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文檔簡介
中考數學二輪圓的綜合專項培優含詳細答案
一、圓的綜合
1.如圖,在0。中,AB為直徑,0C_LA8,弦CD與。B交于點F,在A8的延長線上有點
E,且£F=ED.
(1)求證:DE是。。的切線;
(2)若tanA=1,探究線段A8和BE之間的數量關系,并證明;
(3)在(2)的條件下,若OF=1,求圓。的半徑.
【答案】(1)答案見解析;(2)AB=3BE;(3)3.
【解析】
試題分析:(1)先判斷出NOCF+NCFO=90。,再判斷出NOCF=NOOF,即可得出結論;
(2)先判斷出NBDE=NA,進而得出△EBD"△EDA,得出AE=2DE,DE=2BE,即可得出結
論;
3
(3)設8E=x,則DE=£F=2x,AB=3x,半徑OD=-x,進而得出OE=l+2x,最后用勾股定理
2
即可得出結論.
試題解析:(1)證明:連結。D,如圖.,?,EF=ED,二NEFD=NEDF.??,NEFD=NCF。,
ZCFO=ZEDF.':OC±OF,:.ZOCF+ZCFO=90°.;OC=OD,:.ZOCF=ZODF,
ZODC+ZEDF=9O°,即NODE=90。,ODrDE.,點。在0。上,,DE是0。的切線;
(2)線段A3、8E之間的數量關系為:AB=3BE.證明如下:
TAB為。。直徑,ZADB=90°,:.ZADO=^BDE.':OA=OD,Z.ADO=ZA,
DEBEBD
:.ZBDE=NA,而NBED=NDEA,二△EBD-△EDA,:.':RtAABD
~AE~~DE~~\D
BD1DEBE\
中,tan>4=------=—
AD2~AE^~DE~2
AE=2DE,DE=2BE,:.AE=4BE,:.AB=3BE;
3
(3)設BE=x,則。E=EF=2x,A8=3x,半徑OD=—x.;OF=1,OE=l+2x.
2
3,2人一
在RtAODE中,由勾股定理可得:(一x)2+(2x)2=(l+2x)2,x=-----(舍)或x=2,
2
圓。的半徑為3.
點睛:本題是圓的綜合題,主要考查了切線的判定和性質,等腰三角形的性質,銳角三角
函數,相似三角形的判定和性質,勾股定理,判斷出△EBD”△EDA是解答本題的關鍵.
2.已知AB,CD都是。。的直徑,連接DB,過點C的切線交DB的延長線于點E.
(1)如圖1,求證:,AOD+2/E=180';
(2)如圖2,過點A作AF_LEC交EC的延長線于點F,過點D作DG_LAB,垂足為點
G,求證:DG=CF;
⑶如圖3,在⑵的條件下,當四=』時,在。0外取一點H,連接CH、DH分別交
OO于點M、N,且NHDE=NHCE,點P在HD的延長線上,連接P0并延長交CM于
點Q,若PD=11,DN=14,MQ=OB,求線段HM的長.
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)86+7
【解析】
【分析】
(1)由ND+NE=90",可得2ND+2N£=180°,只要證明NAOD=2AD即可;
(2)如圖2中,作。RJLAF于R.只要證明4A。的AOOG即可;
(3)如圖3中,連接BC、OM,ON、CN,作8兀LCL于T,作NKLCH于K,設CH交DE
于W.解直角三角形分別求出KM,即可;
【詳解】
(1)證明:如圖1中,
■E
與CE相切于點C,
.-.OC1CE,
二NOCE=90°,
.?./D+"=90°,
2/D+2/E=180',
?.?/AOD=/COB,40c=2",NAOD=2",
.?./AOD+2/E=180°.
(2)證明:如圖2中,作ORJ_AF于R.
NOCF=々=/ORF=90,
四邊形OCFR是矩形,
.-.AF//CD,CF=OR,
.?./A=/AOD,
在AAOR和NDDG中,
?.?/A=/AOD,NARO=/OGD=90°,OA=DO,
.-.△AORAODG.
OR=EXj,
EX3=CF,
(3)解:如圖3中,連接BC、OM、ON、CN,作BT_LCL于T,作NK_LCH于K,設CH
交DE于W.
