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文檔簡介

中考數學二輪圓的綜合專項培優含詳細答案

一、圓的綜合

1.如圖,在0。中,AB為直徑,0C_LA8,弦CD與。B交于點F,在A8的延長線上有點

E,且£F=ED.

(1)求證:DE是。。的切線;

(2)若tanA=1,探究線段A8和BE之間的數量關系,并證明;

(3)在(2)的條件下,若OF=1,求圓。的半徑.

【答案】(1)答案見解析;(2)AB=3BE;(3)3.

【解析】

試題分析:(1)先判斷出NOCF+NCFO=90。,再判斷出NOCF=NOOF,即可得出結論;

(2)先判斷出NBDE=NA,進而得出△EBD"△EDA,得出AE=2DE,DE=2BE,即可得出結

論;

3

(3)設8E=x,則DE=£F=2x,AB=3x,半徑OD=-x,進而得出OE=l+2x,最后用勾股定理

2

即可得出結論.

試題解析:(1)證明:連結。D,如圖.,?,EF=ED,二NEFD=NEDF.??,NEFD=NCF。,

ZCFO=ZEDF.':OC±OF,:.ZOCF+ZCFO=90°.;OC=OD,:.ZOCF=ZODF,

ZODC+ZEDF=9O°,即NODE=90。,ODrDE.,點。在0。上,,DE是0。的切線;

(2)線段A3、8E之間的數量關系為:AB=3BE.證明如下:

TAB為。。直徑,ZADB=90°,:.ZADO=^BDE.':OA=OD,Z.ADO=ZA,

DEBEBD

:.ZBDE=NA,而NBED=NDEA,二△EBD-△EDA,:.':RtAABD

~AE~~DE~~\D

BD1DEBE\

中,tan>4=------=—

AD2~AE^~DE~2

AE=2DE,DE=2BE,:.AE=4BE,:.AB=3BE;

3

(3)設BE=x,則。E=EF=2x,A8=3x,半徑OD=—x.;OF=1,OE=l+2x.

2

3,2人一

在RtAODE中,由勾股定理可得:(一x)2+(2x)2=(l+2x)2,x=-----(舍)或x=2,

2

圓。的半徑為3.

點睛:本題是圓的綜合題,主要考查了切線的判定和性質,等腰三角形的性質,銳角三角

函數,相似三角形的判定和性質,勾股定理,判斷出△EBD”△EDA是解答本題的關鍵.

2.已知AB,CD都是。。的直徑,連接DB,過點C的切線交DB的延長線于點E.

(1)如圖1,求證:,AOD+2/E=180';

(2)如圖2,過點A作AF_LEC交EC的延長線于點F,過點D作DG_LAB,垂足為點

G,求證:DG=CF;

⑶如圖3,在⑵的條件下,當四=』時,在。0外取一點H,連接CH、DH分別交

OO于點M、N,且NHDE=NHCE,點P在HD的延長線上,連接P0并延長交CM于

點Q,若PD=11,DN=14,MQ=OB,求線段HM的長.

【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)86+7

【解析】

【分析】

(1)由ND+NE=90",可得2ND+2N£=180°,只要證明NAOD=2AD即可;

(2)如圖2中,作。RJLAF于R.只要證明4A。的AOOG即可;

(3)如圖3中,連接BC、OM,ON、CN,作8兀LCL于T,作NKLCH于K,設CH交DE

于W.解直角三角形分別求出KM,即可;

【詳解】

(1)證明:如圖1中,

■E

與CE相切于點C,

.-.OC1CE,

二NOCE=90°,

.?./D+"=90°,

2/D+2/E=180',

?.?/AOD=/COB,40c=2",NAOD=2",

.?./AOD+2/E=180°.

(2)證明:如圖2中,作ORJ_AF于R.

NOCF=々=/ORF=90,

四邊形OCFR是矩形,

.-.AF//CD,CF=OR,

.?./A=/AOD,

在AAOR和NDDG中,

?.?/A=/AOD,NARO=/OGD=90°,OA=DO,

.-.△AORAODG.

OR=EXj,

EX3=CF,

(3)解:如圖3中,連接BC、OM、ON、CN,作BT_LCL于T,作NK_LCH于K,設CH

交DE于W.

