中考數學二輪圓的綜合專項培優含詳細答案

一、圓的綜合

1.如圖，在0。中，AB為直徑，0C_LA8,弦CD與。B交于點F,在A8的延長線上有點

E,且￡F=ED.

（1）求證：DE是。。的切線；

（2）若tanA=1，探究線段A8和BE之間的數量關系，并證明；

（3）在（2）的條件下，若OF=1,求圓。的半徑.

【答案】（1）答案見解析；（2）AB=3BE；（3）3.

【解析】

試題分析：（1）先判斷出NOCF+NCFO=90。，再判斷出NOCF=NOOF,即可得出結論；

（2）先判斷出NBDE=NA,進而得出△EBD"△EDA,得出AE=2DE,DE=2BE,即可得出結

論；

3

（3）設8E=x，則DE=￡F=2x,AB=3x,半徑OD=-x,進而得出OE=l+2x,最后用勾股定理

2

即可得出結論.

試題解析：（1）證明：連結。D,如圖.,?,EF=ED,二NEFD=NEDF.??,NEFD=NCF。，

ZCFO=ZEDF.'：OC±OF,：.ZOCF+ZCFO=90°.；OC=OD,：.ZOCF=ZODF,

ZODC+ZEDF=9O°,即NODE=90。，ODrDE.,點。在0。上，，DE是0。的切線;

(2)線段A3、8E之間的數量關系為：AB=3BE.證明如下：

TAB為。。直徑，ZADB=90°,：.ZADO=^BDE.'：OA=OD,Z.ADO=ZA,

DEBEBD

：.ZBDE=NA,而NBED=NDEA,二△EBD-△EDA,：.'：RtAABD

~AE~~DE~~\D

BD1DEBE\

中,tan>4=------=—

AD2~AE^~DE~2

AE=2DE,DE=2BE,：.AE=4BE,：.AB=3BE；

3

(3)設BE=x,則。E=EF=2x,A8=3x,半徑OD=—x.；OF=1,OE=l+2x.

2

3,2人一

在RtAODE中，由勾股定理可得：（一x）2+（2x）2=（l+2x）2,x=-----(舍)或x=2,

2

圓。的半徑為3.

點睛：本題是圓的綜合題，主要考查了切線的判定和性質，等腰三角形的性質，銳角三角

函數，相似三角形的判定和性質，勾股定理，判斷出△EBD”△EDA是解答本題的關鍵.

2.已知AB,CD都是。。的直徑，連接DB,過點C的切線交DB的延長線于點E.

(1)如圖1,求證：，AOD+2/E=180';

(2)如圖2,過點A作AF_LEC交EC的延長線于點F,過點D作DG_LAB,垂足為點

G,求證：DG=CF；

⑶如圖3,在⑵的條件下，當四=』時，在。0外取一點H,連接CH、DH分別交

OO于點M、N,且NHDE=NHCE,點P在HD的延長線上，連接P0并延長交CM于

點Q，若PD=11，DN=14,MQ=OB,求線段HM的長.

【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)86+7

【解析】

【分析】

(1)由ND+NE=90",可得2ND+2N￡=180°,只要證明NAOD=2AD即可；

(2)如圖2中，作。RJLAF于R.只要證明4A。的AOOG即可；

(3)如圖3中，連接BC、OM,ON、CN,作8兀LCL于T,作NKLCH于K,設CH交DE

于W.解直角三角形分別求出KM,即可；

【詳解】

(1)證明：如圖1中，

■E

與CE相切于點C,

.-.OC1CE,

二NOCE=90°，

.?./D+"=90°，

2/D+2/E=180'，

?.?/AOD=/COB,40c=2",NAOD=2",

.?./AOD+2/E=180°.

（2）證明：如圖2中，作ORJ_AF于R.

NOCF=々=/ORF=90，

四邊形OCFR是矩形，

.-.AF//CD,CF=OR,

.?./A=/AOD,

在AAOR和NDDG中，

?.?/A=/AOD,NARO=/OGD=90°，OA=DO,

.-.△AORAODG.

OR=EXj,

EX3=CF，

（3）解：如圖3中，連接BC、OM、ON、CN,作BT_LCL于T,作NK_LCH于K,設CH

交DE于W.

