八年級下冊期末壓軸題專項練習30題

一.解答題(共30小題)

1.如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=-2x+6交x軸于點A,交y軸于點8,過點B

的直線交x軸負半軸于點C,且A8=BC.

(1)求點C的坐標及直線BC的函數表達式；

(2)點力(小2)在直線AB上，點E為y軸上一動點，連接。E.

(i)若NBDE=45。，求△8DE的面積：

(ii)在點E的運動過程中，以OE為邊作正方形OEGF,當點F落在直線BC上時，求

2.如圖，在菱形ABCD中，ZABC=120°,AB=4?,E為對角線AC上的動點(點E不

與A,C重合)，連接8E,將射線EB繞點E逆時針旋轉120°后交射線于點F.

(1)如圖1,當AE=AF時，求/AE8的度數;

(2)如圖2,分別過點8,F作EF,BE的平行線，且兩直線相交于點G.

/)試探究四邊形BGFE的形狀，并求出四邊形8GFE的周長的最小值;

H)連接AG,設CE=x,AG=y,請直接寫出y與x之間滿足的關系式，不必寫出求解

D

D

過程.圖1圖2

3.已知I,oABCQ中，NA8C=90°,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線EF分別交

(1)如圖1,連接4尸、CE.求證：四邊形AFCE為菱形.

(2)如圖1,求AF的長.

(3)如圖2,動點尸、0分別從A、C兩點同時出發，沿△AF8和△SE各邊勻速運動

一周.即點P自AfkfBfA停止，點。自C-O-EfC停止，在運動過程中，點P的

速度為每秒1c”點Q的速度為每秒0.8cm,設運動時間為f秒，若當以A、P、C、。四

點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求f的值.

4.如圖1,一次函數)，=履+〃的圖象與x軸交于點A(6,0),與y軸交于點8(0,3),與

正比例函數y=x的圖象交于點C.

(1)求一次函數的解析式及點C的坐標；

(2)在y軸上是否存在一點P,使aBCP是等腰三角形，若存在，請直接寫出點P的坐

標，若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,過點C作C。，x軸于點。，點E是線段0。上一點，尸是y軸正半軸上一

點，且/EC尸=45°,連接EF,求△OEF的面積的最大值.

5.已知在RtZXABC中，NACB=90°,AC=BC,C￡)_LAB于D

(1)如圖1,將線段CD繞點C順時針旋轉90°得到CF,連接AF交CD于點G.求證:

AG=GF；

(2)如圖2,點E是線段CB上一點(CE<LC8).連接ED,將線段ED繞點E順時針

2

旋轉90°得至1」￡凡連接4尸交C力于點G.

①求證：AG=GF；

②若AC=3C=7,CE=2,求。G的長.

6.矩形4BCD中，AB=6cm,BC—Scm,設運動時間為/(單位：s).

(1)如圖1,若動點P從矩形ABCD的頂點A出發，沿A/B-C勻速運動到點C,圖2

是點P運動時，△APC的面積S(cm1)隨時間f(秒)變化的函數圖象.

①點P的運動速度是cm/s,m+n=；

②若PC=2PB,求t的值；

(2)如圖3,若點P,Q,R分別從點A,B,C三點同時出發，沿矩形的邊按逆時針方

向勻速運動，當點Q到達點C(即點。與點C重合)時，三個點隨之停止運動；若點P

運動速度與(1)中相同，且點P,Q,R的運動速度的比為2：4：3,是否存在，，使4

尸8。與△QCR相似，若存在，求出所有的f的值；若不存在，請說明理由.

7.如圖1,一次函數)，=區-4(ZWO)的圖象與y軸交于點A,與反比例函數y=-」2(x

x

<0)的圖象交于點8(-6,b).

(1)b=；k=；

(2)點C是線段AB上一點(不與A,8重合)，過點C且平行于y軸的直線/交該反比

例函數的圖象于點。，連接OC,OD,BD,若四邊形OCBO的面積S四.OCBD=24,求

點C的坐標；

(3)將第(2)小題中的△08沿射線A8方向平移一定的距離后，得到aO'CD',

若點O的對應點。‘恰好落在該反比例函數圖象上(如圖2),求此時點D的對應點。的

坐標.

圖1圖2

8.如圖1,平面直角坐標系中，直線y=-當+切交x軸于點A(4,0),交y軸正半軸于

4

點B.