設DG=3m,則CF=3m,CE=4m,

NOCF=4=/BTE=90,

.-.AF//OC//BT,

?.OA=OB,

CT=CF=3m,

;.ET=m,

?:CD為直徑,

/CBD=NCND=90=NCBE,

NE=90-NEBT=/CBT,

tanZ^E=tan/CBT,

,_B_T—_C_T

,ET-BT'

.BT_3m

一就

BT=gm(負根已經舍棄),

.Gmrz

..tanN^E-------=yJ3,

m

/./E=60。,

?.?/CWD=^HDE+^H,^HDE=^HCE,

=60,

/./MON=2/HCN=60°,

?.OM=ON,

.?.△OMN是等邊三角形,

.-.MN=ON,

?.QM=OB=OM,

.?./MOQ=/MQO,

NMOQ+/PON=180-/MON=120°,NMQO+—P=180,-NH=120°,

.?./ON=4,

.?.ON=NP=14+11=25,

...CD=2ON=50,MN=ON=25,

在Rt^CDN中,CN=VCD2-DN2=A/502-142=48,

CN48r-

在RSCHN中,tan/H=J=上=G,

HNHN

HN=16G,

在Rt^KNE中,KH=-HN=8>/3,NK=—HN=24,

22

在RSNMK中,MK=7MN2-NK2=7252-242=7>

HM=HK+MK=8A/3+7.

【點睛】

本題考查圓綜合題、全等三角形的判定和性質、平行線的性質、勾股定理、等邊三角形的

判定和性質、銳角三角函數等知識,添加常用輔助線,構造全等三角形或直角三角形解題

的關鍵.

3.如圖,CD為。。的直徑,點8在。。上,連接8C、BD,過點8的切線AE與8的延長

線交于點4ZAEO=ZC,0E交8c于點F.

(1)求證:OEW8。;

2

(2)當。。的半徑為5,sinNDBA=g時,求EF的長.

【答案】(1)證明見解析;(2)EF的長為一

2

【解析】

試題分析:(1)連接0B,利用已知條件和切線的性質證明;

(2)根據銳角三角函數和相似三角形的性質,直接求解即可.

試題解析:(1)連接。B,「c。為。。的直徑,ZCBD=ZCBO+ZOBD=90°.

.?AE是。。的切線,,ZABO=ZABD+ZOBD=90°,二ZABD^ZCBO.

OB,OC是。。的半徑,.-.OB=OC.:.ZC=ZCBO.ZC=ZABD.

,,,NE=NC,;./E=/ARD./.OEWBD.

2BD2

(2)由(1)可得sinNC=NDBA=二,在RtA中,sinNC=而=《,OC=5,

BD="/CBD=NEBO=90。

-:NE=NC,△CBD-△EBO.

BDCD

~BO~~EO

--£0=f

,/OEWBD,CO=ODf

CF=FB.

OF==BD=2.

2

EF=0E-0F=4

2

4.如圖,一條公路的轉彎處是一段圓弧(A3).

(1)用直尺和圓規作出所在圓的圓心°;(要求保留作圖痕跡,不寫作法)

⑵若A8的中點C到弦AB的距離為20機,AB=80m,求A8所在圓的半徑?

【答案】⑴見解析;(2)50m

【解析】

分析:0)連結AC、BC,分別作AC和BC的垂直平分線,兩垂直平分線的交點為點O,如

圖1;

(2)連接OA,OC,OC交AB于D,如圖2,根據垂徑定理的推論,由C為AB的中點得

到OC_LAB,AD=BD=-AB=40,則CD=20,設。0的半徑為r,在Rt?)AD

2

中利用勾股定理得到E=(r-20產+402,然后解方程即可.

詳解:(1)如圖1,

圖1

點。為所求:

(2)連接0AOC,OC交AB于D,如圖2,

圖工.

為AB的中點,

0C1AB,

:.AD=BD=-AB=40,

2

設0。的半徑為r,則。4=r,OD=OD—CD=r-必

在R/ACM中,?.?QA2=O2+A2

。£)£)

r2=(r-20)2+402,解得r=50,

即48所在圓的半徑是50m.

點睛:本題考查了垂徑定理及勾股定理的應用,在利用數學知識解決實際問題時,要善于

把實際問題與數學中的理論知識聯系起來,能將生活中的問題抽象為數學問題.

5.如圖所示,以R3ABC的直角邊AB為直徑作圓O,與斜邊交于點D,E為BC邊上的中

點,連接DE.

(1)求證:DE是O。的切線;

(2),連接0E,AE,當NCAB為何值時,四邊形AOED是平行四邊形?并在此條件下求

sinzCAE的值.

【答案】⑴見解析;⑵巫.

10

【解析】

分析:(1)要證DE是。。的切線,必須證ED_LOD,即NEDB+NODB=90。

(2)要證AOED是平行四邊形,則DEUAB,D為AC中點,又BD_LAC,所以△ABC為等

腰直角三角形,所以NCAB=45。,再由正弦的概念求解即可.

