2024屆云南省昆明黃岡實驗學校數學高二下期末調研模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．曲線和直線所圍成圖形的面積是（）A．4 B．6 C．8 D．102．小明早上步行從家到學校要經過有紅綠燈的兩個路口，根據經驗，在第一個路口遇到紅燈的概率為0.4，在第二個路口遇到紅燈的概率為0.5，在兩個路口連續遇到紅燈的概率是0.2.某天早上小明在第一個路口遇到了紅燈，則他在第二個路口也遇到紅燈的概率是（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.53．已知函數是定義在上的偶函數，并且滿足，當時，，則（）A． B． C． D．4．同學聚會時，某宿舍的4位同學和班主任老師排隊合影留念，其中宿舍長必須和班主任相鄰，則5人不同的排法種數為（）A．48 B．56 C．60 D．1205．隨機變量的分布列如下：-101若，則的值是（）A． B． C． D．6．用數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中奇數的個數為A．24 B．48C．60 D．727．某幾何體的三視圖如圖，其正視圖中的曲線部分為半圓，則該幾何體的表面積為（）．A． B．C． D．8．已知是以為周期的偶函數，當時，，那么在區間內，關于的方程（且）有個不同的根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．在等差數列{an}中，，角α頂點在坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點（a2，a1+a3），則cos2α＝（）A． B． C． D．10．已知，，則是的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．已知雙曲線，兩條漸近線與圓相切，若雙曲線的離心率為，則的值為（）A． B． C． D．12．甲乙兩人有三個不同的學習小組，，可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個學習小組，則兩人參加同一個小組的概率為（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若隨機變量，且，則__________.14．設隨機變量服從正態分布，且，則__________．15．若滿足約束條件則的最大值為__________．16．某公司共有名員工，他們的月薪分別為萬，萬，萬，萬，萬，萬，萬，則這名員工月薪的中位數是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為調查某地區老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區調查了500位老年人，結果如下：性別

是否需要志愿者

男

女

需要

40

30

不需要

160

270

（1）估計該地區老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；（2）請根據上面的數據分析該地區的老年人需要志愿者提供幫助與性別有關嗎18．（12分）在直角坐標系中，圓的方程為．（Ⅰ）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，求的極坐標方程；（Ⅱ）直線的參數方程是（為參數）,與交于兩點，，求的斜率．19．（12分）已知不等式的解集為．（1）求集合；（2）設，證明：．20．（12分）已知拋物線的焦點為，準線為，點，在上的射影為，且是邊長為的正三角形.（1）求；（2）過點作兩條相互垂直的直線與交于兩點，與交于兩點，設的面積為的面積為（為坐標原點），求的最小值.21．（12分）已知函數（1）討論的單調性；（2）設是的兩個零點，證明：．22．（10分）把6本不同的書，全部分給甲，乙，丙三人，在下列不同情形下，各有多少種分法？（用數字作答）(Ⅰ)甲得2本；(Ⅱ)每人2本；(Ⅲ)有1人4本，其余兩人各1本．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：先根據題意畫出區域，然后依據圖形得到積分下限為0，積分上限為2，從而利用定積分表示出曲邊梯形的面積，最后用定積分的定義求出所求即可.詳解：曲線和直線的交點坐標為（0,0）,(2,2),(-2,-2),根據題意畫出圖形，曲線和直線所圍成圖形的面積是.故選C.點睛：該題所考查的是求曲線圍成圖形的面積問題，在解題的過程中，首先正確的將對應的圖形表示出來，之后應用定積分求得結果，正確求解積分區間是解題的關鍵.2、D【解題分析】

根據條件概率，即可求得在第一個路口遇到紅燈，在第二個路口也遇到紅燈的概率．【題目詳解】記“小明在第一個路口遇到紅燈”為事件，“小明在第二個路口遇到紅燈”為事件“小明在第一個路口遇到了紅燈，在第二個路口也遇到紅燈”為事件則，，故選D.【題目點撥】本題考查了條件概率的簡單應用，屬于基礎題．3、D【解題分析】

先由題得出函數的周期，再將變量調節到范圍內進行求解．【題目詳解】因為，所令，則，所以可得，即，所以函數的周期為，則，又因為函數是定義在上的偶函數，且當時，所以故選D【題目點撥】本題考查函數的基本性質，包括周期性，奇偶性，解題的關鍵是先求出函數的周期，屬于一般題．4、A【解題分析】