(I)求AAOB的面積；

(2)如圖2,直線4c交y軸負半軸于點C,AB^BC,P為線段AB(不含A,B兩點)

上一點，過點P作y軸的平行線交線段AC于點。，設點P的橫坐標為f,線段P。的長

為d,求”與，之間的函數關系式；

(3)在(2)的條件下，M為線段C4延長線上一點，且AM=C。，在直線4c上方的直

線A8上是否存在點N,使是以0M為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請求出

點N的坐標；若不存在，請說明理由.

9.已知點E,F分別是平行四邊形ABC。的邊BC,8上的點，NE4F=60°.

(1)如圖1,若AB=2,AF=5,點E與點8,點尸與點。分別重合，求平行四邊形A8CZ)

的面積；

(2)如圖2,若AB=BC,ZB=ZEAF=60°,求證：AE=AF；

(3)如圖3,若BE=CE,CF=3DF,AB=4,AF=6,求AE的長

度.圖1圖2圖3

10.如圖1,在等邊△ABC中，AB=6cm,動點P從點A出發以lc,"/s的速度沿A8勻速運

動，動點。同時從點C出發以同樣的速度沿8c的延長線方向勻速運動，當點P到達點

3時，點P、。同時停止運動，設運動時間為f(s).過點尸作PE_LAC于E,以C。、

CE為邊作平行四邊形CQFE.

(1)AE=.CE—；(用含/的代數式表示)

(2)當口CQFE為菱形時，請求出，的值；

(3)如圖1,連接PQ,交AC邊于點。，求線段。E的長；

(4)如圖2,取線段8c的中點M,連接PM,將△BPM沿直線PM翻折，得PM,

連接A8'；請求出A8'的最小值.

11.已知四邊形ABCO為矩形，對角線AC、8。相交于點。，ZCDO=30°.點、E、尸為矩

形邊上的兩個動點，且/EOF=60°.

(1)如圖1,當點E、F分別位于48、邊上時.

①求證：NDOF=NAOE；

②若NOEB=75。，求證：DF=AE.

(2)如圖2,當點E、尸同時位于AB邊上時，若NOFB=75°,試探究線段4尸與線段

BE的數量關系，并說明理由.

12.如圖，已知在矩形ABC。中，點E在A8邊上，F在CE邊上，且NACD=ND4F.

(1)當/C4F=30°時，求矩形的長寬之比；

(2)若NCAF=NECB,請回答下列問題；

①設NACE=x,ZCAF=y,求y關于x的表達式;

備用國

13.如圖，在平面直角坐標系中，。為原點，已知直線y=-當+4與x軸交于點A,與y

3

軸交于點B.

(I)點A的坐標為，點B的坐標為；

(II)如圖①，若點M(x,y)在線段48上運動(不與端點A、8重合)，連接0M,設

△AOM的面積為S,寫出S關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

圖①圖②

14.綜合與實踐:

如圖1,已知△ABC,AB=AC,點。、E分別在邊AB、AC上，AD=AE,連接。C,點

P、。、M分別為。E、BC、OC的中點.

(1)觀察猜想

在圖1中，線段與QM的數量關系是；

(2)探究證明

當NBAC=60°,把△AOE繞點A順時針方向旋轉到圖2的位置，判斷△PMQ的形狀，

并說明理由；

(3)拓展延伸

當NBAC=90°,AB=AC=5,AD=AE=2,再連接BE,再取BE的中點N,把△AQE

繞點4在平面內自由旋轉，如圖3,

①請你判斷四邊形PMQV的形狀，并說明理由；

②請直接寫出四邊形PMQN面積的最大值.

A

AA.

D?

c

BQ甘QCEtQC

圖1圖2圖3

15.如圖1,四邊形ABC。是矩形，點。位于對角線8。上，將△A￡?E,△CBF分別沿QE、

BF翻折，點A,點C都恰好落在點0處.

(1)求證：NEDO=NFBO；

(2)求證：四邊形DEBF是菱形：

(3)如圖2,若AC=2,點P是線段EC上的動點，求2AP+CP的最小值.

16.如圖，正方形ABC￡＞中，AB=4,點E是對角線AC上的一點，連接OE.過點E作EF

LED,交AB于點凡以QE、EF為鄰邊作矩形。EFG,連接AG.