設DG=3m,則CF=3m,CE=4m,
NOCF=4=/BTE=90,
.-.AF//OC//BT,
?.OA=OB,
CT=CF=3m,
;.ET=m,
?:CD為直徑,
/CBD=NCND=90=NCBE,
NE=90-NEBT=/CBT,
tanZ^E=tan/CBT,
,_B_T—_C_T
,ET-BT'
.BT_3m
一就
BT=gm(負根已經舍棄),
.Gmrz
..tanN^E-------=yJ3,
m
/./E=60。,
?.?/CWD=^HDE+^H,^HDE=^HCE,
=60,
/./MON=2/HCN=60°,
?.OM=ON,
.?.△OMN是等邊三角形,
.-.MN=ON,
?.QM=OB=OM,
.?./MOQ=/MQO,
NMOQ+/PON=180-/MON=120°,NMQO+—P=180,-NH=120°,
.?./ON=4,
.?.ON=NP=14+11=25,
...CD=2ON=50,MN=ON=25,
在Rt^CDN中,CN=VCD2-DN2=A/502-142=48,
CN48r-
在RSCHN中,tan/H=J=上=G,
HNHN
HN=16G,
在Rt^KNE中,KH=-HN=8>/3,NK=—HN=24,
22
在RSNMK中,MK=7MN2-NK2=7252-242=7>
HM=HK+MK=8A/3+7.
【點睛】
本題考查圓綜合題、全等三角形的判定和性質、平行線的性質、勾股定理、等邊三角形的
判定和性質、銳角三角函數等知識,添加常用輔助線,構造全等三角形或直角三角形解題
的關鍵.
3.如圖,CD為。。的直徑,點8在。。上,連接8C、BD,過點8的切線AE與8的延長
線交于點4ZAEO=ZC,0E交8c于點F.
(1)求證:OEW8。;
2
(2)當。。的半徑為5,sinNDBA=g時,求EF的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)EF的長為一
2
【解析】
試題分析:(1)連接0B,利用已知條件和切線的性質證明;
(2)根據銳角三角函數和相似三角形的性質,直接求解即可.
試題解析:(1)連接。B,「c。為。。的直徑,ZCBD=ZCBO+ZOBD=90°.
.?AE是。。的切線,,ZABO=ZABD+ZOBD=90°,二ZABD^ZCBO.
OB,OC是。。的半徑,.-.OB=OC.:.ZC=ZCBO.ZC=ZABD.
,,,NE=NC,;./E=/ARD./.OEWBD.
2BD2
(2)由(1)可得sinNC=NDBA=二,在RtA中,sinNC=而=《,OC=5,
BD="/CBD=NEBO=90。
-:NE=NC,△CBD-△EBO.
BDCD
~BO~~EO
--£0=f
,/OEWBD,CO=ODf
CF=FB.
OF==BD=2.
2
EF=0E-0F=4
2
4.如圖,一條公路的轉彎處是一段圓弧(A3).
(1)用直尺和圓規作出所在圓的圓心°;(要求保留作圖痕跡,不寫作法)
⑵若A8的中點C到弦AB的距離為20機,AB=80m,求A8所在圓的半徑?
【答案】⑴見解析;(2)50m
【解析】
分析:0)連結AC、BC,分別作AC和BC的垂直平分線,兩垂直平分線的交點為點O,如
圖1;
(2)連接OA,OC,OC交AB于D,如圖2,根據垂徑定理的推論,由C為AB的中點得
到OC_LAB,AD=BD=-AB=40,則CD=20,設。0的半徑為r,在Rt?)AD
2
中利用勾股定理得到E=(r-20產+402,然后解方程即可.
詳解:(1)如圖1,
圖1
點。為所求:
(2)連接0AOC,OC交AB于D,如圖2,
圖工.
為AB的中點,
0C1AB,
:.AD=BD=-AB=40,
2
設0。的半徑為r,則。4=r,OD=OD—CD=r-必
在R/ACM中,?.?QA2=O2+A2
。£)£)
r2=(r-20)2+402,解得r=50,
即48所在圓的半徑是50m.
點睛:本題考查了垂徑定理及勾股定理的應用,在利用數學知識解決實際問題時,要善于
把實際問題與數學中的理論知識聯系起來,能將生活中的問題抽象為數學問題.
5.如圖所示,以R3ABC的直角邊AB為直徑作圓O,與斜邊交于點D,E為BC邊上的中
點,連接DE.
(1)求證:DE是O。的切線;
(2),連接0E,AE,當NCAB為何值時,四邊形AOED是平行四邊形?并在此條件下求
sinzCAE的值.
【答案】⑴見解析;⑵巫.
10
【解析】
分析:(1)要證DE是。。的切線,必須證ED_LOD,即NEDB+NODB=90。
(2)要證AOED是平行四邊形,則DEUAB,D為AC中點,又BD_LAC,所以△ABC為等
腰直角三角形,所以NCAB=45。,再由正弦的概念求解即可.
