2024屆山東省淄博市第十中學高二數學第二學期期末質量跟蹤監視模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．我國古代數學名著九章算術記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無丈芻，草也；甍，屋蓋也”翻譯為：“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱芻甍字面意思為茅草屋頂”如圖，為一芻甍的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側視圖為等腰三角形則它的體積為A． B．160 C． D．642．設集合A={1,3,5}，B={-3,1,5}，則A∩B=（A．{1} B．{3} C．{1,3} D．{1,5}3．下面由火柴棒拼出的一列圖形中，第n個圖形由n個正方形組成．通過觀察可以發現第10個圖形中火柴棒的根數是（）A．30 B．31 C．32 D．344．已知，則（）A．0.6 B．3.6 C．2.16 D．0.2165．下列命題錯誤的是A．若直線平行于平面，則平面內存在直線與平行B．若直線平行于平面，則平面內存在直線與異面C．若直線平行于平面，則平面內存在直線與垂直D．若直線平行于平面，則平面內存在直線與相交6．閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，若輸入的值為1，則輸出的值為（）A． B．2 C．0 D．無法判斷7．某地區空氣質量檢測資料表明，一天的空氣質量為優良的概率是0.9，連續兩天為優良的概率是0.75，已知某天的空氣質量為優良，則隨后一天的空氣質量也為優良的概率為（）A． B． C． D．8．在復平面內，復數(i為虛數單位)的共軛復數對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限9．箱子中有標號為1，2，3，4，5，6且大小、形狀完全相同的6個球，從箱子中一次摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩球號碼之積是4的倍數，則獲獎．若有4人參與摸獎，則恰好有3人獲獎的概率為()A．16625 B．96625 C．62410．閱讀下面的程序框圖，運行相應的程序，若輸入的值為24，則輸出的值為（）A．0 B．1 C．2 D．311．將4名志愿者分別安排到火車站、輪渡碼頭、機場工作，要求每一個地方至少安排一名志愿者，其中甲、乙兩名志愿者不安排在同一個地方工作，則不同的安排方法共有A．24種 B．30種 C．32種 D．36種12．如圖，用6種不同的顏色把圖中四塊區域分開，若相鄰區域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（）A．496種 B．480種 C．460種 D．400種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則的值是________14．已知為橢圓的左、右焦點，若橢圓C上恰有6個不同的點P，使得為直角三角形，則橢圓的離心率為__________.15．《九章算術》卷五《商功》中有如下敘述“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈“芻甍”指的是底面為矩形的對稱型屋脊狀的幾何體，“下廣三丈”是指底面矩形寬三丈，“袤四丈”是指底面矩形長四丈，“上袤二丈”是指脊長二丈，“無寬”是指脊無寬度，“高一丈”是指幾何體的高為一丈．現有一個芻甍如圖所示，下廣三丈，袤四丈，上袤三丈，無廣，高二丈，則該芻甍的外接球的表面積為_______________平方丈．16．數列定義為，則_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（為自然對數的底數）．（1）求的單調區間；（2）是否存在正實數使得，若存在求出，否則說明理由；18．（12分）已知函數，為的導函數．（1）證明：在上存在唯一零點．（2）若，恒成立，求的取值范圍．19．（12分）如圖，在三棱柱ABC?中，平面ABC，D，E，F，G分別為，AC，，的中點，AB=BC=，AC==1．（1）求證：AC⊥平面BEF；（1）求二面角B?CD?C1的余弦值；（3）證明：直線FG與平面BCD相交．20．（12分）已知函數.（1）討論的導函數零點的個數；（2）若函數存在最小值，證明：的最小值不大于1．21．（12分）如圖，圓錐的展開側面圖是一個半圓，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，為母線的中點，已知過與的平面與圓錐側面的交線是以為頂點、為對稱軸的拋物線的一部分．（1）證明：圓錐的母線與底面所成的角為；（2）若圓錐的側面積為，求拋物線焦點到準線的距離．22．（10分）如圖,在一個水平面內,河流的兩岸平行,河寬1(單位:千米)村莊A,B和供電站C恰位于一個邊長為2(單位:千米)的等邊三角形的三個頂點處,且A,C位于河流的兩岸,村莊A側的河岸所在直線恰經過BC的中點D.現欲在河岸上A,D之間取一點E,分別修建電纜CE和EA,EB.設∠DCE=θ,記電纜總長度為f(θ)(單位:千米).(1)求f(θ)的解析式；(2)當∠DCE為多大時,電纜的總長度f(θ)最小,并求出最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

分析：由三視圖可知該芻甍是一個組合體，它由成一個直三棱柱和兩個全等的四棱錐組成，根據三視圖中的數據可得其體積.詳解：由三視圖可知該芻甍是一個組合體，它由成一個直三棱柱和兩個全等的四棱錐組成，根據三視圖中的數據，求出棱錐與棱柱的體積相加即可，，故選A.點睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據正視圖和側視圖，確定組合體的形狀.2、D【解題分析】