(1)求證：矩形。EFG是正方形;

(2)求4G+AE的值;

(3)若尸恰為AB中點，連接。尸交4C于點M,請直接寫出ME的長.

D

rE

G

B

17.如圖，已知正方形ABC。的邊長為6。〃，E為邊AB上一點且AE長為Ic/M,動點尸從

點B出發以每秒\cm的速度沿射線BC方向運動.把△EBP沿EP折疊，點2落在點B'

處.設運動時間為f秒.

(1)當/=時，NSPC為直角；

(2)是否存在某一時刻t,使得點8到直線AD的距離為3cm?若存在，請求出所有符

合題意的f的值；若不存在，請說明理由.

AD

0BpC

18.四邊形A8CD是正方形，AC是對角線，點E是AC上一點(不與AC中點重合)，過點

4作AE的垂線，在垂線上取一點F,使AF=AE,并且點E和點尸在直線AB的同側，

連接尸。并延長至點G,使a>=GC,連接GE.

(1)如圖1所示

①根據題意，補全圖形：

②求NCEG的度數，判斷線段GE和CE的數量關系并給出證明.

(2)若點E是正方形內任意一點，如圖2所示，判斷(1)中的結論還成立嗎？如果成

立，給出證明；如果不成立，說明理由.

圖1圖2

19.分層探究

(1)問題提出：如圖1,點E、F分別在正方形ABCZ)的邊BC、CD上，NE4F=45°,

連接EF.求證:EF=BE+DF,解題思路:把△ABE繞點A逆時針旋轉度至△AOG,

可使AB與AO重合.由/尸。6=/4。6+/4￡＞。=180°,則知從D、G三點共線，從

而可證aAFG絲(),從而得EF=B￡+Z)凡閱讀以上內容并填空.

(2)類比引申：如圖2,四邊形4BCD中，AB=AD,N8AO=90°,點E、尸分別在邊

BC、CDk,ZEAF=45Q.探究：若NB、NQ都不是直角，當NB、/￡＞滿足什么數

量關系時，仍有EF=BE+DF?

(3)聯想拓展：如圖3,在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點。、E均在邊BC上,

并且/￡＞AE=45°.猜想B。、CE、OE的數量關系，并給出理由.

20.如圖，在矩形ABCD中，E為BC上一點,以。E為邊作矩形OEGF,其中GF經過點

A,連接AE.

(1)如圖1,若AE=A￡),求證：AG=AF；

(2)連接BG.

①如圖2,若BG=AG,CE=\,AF=2,求AO的長；

②如圖3,若AB=AQ,BG=BE,直接寫出逆的值為__________________.

圖2圖3

21.如圖，平面直角坐標系xO)，中，直線y=+3交x軸于點A,交)，軸于點B,點P

4

是線段OA上一動點(不與點A重合)，過點P作尸CLAB于點C.

(I)當點尸是OA中點時，求AAPC的面積；

(2)連接BP,若BP平分NABO,求此時點P的坐標；

(3)設點。是x軸上方的坐標平面內一點，若以點0,B,C,。為頂點的四邊形是菱

形，求點。的坐標及此時0P的長.

(備用圖)

22.如圖，正方形ABC￡>中，E是CQ邊的中點，F是BC邊上一點，ZFAE=ZDAE.

(1)求證：AF=AD+CF；

(2)已知正方形ABCD的邊長為4.

①求AF之長；

②若P是AE上一點，且△￡>￡：「是等腰三角形,則線段EP的長為

23.如圖，在矩形ABC。中，AD=2AB=S,點E是邊A。的中點.連接EC,P、Q分別是

射線A。、EC上的動點，且EQ=&AP.連接BP,PQ.過點B,。分別作P。，BP的

平行線交于點F.

(1)當點P在線段AE上(不包含端點)時，

①求證：四邊形BF。尸是正方形.

②若BC將四邊形BFQP的面積分為1：3兩部分，求AP的長.

(2)如圖2,連接PF,若點C在對角線PF上，求△8FC的面積(直接寫出答案).

24.如圖，在菱形A8CZ)中，NABC=60°,頂點C在直線/上，該菱形可以繞著C點按

順時針方向自由轉動.過該菱形的另外三個頂點8,A,D,分別向直線/作垂線段，垂

足分別為E,F,G,記NBCE=a.