設DG=3m,則CF=3m,CE=4m,

NOCF=4=/BTE=90，

.-.AF//OC//BT,

?.OA=OB,

CT=CF=3m,

;.ET=m，

?：CD為直徑，

/CBD=NCND=90=NCBE，

NE=90-NEBT=/CBT，

tanZ^E=tan/CBT,

,_B_T—_C_T

,ET-BT'

.BT_3m

一就

BT=gm（負根已經舍棄），

.Gmrz

..tanN^E-------=yJ3，

m

/./E=60。，

?.?/CWD=^HDE+^H,^HDE=^HCE,

=60，

/./MON=2/HCN=60°，

?.OM=ON,

.?.△OMN是等邊三角形，

.-.MN=ON,

?.QM=OB=OM,

.?./MOQ=/MQO,

NMOQ+/PON=180-/MON=120°,NMQO+—P=180,-NH=120°,

.?./ON=4,

.?.ON=NP=14+11=25,

...CD=2ON=50,MN=ON=25,

在Rt^CDN中，CN=VCD2-DN2=A/502-142=48，

CN48r-

在RSCHN中，tan/H=J=上=G，

HNHN

HN=16G，

在Rt^KNE中，KH=-HN=8>/3,NK=—HN=24,

22

在RSNMK中，MK=7MN2-NK2=7252-242=7>

HM=HK+MK=8A/3+7.

【點睛】

本題考查圓綜合題、全等三角形的判定和性質、平行線的性質、勾股定理、等邊三角形的

判定和性質、銳角三角函數等知識，添加常用輔助線，構造全等三角形或直角三角形解題

的關鍵.

3.如圖，CD為。。的直徑，點8在。。上，連接8C、BD,過點8的切線AE與8的延長

線交于點4ZAEO=ZC,0E交8c于點F.

（1）求證：OEW8。；

2

（2）當。。的半徑為5,sinNDBA=g時，求EF的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）EF的長為一

2

【解析】

試題分析：（1）連接0B,利用已知條件和切線的性質證明；

（2）根據銳角三角函數和相似三角形的性質，直接求解即可.

試題解析：（1）連接。B,「c。為。。的直徑，ZCBD=ZCBO+ZOBD=90°.

.?AE是。。的切線，,ZABO=ZABD+ZOBD=90°,二ZABD^ZCBO.

OB,OC是。。的半徑，.-.OB=OC.：.ZC=ZCBO.ZC=ZABD.

,,,NE=NC,；./E=/ARD./.OEWBD.

2BD2

（2）由（1）可得sinNC=NDBA=二，在RtA中,sinNC=而=《,OC=5,

BD="/CBD=NEBO=90。

-：NE=NC,△CBD-△EBO.

BDCD

~BO~~EO

--￡0=f

,/OEWBD,CO=ODf

CF=FB.

OF==BD=2.

2

EF=0E-0F=4

2

4.如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧（A3）.

（1）用直尺和圓規作出所在圓的圓心°；（要求保留作圖痕跡，不寫作法）

⑵若A8的中點C到弦AB的距離為20機，AB=80m,求A8所在圓的半徑?

【答案】⑴見解析；（2）50m

【解析】

分析：0）連結AC、BC,分別作AC和BC的垂直平分線，兩垂直平分線的交點為點O,如

圖1;

（2）連接OA,OC,OC交AB于D,如圖2,根據垂徑定理的推論，由C為AB的中點得

到OC_LAB,AD=BD=-AB=40,則CD=20,設。0的半徑為r,在Rt?）AD

2

中利用勾股定理得到E=（r-20產+402,然后解方程即可.

詳解：（1）如圖1,

圖1

點。為所求：

（2）連接0AOC,OC交AB于D,如圖2,

圖工.

為AB的中點，

0C1AB,

：.AD=BD=-AB=40,

2

設0。的半徑為r,則。4=r,OD=OD—CD=r-必

在R/ACM中，?.?QA2=O2+A2

。￡)￡)

r2=(r-20)2+402,解得r=50,

即48所在圓的半徑是50m.

點睛：本題考查了垂徑定理及勾股定理的應用，在利用數學知識解決實際問題時，要善于

把實際問題與數學中的理論知識聯系起來，能將生活中的問題抽象為數學問題.

5.如圖所示，以R3ABC的直角邊AB為直徑作圓O,與斜邊交于點D,E為BC邊上的中

點，連接DE.

(1)求證：DE是O。的切線；

(2)，連接0E,AE,當NCAB為何值時，四邊形AOED是平行四邊形？并在此條件下求

sinzCAE的值.

【答案】⑴見解析;⑵巫.

10

【解析】

分析：(1)要證DE是。。的切線，必須證ED_LOD,即NEDB+NODB=90。

(2)要證AOED是平行四邊形，則DEUAB,D為AC中點，又BD_LAC,所以△ABC為等

腰直角三角形，所以NCAB=45。，再由正弦的概念求解即可.

