2024屆江西省宜春市數學高二第二學期期末教學質量檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．甲球與某立方體的各個面都相切，乙球與這個立方體的各條棱都相切，丙球過這個立方體的所有頂點，則甲、乙、丙三球的半徑的平方之比為（）A．1∶2∶3 B．1∶∶C．1∶∶ D．1∶2∶32．已知且,則的最大值為()A． B． C． D．3．二項式的展開式中的系數是（）A． B． C． D．4．x-2xn的展開式中的第7A．16 B．18 C．20 D．225．已知定義在上的函數的導函數為，且對任意都有，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．6．甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎.有人分別采訪了四位歌手，甲說：“乙或丙獲獎”；乙說：“甲、丙都未獲獎”；丙說：“丁獲獎”；丁說：“丙說的不對”.若四位歌手中只有一個人說的是真話，則獲獎的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁7．若，則A．10 B．15 C．30 D．608．從位男生，位女生中選派位代表參加一項活動，其中至少有兩位男生，且至少有位女生的選法共有()A．種 B．種C．種 D．種9．從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，則不同的選法共有()種.A．36 B．30 C．12 D．610．下列函數中，即是奇函數，又在上單調遞增的是A． B． C． D．11．命題：“關于x的方程的一個根大于，另一個根小于”；命題：“函數的定義域內為減函數”.若為真命題，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．12．函數y的圖象大致為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在二項展開式中，常數項是_______.14．現有10件產品，其中6件一等品，4件二等品，從中隨機選出3件產品，恰有1件一等品的概率為________.15．以下四個關于圓錐曲線命題：①“曲線為橢圓”的充分不必要條件是“”；②若雙曲線的離心率，且與橢圓有相同的焦點，則該雙曲線的漸近線方程為；③拋物線的準線方程為；④長為6的線段的端點分別在、軸上移動，動點滿足，則動點的軌跡方程為．其中正確命題的序號為_________．16．在極坐標系中，過點并且與極軸垂直的直線方程是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校為“中學數學聯賽”選拔人才，分初賽和復賽兩個階段進行，規定：分數不小于本次考試成績中位數的具有復賽資格，某校有900名學生參加了初賽，所有學生的成績均在區間內，其頻率分布直方圖如圖．（1）求獲得復賽資格應劃定的最低分數線；（2）從初賽得分在區間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機抽取7人參加學校座談交流，那么從得分在區間與各抽取多少人？（3）從（2）抽取的7人中，選出4人參加全市座談交流，設表示得分在中參加全市座談交流的人數，學校打算給這4人一定的物質獎勵，若該生分數在給予500元獎勵，若該生分數在給予800元獎勵，用Y表示學校發的獎金數額，求Y的分布列和數學期望。18．（12分）已知是定義域為的奇函數，且當時，，設“”.（1）若為真，求實數的取值范圍；（2）設集合與集合的交集為，若為假，為真，求實數的取值范圍.19．（12分）如圖，在中，角，，的對邊分別為，，，且.（1）求的大小；（2）若，為外一點，，，求四邊形面積的最大值.20．（12分）傳說《西游記》中孫悟空的“如意金箍棒”原本是東海海底的一枚“定海神針”.作為兵器，“如意金箍棒”威力巨大，且只有孫悟空能讓其大小隨意變化。假定孫悟空在使用“如意金箍棒”與各路妖怪打斗時，都將其變化為底面半徑為4至10之間的圓柱體。現假定孫悟空剛與一妖怪打斗完畢，并降伏了此妖怪，此時“如意金箍棒”的底面半徑為10，長度為.在此基礎上，孫悟空使“如意金箍棒”的底面半徑以每秒1勻速縮短，同時長度以每秒40勻速增長，且在這一變化過程中，當“如意金箍棒”的底面半徑為8時，其體積最大.（1）求在這一變化過程中，“如意金箍棒”的體積隨時間（秒）變化的解析式，并求出其定義域；（2）假設在這一變化過程中，孫悟空在“如意金箍棒”體積最小時，將其定型，準備迎戰下一個妖怪。求此時“如意金箍棒”的底面半徑。21．（12分）如圖所示的幾何，底為菱形，，.平面底面，，，.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的正弦值.22．（10分）在平面直角坐標系中，曲線C:，直線：，直線：以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.（1）寫出曲線C的參數方程以及直線，的極坐標方程；（2）若直線與曲線C分別交于O、A兩點，直線與曲線C交于O、B兩點，求△AOB的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

設立方體為以2為邊長的正方體，分別求出甲乙丙的半徑，即可得出答案。【題目詳解】設立方體為以2為邊長的正方體，則，，所以【題目點撥】設立方體為以2為邊長的正方體，分別求出甲乙丙的半徑，即可得出答案。2、A【解題分析】