根據交集定義求解．【題目詳解】由題意A∩B={1,5}．故選D．【題目點撥】本題考查集合的交集運算，屬于基礎題．3、B【解題分析】每個圖形中火柴棒的根數構成一個等差數列，首項為4，公差為3.其數列依次為4,7,10,13,…,所以第10個圖形中火柴棒的根數為.4、B【解題分析】

根據二項分布的期望的計算公式求解即可得到結果．【題目詳解】∵，∴．故選B．【題目點撥】本題考查二項分布的期望，解題的關鍵是熟記此類分布期望的計算公式，屬于基礎題．5、D【解題分析】分析：利用空間中線線、線面間的位置關系求解．詳解：A.若直線平行于平面，則平面內存在直線與平行，正確；B.若直線平行于平面，則平面內存在直線與異面，正確；C.若直線平行于平面，則平面內存在直線與垂直，正確，可能異面垂直；D.若直線平行于平面，則平面內存在直線與相交，錯誤，平行于平面，與平面沒有公共點.故選D.點睛：本題主要考查命題的真假判斷，涉及線面平行的判定和性質，屬于基礎題．6、B【解題分析】

由條件結構，輸入的x值小于0，執行y＝﹣x，輸出y，等于0，執行y＝0，輸出y，大于0，執行y＝1x，輸出y，由x＝1＞0，執行y＝1x得解．【題目詳解】因為輸入的x值為1大于0，所以執行y＝1x＝1，輸出1．故選：B．【題目點撥】本題考查了程序框圖中的條件結構，條件結構的特點是，算法的流程根據條件是否成立有不同的流向，算法不循環執行．7、A【解題分析】

設“某天的空氣質量為優良”是事件，“隨后一天的空氣質量為優良”是事件，根據條件概率的計算公式，即可得出結果.【題目詳解】設“某天的空氣質量為優良”是事件，“隨后一天的空氣質量為優良”是事件，由題意可得，，所以某天的空氣質量為優良，則隨后一天的空氣質量也為優良的概率為.故選A【題目點撥】本題主要考查條件概率，熟記條件概率的計算公式即可，屬于常考題型.8、D【解題分析】分析：首先求得復數z，然后求解其共軛復數即可.詳解：由復數的運算法則有：，則，其對應的點位于第四象限.本題選擇D選項.點睛：本題主要考查復數的運算法則及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.9、B【解題分析】獲獎的概率為p=6C62=25，記獲獎的人數為ξ，ξ~B(4,10、C【解題分析】

根據給定的程序框圖，逐次循環計算，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，第一循環：，能被3整除，不成立，第二循環：，不能被3整除，不成立，第三循環：，不能被3整除，成立，終止循環，輸出，故選C．【題目點撥】本題主要考查了程序框圖的識別與應用，其中解答中根據條件進行模擬循環計算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．11、B【解題分析】

利用間接法，即首先安排4人到三個地方工作的安排方法數N，再求出當甲、乙兩名志愿者安排在同一個地方時的安排方法數n，于是得出答案N-n。【題目詳解】先考慮安排4人到三個地方工作，先將4人分為三組，分組有C42種，再將這三組安排到三個地方工作，則安排4人到三個地方工作的安排方法數為當甲、乙兩名志愿者安排在同一個地方時，則只有一個分組情況，此時，甲、乙兩名志愿者安排在同一個地方工作的安排方法數為n=A因此，所求的不同安排方法數為N-n=36-6=30種，故選：B。【題目點撥】本題考查排列組合綜合問題的求解，當問題分類情況較多或問題中帶有“至少”時，宜用間接法來考查，即在總體中減去不符合條件的方法數，考查分析問題的能力和計算能力，屬于中等題。12、B【解題分析】分析：本題是一個分類計數問題，只用三種顏色涂色時，有C63C31C21，用四種顏色涂色時，有C64C41C31A22種結果，根據分類計數原理得到結果．詳解：由題意知本題是一個分類計數問題，只用三種顏色涂色時，有C63C31C21=120（種）．用四種顏色涂色時，有C64C41C31A22=360（種）．綜上得不同的涂法共有480種．故選：C．點睛：本題考查分類計數問題，本題解題的關鍵是看出給圖形涂色只有兩種不同的情況，顏色的選擇和顏色的排列比較簡單．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】

利用賦值法,分別令代入式子即可求得的值.【題目詳解】因為令,代入可得令,代入可得兩式相減可得,即故答案為:2【題目點撥】本題考查了二項式定理的簡單應用,賦值法求二項式系數的值是常用方法,屬于基礎題.14、【解題分析】

由題意，問題等價于橢圓上存在兩點使直線與直線垂直，可得，從而得到橢圓的離心率。【題目詳解】一方面，以為直角頂點的三角形共有4個；另一方面，以橢圓的短軸端點為直角頂點的三角形有兩個，此時，則橢圓的離心率為.【題目點撥】本題考查橢圓的幾何性質，考查學生的分析轉化能力，解題的關鍵是把問題轉化為橢圓上存在兩點使直線與直線垂直，屬于中檔題。15、【解題分析】