詳解:(1)證明:連接0、D與B、D兩點,
△BDC是RtA,且E為BC中點,
ZEDB=ZEBD.(2分)
又OD=OB且NEBD+ZDBO=90",
ZEDB+ZODB=90°.
DE是。。的切線.
(2)解:ZEDO=ZB=90°,
若要四邊形AOED是平行四邊形,則DEIIAB,D為AC中點,
又;BD_LAC,
…ABC為等腰直角三角形.
ZOAB=45°.
過E作EHXAC于H,
設BC=2k,貝ljEH="k,AE=J^k,
2
點睛:本題考查的是切線的判定,要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點,連接圓心
和這點(即為半徑),再證垂直即可.
6.如圖.在△ABC中,NC=90°,AC^BC,A8=30cm,點P在A8上,AP=10cm,點E從點P
出發沿線段PA以2cm/s的速度向點A運動,同時點F從點P出發沿線段PB以lcm/s的速
度向點8運動,點E到達點A后立刻以原速度沿線段A8向點B運動,在點E、F運動過程
中,以EF為邊作正方形EFGH,使它與△ABC在線段A8的同側,設點£、F運動的時間為t
(s)(0<f<20).
(1)當點“落在AC邊上時,求t的值;
(2)設正方形EFG”與△A8C重疊部分的面積為5.①試求5關于t的函數表達式;②以
點C為圓心,為半徑作。c,當OC與GH所在的直線相切時,求此時S的值.
2
9/?(0<2)<
7
【答案】(1)t=2s或10s;(2)(l)s=?--Z2+50?-50(2<Z<10);②100cm2.
t2-4QMJ-400720)<t<
【解析】
試題分析:(1)如圖1中,當0VK5時,由題意AE=EH=EF,即10-2t=3t,t=2;如圖2
中,當5Vt<20時,AE=HE,2t-10=10-(2t-10)+t,t=10;
(2)分四種切線討論a、如圖3中,當。〈仁2時,重疊部分是正方形EFGH,S=(3t)
2=9巴b、如圖4中,當2cts5時,重疊部分是五邊形EFGMMc、如圖5中,當5<t<
10時,重疊部分是五邊形EFGMN.d、如圖6中,當10<t<20時,重疊部分是正方形
EFGH.分別計算即可;
②分兩種情形分別列出方程即可解決問題.
試題解析:解:(1)如圖1中,當0<仁5時,由題意得:AE=EH=EF,即10-2t=3t,t=2
圖1
如圖2中,當5Vt<20時,AE=HE,2t-10=10-(2t-10)+t,t=W.
綜上所述:t=2s或10s時,點H落在AC邊上.
圖2
(2)①如圖3中,當0<仁2時,重疊部分是正方形EFGH,5=(3t)2=9t2
c
圖3
如圖4中,當2Vt45時,重疊部分是五邊形斤GMM5=(3t)2--(5t-10)2=-
-t2+S0t-S0.
2
圖4
如圖5中,當5Vt<10時,重疊部分是五邊形EFGMN,5=(20-t)2--(30-3t)2=-
7,
-F+50t-50.
2
圖5
如圖6中,當10Vt<20時,重疊部分是正方形EFGH,S=(20-t)^t2-40t+400.
c
]30
②如圖7中,當0<t45時,-t+3t=15,解得:t=一,此時5=100<:w,當5<t<20時,
27
-t+20-t=15,解得:t=10,此時S=100.
2
綜上所述:當。C與G/■/所在的直線相切時,求此時S的值為100cm2
點睛:本題考查了圓綜合題、正方形的性質、等腰直角三角形的性質、切線的性質等知
識,解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題,學會用分類討論的思想思考問題,注意不
能漏解,屬于中考壓軸題.
7.已知:如圖1,ZACG=90。,AC=2,點B為CG邊上的一個動點,連接AB,將△ACB沿
AB邊所在的直線翻折得到AADB,過點D作DFXCG于點F.
(1)當BC=2叵時,判斷直線FD與以AB為直徑的00的位置關系,并加以證明;
3
(2)如圖2,點B在CG上向點C運動,直線FD與以AB為直徑的00交于D、H兩點,
連接AH,當NCAB=ZBAD=ZDAH時,求BC的長.
G.
【答案】(1)直線FD與以AB為直徑的。0相切,理由見解析;⑵20一2.
【解析】
試題分析:(1)根據已知及切線的判定證明得,直線FD與以AB為直徑的。0相切:
(2)根據圓內接四邊形的性質及直角三角形的性質進行分析,從而求得BC的長.
試題解析:
(1)判斷:直線FD與以AB為直徑的O0相切.