根據絕對值三角不等式可知；根據可得，根據的范圍可得，根據二次函數的性質可求得結果.【題目詳解】由題意得：當，即時，即：，即的最大值為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查函數最值的求解，難點在于對于絕對值的處理，關鍵是能夠將函數放縮為關于的二次函數的形式，從而根據二次函數性質求解得到最值.3、B【解題分析】

利用二項展開式的通項公式，令的冪指數等于，即可求出的系數.【題目詳解】由題意，二項式展開式的通項公式為，令，解得，所以的系數為.故選：B【題目點撥】本題主要考查二項展開式的通項公式，考查學生計算能力，屬于基礎題.4、B【解題分析】

利用通項公式即可得出．【題目詳解】x-2xn的展開式的第7項令n2-9=0＝0，解得n＝故選：B．【題目點撥】本題考查了二項式定理的應用、方程思想，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．5、B【解題分析】

先構造函數，求導得到在R上單調遞增，根據函數的單調性可求得不等式的解集.【題目詳解】構造函數，，.又任意都有.在R上恒成立.在R上單調遞增.當時，有，即的解集為.【題目點撥】本題主要考查利用函數的單調性解不等式，根據題目條件構造一個新函數是解決本題的關鍵.6、A【解題分析】分析：因為四位歌手中只有一個人說的是真話，假設某一個人說的是真話，如果與條件不符，說明假設不成立，如果與條件相符，說明假設成立.詳解：若乙是獲獎的歌手，則甲、乙、丁都說的真話，不符合題意；若丙是獲獎的歌手，則甲、丁都說的真話，不符合題意；若丁是獲獎的歌手，則乙、丙都說的真話，不符合題意；若甲是獲獎的歌手，則甲、乙、丙都說的假話，丁說的真話，符合題意；故選A.點睛：本題考查合情推理，屬基礎題.7、B【解題分析】

分析：由于，與已知對比可得的值1．詳解：由于，與已知對比可得故選B.點睛：本題考查二項式定理的應用，觀察分析得到是關鍵，考查分析與轉化的能力，屬于中檔題．8、B【解題分析】

由題意知本題要求至少有兩位男生，且至少有1位女生，它包括：兩個男生，兩個女生；三個男生，一個女生兩種情況，寫出當選到的是兩個男生，兩個女生時和當選到的是三個男生，一個女生時的結果數，根據分類計數原理得到結果．解：∵至少有兩位男生，且至少有1位女生包括：兩個男生，兩個女生；三個男生，一個女生．當選到的是兩個男生，兩個女生時共有C52C42=60種結果，當選到的是三個男生，一個女生時共有C53C41=40種結果，根據分類計數原理知共有60+40=100種結果，故選B．9、A【解題分析】從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，因為先從其余3人中選出1人擔任文藝委員，再從4人中選2人擔任學習委員和體育委員，所以不同的選法共有種.本題選擇A選項.10、B【解題分析】分析：對四個選項分別進行判斷即可得到結果詳解：對于，，，，不是奇函數，故錯誤對于，，，當時，，函數在上不單調，故錯誤對于，函數在上單調遞減，故錯誤故選點睛：對函數的奇偶性作出判斷可以用其定義法，單調性的判斷可以根據函數的圖像性質，或者利用導數來判斷。11、B【解題分析】

通過分析命題為假命題只能真，于是可得到答案.【題目詳解】命題真等價于即；由于的定義域為，故命題為假命題，而為真命題，說明真，故選B.【題目點撥】本題主要考查命題真假判斷，意在考查學生的轉化能力，邏輯推理能力，分析能力，難度中等.12、B【解題分析】

通過函數的單調性和特殊點的函數值，排除法得到正確答案.【題目詳解】因為，其定義域為所以，所以為奇函數，其圖像關于原點對稱，故排除A、C項，當時，，所以D項錯誤，故答案為B項.【題目點撥】本題考查利用函數的奇偶性和特殊點的函數值來判斷函數的圖像，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、60【解題分析】

首先寫出二項展開式的通項公式，并求指定項的值，代入求常數項.【題目詳解】展開式的通項公式是，當時，.故答案為：60【題目點撥】本題考查二項展開式的指定項，意在考查公式的熟練掌握，屬于基礎題型.14、【解題分析】

利用古典概型的概率計算公式計算即可.【題目詳解】從10件產品中任取3件共有種不同取法，其中恰有1件一等品共有種不同取法，由古典概型的概率計算公式知，從中隨機選出3件產品，恰有1件一等品的概率為.故答案為：【題目點撥】本題考查古典概型的概率計算，考查學生的運算能力，是一道基礎題.15、③④【解題分析】

