2024屆湖北省名校聯盟數學高二下期末調研模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．從裝有3個白球,4個紅球的箱子中,隨機取出了3個球,恰好是2個白球,1個紅球的概率是()A． B． C． D．2．已知集合，，則A． B． C． D．3．已知復數滿足，則復數在復平面內對應的點為()A． B． C． D．4．用數學歸納法證明“”,從“到”左端需增乘的代數式為()A． B． C． D．5．函數f(x)=x+1A． B． C． D．6．函數在點處的導數是（）．A．0 B．1 C．2 D．37．已知函數f(x)=2x3+ax+a.過點M(-1,0)引曲線C:y=f(x)的兩條切線，這兩條切線與y軸分別交于A，B兩點，若|MA|=|MB|，則f(x)A．-324 B．-38．設為中的三邊長，且，則的取值范圍是（）A． B．C． D．9．已知曲線和曲線圍成一個葉形圖；則其面積為（）A．1 B． C． D．10．已知函數，是奇函數，則（）A．在上單調遞減 B．在上單調遞減C．在上單調遞增 D．在上單調遞增11．給出定義：設是函數的導函數，是函數的導函數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”.已知函數的拐點是，則（）A． B． C． D．112．在的展開式中，項的系數為（）．A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．由曲線,直線及軸所圍成的平面圖形的面積為________.14．某超市國慶大酬賓，購物滿100元可參加一次游戲抽獎活動，游戲抽獎規則如下：顧客將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器正上方的入口處，小球自由落下過程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中，落入A袋得獎金4元，落入B袋得獎金8元，已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左向右下落的概率都為.已知李女士當天在該超市購物消費128元，按照活動要求，李女士的活動獎金期望值為_____元.15．設，則等于___________．16．，，，，……則根據以上四個等式，猜想第個等式是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某地隨著經濟的發展，居民收入逐年增長，下表是該地一建設銀行連續五年的儲蓄存款（年底余額），如下表1：年份x20112012201320142015儲蓄存款y（千億元）567810為了研究計算的方便，工作人員將上表的數據進行了處理，得到下表2：時間代號t12345z01235（Ⅰ）求z關于t的線性回歸方程；（Ⅱ）通過（Ⅰ）中的方程，求出y關于x的回歸方程；（Ⅲ）用所求回歸方程預測到2020年年底，該地儲蓄存款額可達多少？（附：對于線性回歸方程，其中）18．（12分）已知函數（為自然對數的底數）.（1）討論函數的單調性；（2）當時，恒成立，求整數的最大值.19．（12分）設函數，.（1）討論函數的單調性；（2）已知，若存在使得，求實數的取值范圍.20．（12分）已知函數.（1）求的單調區間；（2）證明：當時，方程在區間上只有一個解；（3）設，其中.若恒成立，求的取值范圍.21．（12分）求下列函數的導數：（1）；（2）.22．（10分）已知函數（其中，為自然對數的底數）．（Ⅰ）若函數無極值，求實數的取值范圍；（Ⅱ）當時，證明：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：根據古典概型計算恰好是2個白球1個紅球的概率.詳解：由題得恰好是2個白球1個紅球的概率為.故答案為:C.點睛：（1）本題主要考查古典概型，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)古典概型的解題步驟:①求出試驗的總的基本事件數；②求出事件A所包含的基本事件數；③代公式=.2、C【解題分析】

利用一元二次不等式的解法化簡集合，再根據集合的基本運算進行求解即可．【題目詳解】因為，，所以，故選C．【題目點撥】研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應滿足的屬性.研究兩集合的關系時，關鍵是將兩集合的關系轉化為元素間的關系.3、A【解題分析】

利用復數除法運算，化簡為的形式，由此求得對應的點的坐標.【題目詳解】依題意，對應的點為，故選A.【題目點撥】本小題主要考查復數的除法運算，考查復數對應點的坐標，屬于基礎題.4、B【解題分析】