詳解：(1)證明：連接0、D與B、D兩點，

△BDC是RtA,且E為BC中點，

ZEDB=ZEBD.(2分)

又OD=OB且NEBD+ZDBO=90",

ZEDB+ZODB=90°.

DE是。。的切線.

(2)解：ZEDO=ZB=90°,

若要四邊形AOED是平行四邊形，則DEIIAB,D為AC中點,

又；BD_LAC,

…ABC為等腰直角三角形.

ZOAB=45°.

過E作EHXAC于H,

設BC=2k,貝ljEH="k,AE=J^k,

2

點睛：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心

和這點(即為半徑)，再證垂直即可.

6.如圖.在△ABC中，NC=90°,AC^BC,A8=30cm,點P在A8上，AP=10cm,點E從點P

出發沿線段PA以2cm/s的速度向點A運動，同時點F從點P出發沿線段PB以lcm/s的速

度向點8運動，點E到達點A后立刻以原速度沿線段A8向點B運動，在點E、F運動過程

中，以EF為邊作正方形EFGH,使它與△ABC在線段A8的同側，設點￡、F運動的時間為t

(s)(0<f<20).

(1)當點“落在AC邊上時，求t的值；

(2)設正方形EFG”與△A8C重疊部分的面積為5.①試求5關于t的函數表達式；②以

點C為圓心，為半徑作。c,當OC與GH所在的直線相切時，求此時S的值.

2

9/？(0<2)<

7

【答案】(1)t=2s或10s；(2)(l)s=?--Z2+50?-50(2<Z<10)；②100cm2.

t2-4QMJ-400720)<t<

【解析】

試題分析：(1)如圖1中，當0VK5時，由題意AE=EH=EF,即10-2t=3t,t=2；如圖2

中，當5Vt<20時，AE=HE,2t-10=10-(2t-10)+t,t=10；

(2)分四種切線討論a、如圖3中，當。〈仁2時，重疊部分是正方形EFGH,S=(3t)

2=9巴b、如圖4中，當2cts5時，重疊部分是五邊形EFGMMc、如圖5中，當5<t<

10時，重疊部分是五邊形EFGMN.d、如圖6中，當10<t<20時，重疊部分是正方形

EFGH.分別計算即可；

②分兩種情形分別列出方程即可解決問題.

試題解析：解:(1)如圖1中，當0<仁5時,由題意得：AE=EH=EF,即10-2t=3t,t=2

圖1

如圖2中,當5Vt<20時,AE=HE,2t-10=10-(2t-10)+t,t=W.

綜上所述：t=2s或10s時，點H落在AC邊上.

圖2

(2)①如圖3中，當0<仁2時，重疊部分是正方形EFGH,5=(3t)2=9t2

c

圖3

如圖4中，當2Vt45時，重疊部分是五邊形斤GMM5=(3t)2--(5t-10)2=-

-t2+S0t-S0.

2

圖4

如圖5中，當5Vt<10時，重疊部分是五邊形EFGMN,5=(20-t)2--(30-3t)2=-

7,

-F+50t-50.

2

圖5

如圖6中，當10Vt<20時，重疊部分是正方形EFGH,S=(20-t)^t2-40t+400.

c

]30

②如圖7中，當0<t45時，-t+3t=15,解得：t=一，此時5=100<:w，當5<t<20時,

27

-t+20-t=15,解得：t=10,此時S=100.

2

綜上所述：當。C與G/■/所在的直線相切時，求此時S的值為100cm2

點睛：本題考查了圓綜合題、正方形的性質、等腰直角三角形的性質、切線的性質等知

識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，注意不

能漏解，屬于中考壓軸題.

7.已知：如圖1,ZACG=90。，AC=2,點B為CG邊上的一個動點，連接AB,將△ACB沿

AB邊所在的直線翻折得到AADB,過點D作DFXCG于點F.

(1)當BC=2叵時，判斷直線FD與以AB為直徑的00的位置關系，并加以證明；

3

(2)如圖2,點B在CG上向點C運動，直線FD與以AB為直徑的00交于D、H兩點，

連接AH,當NCAB=ZBAD=ZDAH時，求BC的長.

G.

【答案】(1)直線FD與以AB為直徑的。0相切，理由見解析；⑵20一2.

【解析】

試題分析：(1)根據已知及切線的判定證明得，直線FD與以AB為直徑的。0相切:

(2)根據圓內接四邊形的性質及直角三角形的性質進行分析，從而求得BC的長.

試題解析：

(1)判斷：直線FD與以AB為直徑的O0相切.

