頂尖名校聯盟2021~2022學年高二上學期期中考試數學（文科）考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2．考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.3．本卷命題范圍：必修5，選修11第一章，第二章.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在等比數列中，若，則（）A. B.3 C.或2 D.4【答案】C【解析】【分析】利用等比數列的性質可得，從而可得答案【詳解】由等比數列的性質有，可得.故選：C2.下列雙曲線中，虛軸長為的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據虛軸長的定義分別求得各雙曲線的虛軸長即可得解.【詳解】對于A，中，虛軸長為，所以A正確；對于B，中，虛軸長為，所以B錯誤；對于C，中，虛軸長為，所以C錯誤；對于D，中，虛軸長為，所以D錯誤；故選：A.3.在中，已知，，，則的面積為（）A. B.或 C. D.【答案】B【解析】【分析】先用余弦定理求得b，然后由三角形面積公式計算．【詳解】因為中，已知，，，所以，由余弦定理得，解得或2，所以的面積或．故選：B.4.已知雙曲線的中心為原點，是雙曲線的一個焦點，是雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的標準方程為（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據F(3,0)是雙曲線的?個焦點設雙曲線的方程為，然后根據漸近線方程得到，解方程得到即可得到雙曲線方程.【詳解】∵雙曲線的中心為原點，F(3,0)是雙曲線的?個焦點，∴設雙曲線方程為，a>0，∵是雙曲線的一條漸近線，∴，解得a2=4，∴雙曲線方程為.故選：D.5.已知m＞0，則“m=3”是“橢圓=1的焦距為4”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】通過討論焦點的位置，得到關于m的方程，求出對應的m的值，根據充分必要條件的定義判斷即可．【詳解】解：∵2c=4，∴c=2，若焦點在x軸上，則c2=m25=4，又m＞0，∴m=3，若焦點在y軸上，則c2=5m2=4，m＞0，∴m=1，故“m=3”是“橢圓的焦距為4”的充分不必要條件，故選：A．【點睛】本題考查了充分必要條件，考查橢圓的定義，是一道基礎題．6.函數的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】湊配出積為定值，然后由基本不等式得最小值．【詳解】因為，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為.故選：A．7.已知橢圓的右焦點為F，點P在橢圓上，若，則點P的橫坐標為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知求得，再由兩點的距離公式和橢圓的標準方程可得選項.【詳解】因為橢圓，所以所以，所以，設，則，又，解得或，而，所以，故選：D.8.已知數列是公差不為零的等差數列，則由下列關系確定的數列也一定是等差數列的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】A中設數列的公差為，求出的表達式，再根據等差數列的定義判斷．BCD中通過特例求出，根據通項公式形式可判斷．【詳解】A．設數列的公差為，由，又由，故數列也一定是等差數列.若，是等差數列，B．，不是等差數列，C．，不是等差數列，D．，不是等差數列，故選：A．9.已知在前n項和為的數列中，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用并項求和法即可求解.【詳解】由，有，則．故選：C10.已知橢圓：和橢圓：的離心率相同，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據離心率相同可得的關系，化簡后可得正確的選項.【詳解】由題意有，可得，有，有，有.故選：C.11.在中，角，，所對的邊分別為，，，若，且，則的面積的最大值為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由以及，結合二倍角的正切公式，可得，根據三角形的內角的范圍可得，由余弦定理以及基本不等式可得，再根據面積公式可得答案.【詳解】因為，且，所以，所以，則.由于為定值，由余弦定理得，即.根據基本不等式得，即，當且僅當時，等號成立.所以.故選：A【點睛】本題考查了二倍角的正切公式，考查了余弦定理，考查了基本不等式，考查了三角形的面積公式，屬于中檔題.12.已知直線與拋物線交于兩點，過分別作的垂線與軸交于兩點，若，則A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】∵直線的方程為∴直線的傾斜角為∵直線與拋物線交于兩點，過分別作的垂線與軸交于兩點，且∴設，聯立，得由得∴，∴，即∴故選D【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關系，拋物線的定義及簡單的性質，本題利用直線的傾斜角結合圖形推導出線段的幾何關系，再聯立方程組，利用韋達定理及弦長公式即可求出參數,因此根據題意畫出正確的圖形是解題的關鍵.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.以雙曲線的左頂點為焦點的拋物線的標準方程為________．【答案】【解析】【分析】首先求雙曲線的左頂點坐標，再求拋物線的標準方程.【詳解】由題意知雙曲線的左頂點為，則拋物線方程設為，由條件可知，所以拋物線方程為.故答案為：.14.