分別求出時左端的表達式，和時左端的表達式，比較可得“從到”左端需增乘的代數式.【題目詳解】由題意知，當時，有，當時，等式的左邊為，所以左邊要增乘的代數式為.故選：.【題目點撥】本題主要考查的是歸納推理，需要結合數學歸納法進行求解，熟知數學歸納法的步驟，最關鍵的是從到，考查學生仔細觀察的能力，是中檔題.5、A【解題分析】

可分類討論，按x>0，x<-1，-1<x<0分類研究函數的性質，確定圖象．【題目詳解】x>0時，f(x)=logax是增函數，只有A、B符合，排除Cx<-1時，f(x)=-loga(-x)＜0，只有A故選A．【題目點撥】本題考查由函數解析式選取圖象，解題時可通過研究函數的性質排除一些選項，如通過函數的定義域，單調性、奇偶性、函數值的符號、函數的特殊值等排除錯誤的選項．6、C【解題分析】

求導后代入即可.【題目詳解】易得,故函數在點處的導數是.故選：C【題目點撥】本題主要考查了導數的運算,屬于基礎題.7、A【解題分析】

設切點的橫坐標為t，利用切點與點M連線的斜率等于曲線C在切點處切線的斜率，利用導數建立有關t的方程，得出t的值，再由MA=MB得出兩切線的斜率之和為零，于此得出a的值，再利用導數求出函數【題目詳解】設切點坐標為(t,2t3+at+a)，∵y'=6解得t=0或t=-32.∵|MA|=|MB|，∴y'則a=-274，f'(x)=6x2-274.當x<-324或x>【題目點撥】本題考查導數的幾何意義，考查利用導數求函數的極值點，在處理過點作函數的切線時，一般要設切點坐標，利用切線與點連線的斜率等于切線的斜率，考查計算能力，屬于中等題。8、B【解題分析】

由，則，再根據三角形邊長可以證得，再利用不等式和已知可得，進而得到，再利用導數求得函數的單調性，求得函數的最小值，即可求解．【題目詳解】由題意，記，又由，則，又為△ABC的三邊長，所以，所以，另一方面，由于，所以，又，所以，不妨設，且為的三邊長，所以．令，則，當時，可得，從而，當且僅當時取等號．故選B．【題目點撥】本題主要考查了解三角形，綜合了函數和不等式的綜合應用，以及基本不等式和導數的應用，屬于綜合性較強的題，難度較大，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于難題．9、D【解題分析】

先作出兩個函數的圖像，再利用定積分求面積得解.【題目詳解】由題得函數的圖像如圖所示，聯立得交點（1,1）所以葉形圖面積為.故選：D【題目點撥】本題主要考查定積分的應用，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.10、B【解題分析】分析：因為是奇函數，所以，故，令，則的單調減區間為，從而可以知道在上單調遞減.詳解：，因是奇函數，故，也即是，化簡得，所以，故，從而，又，故，因此.令，，故的單調減區間為，故在上單調遞減.選B.點睛：一般地，如果為奇函數，則，如果為偶函數，則.11、D【解題分析】

遇到新定義問題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，在該題中求出原函數的導函數，再求出導函數的導函數，由導函數的導函數等于0，即可得到拐點，問題得以解決．【題目詳解】解：函數，，，因為方程有實數解，則稱點，為函數的“拐點”，已知函數的“拐點”是，所以，即，故選：．【題目點撥】本題考查導數的運算．導數的定義，和拐點，根據新定義題，考查了函數導函數零點的求法；解答的關鍵是函數值滿足的規律，屬于基礎題12、A【解題分析】二項式展開式的通項為。所以展開式中項的系數為．選．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：由定積分知考點：定積分及其幾何意義14、5【解題分析】

先記“小球落入A袋中”為事件A，“小球落入B袋中”為事件B，分別求出其對應概率，再由題意得到抽取活動獎金的可能取值，進而可求出結果.【題目詳解】記“小球落入A袋中”為事件A，“小球落入B袋中”為事件B，由題意可得，所以.因為李女士當天在該超市購物消費128元，按照活動要求，李女士可參加一次抽獎，抽取活動獎金的可能取值為，所以期望為.故答案為5【題目點撥】本題主要考查離散型隨機變量的期望，熟記概念即可，屬于常考題型.15、【解題分析】