證明：如圖，

作以AB為直徑的

△ADB是將△ACB沿AB邊所在的直線翻折得到的，

「?△ADBM△ACB,

ZADB=ZACB=90°.

TO為AB的中點，連接DO,

OD=OB=—AB,

2

「?點D在。0上.

在RtZkACB中，BC二冬些AC=2；

_3

/.tanzCAB=—=^,

AC3

/.ZCAB=ZBAD=30°,

/.ZABC=ZABD=60°,

「.△BOD是等邊三角形.

ZBOD=60°.

ZABC=ZBOD,

???FCIIDO.

?/DF±CG,

「?ZODF=ZBFD=90°,

OD±FD,

FD為。。的切線.

(2)延長AD交CG于點E,

同(1)中的方法，可證點C在。。上；

四邊形ADBC是圓內接四邊形.

ZFBD=Z1+Z2.

同理NFDB=Z2+Z3.

Z1=Z2=Z3,

ZFBD=ZFDB,

又NDFB=90°.

EC=AC=2.

設BC=x,則BD=BC=x,

ZEDB=90",

EB=

?/EB+BC=EC,

.5/^X+X=2,

解得x=2-2,

BC=2&-2.

8.解決問題：

(1)如圖①，半徑為4的外有一點P,且P0=7,點A在。。上，則PA的最大值和

最小值分別是和.

(2)如圖②，扇形AOB的半徑為4,—AQB=45°，P為弧AB上一點，分別在0A邊找

點E,在0B邊上找一點F,使得AFEV周長的最小，請在圖②中確定點E、F的位置并直

接寫出周長的最小值；

拓展應用

（3）如圖③，正方形ABCD的邊長為4正；E是CD上一點（不與D、C重合），

C尸_LBE于F,P在BE上，且PF=CF,M、N分別是AB、AC上動點，求△上〃汽周長

的最小值.

圖①圖③

【答案】⑴11,3；（2）圖見解析，APEE周長最小值為4夜；（3）4y/10-4y/2.

【解析】

【分析】

（1）根據圓外一點P到這個圓上所有點的距離中，最遠是和最近的點是過圓心和該點的直

線與圓的交點，容易求出最大值與最小值分別為11和3；

（2）作點P關于直線0A的對稱點耳，作點P關于直線0B的對稱點鳥，連接耳、P2,與

OA、0B分別交于點E、F,點E、F即為所求，此時/周長最小，然后根據等腰直角

三角形求解即可；

（3）類似（2）題作對稱點，AP/WN周長最小=64,然后由三角形相似和勾股定理求解.

【詳解】

解：（1）如圖①，?.?圓外一點P到這個圓上所有點的距離中，最大距離是和最小距離都在

過圓心的直線0P上，

此直線與圓有兩個交點，圓外一點與這兩個交點的距離個分別最大距離和最小距離.

.??PA的最大值=尸4=尸。+04=7+4=11,

PA的最小值=尸4=尸。一=7-4=3,

故答案為11和3；

（2）如圖②，以。為圓心，0A為半徑，畫弧AB和弧BD,作點P關于直線OA的對稱點

片，作點P關于直線0B的對稱點鳥，連接片、P2,與OA、0B分別交于點E、F,點E、

F即為所求.

連接。《、。鳥、OP、PE、PF,

由對稱知識可知，ZAOPy=^AOP,NBOP^NBOP,PE=^E,PF=P2F

NAOq+NBOg=NAOP+/6OP=NAO5=45°,

C=45。+45°=9（）,

.?.△1。舄為等腰直角三角形,

3=血(用=46,

△PEF周長=PE+PF+EF=<E+RF+EF=《鳥4近，此時.PEF周長最小.

故答案為4c；

(3)作點P關于直線AB的對稱A，連接人6、BA，作點P關于直線AC的對稱鳥，

連接4、P”與AB、AC分別交于點M、N.如圖③

由對稱知識可知，PM=P}M,PN=P1N,APMN周長

=PM+PN+MN=PMP?N+MN=PR,

此時，APM/V周長最小=46?

由對稱性可知，^BAPi=ZBAP,NEAPyNEAP,AP^AP=AP2,

ZBAPX+ZEAP2=ZBAP+^EAP=/BAC=45°

QA6=45°+45。=90,

.?.△《A鳥為等腰直角三角形，

.?.△PMN周長最小值片g=CAP,當AP最短時，周長最小.

