難點35高考數學重點難點復習：導數的應用問題

利用導數求函數的極大(小)值，求函數在連續區間[。力]上的最大最小值，

或利用求導法解決一些實際應用問題是函數內容的繼續與延伸，這種解決問題的

方法使復雜問題變得簡單化，因而已逐漸成為新高考的又一熱點.本節內容主要

是指導考生對這種方法的應用.

?難點磁場

(★★★★★)已知AxAf+c,且/[/(X)]=^x2+l)

⑴設g(x)4'[7(x)],求g(x)的解析式；

⑵設0(x)=g(x)—X/(X),試問：是否存在實數4,使0(x)在(一8,—1)內為減函

數，且在

(-1,0)內是增函數.

?案例探究

[例1]已知/0￥)=0『+/?」+。矛(。h0)在X=±1時取得極值，且1.

(1)試求常數4、6C的值；

(2)試判斷4±1是函數的極小值還是極大值，并說明理由.

命題意圖：利用一階導數求函數的極大值和極小值的方法是導數在研究函數

性質方面的繼續深入.是導數應用的關鍵知識點，通過對函數極值的判定，可使

學生加深對函數單調性與其導數關系的理解.屬★★★★★級題目.

知識依托：解題的成功要靠正確思路的選擇.本題從逆向思維的角度出發，

根據題設結構進行逆向聯想，合理地實現了問題的轉化，使抽象的問題具體化.

這是解答本題的閃光點.

錯解分析：本題難點是在求導之后，不會應用/'(土1)=0的隱含條件，因而

造成了解決問題的最大思維障礙.

技巧與方法：考查函數/(X)是實數域上的可導函數，可先求導確定可能的極

值，再通過極值點與導數的關系，建立由極值點x=±l所確定的相等關系式，運

用待定系數法求值.

解：(iy,(x)=3ax1+2bx+c

'.'x=±1是函數"r)的極值點，

.*.%=+1是方程(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的兩根.

由根與系數的關系，得M

￡=_1②

3a

又式1)=—1,?*.a+b+c=—1,

③

由①②③解得a=—,h-O,c=—,

22

(2y(x)=1x3—|x,

(x)=5/_=5(X_i)(x+1)

當xV-l或x>l時，f'(x)>0

當一IVxVl時,f'(x)<0

...函數/(X)在(一8,—1)和(l,+8)上是增函數，在(一1,1)上是減函數.

當x=-l時，函數取得極大值式-1)=1,

當X=1時，函數取得極小值式1)=-1.

［例2］在甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠

在河的同側，乙廠位于離河岸40km的8處，乙廠到河岸的垂足。與A相距50

km,兩廠要在此岸邊合建一個供水站C,從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分

別為每千米3a元和5a元，間供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最省？

命題意圖：學習的目的，就是要會實際應用，本題主要是考查學生運用導數

知識解決實際問題的意識，思想方法以及能力.

知識依托：解決實際應用問題關鍵在于建立數學模型和目標函數.把“問題

情景”譯為數學語言，找出問題的主要關系，并把問題的主要關系近似化，形式

化，抽象成數學問題，再劃歸為常規問題，選擇合適的數學方法求解.

錯解分析：本題難點是如何把實際問題中所涉及的兒個變量轉化成函數關系

式.

技巧與方法：根據題設條件作出圖形，分析各已知條件之間的關系，借助圖

形的特征，合理選擇這些條件間的聯系方式，適當選定變化，構造相應的函數關

系.

解法一：根據題意知，只有點C在線段A。上某一適當位置，才能使總運費

最省，設C點距。點xkm,則

"：BD=40,AC=50-x,

：.BC=ylBD2+CD2=>Jx2+402

又設總的水管費用為y元，依題意有：

>-30(5a—x)+5a>Jx2+402(0<x<50)

y'=-3a+/=，令y'=0,解得x=30

VA-2+402

在(0,50)上，y只有一個極值點，根據實際問題的意義，

函數在x=30(km)處取得最小值，此時AC=50—x=20(km)

二供水站建在4、。之間距甲廠20km處，可使水管費用最省.

解法二：設NBCZ)=。，則BC=—,CD=40cot。,(0<^<-),.,MC=50-40cot

sin。2

e

設總的水管費用為A，),依題意，有

f(J)=3a(50—40?cot，)+5a?上

sin。

?，//TjxAr.(5-3cos-sin-(5-3cos0)?(sin0\3-5cos0

.?/(G)=40Q?--------------------------------------------=40a--------——

sin?。sin2^

令/(，)=0,得cos

根據問題的實際意義，當cos時，函數取得最小值，止匕時Sin9=+??.

cote=3,

4

.?.AC=50—40cot〃=20(km),即供水站建在A、。之間距甲廠20km處，可使

水管費用最省.