(1)①依據題意補全圖形；

②當a=30°時，猜想三條垂線段BE,AF,QG間的數量關系為.

(2)當0<aV60°時，(1)中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明

理由.

(3)當60°VaV120°時，請你通過探究直接寫出這三條垂線段BE,AF,QG間的數

量關系是.

a

備用圖

25.小明對教材“課題學習”中的“用一張正方形折出一個正八邊形”的問題進行了認真的

探索.已知AC是正方形ABCD的對角線，把NBAC對折，使點B落在AC上,記為點E.再

沿CE的中垂線折疊，得到折痕尸。，如圖1.類似地，折出其余三條折痕GH,〃，K0,

得到八邊形GHIJKOPQ,如圖2.

（1）求證：△CPQ是等腰直角三角形.

（2）若AB=a,求的長.（用含a的代數式表示）

（3）我們把八條邊長相等，八個內角都相等的八邊形叫做正八邊形.請說明八邊形

GHIJKOPQ是正八邊形的理由.

26.已知點A、B分別是x軸、y軸上的動點，點C、。是某個函數圖象上的點，當四邊形

ABCD（A、B、C、。各點依次排列）為正方形時，稱這個正方形為此函數圖象的伴侶正

方形.例如：如圖，正方形A8CC是一次函數y=x+l圖象的其中一個伴侶正方形.

（1）若某函數是一次函數y=x+l,求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長；

（2）若某函數是反比例函數y上（k>0），它的圖象的伴侶正方形為ABC。，點。（2,

x

m）（m<2）在反比例函數圖象上，求m的值及反比例函數解析式.

第（1）題圖第（2）題圖

27.已知反比例函數月=史("2>0,%>0)和”=-工~(xVO),過點尸(0,1)作x軸的

x2x

平行線/與函數)》”的圖象相交于點3,C.

(1)如圖1,若"?=6時，求點B,。的坐標；

(2)如圖2,一次函數”=日-典交/于點D

2

①若k=5,B、C、。三點恰好滿足其中一點為另外兩點連線的中點，求〃?的值；

②過點B作y軸的平行線與函數"的圖象相交于點E.當加值取不大于2的任意實數時,

3

點從C間的距離與點&E間的距離之和d始終是一個定值.求此時k的值及定值0

28.如圖1,在菱形A8C。中，ZB=60°,把一個含60°角的直角三角板和這個菱形擺放

在一起，使三角板60°角的頂點和菱形的頂點4重合,60。角的兩邊分別與菱形的邊BC,

C。交于點E,F.

(1)線段BE,OF與AB三者之間的數量關系為；

(2)請證明(1)中的結論：

(3)如圖2,變換三角板的位置，使60°角的頂點尸在邊AO上，60°角的其中一邊經

過點C,另一邊與邊AB交于點E,那么(1)中得到的結論還成立嗎？若成立，請加以

證明；若不成立，請說明理由.

圖一圖二

29.如圖，矩形A8CQ中，BOAB,E是A。上一點，AABE沿BE折疊,點A恰好落在

線段CE上的點F處.

(1)求證：CF=DE.

(2)設域＞=??.

AD

①若〃?=返，試求NABE的度數：

2

②設處=&,試求用與人滿足的關系.

30.(1)如圖I,將一矩形紙片A8CD沿著E尸折疊，CE交A尸于點G,過點G作G”〃所,

交線段8E于點從

圖1圖2

①判斷EG與是否相等，并說明理由.

②判斷G”是否平分NAGE,并說明理由.

(2)如圖2,如果將(1)中的已知條件改為折疊三角形紙片ABC,其它條件不變.

①判斷EG與EH是否相等，并說明理由.

②判斷GH是否平分/AGE,如果平分，請說明理由；如果不平分，請用等式表示/EGH,

N4G”與NC的數量關系，并說明理由.

八年級下冊期末壓軸題專項練習30題

參考答案與試題解析

一.解答題(共30小題)

1.如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=-2x+6交x軸于點4,交y軸于點8,過點8

的直線交x軸負半軸于點C,且AB=BC.

(1)求點C的坐標及直線BC的函數表達式；

(2)點。(a,2)在直線AB上，點E為y軸上一動點，連接OE.

