2024屆雞西市重點中學高二數學第二學期期末學業質量監測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．證明等式時，某學生的證明過程如下（1）當n=1時，，等式成立；（2）假設時，等式成立，即，則當時，，所以當時，等式也成立，故原式成立.那么上述證明（）A．過程全都正確 B．當n=1時驗證不正確C．歸納假設不正確 D．從到的推理不正確2．由2，3，5，0組成的沒有重復數字的四位偶數的個數是（）A．12 B．10 C．8 D．143．在中，已知，，，為線段上的一點，且，則的最小值為（）A． B． C． D．4．設集合，則（）A． B． C． D．5．把座位編號為1，2，3，4，5，6的六張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人最多得兩張，甲、乙各分得一張電影票，且甲所得電影票的編號總大于乙所得電影票的編號，則不同的分法共有（）A．90種 B．120種 C．180種 D．240種6．將1000名學生的編號如下：0001，0002，0003，…，1000，若從中抽取50個學生，用系統抽樣的方法從第一部分0001，0002，…，0020中抽取的號碼為0015時，抽取的第40個號碼為（）A．0795 B．0780 C．0810 D．08157．某錐體的正視圖和側視圖均為如圖所示的等腰三角形，則該幾何體的體積最小值為（）A． B． C．1 D．28．已知橢圓的短軸長為2，上頂點為，左頂點為，分別是橢圓的左、右焦點，且的面積為，點為橢圓上的任意一點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．9．設拋物線y2=2x的焦點為F，過點M(3,0)的直線與拋物線相交于A，B兩點，與拋物線的準線相交于C，BF=2，則△BCFA．23 B．34 C．410．下面命題正確的有（）①a，b是兩個相等的實數，則是純虛數；②任何兩個復數不能比較大小；③若，且，則.A．0個 B．1個 C．2個 D．3個11．某班4名同學參加數學測試，每人通過測試的概率均為，且彼此相互獨立，若X為4名同學通過測試的人數，則D（X）的值為（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知為定義在上的奇函數，且滿足，則的值為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在中，，和分別是邊和上一點，，將沿折起到點位置，則該四棱錐體積的最大值為_______．14．若x，y滿足約束條件則z=x?2y的最小值為__________.15．已知正數滿足，則的最小值____________．16．在棱長均為的正三棱柱中，________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數.(Ⅰ)求函數單調遞增區間；(Ⅱ)當時，求函數的最大值和最小值.18．（12分）已知均為正數，證明：，并確定為何值時，等號成立．19．（12分）某種子培育基地新研發了兩種型號的種子，從中選出90粒進行發芽試驗，并根據結果對種子進行改良.將試驗結果匯總整理繪制成如下列聯表：（1）將列聯表補充完整，并判斷是否有99%的把握認為發芽和種子型號有關；（2）若按照分層抽樣的方式，從不發芽的種子中任意抽取20粒作為研究小樣本，并從這20粒研究小樣本中任意取出3粒種子，設取出的型號的種子數為，求的分布列與期望.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中.20．（12分）已知命題方程表示雙曲線，命題點在圓的內部.若為假命題，也為假命題，求的取值范圍.21．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，，，且，E為PD中點.（I）求證：平面ABCD；（II）求二面角B-AE-C的正弦值.22．（10分）在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用，現有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數，求X的分布列與數學期望EX.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：由題意結合數學歸納法的證明方法考查所給的證明過程是否存在錯誤即可.詳解：考查所給的證明過程：當時驗證是正確的，歸納假設是正確的，從到的推理也是正確的，即證明過程中不存在任何的問題.本題選擇A選項.點睛：本題主要考查數學歸納法的概念及其應用，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.2、B【解題分析】