根據微積分基本定理可得，再結合函數解析式，根據牛頓萊布尼茨定理計算可得；【題目詳解】解：因為所以故答案為：【題目點撥】本題考查利用定積分求曲邊形的面積，屬于基礎題.16、.【解題分析】分析：根據已知的四個等式知；等式左邊自然對數的指數都是從開始，連續個正整數的和，右邊都是．詳解：，，，，……由上邊的式子，我們可以發現：等式左邊自然對數的指數都是從開始，連續個正整數的和，右邊都是，可猜想，.故答案為.點睛：本題通過觀察幾組等式，歸納出一般規律來考查歸納推理，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個別情況發現某些相同的性質.二、從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數的歸納和形的歸納兩類：(1)數的歸納包括數的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時還要聯系相關的知識，如等差數列、等比數列等；(2)形的歸納主要包括圖形數目的歸納和圖形變化規律的歸納.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）(Ⅲ)1.6千億元【解題分析】試題分析：（I）將數據代入回歸直線方程的計算公式，由此計算的回歸直線方程為；（II），，代入得到；（III）將代入上式，求得存款為千億.試題解析：（I），，，，（II），，代入得到：，即（III），預測到2020年年底，該地儲蓄存款額可達1．6千億元考點：回歸分析.18、(1)見解析；(2)的最大值為1.【解題分析】

（1）根據的不同范圍，判斷導函數的符號，從而得到的單調性；（2）方法一：構造新函數，通過討論的范圍，判斷單調性，從而確定結果；方法二：利用分離變量法，把問題變為，求解函數最小值得到結果.【題目詳解】（1）當時，在上遞增；當時，令，解得：在上遞減，在上遞增；當時，在上遞減（2）由題意得：即對于恒成立方法一、令，則當時，在上遞增，且，符合題意；當時，時，單調遞增則存在，使得，且在上遞減，在上遞增由得：又整數的最大值為另一方面，時，，，時成立方法二、原不等式等價于：恒成立令令，則在上遞增，又，存在，使得且在上遞減，在上遞增又，又，整數的最大值為【題目點撥】本題主要考查導數在函數單調性中的應用，以及導數當中的恒成立問題.處理恒成立問題一方面可以構造新函數，通過研究新函數的單調性，求解出范圍；另一方面也可以采用分離變量的方式，得到參數與新函數的大小關系，最終確定結果.19、（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解題分析】

（1）求導數，討論的不同范圍得到單調區間.（2）設函數，，函數單調遞增推出，解得答案.【題目詳解】（1）的定義域為.，，則.當時，則，在單調遞減；當時，，有兩個根，，不妨設，則，，由，，所以.所以時，，單調遞減；，或，單調遞增；當時，方程的，則，在單調遞增；綜上所述：當時，的減區間為；當時，的減區間為，增區間為和.當時，的增區間為.（2），，，所以在單調遞增，，，要使得在有解，當且僅當，解得：.【題目點撥】本題考查了函數的單調性，存在性問題，構造，判斷是解題的關鍵.20、（1）在上單調遞減，在區間上單調遞增.（2）見解析(3)【解題分析】分析：（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）求出函數的導函數，根據函數的單調性，得到函數在的零點個數，求出方程在的解的個數即可；（3）設，，根據函數的單調性求出函數的最小值，，求出的范圍即可.詳解：（1）由已知.所以，在區間上，函數在上單調遞減，在區間上，函數在區間上單調遞增.（2）設，.，由（1）知，函數在區間上單調遞增.且，.所以，在區間上只有一個零點，方程在區間上只有一個解.（3）設，，定義域為，，令，則，由（2）知，在區間上只有一個零點，是增函數，不妨設的零點為，則，所以，與在區間上的情況如下：-0+所以，函數的最小值為，，由，得，所以.依題意，即，解得，所以，的取值范圍為.點睛：該題考查的是有關應用導數研究函數的問題，涉及到的知識點有應用導數研究函數的單調性，應用導數研究函數的零點，應用導數研究恒成立問題，正確求解函數的導函數是解題的關鍵.21、（1）；