(i)若NBDE=45°,求的面積；

(ii)在點￡的運動過程中，以。E為邊作正方形。EGF,當點F落在直線BC上時，求

【解答】解：(1)???直線y=-2x+6交x軸于點A,交y軸于點8,

:.A(3,0),B(0,6),

：.OA=3,08=6,

"：AB=BC,

OBVAC,

：.OC=OA=3,

：.C(-3,0),

設直線BC的解析式為y^kx+b,則有［b=6

I-3k+b=0

解得『二2,

Ib=6

直線BC的解析式為y=2x+6.

(2)如圖，取點Q(-l,3),連接BQ,DQ,DQ交AB于E.

'：D(a,2)在直線y=-2x+6上，

.,.2=一2。+6,

??〃=2,

：.D(2,2),

?:B(0,6),

?，?

QB=4QP—^|2+g2=yflO,BD=^

221

：.BD=QB+QDfQB=QD,

：.ZBQD=90°,NBDQ=45°,

?.?直線DQ的解析式為y=-1+昆，

33

：.E(0,&),

3

；.OE=g，8￡：=6-四=也，

333

ASABDE=—x此義2=坨.

233

(3)如圖，過點。作。M_LOA于M,DN上OB于N.

.,.Z￡Z)F=90°,ED=DF,

?：NEDF=NMDN=90°,

NEDN=NDFM,

?：DE=DF,DN=DM,

:ADNE注4DMF(SAS),

；.NDNE=NDMF=90°,EN=FM,

.?.點尸在x軸上，

.??當點尸與C重合時，FM=NE=5,此時E(0,7),

同法可證，點/在直線y=4上運動，當點P'落在8c上時，E(0,-1),

綜上所述，滿足條件的點E的坐標為(0,7)或(0,-1).

2.如圖，在菱形ABCD中，ZABC=\20°,A8=4?,E為對角線AC上的動點(點E不

與A,C重合)，連接BE,將射線EB繞點E逆時針旋轉120°后交射線AO于點尺

(1)如圖1,當AE=AF時，求NAEB的度數；

(2)如圖2,分別過點8,F作EF,BE的平行線，且兩直線相交于點G.

/)試探究四邊形BGFE的形狀，并求出四邊形8GFE的周長的最小值；

//)連接AG,設CE=x,AG=y,請直接寫出y與x之間滿足的關系式，不必寫出求解

【解答】解：(1)如圖1中,

B

E

???四邊形ABC。是菱形，

：.BC//ADfZBAC=ZDACf

：.ZABC+ZBAD=iSO°,

VZABC=\20Q,

：.ZBAD=60°,

：.ZEAF=30°,

?；AE=AF,

AZAEF=ZAFE=J5Q,

VZBEF=120°,

AZAEB=\20a-75°=45°.

(2)i)如圖2中，連接DE.

VAB=AD,/BAE=NDAE,AE=AEf

：.ABAE^ADAE(SAS),

：?BE=DE,NA8E=NAOE,

VZBAF+ZBEF=60°+120°=180°,

AZABE+ZAFE=180°,

VZAFE+ZEFD=1SO°,

?"EFD=NABE,

:?/EFD=/ADE,

:?EF=ED,

：.EF=BE,

■:BE//FG,BG//EF,

???四邊形BEFG是平行四邊形，

?：EB=EF,

???四邊形3EFG是菱形，

???當BEJ_AC時，菱形BEFG的周長最小，此時8E=2A8=2

2

???四邊形BGFE的周長的最小值為8y.

"）如圖2-1中，連接8Q,DE,過點E作E〃_LCQ于"

\*AB=AD,ZBAD=60°,

**./\ABD是等邊三角形，

：.BD=BA,ZABD=60°,

,:BG〃EF,

.\ZEBG=180°-120°=60°,

???NABD=NGBE,

：./ABG=/DBE,

?；BG=BE,

：./\ABG^ADBE(SAS),

：.AG=DE=yf

在RtZ\CE”中，EH=LEC=L.。”=近

222

近r|,

2

在RtADE//中，：DE2=EH2+DH2,

，>2=12+(4^3-2,

42

."=/-12x+48,

Ay=Vx2-12x+48<0<%<12),

3.已知，。ABC。中，ZABC=90°,AB=4cm,BC=Scm,AC的垂直平分線EF分別交

(1)如圖1,連接ARCE.求證：四邊形AFCE為菱形.

(2)如圖1,求AF的長.

