./分?jǐn)?shù)乘法與分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)法[專題解析]我們知道,分?jǐn)?shù)乘法的運(yùn)算是這樣的：分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù),應(yīng)該分子乘分子,分母乘分母〔當(dāng)然能約分的最好先約分在計(jì)算.分?jǐn)?shù)乘法中有許多十分有趣的現(xiàn)象與技巧,它主要通過些運(yùn)算定律、性質(zhì)和一些技巧性的方法,達(dá)到計(jì)算正確而迅速的目的.1、運(yùn)用運(yùn)算定律：這里主要指乘法分配律的應(yīng)用.對(duì)于乘法算式中有因數(shù)可以湊整時(shí),一定要仔細(xì)分析另一個(gè)因數(shù)的特點(diǎn),盡量進(jìn)行變換拆分,從而使用乘法分配律進(jìn)行簡便計(jì)算.2、充分約分：除了把公因數(shù)約簡外,對(duì)于分子、分母中含有的公因式,也可直接約簡為1.進(jìn)行分?jǐn)?shù)的乘法運(yùn)算時(shí),要認(rèn)真審題,仔細(xì)觀察運(yùn)算符號(hào)和數(shù)字特點(diǎn),合理進(jìn)行簡算.需要注意的是參加運(yùn)算的數(shù)必須變形而不變質(zhì),當(dāng)變成符合運(yùn)算定律的形式時(shí),才能使計(jì)算既對(duì)又快.[典型例題]——乘法分配律的妙用例1．計(jì)算：〔1×37〔22004×分析與解：觀察這兩道題的數(shù)字特點(diǎn),第〔1題中的與1只相差1個(gè)分?jǐn)?shù)單位,如果把寫成〔1－的差與37相乘,再運(yùn)用乘法分配律可以使計(jì)算簡便.同樣,第〔2題中可以把整數(shù)2004寫成〔2003+1的和與相乘,再運(yùn)用乘法分配律計(jì)算比較簡便.[舉一反三]計(jì)算：〔1×37〔2×37〔3×56例2．計(jì)算：〔172×〔273×分析與解：〔172把改寫成<72+>,再運(yùn)用乘法分配律計(jì)算比常規(guī)方法計(jì)算要簡便得多.〔273把改寫成<72+>,再運(yùn)用乘法分配律計(jì)算比常規(guī)方法計(jì)算要簡便得多.[舉一反三]計(jì)算：〔120×〔216×〔3×〔464×[小試牛刀]計(jì)算：〔1×37〔2×28[典型例題]——乘法交換律的巧用例3.計(jì)算：〔1×＋×＋×〔2×39+×25+×分析與解：〔1觀察題目的特點(diǎn),分子中都有5,分母中都有27,根據(jù)乘法的交換律,湊出,就可以應(yīng)用乘法分配律使計(jì)算簡便.〔2觀察題目的特點(diǎn),×39可以寫成×13,×可以寫成×,這樣每個(gè)因數(shù)中都含有,就可以運(yùn)用乘法分配律使計(jì)算簡便.[舉一反三]計(jì)算：〔1×＋×〔2×＋×＋×〔3×39+×27〔4×17+×25[典型例題]——有關(guān)小數(shù)、帶分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)乘法的巧算例4.計(jì)算：41×0.75＋51.25×＋×61.2分析與解：先把題中的小數(shù)化成分?jǐn)?shù),再觀察題目的特點(diǎn),41寫成〔40+后可以與應(yīng)用乘法分配律直接就算出了結(jié)果,后兩個(gè)算式同樣可以應(yīng)用這個(gè)方法,從而使計(jì)算簡便.[舉一反三]計(jì)算：〔121.25×＋31.2×＋46.125×〔285×0.375＋71×＋56.25×0.8分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)求和[專題解析]細(xì)心觀察、善于總結(jié)的同學(xué),在學(xué)習(xí)中可能發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)有趣的現(xiàn)象：如果分?jǐn)?shù)的分子是自然數(shù)1,分母是相鄰兩個(gè)自然數(shù)的乘積,那么這個(gè)分?jǐn)?shù)可以寫成兩個(gè)分?jǐn)?shù)差的形式.寫成的兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子是自然數(shù)1,分母分別是相鄰的兩個(gè)自然數(shù).〔這種方法稱為"裂項(xiàng)法"如：＝—；＝—；＝—；＝—；……我們可以利用分?jǐn)?shù)的這一性質(zhì),使看似復(fù)雜的題目簡單化.[典型例題]例1．計(jì)算：+++…++分析與解：這道題如果按照常規(guī)方法先通分再求和,計(jì)算起來很繁雜,甚至難以做到.但是如果巧妙地對(duì)算式變形,就可以使繁雜的計(jì)算簡便.[舉一反三]計(jì)算：〔1+++…++〔2+++…++例2．計(jì)算：+++…+分析與解：上面這道題中的每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是1,但分母并不是兩個(gè)相鄰自然數(shù)的乘積,該怎么辦呢？仔細(xì)觀察這些分?jǐn)?shù)的分母就會(huì)發(fā)現(xiàn)：6＝2×3,12＝3×4,20＝4×5,…,2450＝49×50.這樣,上面算式中分?jǐn)?shù)的分母也可以寫成相鄰兩個(gè)自然數(shù)乘積的形式.[舉一反三]計(jì)算：〔3++++…+〔4+++…++例3.計(jì)算：+++…+分析與解：這道題中每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母都可以寫成不相鄰的兩個(gè)自然數(shù)乘積的形式,分子是這兩個(gè)自然數(shù)的差.這樣每一個(gè)分?jǐn)?shù)也都可以寫成兩個(gè)分?jǐn)?shù)差的形式,寫成的兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子是自然數(shù)1,分母分別是原分?jǐn)?shù)中分母上的兩個(gè)自然數(shù).如：＝—；＝—等等.[舉一反三]計(jì)算：〔5+++…+〔6+++…+例4.計(jì)算：+++…+分析與解：是不是覺得本題和例3有些相似,但又不完全一樣？例3中每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是4〔兩個(gè)自然數(shù)的差,而這道題中每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是1,可以直接將每一個(gè)分?jǐn)?shù)寫成兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減的形式嗎？該怎么計(jì)算呢？這就啟發(fā)我們思考,能否將每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子也變成兩個(gè)自然數(shù)的差呢？利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是完全可以的.所以給原題乘4,為了使原題的值不變,然后再除以4.[舉一反三]計(jì)算：〔7+++…+〔8+++…+例