根據個位是和分成兩種情況進行分類討論，由此計算出所有可能的沒有重復數字的四位偶數的個數.【題目詳解】當0在個位數上時，有個；當2在個位數上時，首位從5，3中選1，有兩種選擇，剩余兩個數在中間排列有2種方式，所以有個所以共有10個．故選：B【題目點撥】本小題主要考查簡單排列組合的計算，屬于基礎題.3、C【解題分析】分析：△ABC中設AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA?sinC結合三角形的內角和及和角的正弦公式化簡可求cosC=0即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考慮建立以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標系，由P為線段AB上的一點，則存在實數λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），設則，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4﹣4λ則4x+3y=12而，利用基本不等式求解最小值．詳解：△ABC中設AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA?sinC，∴sin（A+C）=sinCcosA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA，∴sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=0C=90°∵，S△ABC=6∴bccosA=9，∴，根據直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P為線段AB上的一點，則存在實數λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）設，則，∴=（x，0）+（0，y）=（x，y）∴x=3λ，y=4﹣4λ則4x+3y=12=故所求的最小值為故選C．點睛：本題是一道構思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題，解題的關鍵是理解把已知所給的是一個單位向量，從而可用x，y表示，建立x，y與λ的關系，解決本題的第二個關鍵點在于由x=3λ，y=4﹣4λ發現4x+3y=12為定值，從而考慮利用基本不等式求解最小值4、B【解題分析】分析：首先求得A,B，然后進行交集運算即可.詳解：求解函數的定義域可得：，由函數的定義域可得：，結合交集的定義可知：.本題選擇B選項.點睛：本題主要考查函數定義域的求解，交集的運算法則及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.5、A【解題分析】

從6張電影票中任選2張給甲、乙兩人，共種方法；再將剩余4張票平均分給丙丁2人，共有種方法；根據分步乘法計數原理即可求得結果.【題目詳解】分兩步：先從6張電影票中任選2張給甲，乙兩人，有種分法；再分配剩余的4張，而每人最多兩張，所以每人各得兩張，有種分法，由分步原理得，共有種分法．故選：A【題目點撥】本題主要考查分步乘法計數原理與組合的綜合問題.6、A【解題分析】分析：先確定間距，再根據等差數列通項公式求結果.詳解：因為系統抽樣的方法抽簽，所以間距為所以抽取的第40個數為選A.點睛：本題考查系統抽樣概念，考查基本求解能力.7、B【解題分析】

錐體高一定，底面積最小時體積最小，底面圖形可以是圓，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面積最小，計算得到答案.【題目詳解】錐體高一定，底面積最小時體積最小，底面圖形可以是圓，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面積最小故答案選B【題目點撥】本題考查了錐體的體積，判斷底面是等腰直角三角形是解題的關鍵.8、D【解題分析】分析：由得橢圓的短軸長為，可得，，可得，從而可得結果.詳解：由得橢圓的短軸長為，，解得，，設，則，，即，，故選D.點睛：本題考查題意的簡單性質，題意的定義的有意義，屬于中檔題.求解與橢圓性質有關的問題時要結合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯想到圖形，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸、等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內在聯系.9、C【解題分析】∵拋物線方程為y2∴拋物線的焦點F坐標為(12,0)如圖，設A(x1,y1)由拋物線的定義可得BF=x2+將x2=32代入∴點B的坐標為(3∴直線AB的方程為y-0-3-0將x=y22代入直線AB的方程整理得y2+(∴x1=2，∴在ΔCAA1中，∴|CB||CA|∴S△BCFS△ACF點睛：與拋物線有關的問題，一般情況下都與拋物線的定義有關，特別是與焦點弦有關的問題更是這樣，“看到準線想焦點，看到焦點想準線”，這是解決拋物線焦點弦有關問題的重要途徑．由于拋物線的定義在運用上有較大的靈活性，因此此類問題也有一定的難度．10、A【解題分析】

對于找出反例即可判斷，根據復數的性質可判斷．【題目詳解】若，則是0，為實數，即錯誤；

復數分為實數和虛數，而任意實數都可以比較大小，虛數是不可以比較大小的，即錯誤；

若，，則，但，即錯誤；故選：A【題目點撥】本題主要考查了復數的概念與性質，屬于基礎題．11、A【解題分析】

由題意知X～B（4，），根據二項分布的方差公式進行求解即可．【題目詳解】∵每位同學能通過該測試的概率都是，且各人能否通過測試是相互獨立的，∴X～B（4，），則X的方差D（X）＝4（1）＝1，故選A．【題目點撥】本題主要考查離散型隨機變量的方差的計算，根據題意得到X～B（4，）是解決本題的關鍵．12、A【解題分析】