詳解:(1)證明:連接0、D與B、D兩點,

△BDC是RtA,且E為BC中點,

ZEDB=ZEBD.(2分)

又OD=OB且NEBD+ZDBO=90",

ZEDB+ZODB=90°.

DE是。。的切線.

(2)解:ZEDO=ZB=90°,

若要四邊形AOED是平行四邊形,則DEIIAB,D為AC中點,

又;BD_LAC,

…ABC為等腰直角三角形.

ZOAB=45°.

過E作EHXAC于H,

設BC=2k,貝ljEH="k,AE=J^k,

2

點睛:本題考查的是切線的判定,要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點,連接圓心

和這點(即為半徑),再證垂直即可.

6.如圖.在△ABC中,NC=90°,AC^BC,A8=30cm,點P在A8上,AP=10cm,點E從點P

出發沿線段PA以2cm/s的速度向點A運動,同時點F從點P出發沿線段PB以lcm/s的速

度向點8運動,點E到達點A后立刻以原速度沿線段A8向點B運動,在點E、F運動過程

中,以EF為邊作正方形EFGH,使它與△ABC在線段A8的同側,設點£、F運動的時間為t

(s)(0<f<20).

(1)當點“落在AC邊上時,求t的值;

(2)設正方形EFG”與△A8C重疊部分的面積為5.①試求5關于t的函數表達式;②以

點C為圓心,為半徑作。c,當OC與GH所在的直線相切時,求此時S的值.

2

9/?(0<2)<

7

【答案】(1)t=2s或10s;(2)(l)s=?--Z2+50?-50(2<Z<10);②100cm2.

t2-4QMJ-400720)<t<

【解析】

試題分析:(1)如圖1中,當0VK5時,由題意AE=EH=EF,即10-2t=3t,t=2;如圖2

中,當5Vt<20時,AE=HE,2t-10=10-(2t-10)+t,t=10;

(2)分四種切線討論a、如圖3中,當。〈仁2時,重疊部分是正方形EFGH,S=(3t)

2=9巴b、如圖4中,當2cts5時,重疊部分是五邊形EFGMMc、如圖5中,當5<t<

10時,重疊部分是五邊形EFGMN.d、如圖6中,當10<t<20時,重疊部分是正方形

EFGH.分別計算即可;

②分兩種情形分別列出方程即可解決問題.

試題解析:解:(1)如圖1中,當0<仁5時,由題意得:AE=EH=EF,即10-2t=3t,t=2

圖1

如圖2中,當5Vt<20時,AE=HE,2t-10=10-(2t-10)+t,t=W.

綜上所述:t=2s或10s時,點H落在AC邊上.

圖2

(2)①如圖3中,當0<仁2時,重疊部分是正方形EFGH,5=(3t)2=9t2

c

圖3

如圖4中,當2Vt45時,重疊部分是五邊形斤GMM5=(3t)2--(5t-10)2=-

-t2+S0t-S0.

2

圖4

如圖5中,當5Vt<10時,重疊部分是五邊形EFGMN,5=(20-t)2--(30-3t)2=-

7,

-F+50t-50.

2

圖5

如圖6中,當10Vt<20時,重疊部分是正方形EFGH,S=(20-t)^t2-40t+400.

c

]30

②如圖7中,當0<t45時,-t+3t=15,解得:t=一,此時5=100<:w,當5<t<20時,

27

-t+20-t=15,解得:t=10,此時S=100.

2

綜上所述:當。C與G/■/所在的直線相切時,求此時S的值為100cm2

點睛:本題考查了圓綜合題、正方形的性質、等腰直角三角形的性質、切線的性質等知

識,解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題,學會用分類討論的思想思考問題,注意不

能漏解,屬于中考壓軸題.

7.已知:如圖1,ZACG=90。,AC=2,點B為CG邊上的一個動點,連接AB,將△ACB沿

AB邊所在的直線翻折得到AADB,過點D作DFXCG于點F.

(1)當BC=2叵時,判斷直線FD與以AB為直徑的00的位置關系,并加以證明;

3

(2)如圖2,點B在CG上向點C運動,直線FD與以AB為直徑的00交于D、H兩點,

連接AH,當NCAB=ZBAD=ZDAH時,求BC的長.

G.

【答案】(1)直線FD與以AB為直徑的。0相切,理由見解析;⑵20一2.

【解析】

試題分析:(1)根據已知及切線的判定證明得,直線FD與以AB為直徑的。0相切:

(2)根據圓內接四邊形的性質及直角三角形的性質進行分析,從而求得BC的長.

試題解析:

(1)判斷:直線FD與以AB為直徑的O0相切.