連接DF.

vCF±BE,且PF=C廠，

PC質

/.ZPCF=45°.—=V2

?.?/AC￡>=45*，

:.NPCF=NACD,NPCA=/FCD,

又告S

ACPC

..在AAPC與AOFC中，——=——，NPCA=NFCD

CDCF

.'.^APC-ADFC，

DFCD

AP=6DF

-.?NBFC=90，取AB中點0.

???點F在以BC為直徑的圓上運動，當D、F、0三點在同一直線上時，DF最短.

DF=DO—FO=y]0C2+CD2-OC=?2互+(4臥-242=2M-20，

AP最小值為AP=y/2DF

,此時，APMN周長最小值

PR=4iAP=C.垃DF=&O(2M_2吟=4屈.

【點睛】

本題考查圓以及正方形的性質，運用圓的對稱性和正方形的對稱性是解答本題的關鍵.

9.如圖1,四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上一點，點F在射線CM上,NAEF=90。,

AE=EF,過點F作射線BC的垂線，垂足為H,連接AC.

⑴試判斷BE與FH的數量關系，并說明理由；

(2)求證：ZACF=90°；

⑶連接AF,過A,E,F三點作圓，如圖2.若EC=4,NCEF=15。，求建的長.

圖1圖2

【答案】(1)BE="FH"；理由見解析

(2)證明見解析

(3)於2n

【解析】

試題分析：(1)由AABE"△EHF(SAS)即可得到BE=FH

(2)由(1)可知AB=EH,而BC=AB,FH=EB,從而可知△FHC是等腰直角三角形，ZFCH

為45°,而NACB也為45°,從而可證明

(3)由已知可知NEAC=30°,AF是直徑，設圓心為0,連接E0,過點E作ENJLAC于點N,

則可得△ECN為等腰直角三角形，從而可得EN的長，進而可得AE的長，得到半徑，得到

蔡所對圓心角的度數，從而求得弧長

試題解析：(1)BE=FH.理由如下：

四邊形ABCD是正方形Z6=90°,

,JFHJLBCZFHE=90°

又；ZAEF=90°ZAEB+ZHEF="900"且NBAE+ZAEB=90°

ZHEF=ZBAEZAEB=ZEFH又：AE=EF

△ABE鯉△EHF(SAS)

BE=FH

(2)-.,△ABE合△EHF

BC=EH,BE=FH文:BE+EC=EC+CH二BE="CH"

CH=FH

ZFCH=45HZFCM=45°

「AC是正方形對角線，J.NACD=45。

ZACF=ZFCM+ZACD=90"

(3)；AE=EF,J.△AEF是等腰直角三角形

△AEF外接圓的圓心在斜邊AF的中點上.設該中點為0.連結E。得NAOE=90。

過E作EN_LAC于點N

RtAENC中，EC=4,NECA=45°,EN=NC=271

RtAENA中，EN=2^2

丈：乙EAF=45°ZCAF=ZCEF=15°(等弧對等角)

ZEAC=30"

AE=4&

RtAAFE中,AE=40=EF,/.AF=8

AE所在的圓。半徑為4,其所對的圓心角為NAOE=90°

癥=2TV4(90O4-360°)=2n

考點：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圓周角定理；4、三角函數

10.如圖，已知AB是。O的直徑，P是BA延長線上一點，PC切。。于點C,CD_LAB,垂

足為D.

(1)求證：ZPCA=NABC；

(2)過點A作AE1IPC交。。于點E,交CD于點F,交BC于點M,若NCAB=2NB,CF

=也,求陰影部分的面積.

【答案】（1）詳見解析；（2）°兀-3?

4

【解析】

【分析】

（I）如圖，連接OC,利用圓的切線的性質和直徑對應的圓周角是直角可得

ZPCA=ZOCB,利用等量代換可得NPCA=ZABC.

（2）先求出△OCA是等邊三角形，在利用三角形的等邊對等角定理求出FA=FC和CF=FM,

然后分別求出AM、AC、MO、CD的值，分別求出S^E、S扇形形、SMBM的值，利用

S陰影部分=S&40E+S扇形80E-S&48M，然后通過計算即可解答.