對于①，求出“曲線為橢圓”的充要條件，判斷與“”關系，即得①的正誤；對于②，根據已知條件求出雙曲線的方程，從而求出漸近線方程，即得②的正誤；對于③，把拋物線的方程化為標準式，求出準線方程，即得③的正誤；對于④，設，根據，可得，代入，求出動點的軌跡方程，即得④的正誤.【題目詳解】對于①，“曲線為橢圓”的充要條件是“且”.所以“曲線為橢圓”的必要不充分條件是“”，故①錯誤；對于②，橢圓的焦點為，又雙曲線的離心率，所以雙曲線的方程為，所以雙曲線的漸近線方程為，故②錯誤；對于③，拋物線的方程化為標準式，準線方程為，故③正確；對于④，設，，，即，即動點的軌跡方程為.故④正確.故答案為：③④.【題目點撥】本題考查充分必要條件、圓錐曲線的性質和求軌跡方程的方法，屬于中檔題.16、【解題分析】

由題意畫出圖形，結合三角形中的邊角關系得答案．【題目詳解】如圖，由圖可知，過點（1，0）并且與極軸垂直的直線方程是ρcosθ＝1．故答案為．【題目點撥】本題考查了簡單曲線的極坐標方程，是基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）本次考試復賽資格最低分數線應劃為100分；（2）5人，2人；（3）元.【解題分析】

（1）求獲得復賽資格應劃定的最低分數線，即是求考試成績中位數，只需滿足中位數兩側的頻率之和均為0.5即可；（2）先確定得分在區間與的頻率之比，即可求解；（3）先確定的可能取值，再求出其對應的概率，即可求出分布列和期望.【題目詳解】（1）由題意知的頻率為：，的頻率為：所以分數在的頻率為：，從而分數在的，假設該最低分數線為由題意得解得．故本次考試復賽資格最低分數線應劃為100分。（2）在區間與，，在區間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機抽取7人，分在區間與各抽取5人，2人，結果是5人，2人．（3）的可能取值為2，3，4，則：，從而Y的分布列為Y260023002000(元)．【題目點撥】本題主要考查頻率分布直方圖求中位數，以及分層抽樣和超幾何分布等問題，熟記相關概念，即可求解，屬于常考題型.18、（1）；（2）.【解題分析】試題分析：（1）由已知可得，函數為上的奇函數、且為增函數，由命題為真，則，所以，從而解得；（2）由集合，若為真，則，因為“為假，為真”等價于“、一真一假”，因此若真假，則；若假真，則.從而可得，實數的取值范圍是.試題解析：∵函數是奇函數，∴，∵當時，，∴函數為上的增函數，∵，，∴，∴，若為真，則，解得（2），若為真，則，∵為假，為真，∴、一真一假，若真假，則；若假真，則綜上，實數的取值范圍是考點：1.函數性質的應用；2.命題的真假判斷及其邏輯運算.19、（1）（2）【解題分析】

（1）由余弦定理和誘導公式整理，得到，求出；（2）在中，用余弦定理表示出，判斷是等腰直角三角形，再利用三角形面積公式表示出，再利用輔助角公式化簡，求出四邊形面積的最大值.【題目詳解】（1）在中，由，所以∵，∴，∴，又∵，∴.又∵，∴，即為.（2）在中，，，由余弦定理可得，又∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴當時，四邊形面積有最大值，最大值為.【題目點撥】本題主要考查余弦定理解三角形、誘導公式、三角形面積公式和利用三角函數求最值，考查學生的分析轉化能力和計算能力，屬于中檔題.20、(1)，定義域為；(2)4【解題分析】

（1）根據時間，寫出“如意金箍棒”的底面半徑和長度，由此計算出體積的解析式，并根據半徑的范圍求得的取值范圍，也即定義域.利用導數求得的單調區間和極大值，根據此時“如意金箍棒”的底面半徑列方程，解方程求得的值，進而求得解析式.（2）由（1）中求得的單調區間，求得的最小值，并求得此時“如意金箍棒”的底面半徑.【題目詳解】解：（1）“如意金箍棒”在變化到秒時，其底面半徑為，長度為則有，得：時，（秒），由知，當時，取得極大值所以，解得（）所以，定義域為（2）由（1）得：所以當時，，當時，所以在區間上為增函數，在區間上為減函數則的最小值或；又所以當（秒）時，“如意金箍棒”體積最小，此時，“如意金箍棒”的底面半徑為（）【題目點撥】本小題主要考查圓柱的體積公式，考查利用導數研究函數的單調性、極值和最值，考查中國古代文化，考查運算求解能力，考查函數應用問題，屬于中檔題.21、（