證明:如圖,

作以AB為直徑的

△ADB是將△ACB沿AB邊所在的直線翻折得到的,

「?△ADBM△ACB,

ZADB=ZACB=90°.

TO為AB的中點,連接DO,

OD=OB=—AB,

2

「?點D在。0上.

在RtZkACB中,BC二冬些AC=2;

_3

/.tanzCAB=—=^,

AC3

/.ZCAB=ZBAD=30°,

/.ZABC=ZABD=60°,

「.△BOD是等邊三角形.

ZBOD=60°.

ZABC=ZBOD,

???FCIIDO.

?/DF±CG,

「?ZODF=ZBFD=90°,

OD±FD,

FD為。。的切線.

(2)延長AD交CG于點E,

同(1)中的方法,可證點C在。。上;

四邊形ADBC是圓內接四邊形.

ZFBD=Z1+Z2.

同理NFDB=Z2+Z3.

Z1=Z2=Z3,

ZFBD=ZFDB,

又NDFB=90°.

EC=AC=2.

設BC=x,則BD=BC=x,

ZEDB=90",

EB=

?/EB+BC=EC,

.5/^X+X=2,

解得x=2-2,

BC=2&-2.

8.解決問題:

(1)如圖①,半徑為4的外有一點P,且P0=7,點A在。。上,則PA的最大值和

最小值分別是和.

(2)如圖②,扇形AOB的半徑為4,—AQB=45°,P為弧AB上一點,分別在0A邊找

點E,在0B邊上找一點F,使得AFEV周長的最小,請在圖②中確定點E、F的位置并直

接寫出周長的最小值;

拓展應用

(3)如圖③,正方形ABCD的邊長為4正;E是CD上一點(不與D、C重合),

C尸_LBE于F,P在BE上,且PF=CF,M、N分別是AB、AC上動點,求△上〃汽周長

的最小值.

圖①圖③

【答案】⑴11,3;(2)圖見解析,APEE周長最小值為4夜;(3)4y/10-4y/2.

【解析】

【分析】

(1)根據圓外一點P到這個圓上所有點的距離中,最遠是和最近的點是過圓心和該點的直

線與圓的交點,容易求出最大值與最小值分別為11和3;

(2)作點P關于直線0A的對稱點耳,作點P關于直線0B的對稱點鳥,連接耳、P2,與

OA、0B分別交于點E、F,點E、F即為所求,此時/周長最小,然后根據等腰直角

三角形求解即可;

(3)類似(2)題作對稱點,AP/WN周長最小=64,然后由三角形相似和勾股定理求解.

【詳解】

解:(1)如圖①,?.?圓外一點P到這個圓上所有點的距離中,最大距離是和最小距離都在

過圓心的直線0P上,

此直線與圓有兩個交點,圓外一點與這兩個交點的距離個分別最大距離和最小距離.

.??PA的最大值=尸4=尸。+04=7+4=11,

PA的最小值=尸4=尸。一=7-4=3,

故答案為11和3;

(2)如圖②,以。為圓心,0A為半徑,畫弧AB和弧BD,作點P關于直線OA的對稱點

片,作點P關于直線0B的對稱點鳥,連接片、P2,與OA、0B分別交于點E、F,點E、

F即為所求.

連接。《、。鳥、OP、PE、PF,

由對稱知識可知,ZAOPy=^AOP,NBOP^NBOP,PE=^E,PF=P2F

NAOq+NBOg=NAOP+/6OP=NAO5=45°,

C=45。+45°=9(),

.?.△1。舄為等腰直角三角形,

3=血(用=46,

△PEF周長=PE+PF+EF=<E+RF+EF=《鳥4近,此時.PEF周長最小.

故答案為4c;

(3)作點P關于直線AB的對稱A,連接人6、BA,作點P關于直線AC的對稱鳥,

連接4、P”與AB、AC分別交于點M、N.如圖③

由對稱知識可知,PM=P}M,PN=P1N,APMN周長

=PM+PN+MN=PMP?N+MN=PR,

此時,APM/V周長最小=46?

由對稱性可知,^BAPi=ZBAP,NEAPyNEAP,AP^AP=AP2,

ZBAPX+ZEAP2=ZBAP+^EAP=/BAC=45°

QA6=45°+45。=90,

.?.△《A鳥為等腰直角三角形,

.?.△PMN周長最小值片g=CAP,當AP最短時,周長最小.

連接DF.

vCF±BE,且PF=C廠,

PC質

/.ZPCF=45°.—=V2

?.?/AC£>=45*,

:.NPCF=NACD,NPCA=/FCD,

又告S

ACPC

..在AAPC與AOFC中,——=——,NPCA=NFCD

CDCF

.'.^APC-ADFC,

DFCD

AP=6DF

-.?NBFC=90,取AB中點0.