?錦囊妙計

1月x)在某個區間內可導，若/(x)>0,則於)是增函數；若/'(x)〈0,則/U)

是減函數.

2.求函數的極值點應先求導，然后令曠=0得出全部導數為0的點，(導數為

0的點不一定都是極值點，例如：)=?,當x=0時，導數是0,但非極值點)，導數

為o的點是否是極值點，取決于這個點左、右兩邊的增減性，即兩邊的y的符

號，若改變符號，則該點為極值點；若不改變符號，則非極值點，一個函數的極

值點不一定在導數為o的點處取得，但可得函數的極值點一定導數為0.

3.可導函數的最值可通過他力)內的極值和端點的函數值比較求得，但不可導

函數的極值有時可能在函數不可導的點處取得，因此，一般的連續函數還必須和

導數不存在的點的函數值進行比較，如廠風在x=0處不可導，但它是最小值點.

?殲滅難點訓練

一、選擇題

1.(★★★★)設大方可導，且(0)=0,又則/(0)()

.10X

A.可能不是人X)的極值B.一定是犬犬)的極值

C.一定是人幻的極小值D.等于0

2.(****)設函數f,,(x)=n2x2(1—x)"(n為正整數)，則/“(x)在［0,1］上的最

大值為()

A.OB.1

C.(l一一—)"D.4('一)"i

2+〃n+2

二、填空題

★涵數m)=log“(3x2+5x—2)(a>0且aWl)的單調區間.

4.(★★★★)在半徑為R的圓內，作內接等腰三角形，當底邊上高為

時它的面積最大.

三、解答題

5.(***1^*)設/(x)=af+x恰有三個單調區間，試確定。的取值范圍，并

求其單調區間.

6.(****)設x=l與x=2是函數/(x)=alrLY+bx2+x的兩個極值點.

⑴試確定常數。和匕的值；

(2)試判斷x=l,x=2是函數段)的極大值還是極小值，并說明理由.

7.(*1***_)已知a、6為實數，且。>a>e,其中e為自然對數的底，求證：

ab>ba.

8.(****)設關于x的方程2x?—ax—2=0的兩根為a、函數

“、4x-a

x+1

(1)求人。)?人￡)的值；

(2)證明?x)是［a,￡］上的增函數；

(3)當。為何值時，/(x)在區間［。，￡］上的最大值與最小值之差最小？

［科普美文］新教材中的思維觀點

數學科學具有高度的綜合性、很強的實踐性，不斷的發展性，中學數學新教

材打破原教材的框架體系，新增添了工具性、實踐性很強的知識內容，正是發展

的產物.新教材具有更高的綜合性和靈活多樣性，更具有朝氣與活力，因此，把

握新教材的脈搏，培養深刻嚴謹靈活的數學思維，提高數學素質成為燃眉之需.

新教材提升與增添的內容包括簡易邏輯、平面向量、空間向量、線性規劃、

概率與統計、導數、研究型課題與實習作業等，這使得新教材中的知識內容立體

交叉，聯系更加密切，聯通的渠道更多，并且富含更高的實用性.因此在高考復

習中，要通過總結、編織科學的知識網絡，求得對知識的融會貫通，揭示知識間

的內在聯系.做到以下幾點：

一、深刻領會數學思想方法，把立足點放在提高數學素質上.數學的思想方

法是數學的精髓，只有運用數學思想方法，才能把數學的知識與技能轉化為分析

問題與解決問題的能力，才能形成數學的素質.知識是能力的載體，領悟并逐步

學會運用蘊含在知識發生發展和深化過程中，貫穿在發現問題與解決問題過程中

的數學思想方法，是從根本上提高素質，提高數學科能力的必由之路，只有通過

對數學思想方法的不斷積累，不斷總結經驗，才能從知識型向能力型轉化，不斷

提高學習能力和學習水平.

二、培養用化歸（轉化）思想處理數學問題的意識.數學問題可看作是一系

列的知識形成的一個關系鏈.處理數學問題的實質，就是實現新問題向舊問題的

轉化，復雜問題向簡單問題的轉化，實現未知向已知的轉化。雖然解決問題的過

程不盡相同,但就其思考方式來講，通常將待解決的問題通過一次又一次的轉化,

直至化歸為一類已解決或很容易解決的問題，從而求得原問題的解答.

三、提高用函數方程思想方法分析問題解決問題的能力.函數思想的實質是

拋開所研究對象非數學的特性，用聯系和變化的觀點，建立各變量之間固有的函

數關系.與這種思想相聯系的就是方程的思想，在解決數學問題時，將所求的量

（或與所求的量相關的量）設成未知數，用它來表示問題中的其他各量，根據題

中隱含的等量關系去列方程，以求得問題的解決.

數學思維是科學思維的核心，思維的基石在于邏輯推理，邏輯思維能力是數

學能力的核心，邏輯推理是數學思維的基本方法.

