2024屆湖南省衡陽縣創新實驗班高二數學第二學期期末達標檢測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．用反證法證明命題“若，則方程至少有一個實根”時，應假設（）A．方程沒有實根B．方程至多有一個實根C．方程至多有兩個實根D．方程恰好有兩個實根2．設集合，則（）A． B． C． D．3．離散型隨機變量X的分布列為，，2，3，則（）A．14a B．6a C． D．64．觀察兩個變量(存在線性相關關系）得如下數據:則兩變量間的線性回歸方程為（）A． B． C． D．5．已知D，E是邊BC的三等分點，點P在線段DE上，若，則xy的取值范圍是A． B． C． D．6．在一個棱長為的正方體的表面涂上顏色，將其適當分割成棱長為的小正方體，全部放入不透明的口袋中，攪拌均勻后，從中任取一個，取出的小正方體表面僅有一個面涂有顏色的概率是（）A． B． C． D．7．已知等比數列中,，則等于（）A．9 B．5 C． D．無法確定8．焦點為的拋物線的準線與軸交于點，點在拋物線上，則當取得最大值時，直線的方程為（）A．或 B．C．或 D．9．若cos(α+π4)=1A．718 B．23 C．4-10．已知為拋物線的焦點，點的坐標為，過點作斜率為的直線與拋物線交于、兩點，延長、交拋物線于、兩點設直線的斜率為，則（）A．1 B．2 C．3 D．411．已知函數f（x）＝（mx﹣1）ex﹣x2，若不等式f（x）＜0的解集中恰有兩個不同的正整數解，則實數m的取值范圍（）A． B．C． D．12．已知函數，其中為自然對數的底數，則對任意，下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示線路圖，機器人從A地經B地走到C地，最近的走法共有________種.（用數字作答）14．已知拋物線的焦點為,準線與軸的交點為為拋物線上的一點,且滿足,則=_____.15．已知命題P：?x0＞0，使得＜2，則￢p是_____16．已知函數為自然對數的底數與的圖象上存在關于軸對稱的點，則實數的最小值是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1=AC=2BC，∠ACB=90°．（Ⅰ）求證：AC1⊥A1B；（Ⅱ）求直線AB與平面A1BC所成角的正切值．18．（12分）設向量，，，記函數.（1）求函數的單調遞增區間；（2）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，若，，求面積的最大值.19．（12分）已知函數，，.（1）討論函數的單調性；（2）證明：，恒成立.20．（12分）某出版社的7名工人中，有3人只會排版，2人只會印刷，還有2人既會排版又會印刷，現從7人中安排2人排版，2人印刷，有幾種不同的安排方法．21．（12分）某地區2011年至2017年農村居民家庭人均純收入（單位：千元）的數據如下表：（I）求關于的線性回歸方程；（II）利用（I）中所求的線性回歸方程，分析該地區2011年至2017年農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區2018年農村居民家庭人均純收入.參考公式：.22．（10分）設.（1）當時，，求a的取值范圍；（2）若對任意，恒成立，求實數a的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：直接利用命題的否定寫出假設即可,至少的反面是一個都沒有。詳解：用反證法證明命題“若，則方程至少有一個實根”時，要做的假設是方程沒有實根．故選：A．點晴：本題主要考察反證法，注意反證法證明問題時，反設實際是命題的否定2、C【解題分析】

先求，再求【題目詳解】,故選C.【題目點撥】本題考查了集合的并集和補集，屬于簡單題型.3、C【解題分析】

由離散型隨機變量X的分布列得a+2a+3a＝1，從而，由此能求出E（X）．【題目詳解】解：∵離散型隨機變量X的分布列為，，∴，解得，∴．故選：C．【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的數學期望的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數學期望的等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．4、B【解題分析】分析：根據表中數據，計算、，再由線性回歸方程過樣本中心點，排除A、C、D選項即可．詳解：根據表中數據，得；=（﹣10﹣6.99﹣5.01﹣2.98+3.98+5+7.99+8.01）=0，=（﹣9﹣7﹣5﹣3+4.01+4.99+7+8）=0；∴兩變量x、y間的線性回歸方程過樣本中心點（0，0），可以排除A、C、D選項，B選項符合題意．故選：B．點睛：本題考查了線性回歸方程過樣本中心點的應用問題，是基礎題目．對于回歸方程，一定要注意隱含條件，樣本中心滿足回歸方程，再者計算精準，正確理解題意，應用回歸方程對總體進行估計.5、D【解題分析】