???點F在以BC為直徑的圓上運動,當D、F、0三點在同一直線上時,DF最短.

DF=DO—FO=y]0C2+CD2-OC=?2互+(4臥-242=2M-20,

AP最小值為AP=y/2DF

,此時,APMN周長最小值

PR=4iAP=C.垃DF=&O(2M_2吟=4屈.

【點睛】

本題考查圓以及正方形的性質,運用圓的對稱性和正方形的對稱性是解答本題的關鍵.

9.如圖1,四邊形ABCD是正方形,點E是邊BC上一點,點F在射線CM上,NAEF=90。,

AE=EF,過點F作射線BC的垂線,垂足為H,連接AC.

⑴試判斷BE與FH的數量關系,并說明理由;

(2)求證:ZACF=90°;

⑶連接AF,過A,E,F三點作圓,如圖2.若EC=4,NCEF=15。,求建的長.

圖1圖2

【答案】(1)BE="FH";理由見解析

(2)證明見解析

(3)於2n

【解析】

試題分析:(1)由AABE"△EHF(SAS)即可得到BE=FH

(2)由(1)可知AB=EH,而BC=AB,FH=EB,從而可知△FHC是等腰直角三角形,ZFCH

為45°,而NACB也為45°,從而可證明

(3)由已知可知NEAC=30°,AF是直徑,設圓心為0,連接E0,過點E作ENJLAC于點N,

則可得△ECN為等腰直角三角形,從而可得EN的長,進而可得AE的長,得到半徑,得到

蔡所對圓心角的度數,從而求得弧長

試題解析:(1)BE=FH.理由如下:

四邊形ABCD是正方形Z6=90°,

,JFHJLBCZFHE=90°

又;ZAEF=90°ZAEB+ZHEF="900"且NBAE+ZAEB=90°

ZHEF=ZBAEZAEB=ZEFH又:AE=EF

△ABE鯉△EHF(SAS)

BE=FH

(2)-.,△ABE合△EHF

BC=EH,BE=FH文:BE+EC=EC+CH二BE="CH"

CH=FH

ZFCH=45HZFCM=45°

「AC是正方形對角線,J.NACD=45。

ZACF=ZFCM+ZACD=90"

(3);AE=EF,J.△AEF是等腰直角三角形

△AEF外接圓的圓心在斜邊AF的中點上.設該中點為0.連結E。得NAOE=90。

過E作EN_LAC于點N

RtAENC中,EC=4,NECA=45°,EN=NC=271

RtAENA中,EN=2^2

丈:乙EAF=45°ZCAF=ZCEF=15°(等弧對等角)

ZEAC=30"

AE=4&

RtAAFE中,AE=40=EF,/.AF=8

AE所在的圓。半徑為4,其所對的圓心角為NAOE=90°

癥=2TV4(90O4-360°)=2n

考點:1、正方形;2、等腰直角三角形;3、圓周角定理;4、三角函數

10.如圖,已知AB是。O的直徑,P是BA延長線上一點,PC切。。于點C,CD_LAB,垂

足為D.

(1)求證:ZPCA=NABC;

(2)過點A作AE1IPC交。。于點E,交CD于點F,交BC于點M,若NCAB=2NB,CF

=也,求陰影部分的面積.

【答案】(1)詳見解析;(2)°兀-3?

4

【解析】

【分析】

(I)如圖,連接OC,利用圓的切線的性質和直徑對應的圓周角是直角可得

ZPCA=ZOCB,利用等量代換可得NPCA=ZABC.

(2)先求出△OCA是等邊三角形,在利用三角形的等邊對等角定理求出FA=FC和CF=FM,

然后分別求出AM、AC、MO、CD的值,分別求出S^E、S扇形形、SMBM的值,利用

S陰影部分=S&40E+S扇形80E-S&48M,然后通過計算即可解答.

