黑龍江省大興安嶺2024屆數學高二第二學期期末學業質量監測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設方程的兩個根為，則（）A． B． C． D．2．某學校運動會的立定跳遠和30秒跳繩兩個單項比賽分成預賽和決賽兩個階段。下表為10名學生的預賽成績，其中有些數據漏記了（見表中空白處）學生序號12345678910立定跳遠（單位：米）1.961.681.821.801.601.761.741.721.921.7830秒跳繩（單位：次）63756062727063在這10名學生中進入立定跳遠決賽的有8人，同時進入立定跳遠決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則以下判斷正確的為（）A．4號學生一定進入30秒跳繩決賽B．5號學生一定進入30秒跳繩決賽C．9號學生一定進入30秒跳繩決賽D．10號學生一定進入30秒眺繩決賽3．拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是（）A． B． C． D．4．函數的零點個數是（）A．0 B．1 C．2 D．35．設，則“”是“”成立的（）A．充要不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充要也不必要條件6．過拋物線y2＝4x焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，交其準線于點C，且A、C位于x軸同側，若|AC|＝2|AF|，則|BF|等于（）A．2 B．3 C．4 D．57．設是虛數單位，復數為實數，則實數的值為（）A．1 B．2 C． D．8．某軍工企業為某種型號的新式步槍生產了一批槍管，其口徑誤差（單位：微米）服從正態分布，從已經生產出的槍管中隨機取出一只，則其口徑誤差在區間內的概率為（）（附：若隨機變量服從正態分布，則，）A． B． C． D．9．設函數f（x）＝xlnx的圖象與直線y＝2x+m相切，則實數m的值為（）A．e B．﹣e C．﹣2e D．2e10．設，則的虛部是（）A． B． C． D．11．曲線在點處的切線的傾斜角為（）A．30° B．60° C．45° D．120°12．某次戰役中，狙擊手A受命射擊敵機，若要擊落敵機，需命中機首2次或命中機中3次或命中機尾1次，已知A每次射擊，命中機首、機中、機尾的概率分別為0.2、0.4、0.1，未命中敵機的概率為0.3，且各次射擊相互獨立。若A至多射擊兩次，則他能擊落敵機的概率為（）A．0.23 B．0.2 C．0.16 D．0.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．對于自然數方冪和（，），，，求和方法如下：23﹣13＝3＋3＋1，33﹣23＝3×22＋3×2＋1，……(n＋1)3﹣n3＝3n2＋3n＋1，將上面各式左右兩邊分別，就會有(n＋1)3﹣13＝＋＋n，解得＝n(n＋1)(2n＋1)，類比以上過程可以求得，A，B，C，D，E，FR且與n無關，則A＋F的值為_______．14．36的所有正約數之和可按如下方法得到：因為，所以36的所有正約數之和為，參照上述方法，可得100的所有正約數之和為__________．15．已知函數與的圖象有且只有三個交點，則實數的取值范圍為________．16．已知函數有四個零點，則實數的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）解不等式；（2）若正數，滿足，求的最小值.18．（12分）甲、乙兩位同學進入新華書店購買數學課外閱讀書籍，經過篩選后，他們都對三種書籍有購買意向，已知甲同學購買書籍的概率分別為,乙同學購買書籍的概率分別為,假設甲、乙是否購買三種書籍相互獨立.（1）求甲同學購買3種書籍的概率；（2）設甲、乙同學購買2種書籍的人數為,求的概率分布列和數學期望.19．（12分）已知是等差數列，滿足，，數列滿足，，且是等比數列.（1）求數列和的通項公式；（2）求數列的前項和.20．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數（1）若的解集為，求實數的值；（2）若，若存在，使得不等式成立，求實數的取值范圍.21．（12分）已知函數.（1）當時，求的解集；（2）若恒成立，求實數的取值范圍.22．（10分）2020年開始，國家逐步推行全新的高考制度，新高考不再分文理科。某省采用模式，其中語文、數學、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還要依據想考取的高校及專業的要求，結合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3），每科目滿分100分.為了應對新高考，某學校從高一年級1000名學生（其中男生550人，女生450人）中，根據性別分層，采用分層抽樣的方法從中抽取100名學生進行調查.（1）學校計劃在高一上學期開設選修中的“物理”和“歷史”兩個科目，為了了解學生對這兩個科目的選課情況，對抽取到的100名學生進行問卷調查（假定每名學生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目），如下表是根據調查結果得到的列聯表.請求出和，并判斷是否有的把握認為選擇科目與性別有關？說明你的理由；選擇“物理”選擇“歷史”總計男生10女生25總計（2）在抽取到的女生中按（1）中的選課情況進行分層抽樣，從中抽出9名女生，再從這9名女生中隨機抽取4人，設這4人中選擇“歷史”的人數為，求的分布列及數學期望.參考公式：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