證明:如圖,
作以AB為直徑的
△ADB是將△ACB沿AB邊所在的直線翻折得到的,
「?△ADBM△ACB,
ZADB=ZACB=90°.
TO為AB的中點,連接DO,
OD=OB=—AB,
2
「?點D在。0上.
在RtZkACB中,BC二冬些AC=2;
_3
/.tanzCAB=—=^,
AC3
/.ZCAB=ZBAD=30°,
/.ZABC=ZABD=60°,
「.△BOD是等邊三角形.
ZBOD=60°.
ZABC=ZBOD,
???FCIIDO.
?/DF±CG,
「?ZODF=ZBFD=90°,
OD±FD,
FD為。。的切線.
(2)延長AD交CG于點E,
同(1)中的方法,可證點C在。。上;
四邊形ADBC是圓內接四邊形.
ZFBD=Z1+Z2.
同理NFDB=Z2+Z3.
Z1=Z2=Z3,
ZFBD=ZFDB,
又NDFB=90°.
EC=AC=2.
設BC=x,則BD=BC=x,
ZEDB=90",
EB=
?/EB+BC=EC,
.5/^X+X=2,
解得x=2-2,
BC=2&-2.
8.解決問題:
(1)如圖①,半徑為4的外有一點P,且P0=7,點A在。。上,則PA的最大值和
最小值分別是和.
(2)如圖②,扇形AOB的半徑為4,—AQB=45°,P為弧AB上一點,分別在0A邊找
點E,在0B邊上找一點F,使得AFEV周長的最小,請在圖②中確定點E、F的位置并直
接寫出周長的最小值;
拓展應用
(3)如圖③,正方形ABCD的邊長為4正;E是CD上一點(不與D、C重合),
C尸_LBE于F,P在BE上,且PF=CF,M、N分別是AB、AC上動點,求△上〃汽周長
的最小值.
圖①圖③
【答案】⑴11,3;(2)圖見解析,APEE周長最小值為4夜;(3)4y/10-4y/2.
【解析】
【分析】
(1)根據圓外一點P到這個圓上所有點的距離中,最遠是和最近的點是過圓心和該點的直
線與圓的交點,容易求出最大值與最小值分別為11和3;
(2)作點P關于直線0A的對稱點耳,作點P關于直線0B的對稱點鳥,連接耳、P2,與
OA、0B分別交于點E、F,點E、F即為所求,此時/周長最小,然后根據等腰直角
三角形求解即可;
(3)類似(2)題作對稱點,AP/WN周長最小=64,然后由三角形相似和勾股定理求解.
【詳解】
解:(1)如圖①,?.?圓外一點P到這個圓上所有點的距離中,最大距離是和最小距離都在
過圓心的直線0P上,
此直線與圓有兩個交點,圓外一點與這兩個交點的距離個分別最大距離和最小距離.
.??PA的最大值=尸4=尸。+04=7+4=11,
PA的最小值=尸4=尸。一=7-4=3,
故答案為11和3;
(2)如圖②,以。為圓心,0A為半徑,畫弧AB和弧BD,作點P關于直線OA的對稱點
片,作點P關于直線0B的對稱點鳥,連接片、P2,與OA、0B分別交于點E、F,點E、
F即為所求.
連接。《、。鳥、OP、PE、PF,
由對稱知識可知,ZAOPy=^AOP,NBOP^NBOP,PE=^E,PF=P2F
NAOq+NBOg=NAOP+/6OP=NAO5=45°,
C=45。+45°=9(),
.?.△1。舄為等腰直角三角形,
3=血(用=46,
△PEF周長=PE+PF+EF=<E+RF+EF=《鳥4近,此時.PEF周長最小.
故答案為4c;
(3)作點P關于直線AB的對稱A,連接人6、BA,作點P關于直線AC的對稱鳥,
連接4、P”與AB、AC分別交于點M、N.如圖③
由對稱知識可知,PM=P}M,PN=P1N,APMN周長
=PM+PN+MN=PMP?N+MN=PR,
此時,APM/V周長最小=46?
由對稱性可知,^BAPi=ZBAP,NEAPyNEAP,AP^AP=AP2,
ZBAPX+ZEAP2=ZBAP+^EAP=/BAC=45°
QA6=45°+45。=90,
.?.△《A鳥為等腰直角三角形,
.?.△PMN周長最小值片g=CAP,當AP最短時,周長最小.
連接DF.
vCF±BE,且PF=C廠,
PC質
/.ZPCF=45°.—=V2
?.?/AC£>=45*,
:.NPCF=NACD,NPCA=/FCD,
又告S
ACPC
..在AAPC與AOFC中,——=——,NPCA=NFCD
CDCF
.'.^APC-ADFC,
DFCD
AP=6DF
-.?NBFC=90,取AB中點0.
