="|'

當點P在A-￡＞段上運動且尸、Q兩點間的距離最短時，P、。兩點的運動路程之和為:

q

（F號）X2=2?+3（cm）

故答案為：（2/§+3）.

2.（2021?長沙市）如圖，菱形ABCD的對角線AC,3。相交于點。，點E是邊AB的

【答案】12

3.（2021?株洲市）《蝶幾圖》是明朝人戈汕所作一部組合家具的設計圖（噓，同“蝶”）,

它的基本組件為斜角形，包括長斜兩只、右半斜兩只、左半斜兩只、閨一只、小三斜四只、

大三斜兩只，共十三只（圖①中的“棣”和“宴’為"樣”和“只”）.圖②為某蝶幾設計

圖，其中△A3。和AaB。為“大三斜”組件（“一梯二堡”的大三斜組件為兩個全等的等

腰直角三角形），已知某人位于點P處，點P與點A關于直線。Q對稱，連接CQ、DP.若

ZA￡>Q=24°,則N/O3=度.

圖1圖2

【答案】21

4.（2021?株洲市）如圖所示，線段BC為等腰4ABC的底邊，矩形ADBE的對角線AB與DE

交于點0,若0D=2,則AC=.

【答案】4

5.（2021?江蘇省連云港）如圖，菱形A3C。的對角線AC、BO相交于點O,OEJ.4）,

垂足為E,AC=8,BD=6,則OE的長為一

12

【答案】—

5

【解析】

【分析】直接利用菱形的性質得出AO,DO的長，再利用勾股定理得出菱形的邊長，進而

利用等面積法得出答案.

【詳解】解：?.,菱形ABC。的對角線AC、8。相交于點。，且AO8,DB=6,

???A0=4,00=3,NAOD=90。，

：.AD=5f

在中，由等面積法得：；AOgDO=,

AO§PO_3,4_12

.?UtL--------------------------

AD55

12

故答案為：—.

6.（2021?江蘇省蘇州市）如圖，四邊形A8C。為菱形，ZABC=70°,延長BC到E,

在NOCE內作射線CM,使得NECM=15°,過點。作DF±CM,垂足為F.若DF=#）,

則對角線的長為▲.（結果保留根號）

【分析】連接AC交BC于H,證明△OCH絲△OCF,得出。”的長度，再根據菱形的性

質得出BO的長度.

【解答】解：如圖，連接AC交8。于點"

由菱形的性質的N8OC=35°,NDCE=70°,

又；NMCE=15°,

：.ZDCF=55°,

?：DF工CM,

：.ZCDF=35°,

又；四邊形是菱形，

.?.8Z)平分/AOC,

：.ZHDC=35°,

在△CD"和△CQF中，

'NCHD=NCFD

<Z