【詳解】

解：（1）證明：連接OC,如圖，

；PC切。0于點C,OC±PC,

?.ZPCA+ZACO=902,

,-ABMOO的直徑，，ZACB=ZACO+OCB=90°

ZPCA=ZOCB,

OC=OB,.,.ZOBC=ZOCB,

ZPCA=NABC；

(2)連接OE,如圖，

AACB中,ZACB=909,ZCAB=2ZB,

ZB=305,ZCAB=609,.-.AOCA是等邊三角形,

,/CD±AB,.,.ZACD+ZCAD=NCAD+zABC=90。,

ZACD=ZB=30。，

,/PCIIAE,.,.ZPCA=ZCAE=305,/.FC=FA,

同理，CF=FM「.AM=2CF=26，

RtAACM中，AC=2V3x—=3=OC,

2

ZB=ZCAE=30”.ZAOC=NCOE=60。,

ZEOB=602r-.ZEAB=ZABC=30%，MA=MB,

連接OM,EG_LAB交AB于G點，如圖所示，

OA=OB,/.MO-LAB,.,.MO=OAxtan30*=6,

ACDOSAEDO（AAS）,

EG=CD=ACxsin605=-x/3,

2

：?S^BM=^ABxMO=3y[3,

同樣，易求等，

60^-x32?>7i

扇形BOE3602

.e_c.c_c9733/r/r6兀-3下）

一◎陰影部分一十。扇形BOE2MBM=——+-------73=----------------

424

【點睛】

本題考查了切線的性質、解直角三角形、扇形面積和識圖的能力，綜合性較強，有一定難

度，熟練掌握定理并準確識圖是解題的關鍵.

11.如圖1,等腰直角△ABC中，ZACB=90",AC=BC,過點A,C的圓交AB于點D,交BC

于點E,連結DE

（1）若AD=7,BD=1,分別求DE,CE的長

（2）如圖2,連結CD,若CE=3,AACD的面積為10,求tanNBCD

（3）如圖3,在圓上取點P使得NPCD=NBCD（點P與點E不重合），連結PD,且點D

是&CPF的內心

①請你畫出ACPF,說明畫圖過程并求NCDF的度數

②設PC=a,PF=b,PD=c,若（a-J^c）（b-及c）=8,求△CPF的內切圓半徑長.

圖1圖2圖3

【答案】(1)DE=1,CE=3&；(2)tanzBCD=-；(3)①135°；②2.

【解析】

【分析】

(1)由A、C、E、D四點共圓對角互補為突破口求解；

(2)找NBDF與NODA為對頂角，在。。中，ZC0D=2ZCAD,證明△OCD為等腰直角三

角形,從而得到NEDC+ZODA=45°,即可證明NCDF=135°；

(3)過點D做。HJ.CB于點H,以D為圓心，DH為半徑畫圓，過點P做。。切線PF

交CB的延長線于點F,結合圓周角定理得出NCPD=ZCAD=45。，再根據圓的內心是三角形

三個內角角平分線的交點，得出NCPF=90。，然后根據角平分線性質得出

ZDCF+ZCFD=-ZPCF+-ZPFC=45°,最后再根據三角形內角和定理即可求

22

解；證明NDCF+NCFD=45。，從而證明NCPF是直角，再求證四邊形PKDN是正方形，最后

以△PCF面積不變性建立等量關系，結合已知(a-0c)(b-0c)=8,消去字母a,b求

出c值，即求出ACPF的內切圓半徑長為-c.

【詳解】

(1)由圖可知:

設BC=x.在RSABC中，AC=BC.由勾股定理得:

AC2+BC2=AB2,

；AB=AD+BD,AD=7,BD=1,

X2+X2=82,

解得：x=4>/2.

OO內接四邊形,ZACD=90°,

ZADE=90°,

/.ZEDB=90°,

??,ZB=45°,

??.△BDE是等腰直角三形.

DE=DB,

又「DB=1,

DE=1,

又=CE=BC-BE,

CE=4虛-&=30?

(2)如圖所示：

圖2

在△DCB中過點D作DM_LBE,設BE=y,則DM='y,

2

又CE=3,BC=3+y,

SAACB=SACD+SDCB,

「?—x4\/2x472=10+—x(3+y)x—y,

22v72

解得：y=2或y=-ll(舍去).

/.EM=1,

CM=CE+ME=l+3=4,

又「ZBCD=ZMCD,

/.tanZBCD=tanZMCD,

++DM1

在RtADCM中,tanZMCD=-------=—,

CM4

1

..tanNBCD=—.

4

(3)①如下圖所示:

過點D做。于點H,以D為圓心，DH為半徑畫圓，過點P做。。切線PF交CB

的延長線于點F.

ZCAD=45°,

ZCPD=ZCAD=45°,

又???點D是ACP廠的內心，

PD、CD、DF都是角平分線，

ZFPD=ZCPD=45°,ZPCD=ZDCF,ZPFD=ZCFD

ZCPF=90°

ZPCF+ZPFC=90°

ZDCF+ZCFD=-ZPCF+-ZPFC=45°

22

ZCDF=1800-ZDCF-ZCFDF=900+45°=135°,

即NCDF的度數為135°.