由已知求得函數的周期為4，可得f（11）＝f（2+8）＝f（2）＝1．【題目詳解】∵f（1+x）＝f（1﹣x），∴f（﹣x）＝f（2+x），又f（x）為定義在R上的奇函數，∴f（2+x）＝﹣f（x），則f[2+（2+x）]＝﹣f（2+x）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x），即f（4+x）＝f（x），∴f（x）為以4為周期的周期函數，由f（1+x）＝f（1﹣x），得f（2）＝f（1）＝1，∴f（11）＝f（2+8）＝f（2）＝1．故選：A．【題目點撥】本題考查函數的奇偶性與周期性的應用，考查數學轉化思想方法，是中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據題中條件，設，表示出四邊形的面積，由題意得到平面時，四棱錐體積最大,此時，根據四棱錐的體積公式，表示出，用導數的方法求其最值即可.【題目詳解】在中，由已知，，，所以設，四邊形的面積為,當平面時，四棱錐體積最大,此時，且,故四棱錐體積為，，時，；時，,所以，當時，.故答案為【題目點撥】本題主要考查求幾何體的體積，熟記體積公式，以及導數的方法研究函數的最值即可，屬于常考題型.14、【解題分析】

試題分析：由得，記為點；由得，記為點；由得，記為點.分別將A，B，C的坐標代入，得，，，所以的最小值為．【考點】簡單的線性規劃【名師點睛】利用線性規劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是：（1）在平面直角坐標系內作出可行域；（2）考慮目標函數的幾何意義，將目標函數進行變形；（3）確定最優解：在可行域內平行移動目標函數變形后的直線，從而確定最優解；（4）求最值：將最優解代入目標函數即可求出最大值或最小值．15、【解題分析】

根據條件可得，然后利用基本不等式求解即可．【題目詳解】，，當且僅當，即時取等號，的最小值為．故答案為．【題目點撥】本題考查了基本不等式及其應用，關鍵掌握“1“的代換，屬基礎題．16、【解題分析】

首先畫出正三棱柱，求出邊長和，最后求面積.【題目詳解】因為是正三棱柱，并且棱長都為1，是腰長為，底邊長為1的等腰三角形，所以底邊的高，.故答案為【題目點撥】本題考查幾何體中幾何量的求法，意在考查空間想象能力，屬于基礎題型.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ），0【解題分析】

試題分析：（Ⅰ）因為通過對函數求導可得，所以要求函數的單調遞增區間即要滿足，即解可得x的范圍.本小題要處理好兩個關鍵點：三角的化一公式；解三角不等式.（Ⅱ）因為由（Ⅰ）可得函數在上遞增，又因為所以可得是單調增區間，是單調減區間.從而可求結論.試題解析：（Ⅰ）單調區間為（Ⅱ）由知（Ⅰ）知，是單調增區間，是單調減區間所以,考點：1.函數的導數解決單調性問題.2.區間限制的最值問題.3.解三角不等式.18、見證明【解題分析】試題分析：、證明因為a，b，c均為正數，由均值不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①同理，②故.③所以原不等式成立．當且僅當a＝b＝c時，①式和②式等號成立；當且僅當a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3時，③式等號成立．即當且僅當a＝b＝c＝時，原式等號成立．考點：重要不等式點評：主要是考查了運用重要不等式進行放縮來證明不等式的方法，屬于中檔題．19、(1)有99%的把握認為發芽和種子型號有關(2)見解析【解題分析】

根據表格完成表格的填空并計算出做出判斷的可能值為0，1，2，3分別計算出概率，然后計算期望【題目詳解】（1）所以有99%的把握認為發芽和種子型號有關.（2）按分層抽樣的方式抽到的20粒種子中，型號的種子共4粒，型號的種子共16粒，所以的可能值為0,1,2,3，，，，所以的分布列為.【題目點撥】本題考查了的計算和分布列與期望，只要將聯表補充完整，按照計算方法即可求出，繼而可以求出分布列與期望，較為基礎。20、【解題分析】【試題分析】先分別確定命題“方程表示雙曲線”中的的取值范圍和“命題點在圓的內部”中的取值范圍，再依據建立不等式組求解：解：因為方程，表示雙曲線，故，所以或，因為點在圓的內部，故，解得：，所以，由為假命題，也為假命題知假、真，所以的取值范圍為：.21、（I）見解析（II）【