利用已知條件推出x+y＝1，然后利用x，y的范圍，利用基本不等式求解xy的最值．【題目詳解】解：D，E是邊BC的三等分點，點P在線段DE上，若，可得，x，，則，當且僅當時取等號，并且，函數的開口向下，對稱軸為：，當或時，取最小值，xy的最小值為：．則xy的取值范圍是：故選D．【題目點撥】本題考查函數的最值的求法，基本不等式的應用，考查轉化思想以及計算能力．6、C【解題分析】

由在27個小正方體中選一個正方體，共有27種結果，滿足條件的事件是取出的小正方體表面僅有一個面涂有顏色，有6種結果，根據古典概型及其概率的計算公式，即可求解．【題目詳解】由題意，在27個小正方體中，恰好有三個面都涂色有顏色的共有8個，恰好有兩個都涂有顏色的共12個，恰好有一個面都涂有顏色的共6個，表面沒涂顏色的1個，可得試驗發生包含的事件是從27個小正方體中選一個正方體，共有27種結果，滿足條件的事件是取出的小正方體表面僅有一個面涂有顏色，有6種結果，所以所求概率為．故選：C．【題目點撥】本題主要考查了古典概型及其概率的計算公式的應用，其中解答根據幾何體的結構特征，得出基本事件的總數和所求事件所包含基本事件的個數是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題．7、A【解題分析】

根據等比中項定義，即可求得的值。【題目詳解】等比數列，由等比數列中等比中項定義可知而所以所以選A【題目點撥】本題考查了等比中項的簡單應用，屬于基礎題。8、A【解題分析】過作與準線垂直，垂足為，則，則當取得最大值時，必須取得最大值，此時直線與拋物線相切，可設切線方程為與聯立，消去得，所以，得．則直線方程為或．故本題答案選．點睛：拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎，它能將兩種距離(拋物線上的點到焦點的距離，拋物線上的點到準線的距離)進行等量轉化，如果問題中涉及拋物線上的點到焦點或到準線的距離，那么用拋物線定義就能解決問題．本題就是將到焦點的距離轉化成到準線的距離，將比值問題轉化成切線問題求解．9、C【解題分析】分析：利用同角三角函數的基本關系式sin(π4+α)詳解：因為cos(則0<π4+α<則sin[(故選C.點睛：本題主要考查了同角三角函數的基本關系式，以及兩角差的正弦函數公式的應用，其中熟記三角恒等變換的公式是化簡求值的關鍵，著重考查了推理與運算能力.10、D【解題分析】

設，，聯立直線方程與拋物線方程可得，設，，則，，設AC，BD所在的直線方程可得，，由此可得的值．【題目詳解】設過點F作斜率為的直線方程為：，

聯立拋物線C：可得：，

設A，B兩點的坐標為：，，

則，

設，，

則，同理，

設AC所在的直線方程為，

聯立，得，

，同理，，

則．

故選：D．【題目點撥】本題考查直線與拋物線的位置關系，考查斜率的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．11、C【解題分析】

令，化簡得，構造函數，畫出兩個函數圖像，結合兩個函數圖像以及不等式解的情況列不等式組，解不等式組求得的的取值范圍.【題目詳解】有兩個正整數解即有兩個不同的正整數解，令，，故函數在區間和上遞減，在上遞增，畫出圖像如下圖所示，要使恰有兩個不同的正整數解等價于解得故，選C.【題目點撥】本小題主要考查不等式解集問題，考查數形結合的數學思想方法，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.12、A【解題分析】

，可得在上是偶函數.函數，利用導數研究函數的單調性即可得出結果.【題目詳解】解：，在上是偶函數.函數，，令，則，函數在上單調遞增，，函數在上單調遞增.，，.故選：A.【題目點撥】本題考查利用導數研究函數的單調性、函數的奇偶性，不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、20【解題分析】