②如下圖所示

過點D分別作DK_LPC,DM±CF,DN_LPF于直線PC,CF和PF于點K,M,N三點,

設小PCF內切圓的半徑為m,則DN=m,

?.?點D是APCF的內心，

DM=DN=DK,

又ZDCF+ZCFD+ZFDC=180",ZFDC=45",

ZDCF+ZCFD=45°,

又；DC,DF分別是NPCF和NPFC的角平分線，

ZPCF=2NDCF,ZPFC=2NDFC,

ZPCF+ZPFC=90",

ZCPF=90°.

在四邊形PKDN中，ZPND=ZNPK=ZPKD=90°,

四邊形PKDN是矩形，

又；KD=ND,

四邊形PKDN是正方形.

又;ZMBD=ZBDM=45°,

ZBDM=NKDP,

ZKDP=45°.

PC=a,PF=b,PD=c,

PN=PK=—C，

2

V272

NF=b---------C，CK=a---------c,

22

又..,CK=CM,FM=FN,CF=CM+FM,

,,CF=a+b->/2cf

丈:SAPCF=SAPDF+SAPDC+SADCF,

—ab=—ax^-c+—bx^-c+—（a+b-^c）,

2222222

化簡得：ab=V2（a+b）c-c2---（I）,

又?若（a-J5c）（b-夜c）=8

化簡得：ab-V2c（a+b）+2c2=8--?一（II）,

將（I）代入（H）得：C2=8,

解得：c=2五,或c=-2及（舍去），

.5/2A/2FT

..m=---c=---x2V2=2，

22

即△CPF的內切圓半徑長為2.

【點睛】

本題考查圓的內接四邊形性質，圓的內心，圓心角、圓周角，同弧（或等弧）之間的相互

關系，同時也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函數值相等和三角形的面積

公式，正方形，對頂角和整式的運算等知識點；難點是作輔助線和利用等式求ACPF的內

切圓半徑長.

12.如圖，已知△ABC,AB=a，BC=3,NB=45。，點D在邊BC上，聯結AD,以點A

為圓心，AD為半徑畫圓，與邊AC交于點E,點F在圓A上，且AF_LAD.

（1）設BD為x,點D、F之間的距離為y,求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；

（2）如果E是0尸的中點，求80:8的值；

（3）聯結CF,如果四邊形ADCF是梯形，求BD的長.

【答案】⑴y=74-4x+2x2（0<x<3）;（2）:；（3）BD的長是1或2S.

【解析】

【分析】

（1）過點A作AHLBC,垂足為點H.構造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求

得AD的長度.聯結DF,點D、F之間的距離y即為DF的長度，在RtAADF中，利用銳角

三角形函數的定義求得DF的長度，易得函數關系式.

（2）由勾股定理求得：ACZAH?+DH?■設DF與AE相交于點Q,通過解RtADCQ和

DQ1

RtAAHC推知7石=不.故設DQ=k,CQ=2k,AQ=DQ=k,所以再次利用勾股定理推知DC

的長度，結合圖形求得線段BD的長度，易得答案.

（3）如果四邊形ADCF是梯形，則需要分類討論：①當AFHDC、②當ADIIFC.根據相

似三角形的判定與性質，結合圖形解答.

【詳解】

（1）過點A作垂足為點從

N8=45°,AB-y/2>BH=AH=ABcosB=1.

BD為jx,DH=\x-\\.

在RtAADH中，ZAHD=90°，，AD=y/AH2+DH2=)2-2%+￡.

聯結DF,點D、F之間的距離y即為DF的長度.

:點F在圓A上，且AFJ_AD,，AD=AF，ZADF=45°.

在RtAADF中，ZDAF=90°，:.DF=———=y/4-4x+2x2.

cosZADF

y=s/4-4x+2x2-(0<x<3)；

(2),.,E是前的中點，AE±DF>AE平分OF.

22

,1BC=3,HC=3—1=2.A.C—AH+HC-V5,

設DF與AE相交于點Q,在RsOC。中，NOQC=90°,tan/DCQ=g^.

AHI

在RS4HC中，ZAHC^90°，tanZACH=——=—.

HC2

ZDCQ=ZACH，,爵=g.

設DQ=k,CQ=2k,AQ=DQ=k,

,：3k=5k=叵,DC=y/DQ、CQ2=|.

44

.BD=BC—DC=—,；.BD:CD=—

35

（3）如果四邊形ADCF是梯形

則①當AFIIDC時，ZAFD=NFDC=45。.

ZA￡）F=45°.AD1BC，即點。與點H重合.，BD=\.