連結，交于，可得，即可確定點為芻甍的外接球的球心，利用球的表面積公式即可得到答案．【題目詳解】如圖，連結，，連結，交于，可得，由已知可得，所以點為芻甍的外接球的球心，該球的半徑為，所以該芻甍的外接球的表面積為．故答案為：【題目點撥】本題主要考查多面體外接球表面積的求法，同時考查數形結合思想，屬于中檔題．16、【解題分析】

由已知得兩式，相減可發現原數列的奇數項和偶數項均為等差數列，分類討論分別算出奇數項的和和偶數項的和，再相加得原數列前的和【題目詳解】兩式相減得數列的奇數項，偶數項分別成等差數列，，，，數列的前2n項中所有奇數項的和為：，數列的前2n項中所有偶數項的和為：【題目點撥】對于遞推式為，其特點是隔項相減為常數，這種數列要分類討論，分偶數項和奇數項來研究，特別注意偶數項的首項為，而奇數項的首項為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單調遞減區間是，單調遞增區間為；（2）不存在，證明見解析．【解題分析】分析：（1）先求一階導函數的根，求解或的解集，寫出單調區間．（2）函數在上的單調性，和函數的對稱性說明不存在詳解：（1）函數的單調遞減區間是，單調遞增區間為．（2）不存在正實數使得成立，事實上，由（1）知函數在上遞增，而當，有，在上遞減，有，因此，若存在正實數使得，必有．令，令，因為，所以，所以為上的增函數，所以，即，故不存在正實數使得成立．點睛：方程的根、函數的零點、兩個函數圖像的交點三種思想的轉化，為解題思路提供了靈活性，導數作為研究函數的一個基本工具在使用．18、（1）詳見解析；（2）.【解題分析】

(1)求出,設，求,由的單調性及零點存在定理說明在區間上存在唯一零點,即證得在上存在唯一零點.(2)將恒成立問題,轉化為函數的最值問題,利用導數研究函數的單調性,從而求得最值即可.【題目詳解】（1）證明：設，則，．令，則．∵當時，，則為增函數，且，，∴存在，使得，∴當時，；當時，．即在上單調遞減，在上單調遞增．又∵，，∴在區間上存在唯一零點，即在區間上存在唯一零點．（2）解：當時，；當時，．設，，即，∵，∴，∴在上單調遞減，∴，∴．綜上所述，的取值范圍為．【題目點撥】本題考查導數的運算、零點存在性定理的應用,以及利用導數證明不等式恒成立問題,難度較大.19、(2)見解析（2）；（3）見解析．【解題分析】

分析：（2）由等腰三角形性質得，由線面垂直性質得,由三棱柱性質可得，因此，最后根據線面垂直判定定理得結論，（2）根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解得平面BCD一個法向量，根據向量數量積求得兩法向量夾角，再根據二面角與法向量夾角相等或互補關系求結果，（3）根據平面BCD一個法向量與直線FG方向向量數量積不為零，可得結論.詳解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A2B2C2中，∵CC2⊥平面ABC，∴四邊形A2ACC2為矩形．又E，F分別為AC，A2C2的中點，∴AC⊥EF．∵AB=BC．∴AC⊥BE，∴AC⊥平面BEF．（Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC2．又CC2⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．如圖建立空間直角坐稱系E-xyz．由題意得B（0，2，0），C（-2，0，0），D（2，0，2），F（0，0，2），G（0，2，2）．∴，設平面BCD的法向量為，∴，∴，令a=2，則b=-2，c=-4，∴平面BCD的法向量，又∵平面CDC2的法向量為，∴．由圖可得二面角B-CD-C2為鈍角，所以二面角B-CD-C2的余弦值為．（Ⅲ）平面BCD的法向量為，∵G（0，2，2），F（0，0，2），∴，∴，∴與不垂直，∴GF與平面BCD不平行且不在平面BCD內，∴GF與平面BCD相交．點睛：垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型.(2)證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直.20、（1）見解析；（2）證明見解析.【解題分析】

（1）根據條件求出f'（x），然后通過構造函數g（x）＝x2ex（x＞1），進一步得到f'（x）的零點個數；（2）由題意可知a≥1時，函數f（x）無最小值，則只需討論當a＜1時，f（x）是否存在最小值即可．【題目詳解】(1),令,故在上單調遞增,且.當時,導函數沒有零點,當時,導函數只有一個零點.(2)證明:當時..則函數無最小值.故時,則必存在正數使得.函數在上單調遞減,在上單調遞增，,令.則令,則,所以函數在上單調遞減,在上單調遞增，所以,即.所以的最小值不大于1.【題目點撥】本題考查了函數零點個數的判斷和利用導數研究函數的單調性與最值，考查了函數思想和分類討論思想，屬中檔題．21、（1）答案見解析（2）【解題分析】

（1）設底面圓的半徑為,圓錐的母線,因為圓錐的側面展開圖扇形弧長與圓錐的底面圓的周長相等,列出底面半徑和關系式,即可證明:圓錐的母線與底面所