我國著名的數學家華羅庚先生認為，學習有兩個過程：一個是“從薄到厚，

一個是從厚到薄”，前者是“量”的積累，后者是“質”的飛躍.雄關漫道真如鐵,

而今邁步從頭越，只要同學們在學習中不斷積累，不斷探索，不斷創新，定能在

高考中取得驕人戰績！

參考答案

難點磁場

解：⑴由題意得/[/)]=f(x2+c)=(x2+c)2+c

心+1)=(/+1猿+田.>W)]=A?+1)

/.(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,

x2+c=x2+1,C=1

：.f(x)=x2+l,g(x)=f[段)]=^x2+l)=(x2+l)2+l

(2)0(x)=g(x)—^f(x)=x4+(2—4)x，(2—1)

3

若滿足條件的4存在，貝(X)=4X+2(2-A)X

?函數0(x)在(-8,一i)上是減函數，

.?.當xV—1時，O'(x)<0

即41+2(2—1)田<0對于工6(—8,—1)恒成立

2(2—4)>—4x2,

VX<-1,/.-4X2<-4

2(2—4)2—4,解得XW4

又函數0(x)在(一1,0)上是增函數

，當一IVxVO時，4>'(x)>0

2

即4X+2(2-A)X>0對于xe(—1,0)恒成立

2(2—4)V—47,

*/-1<x<Q,：.-4<4X2<0

.*.2(2-4)或-4,解得424

故當4=4時，0(x)在(-8,一1)上是減函數，在(一1,0)上是增函數，即滿足

條件的4存在.

殲滅難點訓練

一、1.解析：由1血￡慢=-1,故存在含有0的區間3份使當xe(Q/MWO時

3。X

△2<0,于是當工￡5,0)時/'(0)>0,當;^(0力)時，/(0)<0,這樣段)在5,0)上

X

單增，在(0力)上單減.

答案：B

2.解析："'f'?(x)=2xn2(1—x)"—n3x2(1—x),"-1x)""[2(1—"x)—,

令/'”(x)=0,得苫1=0,》2=1,%3=二一,易知力i(x)在工=二一時取得最大值，最大值

2+n2+n

加齊)=〃2(4尸(1———)"=4?(J-嚴

答案：D

二、3.解析:函數的定義域是或xV—2f(x)=產/.(3f+5x-2)'

33』+5x-2

=(6x+5)/ogae

"(3x-1)(x4-2)5

①若a>l,則當x>；時，lo及e>0,6x+5>0,(3x-l)(x+2)>0,.\f(x)>0,.,.函

數網在當

+8)上是增函數，x<—2時，/'(x)<0....函數段)在(一8,—2)上是減函數.

②若0<a<l,則當時，/'(了)<0,，/)在(1,+8)上是減函數，當xV

一2時，/(x)>0,.\/(x)在(一8,—2)上是增函數

答案：(-8,-2)

A

4.解析：設圓內接等腰三角形的底邊長為2x,高為

h,那么h=AO+BO=R+《R2—x2，解得//|\\

f=/?(2R—人),于是內接三角形的面積為VI\/_

S=x-h=7(2/?/Z-/J2)-h=7(2/?/I3-/Z4),、一

從而5'=—1(2以3_〃4)-21(2劭3一〃4),

2

=1(2^3_r)T(6RM-4/)=h：(3R-2h)

27(2/?

令S，=。,解得人=孰由于不考慮不存在的情況，所在區間（。曲上列表如下:

3

h（O,|R）-R（；，2R）

2

S'4-0一

S增函數最大值減函數

由此表可知，當X=3R時，等腰三角形面積最大.

2

答案：-R

2

三、5.解：f（x）=3ax2+l

若。>0/。）>0對》￡（-8,+8）恒成立，此時段）只有一個單調區間，矛

若4=0/'（》）=1>0,，X￡（—8,+8）段）也只有一個單調區間，矛盾.

若（x）=3〃（x+i^）?此時八工）恰有三個單調區間.

V3MyP\a\

：.a<0且單調減區間為（一8,一^^）和（^^,+8）,單調增區間為（一

3\a\3\a\

6?解：/(x)=-+2bx+l

x

(1)由極值點的必要條件可知：/⑴4,(2)=0,即。+20+1=0,且晟+4"1=0,解

方程組可得a=——,b=———lor——x2+x

3636

(2?‘(x)=一|『一gx+l,當xd(0,l)時，f(x)V0,當xd(l,2)時，f(x)>0,

當xd(2,+8)時，/(x)<0,故在x=l處函數/)取得極小值J在x=2處函數取得

6

極大值9-21rl2.

33

7.證法?：,”AaAe,?\要證。只要證設/(/?)=blna—

>e),則

f(h)=\n