畫出方程左右兩邊所對應的函數圖像，結合圖像可知答案。【題目詳解】畫出函數與的圖像，如圖結合圖像容易知道這兩個函數的圖像有兩個交點，交點的橫坐標即為方程的兩個根，結合圖像可知，，根據是減函數可得，所以有圖像可知所以即，則，所以，而所以故選D【題目點撥】本題考查對數函數與指數函數的圖像與性質，解題的關鍵是畫出圖像，利用圖像解答，屬于一般題。2、D【解題分析】

先確定立定跳遠決賽的學生，再討論去掉兩個的可能情況即得結果【題目詳解】進入立定跳遠決賽的學生是1，3，4，6，7，8，9，10號的8個學生，由同時進入兩項決賽的有6人可知，1，3，4，6，7，8，9，10號有6個學生進入30秒跳繩決賽，在這8個學生的30秒跳繩決賽成績中，3，6，7號學生的成績依次排名為1，2，3名，1號和10號成績相同，若1號和10號不進入30秒跳繩決賽，則4號肯定也不進入，這樣同時進入立定跳遠決賽和30秒跳繩決賽的只有5人，矛盾，所以1，3，6，7，10號學生必進入30秒跳繩決賽.選D.【題目點撥】本題考查合情推理，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.3、C【解題分析】

求得拋物線的焦點，雙曲線的漸近線，再由點到直線的距離公式求出結果.【題目詳解】依題意，拋物線的焦點為，雙曲線的漸近線為，其中一條為，由點到直線的距離公式得.故選C.【題目點撥】本小題主要考查拋物線的焦點坐標，考查雙曲線的漸近線方程，考查點到直線的距離公式，屬于基礎題.4、B【解題分析】

因為和在均為增函數，所以在單調遞增，所以函數至多一個零點，再給賦值，根據可得函數在上有一個零點【題目詳解】因為與均在上為增函數，所以函數至多一個零點又，，，即函數在上有一個零點答案選B【題目點撥】零點問題可根據零點存在定理進行判斷，也可采用構造函數法，根據構造的兩新函數函數交點個數來確定零點個數5、C【解題分析】試題分析：當時，，當一正一負時，，當時，，所以，故選C．考點：充分必要條件．6、C【解題分析】

由題意可知：|AC|＝2|AF|，則∠ACD，利用三角形相似關系可知丨AF丨＝丨AD丨，直線AB的切斜角，設直線l方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及拋物線弦長公式求得丨AB丨，即可求得|BF|．【題目詳解】拋物線y2＝4x焦點F（1，0），準線方程l：x＝﹣1，準線l與x軸交于H點，過A和B做AD⊥l，BE⊥l，由拋物線的定義可知：丨AF丨＝丨AD丨，丨BF丨＝丨BE丨，|AC|＝2|AF|，即|AC|＝2|AD|，則∠ACD，由丨HF丨＝p＝2，∴，則丨AF丨＝丨AD丨，設直線AB的方程y（x﹣1），，整理得：3x2﹣10x+3＝0，則x1+x2，由拋物線的性質可知：丨AB丨＝x1+x2+p，∴丨AF丨+丨BF丨，解得：丨BF丨＝4，故選：C．【題目點撥】本題考查拋物線的性質，直線與拋物線的位置關系，考查相似三角形的性質，考查計算能力，數形結合思想，屬于中檔題．7、C【解題分析】

由復數代數形式的乘除運算化簡，再由虛部為0可得答案.【題目詳解】解：，復數為實數，可得，，故選：C.【題目點撥】本題主要考查復數代數形式的乘除運算法則，屬于基礎題，注意運算準確.8、C【解題分析】

根據已知可得，結合正態分布的對稱性，即可求解.【題目詳解】.故選：C【題目點撥】本題考查正態分布中兩個量和的應用，以及正態分布的對稱性，屬于基礎題.9、B【解題分析】

設切點為（s，t），求得f（x）的導數，可得切線的斜率，由切線方程可得s，t，進而求得m．【題目詳解】設切點為（s，t），f（x）＝xlnx的導數為f′（x）＝1+lnx，可得切線的斜率為1+lns＝2，解得s＝e，則t＝elne＝e＝2e+m，即m＝﹣e．故選：B．【題目點撥】本題考查導數的運用：求切線方程，考查直線方程的運用，屬于基礎題．10、B【解題分析】

直接利用復數代數形式的乘除運算化簡得，進而可得的虛部.【題目詳解】∵，∴，∴的虛部是，故選B．【題目點撥】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，共軛復數的概念，屬于基礎題．11、C【解題分析】