(3)如圖2,動點P、Q分別從A、C兩點同時出發，沿△AFB和△C0E各邊勻速運動

一周.即點尸自A-F-BfA停止，點。自C-O-EfC停止，在運動過程中，點尸的

速度為每秒點Q的速度為每秒0.8cm,設運動時間為r秒，若當以A、P、C、Q四

點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求f的值.

【解答】解：(D???四邊形ABC。是矩形，

J.AD//BC,

：.ZCAD=ZACB,ZAEF=ZCFE.

?.?EF垂直平分AC,

：.OA=OC.

在△AOE和△COF中，

'NCAD=NACB

<NAEF=/CFE，

OA=OC

：./\AOE^/\COF(AAS),

：.OE=OF(4AS).

'：OA=OC,

...四邊形AFCE是平行四邊形，

VEFlAC,

...四邊形AFCE為菱形.

(2)設菱形的邊長AF=CF=xc〃?，則BF=(8-x)an,

在RtZ\4B尸中，AB=4cm,由勾股定理，得

16+(8-x)2=/,

解得：x—5,

：.AF=5.

（3）由作圖可以知道，P點AF上時，。點CD上，此時A,C,P,Q四點不可能構成

平行四邊形；

同理P點AB上時，。點。E或CE上，也不能構成平行四邊形.

只有當尸點在B尸上，。點在瓦＞上時，才能構成平行四邊形，

...以A,C,P,。四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，

：.PC=QA,

?.?點P的速度為每秒1cm,點。的速度為每秒0.8c〃?，運動時間為f秒，

:.PC=t,04=12-0.83

；.f=12-0.8r,

解得：

3

...以A,C,P,。四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，『=空秒.

3

圖1

4.如圖1,一次函數的圖象與x軸交于點A（6,0）,與y軸交于點8（0,3）,與

正比例函數）=尤的圖象交于點C.

（1）求一次函數的解析式及點C的坐標；

(2)在y軸上是否存在一點P,使△BCP是等腰三角形，若存在，請直接寫出點P的坐

標，若不存在，請說明理由：

(3)如圖2,過點C作CDLx軸于點。，點E是線段0。上一點，下是y軸正半軸上一

點，且NEC尸=45°,連接EF,求△0EF的面積的最大值.

【解答】解：(1)將點4、B的坐標代入一次函數表達式得］6k+b=0,解得|卜二7,

，b=3b=3

故一次函數表達式為：y--1+3,

2

'_1

則產下+3,解得卜=2,

_1y=2

y-x

故點C(2,2)；

(2)設點尸(0,m),而點8、C的坐標分別為(0,3)、(2,2),

222

則8(5=22+1=5,同理PC2=4+(MI-2),PB=(w-3),

當BC=PC時，則5=4+(wi-2)2,解得：機=1或3(舍去3)；

當BC=PB時，同理可得：加=3±娓；

當尸C=PB時，同理可得：/??=—；

2

故點P的坐標為(0,1)或(0,3+巫)或(0,3-泥)或(0,A)；

2

(3)過點C作CH_Ly軸于點H,

設：OE=m,0F=〃,:點C(2,2),故CH=CD,

將△CHF圍繞點C旋轉90°得到△C￡>H',

則NQC，'=ZHCF,

:.ZECH'=NECD+NDCH'=NHCF+/ECD=90°-NECF=90°-45°=45°=

ZECF,

而CF=CH',CE=CE,

.?.△OEF的面積=4-2?ZiECF的面積，

.?.當△CEF的面積最小時，△EOF的面積最大，

,:S&ECF=S&CEH,=L?CD?EH'=EH'=EF,

2

；.EF最小時，△ECF的面積最小，

?.?當時，EF的值最小(備注)，

.,.2m+y/2pi—4,

解得m=2(2-

故AOE尸的面積的最大值為4-2X(472-4)=12-8&.

備注：設兩直角邊分別為a,h,斜邊為c,

a1+b1—^,

￡+?22ab,

當且僅當a=6時取到最小值，

最小值=2/=°2,

即等腰直角的時候的斜邊才是最小的.

5.已知在RtZkABC中，/AC8=90°,AC=BC,CD_LA8于。.

(1)如圖1,將線段CD繞點C順時針旋轉90°得到CF,連接AF交CD于點G.求證:

4G=GF；

（2）如圖2,點E是線段CB上一點（CE<2CB）.連接EC,將線段EQ繞點E順時針

2

旋轉90°得到EF,連接AF交CQ于點G.