???點F在以BC為直徑的圓上運動,當D、F、0三點在同一直線上時,DF最短.
DF=DO—FO=y]0C2+CD2-OC=?2互+(4臥-242=2M-20,
AP最小值為AP=y/2DF
,此時,APMN周長最小值
PR=4iAP=C.垃DF=&O(2M_2吟=4屈.
【點睛】
本題考查圓以及正方形的性質,運用圓的對稱性和正方形的對稱性是解答本題的關鍵.
9.如圖1,四邊形ABCD是正方形,點E是邊BC上一點,點F在射線CM上,NAEF=90。,
AE=EF,過點F作射線BC的垂線,垂足為H,連接AC.
⑴試判斷BE與FH的數量關系,并說明理由;
(2)求證:ZACF=90°;
⑶連接AF,過A,E,F三點作圓,如圖2.若EC=4,NCEF=15。,求建的長.
圖1圖2
【答案】(1)BE="FH";理由見解析
(2)證明見解析
(3)於2n
【解析】
試題分析:(1)由AABE"△EHF(SAS)即可得到BE=FH
(2)由(1)可知AB=EH,而BC=AB,FH=EB,從而可知△FHC是等腰直角三角形,ZFCH
為45°,而NACB也為45°,從而可證明
(3)由已知可知NEAC=30°,AF是直徑,設圓心為0,連接E0,過點E作ENJLAC于點N,
則可得△ECN為等腰直角三角形,從而可得EN的長,進而可得AE的長,得到半徑,得到
蔡所對圓心角的度數,從而求得弧長
試題解析:(1)BE=FH.理由如下:
四邊形ABCD是正方形Z6=90°,
,JFHJLBCZFHE=90°
又;ZAEF=90°ZAEB+ZHEF="900"且NBAE+ZAEB=90°
ZHEF=ZBAEZAEB=ZEFH又:AE=EF
△ABE鯉△EHF(SAS)
BE=FH
(2)-.,△ABE合△EHF
BC=EH,BE=FH文:BE+EC=EC+CH二BE="CH"
CH=FH
ZFCH=45HZFCM=45°
「AC是正方形對角線,J.NACD=45。
ZACF=ZFCM+ZACD=90"
(3);AE=EF,J.△AEF是等腰直角三角形
△AEF外接圓的圓心在斜邊AF的中點上.設該中點為0.連結E。得NAOE=90。
過E作EN_LAC于點N
RtAENC中,EC=4,NECA=45°,EN=NC=271
RtAENA中,EN=2^2
丈:乙EAF=45°ZCAF=ZCEF=15°(等弧對等角)
ZEAC=30"
AE=4&
RtAAFE中,AE=40=EF,/.AF=8
AE所在的圓。半徑為4,其所對的圓心角為NAOE=90°
癥=2TV4(90O4-360°)=2n
考點:1、正方形;2、等腰直角三角形;3、圓周角定理;4、三角函數
10.如圖,已知AB是。O的直徑,P是BA延長線上一點,PC切。。于點C,CD_LAB,垂
足為D.
(1)求證:ZPCA=NABC;
(2)過點A作AE1IPC交。。于點E,交CD于點F,交BC于點M,若NCAB=2NB,CF
=也,求陰影部分的面積.
【答案】(1)詳見解析;(2)°兀-3?
4
【解析】
【分析】
(I)如圖,連接OC,利用圓的切線的性質和直徑對應的圓周角是直角可得
ZPCA=ZOCB,利用等量代換可得NPCA=ZABC.
(2)先求出△OCA是等邊三角形,在利用三角形的等邊對等角定理求出FA=FC和CF=FM,
然后分別求出AM、AC、MO、CD的值,分別求出S^E、S扇形形、SMBM的值,利用
S陰影部分=S&40E+S扇形80E-S&48M,然后通過計算即可解答.