②當AOIIFC時，ZADF=NCFD=45。.

ZB=45°,A/B=NCFD.

■.ZB+ZBAD=ZADF+ZFDC,AZBAD=ZFDC.

,2cA8AD

^ABDs^DFC.----.

DFDC

DF=41AD>DC=BC-BD.

AD2=BC-BD.即（j2-2x+fJ=3—%,

整理得x2-x-l=O,解得》=生叵（負數舍去）.

2

綜上所述，如果四邊形ADCF是梯形，B。的長是1或￥苴.

2

【點睛】

此題屬于圓的綜合題，涉及了平行四邊形的性質、相似三角形的判定與性質、三角函數值

以及勾股定理等知識，綜合性較強，解答本題需要我們熟練各部分的內容，對學生的綜合

能力要求較高，一定要注意將所學知識貫穿起來.

13.如圖①，已知心AABC中，ZACB=90SAC=8,AB=10,點。是AC邊上一

點（不與C重合），以為直徑作。。，過C作CE切。。于E,交AB于F.

（1）若。。的半徑為2,求線段CE的長；

（2）若Af=BF，求0。的半徑；

（3）如圖②，若CE=C3,點8關于AC的對稱點為點G,試求G、E兩點之間的距

離.

【答案】⑴CE=4也；⑵。。的半徑為3；（3）G、E兩點之間的距離為9.6.

【解析】

【分析】

(1)根據切線的性質得出NOEC=90。，然后根據勾股定理即可求得；

(2)由勾股定理求得BC,然后通過證得△OEC-△BCA,得到絲=生，即［=旦，解

BCBA610

得即可;

GBGE

(3)證得D和M重合，E和F重合后，通過證得△GBEsAABC,——=—,即

ABAC

12GE?

—=——＞解得即可.

108

【詳解】

(1)如圖，連結OE.

CE切。。于E，

NOEC=90。.

AC=8,。。半徑為2,

OC=6，OE=2.

CE=y10C2-0E2=472；

(2)設。。半徑為

在用ZVLBC中，ZACB=9Q0,AB=10,AC=8,

BC7ABJAC。=6.

AF=BF，

■.AF=CF=BF.

ZACF=ZCAF.

???CE切。。于E,

NOEC=90。.

Z.OEC=ZACB,

??AOEC-ABC4.

,OEOC

BC-BA'

.r_8—r

"I丁’

解得r=3.

0。的半徑為3；

⑶連結EG、OE,設EG交AC于點M，

A

由對稱性可知，CB=CG.

又CE=CB,

CE=CG.

ZEGC=ZGEC.

■■CE切0。于E，

NGEC+NOEG=90。.

又ZEGC+ZGMC=90°,

ZOEG=/GMC.又NGMC=ZOME,

NOEG=NOME.

??.OE=OM.

.??點M與點。重合.

G、D、E三點在同一條直線上.

連結AE、BE，

1??AD是直徑,

ZAED=90°,即ZAEG=90°.

又CE=CB=CG,

NBEG=90。.

ZAEB=ZAEG+ZBEG=180°,

???A、E、3三點在同一條直線上.

■1.E、/兩點重合.

4GEB=ZACB=90。,ZB=ZB，

■./SGBE-^ABC.

.GBGEHn12GE

ABAC108

??.GE=9.6.

故G、E兩點之間的距離為9.6.

【點睛】

本題考查了切線的判定，軸的性質，勾股定理的應用以及三角形相似的判定和性質，證得

G、D、E三點共線以及A、E、B三點在同一條直線上是解題的關鍵.

14.如圖，A8是O。的直徑，4。是。。的弦，點F是。A延長線上的一點，過O。上一點

C作。。的切線交OF于點E,CErDF.

(1)求證：AC平分N以8；

(2)若AE=1,CE=2,求。。的半徑.

【答案】(1)證明見解析；(2)-

2

【解析】

試題分析：(1)連接0C,根據切線的性質和圓周角定理，得出NOCA=NOAC與

NC4E=N。。，然后根據角平分線的定義可證明；

(2)由圓周角定理得到NBCA=90。，由垂直的定義，可求出NCEA=90。，從而根據兩角對應

相等的兩三角形相似可證明△ACB”△AEC,再根據相似三角形的對應邊成比例求得AB的

長，從而得到圓的半徑.

試題解析：(1)證明：連接。C.

CE是。。的切線，：.NOCE=90。

???CE±DF,ZC￡A=90°,

ZACE+ZLCAE=Z.ACE+Z.0cA=90°,ZCAE=NOCA

'：OC=OA,