【詳解】

解:(1)證明:連接OC,如圖,

;PC切。0于點C,OC±PC,

?.ZPCA+ZACO=902,

,-ABMOO的直徑,,ZACB=ZACO+OCB=90°

ZPCA=ZOCB,

OC=OB,.,.ZOBC=ZOCB,

ZPCA=NABC;

(2)連接OE,如圖,

AACB中,ZACB=909,ZCAB=2ZB,

ZB=305,ZCAB=609,.-.AOCA是等邊三角形,

,/CD±AB,.,.ZACD+ZCAD=NCAD+zABC=90。,

ZACD=ZB=30。,

,/PCIIAE,.,.ZPCA=ZCAE=305,/.FC=FA,

同理,CF=FM「.AM=2CF=26,

RtAACM中,AC=2V3x—=3=OC,

2

ZB=ZCAE=30”.ZAOC=NCOE=60。,

ZEOB=602r-.ZEAB=ZABC=30%,MA=MB,

連接OM,EG_LAB交AB于G點,如圖所示,

OA=OB,/.MO-LAB,.,.MO=OAxtan30*=6,

ACDOSAEDO(AAS),

EG=CD=ACxsin605=-x/3,

2

:?S^BM=^ABxMO=3y[3,

同樣,易求等,

60^-x32?>7i

扇形BOE3602

.e_c.c_c9733/r/r6兀-3下)

一◎陰影部分一十。扇形BOE2MBM=——+-------73=----------------

424

【點睛】

本題考查了切線的性質、解直角三角形、扇形面積和識圖的能力,綜合性較強,有一定難

度,熟練掌握定理并準確識圖是解題的關鍵.

11.如圖1,等腰直角△ABC中,ZACB=90",AC=BC,過點A,C的圓交AB于點D,交BC

于點E,連結DE

(1)若AD=7,BD=1,分別求DE,CE的長

(2)如圖2,連結CD,若CE=3,AACD的面積為10,求tanNBCD

(3)如圖3,在圓上取點P使得NPCD=NBCD(點P與點E不重合),連結PD,且點D

是&CPF的內心

①請你畫出ACPF,說明畫圖過程并求NCDF的度數

②設PC=a,PF=b,PD=c,若(a-J^c)(b-及c)=8,求△CPF的內切圓半徑長.

圖1圖2圖3

【答案】(1)DE=1,CE=3&;(2)tanzBCD=-;(3)①135°;②2.

【解析】

【分析】

(1)由A、C、E、D四點共圓對角互補為突破口求解;

(2)找NBDF與NODA為對頂角,在。。中,ZC0D=2ZCAD,證明△OCD為等腰直角三

角形,從而得到NEDC+ZODA=45°,即可證明NCDF=135°;

(3)過點D做。HJ.CB于點H,以D為圓心,DH為半徑畫圓,過點P做。。切線PF

交CB的延長線于點F,結合圓周角定理得出NCPD=ZCAD=45。,再根據圓的內心是三角形

三個內角角平分線的交點,得出NCPF=90。,然后根據角平分線性質得出

ZDCF+ZCFD=-ZPCF+-ZPFC=45°,最后再根據三角形內角和定理即可求

22

解;證明NDCF+NCFD=45。,從而證明NCPF是直角,再求證四邊形PKDN是正方形,最后

以△PCF面積不變性建立等量關系,結合已知(a-0c)(b-0c)=8,消去字母a,b求

出c值,即求出ACPF的內切圓半徑長為-c.

【詳解】

(1)由圖可知:

設BC=x.在RSABC中,AC=BC.由勾股定理得:

AC2+BC2=AB2,

;AB=AD+BD,AD=7,BD=1,

X2+X2=82,

解得:x=4>/2.

OO內接四邊形,ZACD=90°,

ZADE=90°,

/.ZEDB=90°,

??,ZB=45°,

??.△BDE是等腰直角三形.

DE=DB,

又「DB=1,

DE=1,

又=CE=BC-BE,

CE=4虛-&=30?

(2)如圖所示:

圖2

在△DCB中過點D作DM_LBE,設BE=y,則DM='y,

2

又CE=3,BC=3+y,

SAACB=SACD+SDCB,

「?—x4\/2x472=10+—x(3+y)x—y,

22v72

解得:y=2或y=-ll(舍去).

/.EM=1,

CM=CE+ME=l+3=4,

又「ZBCD=ZMCD,

/.tanZBCD=tanZMCD,

++DM1

在RtADCM中,tanZMCD=-------=—,

CM4

1

..tanNBCD=—.

4

(3)①如下圖所示:

過點D做。于點H,以D為圓心,DH為半徑畫圓,過點P做。。切線PF交CB

的延長線于點F.

ZCAD=45°,

ZCPD=ZCAD=45°,

又???點D是ACP廠的內心,

PD、CD、DF都是角平分線,

ZFPD=ZCPD=45°,ZPCD=ZDCF,ZPFD=ZCFD

ZCPF=90°

ZPCF+ZPFC=90°

ZDCF+ZCFD=-ZPCF+-ZPFC=45°

22

ZCDF=1800-ZDCF-ZCFDF=900+45°=135°,

即NCDF的度數為135°.