【詳解】
解:(1)證明:連接OC,如圖,
;PC切。0于點C,OC±PC,
?.ZPCA+ZACO=902,
,-ABMOO的直徑,,ZACB=ZACO+OCB=90°
ZPCA=ZOCB,
OC=OB,.,.ZOBC=ZOCB,
ZPCA=NABC;
(2)連接OE,如圖,
AACB中,ZACB=909,ZCAB=2ZB,
ZB=305,ZCAB=609,.-.AOCA是等邊三角形,
,/CD±AB,.,.ZACD+ZCAD=NCAD+zABC=90。,
ZACD=ZB=30。,
,/PCIIAE,.,.ZPCA=ZCAE=305,/.FC=FA,
同理,CF=FM「.AM=2CF=26,
RtAACM中,AC=2V3x—=3=OC,
2
ZB=ZCAE=30”.ZAOC=NCOE=60。,
ZEOB=602r-.ZEAB=ZABC=30%,MA=MB,
連接OM,EG_LAB交AB于G點,如圖所示,
OA=OB,/.MO-LAB,.,.MO=OAxtan30*=6,
ACDOSAEDO(AAS),
EG=CD=ACxsin605=-x/3,
2
:?S^BM=^ABxMO=3y[3,
同樣,易求等,
60^-x32?>7i
扇形BOE3602
.e_c.c_c9733/r/r6兀-3下)
一◎陰影部分一十。扇形BOE2MBM=——+-------73=----------------
424
【點睛】
本題考查了切線的性質、解直角三角形、扇形面積和識圖的能力,綜合性較強,有一定難
度,熟練掌握定理并準確識圖是解題的關鍵.
11.如圖1,等腰直角△ABC中,ZACB=90",AC=BC,過點A,C的圓交AB于點D,交BC
于點E,連結DE
(1)若AD=7,BD=1,分別求DE,CE的長
(2)如圖2,連結CD,若CE=3,AACD的面積為10,求tanNBCD
(3)如圖3,在圓上取點P使得NPCD=NBCD(點P與點E不重合),連結PD,且點D
是&CPF的內心
①請你畫出ACPF,說明畫圖過程并求NCDF的度數
②設PC=a,PF=b,PD=c,若(a-J^c)(b-及c)=8,求△CPF的內切圓半徑長.
圖1圖2圖3
【答案】(1)DE=1,CE=3&;(2)tanzBCD=-;(3)①135°;②2.
【解析】
【分析】
(1)由A、C、E、D四點共圓對角互補為突破口求解;
(2)找NBDF與NODA為對頂角,在。。中,ZC0D=2ZCAD,證明△OCD為等腰直角三
角形,從而得到NEDC+ZODA=45°,即可證明NCDF=135°;
(3)過點D做。HJ.CB于點H,以D為圓心,DH為半徑畫圓,過點P做。。切線PF
交CB的延長線于點F,結合圓周角定理得出NCPD=ZCAD=45。,再根據圓的內心是三角形
三個內角角平分線的交點,得出NCPF=90。,然后根據角平分線性質得出
ZDCF+ZCFD=-ZPCF+-ZPFC=45°,最后再根據三角形內角和定理即可求
22
解;證明NDCF+NCFD=45。,從而證明NCPF是直角,再求證四邊形PKDN是正方形,最后
以△PCF面積不變性建立等量關系,結合已知(a-0c)(b-0c)=8,消去字母a,b求
出c值,即求出ACPF的內切圓半徑長為-c.
【詳解】
(1)由圖可知:
設BC=x.在RSABC中,AC=BC.由勾股定理得:
AC2+BC2=AB2,
;AB=AD+BD,AD=7,BD=1,
X2+X2=82,
解得:x=4>/2.
OO內接四邊形,ZACD=90°,
ZADE=90°,
/.ZEDB=90°,
??,ZB=45°,
??.△BDE是等腰直角三形.
DE=DB,
又「DB=1,
DE=1,
又=CE=BC-BE,
CE=4虛-&=30?
(2)如圖所示:
圖2
在△DCB中過點D作DM_LBE,設BE=y,則DM='y,
2
又CE=3,BC=3+y,
SAACB=SACD+SDCB,
「?—x4\/2x472=10+—x(3+y)x—y,
22v72
解得:y=2或y=-ll(舍去).
/.EM=1,
CM=CE+ME=l+3=4,
又「ZBCD=ZMCD,
/.tanZBCD=tanZMCD,
++DM1
在RtADCM中,tanZMCD=-------=—,
CM4
1
..tanNBCD=—.
4
(3)①如下圖所示:
過點D做。于點H,以D為圓心,DH為半徑畫圓,過點P做。。切線PF交CB
的延長線于點F.
ZCAD=45°,
ZCPD=ZCAD=45°,
又???點D是ACP廠的內心,
PD、CD、DF都是角平分線,
ZFPD=ZCPD=45°,ZPCD=ZDCF,ZPFD=ZCFD
ZCPF=90°
ZPCF+ZPFC=90°
ZDCF+ZCFD=-ZPCF+-ZPFC=45°
22
ZCDF=1800-ZDCF-ZCFDF=900+45°=135°,
即NCDF的度數為135°.