求導得：在點處的切線斜率即為導數值1.所以傾斜角為45°.故選C.12、A【解題分析】每次射擊，命中機首、機中、機尾的概率分別為,未命中敵機的概率為,且各次射擊相互獨立，若射擊一次就擊落敵機，則他擊中利敵機的機尾，故概率為；若射擊次就擊落敵機，則他次都擊中利敵機的機首，概率為；或者第一次沒有擊中機尾、且第二次擊中了機尾，概率為,若至多射擊兩次，則他能擊落敵機的概率為,故選.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】分析：先根據推導過程確定A,F取法，即得A＋F的值.詳解：因為,，所以,所以,,所以.點睛：本題考查運用類比方法求解問題，考查歸納觀察能力.14、1【解題分析】

根據題意，類比36的所有正約數之和的方法，分析100的所有正約數之和為（1+2+221+5+52），計算可得答案．【題目詳解】根據題意，由36的所有正約數之和的方法：100的所有正約數之和可按如下方法得到：因為100=22×52，所以100的所有正約數之和為（1+2+221+5+52）=1．可求得100的所有正約數之和為1；故答案為：1.【題目點撥】本題考查簡單的合情推理應用，關鍵是認真分析36的所有正約數之和的求法，并應用到100的正約數之和的計算．15、【解題分析】

令，求導數，從而確定函數的單調性及極值，從而求出a的范圍．【題目詳解】由題意得，，

，令，則令，解得：或，

令，解得：，

在上是增函數，在上是減函數，在上是增函數，

，

，且當時，，當時，

所以函數與的圖象有且只有三個交點，

則只需和圖象有且只有三個交點，

故

故答案為：【題目點撥】本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及轉化思想，屬于難題．16、【解題分析】

由題意可知是偶函數，根據對稱性問題轉化為直線與曲線有兩個交點.【題目詳解】因為是偶函數，根據對稱性，在上有兩個不同的實根，即在上有兩個不同的實根，等價轉化為直線與曲線有兩個交點，而，則當時，，當時，，所以函數在上是減函數，在上是增函數，于是，故故答案為：【題目點撥】已知函數有零點求參數取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍；(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決；(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）去絕對值，根據分段函數的解析式即可求出不等式的解集；（2）由題意得，再根據基本不等式即可求出.【題目詳解】（1）因為所以①當時，由，解得②當時，由，解得又，所以③當時，不滿足，此時不等式無解綜上，不等式的解集為（2）由題意得所以=當且僅當時等號成立，所以的最小值為.【題目點撥】本題考查解絕對值不等式和利用基本不等式的簡單證明，注意利用基本不等式證明時要強調等號成立的條件！18、（1）；（2）分布列見解析，.【解題分析】

（1）這是相互獨立事件，所以甲購買書籍的概率直接相乘即可.（2）基本事件為甲購買兩本書和乙購買兩本書的概率，所以先求出基本事件的概率，然后再求分布列.【題目詳解】（1）記“甲同學購買3種書籍”為事件A，則.答：甲同學購買3種書籍的概率為.（2）設甲、乙同學購買2種書籍的概率分別為，.則，，所以，所以.，，.所以X的概率分布為X012P.答：所求數學期望為.【題目點撥】本題考查相互獨立事件的概率，考查二項分布獨立重復事件的概率的求法，解題的關鍵是找出基本事件的概率，屬于中檔題.19、（1），；（2）【解題分析】試題分析：（1）利用等差數列，等比數列的通項公式先求得公差和公比，即得到結論;（2）利用分組求和法，由等差數列及等比數列的前n項和公式即可求得數列前n項和．試題解析：（Ⅰ）設等差數列{an}的公差為d，由題意得d===1．∴an=a1+（n﹣1）d=1n設等比數列{bn﹣an}的公比為q，則q1===8，∴q=2，∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1，∴bn=1n+2n﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=1n+2n﹣1，∵數列{1n}的前n項和為n（n+1），數列{2n﹣1}的前n項和為1×=2n﹣1，∴數列{bn}的前n項和為；考點：1.等差數列性質的綜合應用；2.等比數列性質的綜合應用；1.數列求和．20、(1).(2).【解題分析】分析：（1）利用絕對值不等式的解集，列出方程求解即可；（2）利用，若存在，使得不等式成立，化簡函數的解析式，通過函數的最小值以及函數的單調性，列出不等式，求解即可.詳解：（1）顯然，當時，解集為，，無解；當時，解集為，，，綜上所述.(2)當時，令由此可知在上單調遞減，在上單調遞增，當時，取到最小值-2，由題意知，，.點睛：本題考查函數