若滿足約束條件，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】作出可行域，作出目標函數對應直線，平移該直線可得最優解．【詳解】作出可行域，如圖內部（含邊界），作直線，由得，由得，是直線的縱截距的相反數，向上平移時，減小，∴向上平移直線，減小，當過時，．故答案為：．15.過拋物線的焦點的直線交拋物線于點在點的上方，若，則直線的斜率為__________.【答案】【解析】【分析】如圖所示，設在準線上的射影分別為交拋物線的準線于點，設，求出即得解.【詳解】如圖所示，設在準線上的射影分別為交拋物線的準線于點，設，則，解得，又，故直線的斜率為.故答案為：【點睛】方法點睛：類似這種直線和拋物線相交的計算問題，要注意以下知識的綜合應用：（1）拋物線的定義；（2）平面幾何的相似；（3）直角三角函數.16.已知遞增的等差數列滿足，，則______.【答案】【解析】【分析】先設等差數列的公差為，根據題中條件，求出公差，得到通項公式，進而可求出結果.【詳解】設等差數列的公差為，由，得，解得，則.所以故答案為【點睛】本題主要考查等差數列，熟記等差數列的通項公式與求和公式即可，屬于常考題型.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.已知的內角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，如圖，為線段上一點，且，求的長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理將化為，結合，化簡整理可得，從而可求出，進而可求出角的值；（2）在中利用余弦定理可求出，從而可得，則有，而，所以【詳解】解：（1）根據正弦定理得，整理得因為，所以，又，可得（2）在中，由余弦定理得：將（1）中所求代入整理得：，解得或(舍)，即在中，可知，有，因為，所以.18.已知正項等比數列的前項和為.（1）求數列的通項公式；（2）令，記數列的前項和為，求的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【解析】【分析】（1）已知條件用和公比表示后解得，得通項公式；（2）由（1）求得，由求得最大時的值，再計算出最大的．【詳解】解：（1）設數列的公比為，由，有①，又由，有，得②，①②有，解得或(舍去)，由，可求得，有，故數列的通項公式為；（2），若，可得，可得當且時；當且時，故最大，又由，可得，故的最大值為.【點睛】思路點睛：本題考查求等比數列通項公式，求等差數列前項和最大值，求等差數列前項和的最大值方法：數列是等差數列，前項和為，（1）求出前項和的表達式，利用二次函數的性質求得最大值；（2）解不等式，不等式的解集中最大的整數就是使得最大的值，由此可計算出最大的（注意0時，）．19.已知，且，：函數在區間上是減函數；：方程表示離心率大于2的雙曲線．如果“”為假，“"為真，求的取值范圍．【答案】【解析】【分析】先求出和為真時的的取值范圍，再結合題意可得和一真一假，進而求解.【詳解】若為真，則對稱軸，即，又，則．若為真，則，即．因為“”為假，“”為真，所以和一真一假．若真假，則，得；若真假，則，得．綜上所述，的取值范圍是．20.已知拋物線的焦點為，過且傾斜角為的直線與拋物線相交于，兩點，且線段被直線平分.（1）求的值；（2）直線是拋物線的切線，為切點，且，求以為圓心且與相切的圓的標準方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設，，結合平分及，得可得結果；（2）設直線的方程為，代入，得，根據判別式為零求出圓心坐標，利用點到直線距離公式求出圓的半徑，從而可得圓的標準方程.小問1詳解】由題意可知，設，，則.由，得，∴，即.【小問2詳解】設直線的方程為，代入，得，∵為拋物線的切線，∴，解得，∴.∵到直接的距離，∴所求圓的標準方程為.21.已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F2，以F1F2為直徑的圓與直線ax＋2by－ab＝0相切．（1）求橢圓C的離心率；（2）如圖，過F1作直線l與橢圓分別交于P，Q兩點，若△PQF2的周長為4，求的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據直線與圓相切建立等式即可求得離心率；（2）聯立直線和橢圓，結合韋達定理得出＝求出范圍，結合斜率不存在的情況求解最值.【詳解】(1)由題意知，即3a2b2＝c2(a2＋4b2)＝(a2－b2)(a2＋4b2)．化簡得a2＝2b2，所以；(2)因為△PQF2的周長為，所以4a＝，得a＝，由(1)知b2＝1，所以橢圓C方程為＋y2＝1，且焦點F1(－1，0)，F2(1，0)，①若直線l的斜率不存在，則直線l⊥x軸，直線方程為x＝－1，P，Q，故②若直線l的斜率存在，設直線l的方程為y＝k(x＋1)，由，消去y并整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝，＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(k2＋1)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝(k2＋1)＋(k2－1)＋k2＋1＝，由k2＞0可得∈.綜上所述，∈，所以的最大值是.【點睛】此題考查求橢圓離心率和方程，根據直線與橢圓位置關系，結合韋達定理求解范圍問題，易錯點在于漏掉討論斜率不存在的情況.22.已知正項等比數列的前項和為，首項，且，正項數列滿足，.（1）求數列，的通項公式；（2）記，是否存在正整數，使得對任意正整數，恒成立？若存在，求正整數的最小值，若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）先設等比數列的公比為，根據題中條件，求出公比，即可得出的通項公式；再由累乘法求出，根據題中條件求出，代入驗證，即可得出的通項公