②如下圖所示
過點D分別作DK_LPC,DM±CF,DN_LPF于直線PC,CF和PF于點K,M,N三點,
設小PCF內切圓的半徑為m,則DN=m,
?.?點D是APCF的內心,
DM=DN=DK,
又ZDCF+ZCFD+ZFDC=180",ZFDC=45",
ZDCF+ZCFD=45°,
又;DC,DF分別是NPCF和NPFC的角平分線,
ZPCF=2NDCF,ZPFC=2NDFC,
ZPCF+ZPFC=90",
ZCPF=90°.
在四邊形PKDN中,ZPND=ZNPK=ZPKD=90°,
四邊形PKDN是矩形,
又;KD=ND,
四邊形PKDN是正方形.
又;ZMBD=ZBDM=45°,
ZBDM=NKDP,
ZKDP=45°.
PC=a,PF=b,PD=c,
PN=PK=—C,
2
V272
NF=b---------C,CK=a---------c,
22
又..,CK=CM,FM=FN,CF=CM+FM,
,,CF=a+b->/2cf
丈:SAPCF=SAPDF+SAPDC+SADCF,
—ab=—ax^-c+—bx^-c+—(a+b-^c),
2222222
化簡得:ab=V2(a+b)c-c2---(I),
又?若(a-J5c)(b-夜c)=8
化簡得:ab-V2c(a+b)+2c2=8--?一(II),
將(I)代入(H)得:C2=8,
解得:c=2五,或c=-2及(舍去),
.5/2A/2FT
..m=---c=---x2V2=2,
22
即△CPF的內切圓半徑長為2.
【點睛】
本題考查圓的內接四邊形性質,圓的內心,圓心角、圓周角,同弧(或等弧)之間的相互
關系,同時也考查直角三角形,勾股定理,同角或等角的三角函數值相等和三角形的面積
公式,正方形,對頂角和整式的運算等知識點;難點是作輔助線和利用等式求ACPF的內
切圓半徑長.
12.如圖,已知△ABC,AB=a,BC=3,NB=45。,點D在邊BC上,聯結AD,以點A
為圓心,AD為半徑畫圓,與邊AC交于點E,點F在圓A上,且AF_LAD.
(1)設BD為x,點D、F之間的距離為y,求y關于x的函數解析式,并寫出定義域;
(2)如果E是0尸的中點,求80:8的值;
(3)聯結CF,如果四邊形ADCF是梯形,求BD的長.
【答案】⑴y=74-4x+2x2(0<x<3);(2):;(3)BD的長是1或2S.
【解析】
【分析】
(1)過點A作AHLBC,垂足為點H.構造直角三角形,利用解直角三角形和勾股定理求
得AD的長度.聯結DF,點D、F之間的距離y即為DF的長度,在RtAADF中,利用銳角
三角形函數的定義求得DF的長度,易得函數關系式.
(2)由勾股定理求得:ACZAH?+DH?■設DF與AE相交于點Q,通過解RtADCQ和
DQ1
RtAAHC推知7石=不.故設DQ=k,CQ=2k,AQ=DQ=k,所以再次利用勾股定理推知DC
的長度,結合圖形求得線段BD的長度,易得答案.
(3)如果四邊形ADCF是梯形,則需要分類討論:①當AFHDC、②當ADIIFC.根據相
似三角形的判定與性質,結合圖形解答.
【詳解】
(1)過點A作垂足為點從
N8=45°,AB-y/2>BH=AH=ABcosB=1.
BD為jx,DH=\x-\\.
在RtAADH中,ZAHD=90°,,AD=y/AH2+DH2=)2-2%+£.
聯結DF,點D、F之間的距離y即為DF的長度.
:點F在圓A上,且AFJ_AD,,AD=AF,ZADF=45°.
在RtAADF中,ZDAF=90°,:.DF=———=y/4-4x+2x2.
cosZADF
y=s/4-4x+2x2-(0<x<3);
(2),.,E是前的中點,AE±DF>AE平分OF.
22
,1BC=3,HC=3—1=2.A.C—AH+HC-V5,
設DF與AE相交于點Q,在RsOC。中,NOQC=90°,tan/DCQ=g^.
AHI
在RS4HC中,ZAHC^90°,tanZACH=——=—.
HC2
ZDCQ=ZACH,,爵=g.
設DQ=k,CQ=2k,AQ=DQ=k,
,:3k=5k=叵,DC=y/DQ、CQ2=|.
44
.BD=BC—DC=—,;.BD:CD=—
35
(3)如果四邊形ADCF是梯形
則①當AFIIDC時,ZAFD=NFDC=45。.