采用捆綁法，然后全排列【題目詳解】宿舍長必須和班主任相鄰則有種可能，然后運用捆綁法，將其看成一個整體，然后全排列，故一共有種不同的排法故選【題目點撥】本題考查了排列中的位置問題，運用捆綁法來解答即可，較為基礎5、D【解題分析】由題設可得，，所以由隨機變量的方差公式可得，應選答案D。6、D【解題分析】試題分析：由題意，要組成沒有重復數字的五位奇數，則個位數應該為1或3或5，其他位置共有種排法，所以奇數的個數為，故選D.【考點】排列、組合【名師點睛】利用排列、組合計數時，關鍵是正確進行分類和分步，分類時要注意不重不漏，分步時要注意整個事件的完成步驟．在本題中，個位是特殊位置，第一步應先安排這個位置，第二步再安排其他四個位置．7、C【解題分析】幾何體是一個組合體，包括一個三棱柱和半個圓柱，三棱柱的是一個底面是腰為的等腰直角三角形，高是，其底面積為：，側面積為：；圓柱的底面半徑是，高是，其底面積為：，側面積為：；∴組合體的表面積是，本題選擇C選項.點睛：(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關鍵是能夠對給出的三視圖進行恰當的分析，從三視圖中發現幾何體中各元素間的位置關系及數量關系．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應注意重合部分的處理．(3)圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面，計算側面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側面積與底面圓的面積之和．8、B【解題分析】

由已知，函數在區間的圖象如圖所示，直線y（且）表示過定點的直線，為使關于的方程（且）有個不同的根，即直線與函數的圖象有4個不同的交點.結合圖象可知，當直線介于直線和直線之間時，符合條件，故選.考點：函數的奇偶性、周期性，函數與方程，直線的斜率，直線方程.9、A【解題分析】

利用等差數列的知識可求的值，然后利用的公式可求.【題目詳解】由等差數列{an}的性質可知，所以，所以.故選：A.【題目點撥】本題主要考查等差數列的性質和三角函數求值，注意齊次式的轉化，側重考查數學運算的核心素養.10、A【解題分析】分析：首先根據指數函數的單調性，結合冪的大小，得到指數的大小關系，即，從而求得，利用集合間的關系，確定出p,q的關系.詳解：由得，解得，因為是的真子集，故p是q的充分不必要條件，故選A.點睛：該題考查的是有關充分必要條件的判斷，在求解的過程中，首先需要判斷命題q為真命題時對應的a的取值范圍，之后借助于具備真包含關系時滿足充分非必要性得到結果.11、A【解題分析】

先由離心率確定雙曲線的漸近線方程，再由漸近線與圓相切，列出方程，求解，即可得出結果.【題目詳解】漸近線方程為：，又因為雙曲線的離心率為，，所以，故漸近線方程為，因為兩條漸近線與圓相切，得：，解得；故選A。【題目點撥】本題主要考查由直線與圓的位置關系求出參數，以及由雙曲線的離心率求漸近線方程，熟記雙曲線的簡單性質，以及直線與圓的位置關系即可，屬于常考題型.12、A【解題分析】依題意，基本事件的總數有種，兩個人參加同一個小組，方法數有種，故概率為.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由條件求得，可得正態分布曲線的圖象關于直線對稱．求得的值，根據對稱性，即可求得答案.【題目詳解】隨機變量，且，可得，正態分布曲線的圖象關于直線對稱．，故答案為：．【題目點撥】本題考查了正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題．14、【解題分析】分析：根據隨機變量服從正態分布，看出這組數據對應的正態曲線的對稱軸，根據正態曲線的特點，得到，從而可得結果.詳解：隨機變量服從正態分布，，得對稱軸是，所以，可得，故答案為.點睛：本題考查正態曲線的性質，從形態上看，正態分布是一條單峰，對稱呈種形的曲線，其對稱軸，并在時取最大值，從點開始，曲線向正負兩個方向遞減延伸，不斷逼近軸，但永不與軸相交，因此說明曲線在正負兩個方向都是以軸為漸近線的.15、6【解題分析】分析：首先繪制出可行域，然后結合目標函數的幾何意義整理計算即可求得最終結果.詳解：繪制不等式組表示的平面區域如圖所示，結合目標函數的幾何意義可知目標函數在點A處取得最大值，聯立直線方程：，可得點A坐標為：，據此可知目標函數的最大值為：.點睛：求線性目標函數z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當b＞0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最小；當b＜0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.16、萬【解題分析】