②如下圖所示

過點D分別作DK_LPC,DM±CF,DN_LPF于直線PC,CF和PF于點K,M,N三點,

設小PCF內切圓的半徑為m,則DN=m,

?.?點D是APCF的內心,

DM=DN=DK,

又ZDCF+ZCFD+ZFDC=180",ZFDC=45",

ZDCF+ZCFD=45°,

又;DC,DF分別是NPCF和NPFC的角平分線,

ZPCF=2NDCF,ZPFC=2NDFC,

ZPCF+ZPFC=90",

ZCPF=90°.

在四邊形PKDN中,ZPND=ZNPK=ZPKD=90°,

四邊形PKDN是矩形,

又;KD=ND,

四邊形PKDN是正方形.

又;ZMBD=ZBDM=45°,

ZBDM=NKDP,

ZKDP=45°.

PC=a,PF=b,PD=c,

PN=PK=—C,

2

V272

NF=b---------C,CK=a---------c,

22

又..,CK=CM,FM=FN,CF=CM+FM,

,,CF=a+b->/2cf

丈:SAPCF=SAPDF+SAPDC+SADCF,

—ab=—ax^-c+—bx^-c+—(a+b-^c),

2222222

化簡得:ab=V2(a+b)c-c2---(I),

又?若(a-J5c)(b-夜c)=8

化簡得:ab-V2c(a+b)+2c2=8--?一(II),

將(I)代入(H)得:C2=8,

解得:c=2五,或c=-2及(舍去),

.5/2A/2FT

..m=---c=---x2V2=2,

22

即△CPF的內切圓半徑長為2.

【點睛】

本題考查圓的內接四邊形性質,圓的內心,圓心角、圓周角,同弧(或等弧)之間的相互

關系,同時也考查直角三角形,勾股定理,同角或等角的三角函數值相等和三角形的面積

公式,正方形,對頂角和整式的運算等知識點;難點是作輔助線和利用等式求ACPF的內

切圓半徑長.

12.如圖,已知△ABC,AB=a,BC=3,NB=45。,點D在邊BC上,聯結AD,以點A

為圓心,AD為半徑畫圓,與邊AC交于點E,點F在圓A上,且AF_LAD.

(1)設BD為x,點D、F之間的距離為y,求y關于x的函數解析式,并寫出定義域;

(2)如果E是0尸的中點,求80:8的值;

(3)聯結CF,如果四邊形ADCF是梯形,求BD的長.

【答案】⑴y=74-4x+2x2(0<x<3);(2):;(3)BD的長是1或2S.

【解析】

【分析】

(1)過點A作AHLBC,垂足為點H.構造直角三角形,利用解直角三角形和勾股定理求

得AD的長度.聯結DF,點D、F之間的距離y即為DF的長度,在RtAADF中,利用銳角

三角形函數的定義求得DF的長度,易得函數關系式.

(2)由勾股定理求得:ACZAH?+DH?■設DF與AE相交于點Q,通過解RtADCQ和

DQ1

RtAAHC推知7石=不.故設DQ=k,CQ=2k,AQ=DQ=k,所以再次利用勾股定理推知DC

的長度,結合圖形求得線段BD的長度,易得答案.

(3)如果四邊形ADCF是梯形,則需要分類討論:①當AFHDC、②當ADIIFC.根據相

似三角形的判定與性質,結合圖形解答.

【詳解】

(1)過點A作垂足為點從

N8=45°,AB-y/2>BH=AH=ABcosB=1.

BD為jx,DH=\x-\\.

在RtAADH中,ZAHD=90°,,AD=y/AH2+DH2=)2-2%+£.

聯結DF,點D、F之間的距離y即為DF的長度.

:點F在圓A上,且AFJ_AD,,AD=AF,ZADF=45°.

在RtAADF中,ZDAF=90°,:.DF=———=y/4-4x+2x2.

cosZADF

y=s/4-4x+2x2-(0<x<3);

(2),.,E是前的中點,AE±DF>AE平分OF.

22

,1BC=3,HC=3—1=2.A.C—AH+HC-V5,

設DF與AE相交于點Q,在RsOC。中,NOQC=90°,tan/DCQ=g^.

AHI

在RS4HC中,ZAHC^90°,tanZACH=——=—.

HC2

ZDCQ=ZACH,,爵=g.

設DQ=k,CQ=2k,AQ=DQ=k,

,:3k=5k=叵,DC=y/DQ、CQ2=|.

44

.BD=BC—DC=—,;.BD:CD=—

35

(3)如果四邊形ADCF是梯形

則①當AFIIDC時,ZAFD=NFDC=45。.