ZA£)F=45°.AD1BC,即點。與點H重合.,BD=\.
②當AOIIFC時,ZADF=NCFD=45。.
ZB=45°,A/B=NCFD.
■.ZB+ZBAD=ZADF+ZFDC,AZBAD=ZFDC.
,2cA8AD
^ABDs^DFC.----.
DFDC
DF=41AD>DC=BC-BD.
AD2=BC-BD.即(j2-2x+fJ=3—%,
整理得x2-x-l=O,解得》=生叵(負數舍去).
2
綜上所述,如果四邊形ADCF是梯形,B。的長是1或¥苴.
2
【點睛】
此題屬于圓的綜合題,涉及了平行四邊形的性質、相似三角形的判定與性質、三角函數值
以及勾股定理等知識,綜合性較強,解答本題需要我們熟練各部分的內容,對學生的綜合
能力要求較高,一定要注意將所學知識貫穿起來.
13.如圖①,已知心AABC中,ZACB=90SAC=8,AB=10,點。是AC邊上一
點(不與C重合),以為直徑作。。,過C作CE切。。于E,交AB于F.
(1)若。。的半徑為2,求線段CE的長;
(2)若Af=BF,求0。的半徑;
(3)如圖②,若CE=C3,點8關于AC的對稱點為點G,試求G、E兩點之間的距
離.
【答案】⑴CE=4也;⑵。。的半徑為3;(3)G、E兩點之間的距離為9.6.
【解析】
【分析】
(1)根據切線的性質得出NOEC=90。,然后根據勾股定理即可求得;
(2)由勾股定理求得BC,然后通過證得△OEC-△BCA,得到絲=生,即[=旦,解
BCBA610
得即可;
GBGE
(3)證得D和M重合,E和F重合后,通過證得△GBEsAABC,——=—,即
ABAC
12GE?
—=——>解得即可.
108
【詳解】
(1)如圖,連結OE.
CE切。。于E,
NOEC=90。.
AC=8,。。半徑為2,
OC=6,OE=2.
CE=y10C2-0E2=472;
(2)設。。半徑為
在用ZVLBC中,ZACB=9Q0,AB=10,AC=8,
BC7ABJAC。=6.
AF=BF,
■.AF=CF=BF.
ZACF=ZCAF.
???CE切。。于E,
NOEC=90。.
Z.OEC=ZACB,
??AOEC-ABC4.
,OEOC
BC-BA'
.r_8—r
"I丁’
解得r=3.
0。的半徑為3;
⑶連結EG、OE,設EG交AC于點M,
A
由對稱性可知,CB=CG.
又CE=CB,
CE=CG.
ZEGC=ZGEC.
■■CE切0。于E,
NGEC+NOEG=90。.
又ZEGC+ZGMC=90°,
ZOEG=/GMC.又NGMC=ZOME,
NOEG=NOME.
??.OE=OM.
.??點M與點。重合.
G、D、E三點在同一條直線上.
連結AE、BE,
1??AD是直徑,
ZAED=90°,即ZAEG=90°.
又CE=CB=CG,
NBEG=90。.
ZAEB=ZAEG+ZBEG=180°,
???A、E、3三點在同一條直線上.
■1.E、/兩點重合.
4GEB=ZACB=90。,ZB=ZB,
■./SGBE-^ABC.
.GBGEHn12GE
ABAC108
??.GE=9.6.
故G、E兩點之間的距離為9.6.
【點睛】
本題考查了切線的判定,軸的性質,勾股定理的應用以及三角形相似的判定和性質,證得
G、D、E三點共線以及A、E、B三點在同一條直線上是解題的關鍵.
14.如圖,A8是O。的直徑,4。是。。的弦,點F是。A延長線上的一點,過O。上一點
C作。。的切線交OF于點E,CErDF.
(1)求證:AC平分N以8;
(2)若AE=1,CE=2,求。。的半徑.
【答案】(1)證明見解析;(2)-
2
【解析】
試題分析:(1)連接0C,根據切線的性質和圓周角定理,得出NOCA=NOAC與
NC4E=N。。,然后根據角平分線的定義可證明;
(2)由圓周角定理得到NBCA=90。,由垂直的定義,可求出NCEA=90。,從而根據兩角對應
相等的兩三角形相似可證明△ACB”△AEC,再根據相似三角形的對應邊成比例求得AB的
長,從而得到圓的半徑.
試題解析:(1)證明:連接。C.
CE是。。的切線,:.NOCE=90。
???CE±DF,ZC£A=90°,
ZACE+ZLCAE=Z.ACE+Z.0cA=90°,ZCAE=NOCA
':OC=OA,
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