①求證：AG=GF；

②若AC=8C=7,CE=2,求OG的長.

；?NFCD=90°,CF=CD,

VZACB=90°,AC=BC,CO_LA8于。，

:?AD=BD,CF//AD,

：?CD=AD=BD,

：.CF=AD,

又「NAGD=NCGF,

：./\ADG^/\FCG(A4S),

：.AG=GF；

(2)①證明：過點E作交CO于點M,連接M凡

由（1）知。為A3的中點，

???NQCB=45°,CD=AD,

???△CEM為等腰直角三角形,

：.CE=ME,

又,.?NCEM=/￡)EF=90°,DE=EF,

：.4CED=ZMEF,

：./\CED^/\MEF(SAS),

：.CD=MF,ZMEF=ZECD=45°,

：.AD=MF,ZCMF=90°,

又,.,NAQG=90°,

:.NADG=NFMG,

；NMGF=NAGD,

：.AADGQ叢FMG(AAS),

：.AG=GF；

②解：VZACB=90°,AC=BC=1,

,'MB=VAC2+BC2=7^

:.CD=1AB=1&,

22

'：CE=2,CE=ME,

CM=VCE2+ME2=V22+22=2^

：.DM=CD-CM=-^._2/7=2/2,

2*2

又?.?△AQG四△FMG,

；.￡)G=MG=4M=

2

6.矩形ABC。中，AB=6cm,BC=Scmf設運動時間為單位：s).

(1)如圖1,若動點P從矩形ABC。的頂點A出發，沿AfBfC勻速運動到點C,圖2

是點P運動時，△APC的面積S(cm2)隨時間r(秒)變化的函數圖象.

①點P的運動速度是2cmls,m+n=27；

②若PC=2PB,求f的值；

(2)如圖3,若點P,Q,R分別從點4,B,C三點同時出發，沿矩形的邊按逆時針方

向勻速運動，當點Q到達點C(即點。與點C重合)時，三個點隨之停止運動：若點P

運動速度與(1)中相同，且點P,。，R的運動速度的比為2：4：3,是否存在f,使4

P8Q與△QCR相似，若存在，求出所有的f的值；若不存在，請說明理由.

圖1圖2

【解答】解：(1)①觀察圖象2可知，點P從B到C的運動時間為4s,故點P的運動速

度為S=2(cm/s).

4

此時〃=2X6X8=24,

22

?=3+24=27.

故答案為：2,27.

②當點尸在直線AB上，VZB=90°,PC=2PB,

：.ZPCB=30°,

.?.PB=BC?tan30°(cm),

_3

：.PA=(6-色巨)(an),

3

,,r=PA=3_W3.

23

當點P在線段BC時，-工(6+星)=」3,

233

綜上所述，，的值為3-W返或區.

33

(2)I?點P的運動速度為2cm/s,且點尸，Q,R的運動速度的比為2：4：3,

/.點Q的運動速度為4c，〃/s,點R的運動速度為3cMs.

如圖3中，由題意，PB=6-2t,BQ=4t,CQ=8-4f,CR=3t,

①當里="■時，△PBQ與△℃/?相似，

QCCR'

?6-2t—4t

8-4t3t

解得—工，

5

經檢驗，r=工是分式方程的解，且符合題意.

5

②當時，上殳=跑時，△P8Q與△QCR相似，

CRCQ'

>6-2t=4t

3t8-4t

解得尸-5+技或-5-丁市(舍棄)，

經檢驗，f=-5+J而是分式方程的解，且符合題意.

綜上所述，滿足條件的t的值為工或-5+標

5

7.如圖1,一次函數y=fcv-4(ZWO)的圖象與y軸交于點4,與反比例函數y=-工三(x

x

<0)的圖象交于點8(-6,b).

(1)b=2；k=-1；

(2)點C是線段48上一點(不與A,B重合)，過點C且平行于y軸的直線/交該反比

例函數的圖象于點。，連接。C,OD,BD,若四邊形OCB。的面積S四邊形OCBO=24,求

點C的坐標；

(3)將第(2)小題中的△08沿射線AB方向平移一定的距離后，得到△O'CD',

若點。的對應點。‘恰好落在該反比例函數圖象上(如圖2),求此時點D的對應點。，的

坐標.