將這名員工的月薪按照從小到大的順序排列后,正中間的數據就是中位數.【題目詳解】將這名員工的月薪按照從小到大的順序排列如下:萬，萬，萬,萬，萬,萬，萬，根據中位數的定義可得這名員工月薪的中位數是:萬.故答案為:萬.【題目點撥】本題考查了中位數的概念,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）有99%的把握認為該地區的老年人是否需要幫助與性別有關.【解題分析】試題分析：（1）由列聯表可知調查的500位老年人中有位需要志愿者提供幫助，兩個數據求比值得到該地區老年人中需要幫助的老年人的比例的估算值；（2）根據列聯表所給的數據，代入隨機變量的觀測值公式，得到觀測值的結果，把觀測值的結果與臨界值進行比較，看出有多大把握說該地區的老年人是否需要幫助與性別有關.試題解析：解：（1）調查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區老年人中，需要幫助的老年人的比例的估算值為（2）根據表中數據計算得：。由于9.967>6.635,所以有99%的把握認為該地區的老年人是否需要幫助與性別有關。考點：獨立性檢驗.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】試題分析：（Ⅰ）利用，化簡即可求解；（Ⅱ）先將直線化成極坐標方程，將的極坐標方程代入的極坐標方程得，再利用根與系數的關系和弦長公式進行求解.試題解析：（Ⅰ）化圓的一般方程可化為.由，可得圓的極坐標方程.（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的極坐標系中，直線的極坐標方程為.設，所對應的極徑分別為，，將的極坐標方程代入的極坐標方程得.于是，..由得，.所以的斜率為或.19、（1）;（2）見解析【解題分析】

（1）使用零點分段法，討論，以及的范圍，然后取并集，可得結果.（2）根據（1）的結論，可得，然后使用三角不等式，可得結果.【題目詳解】(1)當時，．由，得無實數解當時，．由，得當時，．由，得綜上，（2），，即，即又，【題目點撥】本題考查利用零點分段法求解絕對值不等式，還考查三角不等式的應用，掌握零點分段的解法以及常用的一些不等式，比如：基本不等式，柯西不等式，屬基礎題.20、（1）2；（2）16.【解題分析】

（1）設準線與軸的交點為點，利用解直角三角形可得.（2）直線，聯立直線方程和拋物線方程后利用韋達定理可用關于的關系式表示，同理可用關于的關系式表示，最后用基本不等式可求的最小值.【題目詳解】（1）解：設準線與軸的交點為點，連結，因為是正三角形，且，在中，，所以.（2）設，直線，由知，聯立方程：，消得.因為，所以，所以，又原點到直線的距離為，所以，同理，所以，當且僅當時取等號.故的最小值為.【題目點撥】圓錐曲線中的最值問題，往往需要利用韋達定理構建目標的函數關系式，自變量可以為斜率或點的橫、縱坐標等.而目標函數的最值可以通過基本不等式或導數等求得.21、（1）見解析（2）見解析【解題分析】分析：（1）求導，對參數分兩種情況進行討論，令得函數的單調遞增區間，令得函數的單調遞減區間；（2）令，分離參數得，令，研究函數的性質，可將證明轉化為證明，即證明成立，令，利用導數研究函數的增減性，可得，問題得證.詳解：（1），當時，，則在上單調遞增．當時，令，得，則的單調遞增區間為，令，得，則的單調遞減區間為．（2）證明：由得，設，則．由，得；由，得．故的最小值．當時，，當時，，不妨設，則，等價于，且在上單調遞增，要證：，只需證，，只需證，即，即證；設，則，令，則，，在上單調遞減，即在上單調遞減，，在上單調遞增，，從而得證．點睛：本題主要考查導數的應用，第一問屬于易得分題，只需對參數進行分類討論，再分別令，即可求解函數的增、減區間