ZA£)F=45°.AD1BC,即點。與點H重合.,BD=\.

②當AOIIFC時,ZADF=NCFD=45。.

ZB=45°,A/B=NCFD.

■.ZB+ZBAD=ZADF+ZFDC,AZBAD=ZFDC.

,2cA8AD

^ABDs^DFC.----.

DFDC

DF=41AD>DC=BC-BD.

AD2=BC-BD.即(j2-2x+fJ=3—%,

整理得x2-x-l=O,解得》=生叵(負數舍去).

2

綜上所述,如果四邊形ADCF是梯形,B。的長是1或¥苴.

2

【點睛】

此題屬于圓的綜合題,涉及了平行四邊形的性質、相似三角形的判定與性質、三角函數值

以及勾股定理等知識,綜合性較強,解答本題需要我們熟練各部分的內容,對學生的綜合

能力要求較高,一定要注意將所學知識貫穿起來.

13.如圖①,已知心AABC中,ZACB=90SAC=8,AB=10,點。是AC邊上一

點(不與C重合),以為直徑作。。,過C作CE切。。于E,交AB于F.

(1)若。。的半徑為2,求線段CE的長;

(2)若Af=BF,求0。的半徑;

(3)如圖②,若CE=C3,點8關于AC的對稱點為點G,試求G、E兩點之間的距

離.

【答案】⑴CE=4也;⑵。。的半徑為3;(3)G、E兩點之間的距離為9.6.

【解析】

【分析】

(1)根據切線的性質得出NOEC=90。,然后根據勾股定理即可求得;

(2)由勾股定理求得BC,然后通過證得△OEC-△BCA,得到絲=生,即[=旦,解

BCBA610

得即可;

GBGE

(3)證得D和M重合,E和F重合后,通過證得△GBEsAABC,——=—,即

ABAC

12GE?

—=——>解得即可.

108

【詳解】

(1)如圖,連結OE.

CE切。。于E,

NOEC=90。.

AC=8,。。半徑為2,

OC=6,OE=2.

CE=y10C2-0E2=472;

(2)設。。半徑為

在用ZVLBC中,ZACB=9Q0,AB=10,AC=8,

BC7ABJAC。=6.

AF=BF,

■.AF=CF=BF.

ZACF=ZCAF.

???CE切。。于E,

NOEC=90。.

Z.OEC=ZACB,

??AOEC-ABC4.

,OEOC

BC-BA'

.r_8—r

"I丁’

解得r=3.

0。的半徑為3;

⑶連結EG、OE,設EG交AC于點M,

A

由對稱性可知,CB=CG.

又CE=CB,

CE=CG.

ZEGC=ZGEC.

■■CE切0。于E,

NGEC+NOEG=90。.

又ZEGC+ZGMC=90°,

ZOEG=/GMC.又NGMC=ZOME,

NOEG=NOME.

??.OE=OM.

.??點M與點。重合.

G、D、E三點在同一條直線上.

連結AE、BE,

1??AD是直徑,

ZAED=90°,即ZAEG=90°.

又CE=CB=CG,

NBEG=90。.

ZAEB=ZAEG+ZBEG=180°,

???A、E、3三點在同一條直線上.

■1.E、/兩點重合.

4GEB=ZACB=90。,ZB=ZB,

■./SGBE-^ABC.

.GBGEHn12GE

ABAC108

??.GE=9.6.

故G、E兩點之間的距離為9.6.

【點睛】

本題考查了切線的判定,軸的性質,勾股定理的應用以及三角形相似的判定和性質,證得

G、D、E三點共線以及A、E、B三點在同一條直線上是解題的關鍵.

14.如圖,A8是O。的直徑,4。是。。的弦,點F是。A延長線上的一點,過O。上一點

C作。。的切線交OF于點E,CErDF.

(1)求證:AC平分N以8;

(2)若AE=1,CE=2,求。。的半徑.

【答案】(1)證明見解析;(2)-

2

【解析】

試題分析:(1)連接0C,根據切線的性質和圓周角定理,得出NOCA=NOAC與

NC4E=N。。,然后根據角平分線的定義可證明;

(2)由圓周角定理得到NBCA=90。,由垂直的定義,可求出NCEA=90。,從而根據兩角對應

相等的兩三角形相似可證明△ACB”△AEC,再根據相似三角形的對應邊成比例求得AB的

長,從而得到圓的半徑.

試題解析:(1)證明:連接。C.

CE是。。的切線,:.NOCE=90。

???CE±DF,ZC£A=90°,

ZACE+ZLCAE=Z.ACE+Z.0cA=90°,ZCAE=NOCA

':OC=OA,

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