圖1圖2

【解答】解：（1）將點8的坐標代入y=得，/>=-12=2,

x-6

故點8的坐標為（-6,2）；

將點B的坐標代入一次函數表達式得，2=-6攵-4,解得女=-1,

故一次函數表達式為y=-x-4,

故答案為2,-I；

(2)?點C在直線A8上，故設點C(〃7,-OT-4),則點￡>(〃?，-22),

m

貝S四邊形OCB￡>=SACOB+SACDO=1C￡>X(XO-XB)=2(-X6=24,

22m

解得機=-2或6(舍去6),

故點C(-2,-2)；

（3）由AB的函數表達式知，直線A8與x軸負半軸的夾角為45°,

設△OCC沿射線AB方向向左平移機個單位，則向上平移，"個單位，則點O'（-機，

m）,

將點0’的坐標代入），=-得，機=-」2,解得m=±2A/3（舍去負值），

x-m

故點。’的坐標為（-2-2小§,6+2，"§）.

8.如圖1,平面直角坐標系中，直線y=-m+〃?交x軸于點4（4,0）,交y軸正半軸于

4

點艮

（1）求△AOB的面積；

（2）如圖2,直線4c交y軸負半軸于點C,AB-BC,P為線段AB（不含A,B兩點）

上一點，過點P作y軸的平行線交線段AC于點°,設點P的橫坐標為r,線段P。的長

為d,求”與，之間的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，M為線段CA延長線上一點，且AM=C。，在直線AC上方的直

線上是否存在點M使△QMN是以QM為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請求出

點N的坐標；若不存在，請說明理由.

圖1圖2圖3

【解答】解：(1)：y=-m+加交x軸于點A(4,0),

4

，0=-3x4+",

4

解得"2=3,

工直線AB解析式為尸-m+3,

4

令x=0,y=3,B(0,3)；

?.,A(4,0),B(0,3),

AOA=4,OB=3,

VZACB=90°,

A

SAAOB-|XOAXOB=1X4x3=6：

(2)?；OA=4,OB=3,

A8—卜。A?+0B2=5='C,

：.OC=2,

...點C(0,-2),

設直線AC解析式為〉=依+",

.f4k+n=0

,ln=-2'

??<N,

n=-2

直線AC解析式為>=1-2,

-2

在直線y=-m+3上，

4

可設點P(r,-號+3),

4

：PQ〃y軸，且點Q在y=L-2上,

2

：.d=(-3+3)-(A/-2)=-空/+5(0<r<4)；

424

(3)過點M作MGJ_P。于G,

.?.NQGM=90°=NCOA,

；PQ〃y軸，

：.ZOCA^ZGQM,

"：CQ=AM,

：.AC=QM,

在△Q4C與△GM。中，

，ZA0C=ZMGQ

<ZAC0=ZMQG)

AC=MQ

...△OACHGM。(A4S),

；.QG=0C=2,GM=OA=4,

過點N作NH1.PQ于H,過點M作MRLNH于點R,

：.NMGH=NRHG=ZMRH=90°,

四邊形GaRM是矩形，

；.HR=GM=4,可設G”=RM=?,

?「△MNQ是等腰直角三角形，

1/QNM=90°,NQ=NM,

：.ZHNQ+ZHQN=90°,

N”NQ+/RMW=90°,

:?/RNM=/HQN,

:AHNQ烏/\RMN(A4S),

:?HN=RM=k,NR=QH=2+k,

■:HR=HN+NR,

：.k+2+k=4f

：.k=l,

：.GH=NH=RM=T,

：.HQ=3,

???Q(/,Ar-2),

2

：.N(r+l,Ar-2+3)即N(/+1,Ar+I),

22

???N在直線43：y=-Wr+3上，

4

.,.L+1=—-(r+l)+3,

24

/.t=IT

：.P(1,9)，N(2,3).

42

9.已知點E,F分別是平行四邊形A8C￡＞的邊3C,CD上的點，ZEAF=60°.

(1)如圖1,若AB=2,AF=5,點E與點8,點F與點D分別重合，求平行四邊形A2CD

的面積；

(2)如圖2,若AB=BC,NB=NEAF=60°,求證：AE=AF；

【解答】（1）解：過點2作8HLAO于H,如圖1所示:

在Rt/LAB“中，ZBA