分兩步：第一步先計算從A到B的走法種數，第二步：再計算從B到C走法種數，相乘即可.【題目詳解】A到B共2種走法，從B到C共種不同走法，由分步乘法原理，知從A地經B地走到C地，最近的走法共有種.故答案為：20【題目點撥】本題考查分步乘法原理及簡單的計數問題的應用，考查學生的邏輯分析能力，是一道中檔題.14、【解題分析】分析：利用拋物線的性質，過作準線的垂線交準線于，則，則，在中可表示出，計算即可得到答案詳解：過作準線的垂線交準線于則故點睛：本題主要考查了拋物線的簡單性質，解答本題的關鍵是記清拋物線上點到焦點距離等于到準線距離，靈活運用拋物線的定義來解題15、【解題分析】

根據含有量詞的命題的否定即可得到結論．【題目詳解】命題為特稱命題，由特稱命題的定義，命題的否定就是對這個命題的結論進行否認．全稱特稱命題即改變量詞，再否定結論可得：命題的否定為：?x＞0，x2，故答案為：?x＞0，x2.【題目點撥】本題主要考查含有量詞的命題的否定，全（特）稱命題的否定命題的格式和方法,要注意兩點：1）全稱命題變為特稱命題；2）只對結論進行否定．屬于基礎題．16、【解題分析】由題意可得：在區間上有解，即：在區間上有解，整理可得：在區間上有解，令，則，導函數在區間上單調遞增，，則，，即的最小值是.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)【解題分析】分析：（1）先證平面，得到，由四邊形為正方形得出，所以平面，進而證得；（2）由平面可得是直線與平面所成的角，設，利用勾股定理求出，即可得出的值.詳解：證明（Ⅰ）∵CC1⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴CC1⊥BC又∠ACB=90°，即BC⊥AC，又AC∩CC1=C，∴BC⊥平面A1C1CA，又AC1?平面A1C1CA，∴AC1⊥BC．∵AA1=AC，∴四邊形A1C1CA為正方形，∴AC1⊥A1C，又AC1∩BC=C，∴AC1⊥平面A1BC，又A1B?平面A1BC，∴AC1⊥A1B．（Ⅱ）設AC1∩A1C=O，連接BO．由（Ⅰ）得AC1⊥平面A1BC，∴∠ABO是直線AB與平面A1BC所成的角．設BC=a，則AA1=AC=2a，∴，，在Rt△ABO中，，∴直線AB與平面A1BC所成角的正切值為．點睛：本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉化，通過嚴密推理，明確角的構成，同時對于立體幾何中角的計算問題，緊扣線面角的定義，利用直角三角形求解是解答的關鍵.18、(1).（2）.【解題分析】分析：（1）函數，根據向量坐標的運算，求出的解析式，化簡，結合三角函數的性質可得單調遞減區間；（2）根據，求出A，由，利用余弦定理和基本不等式求解面積的最大值.詳解：（1）由題意知：，令，，則可得：，，∴的單調遞增區間為.（2）∵，∴，結合為銳角三角形，可得，∴.在中，利用余弦定理，即（當且僅時等號成立），即，又，∴.點睛：本題考查了三角函數的性質的運用、余弦定理和基本不等式靈活應用.19、（1）當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；（2）證明見解析【解題分析】

（1）可求得，分別在、、、四種情況下討論導函數的符號，從而得到原函數的單調性；（2）將不等式轉化為：，令，，利用導數求得和，可證得，從而證得結論.【題目詳解】（1），①當時，時，；時，在上單調遞增，在上單調遞減②當時，和時，；時，在和上單調遞增，在上單調遞減③當時，在上恒成立在上單調遞增④當時，和時，；時，在和上單調遞增，在上單調遞減綜上所述：當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減（2）對，恒成立即為：，等價于：令，則時，；時，在上單調遞減，在上單調遞增令，則時，；時，在上單調遞增，在上單調遞減綜上可得：，即在上恒成立對，恒成立【題目點撥】本題考查導數在研究函數中的應用，涉及到討論含參數函數的單調性、恒成立問題的求解.解決本題中的恒成立問題的關鍵是能夠將所證不等式轉化為兩個函數之間最值的比較，通過最小值與最大值的大小關系得到結論.20、37【解題分析】試題分析：解：首先分類的標準要正確，可以選擇“只會排版”、“只會印刷”、“既會排版又會印刷”中的一個作為分類的標準．下面選擇“既會排版又會印刷”作為分類的標準，按照被選出的人數，可將問題分為三類：第一類：2人全不被選出，即從只會排版的3人中選2人，有3種選法；只會印刷的2人全被選出，有1種選法，由分步計數原理知共有3×1=