2024屆上海市（長寧、寶山、嘉定、青浦（四區數學高二下期末達標檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在復平面內，復數對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．有五名同學站成一排拍畢業紀念照，其中甲必須站在正中間，并且乙、丙兩位同學要站在一起，則不同的站法種數為（）A．4 B．8 C．16 D．323．已知函數，，則其導函數的圖象大致是（）A.B.C.D.4．如圖，在正四棱柱中，是側面內的動點，且記與平面所成的角為，則的最大值為A． B． C． D．5．為了解某校一次期中考試數學成績情況，抽取100位學生的數學成績，得如圖所示的頻率分布直方圖，其中成績分組區間是，則估計該次數學成績的中位數是（）A．71.5 B．71.8 C．72 D．756．已知一袋中有標有號碼、、的卡片各一張，每次從中取出一張，記下號碼后放回，當三種號碼的卡片全部取出時即停止，則恰好取次卡片時停止的概率為（）A． B． C． D．7．設復數，是的共軛復數，則（）A． B． C．1 D．28．從5名學生中選出4名分別參加數學，物理，化學，生物四科競賽，其中甲不能參加生物競賽，則不同的參賽方案種數為A．48 B．72 C．90 D．969．給出下列四個命題：①若，則；②若，且，則；③若復數滿足，則；④若，則在復平面內對應的點位于第一象限.其中正確的命題個數為（）A． B． C． D．10．已知實數，則的大小關系是()A． B． C． D．11．且，可進行如下“分解”：若的“分解”中有一個數是2019，則（）A．44 B．45 C．46 D．4712．已知將函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，則在上的值域為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有5條線段，其長度分別為3,4,5,7,9,現從中任取3條，則能構成三角形的概率是_____.14．已知某種新產品的編號由1個英文字母和1個數字組成，且英文字母在前，數字在后.已知英文字母是，，，，這5個字母中的1個，數字是1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數字中的一個，則共有__________個不同的編號（用數字作答）.15．已知函數對于任意實數滿足條件，若，則_________.16．已知一組數據，，，，的方差為，則數據2，2，2，2，2的方差為_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，.（1）用分析法證明：；（2）用反證法證明：與不能同時為負數.18．（12分）某公司訂購了一批樹苗，為了檢測這批樹苗是否合格，從中隨機抽測株樹苗的高度，經數據處理得到如圖1所示的頻率分布直方圖，其中最高的株樹苗的高度的莖葉圖如圖2所示，以這株樹苗的高度的頻率估計整批樹苗高度的概率.（1）求這批樹苗的高度于米的概率，并求圖中的值；（2）若從這批樹苗中隨機選取株，記為高度在的樹苗數量，求的分布列和數學期望；（3）若變量滿足且，則稱變量滿足近似于正態分布的概率分布，如果這批樹苗的高度近似于正態分布的概率分布，則認為這批樹苗是合格的，將順利被簽收，否則，公司將拒絕簽收.試問：該批樹苗是否被簽收？19．（12分）如圖四棱錐中，底面是正方形，，，且，為中點．(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值．20．（12分）設命題冪函數在上單調遞減。命題在上有解；若為假，為真，求的取值范圍.21．（12分）已知橢圓：的離心率為，短軸長為1．（1）求橢圓的標準方程；（1）若圓：的切線與曲線相交于、兩點，線段的中點為，求的最大值．22．（10分）如圖，在三棱柱中，底面，，，，點，分別為與的中點.（1）證明：平面.（2）求與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

化簡復數，找出對應點得到答案.【題目詳解】對應點為在第二象限故答案選B【題目點撥】本題考查了復數的化簡，屬于簡單題.2、D【解題分析】

根據題意，假設有1、2、3、4、5，共5個位置，分3步進行分析：①將甲安排在3號位置；②在1、2、4、5中一個位置任選1個，安排乙，依據乙、丙兩位同學不能相鄰，再安排丙；③將剩下的2名同學全排列，安排在剩下的2個位置，由分步計數原理計算可得答案.【題目詳解】解：根據題意，假設有1、2、3、4、5，共5個位置，分3步進行分析：①甲必須站在正中間，將甲安排在3號位置；②在1、2、4、5中一個位置任選1個，安排乙，有4種情況，由于乙、丙兩位同學不能相鄰，則丙有2種安排方法；③將剩下的2名同學全排列，安排在剩下的2個位置，有種安排方法.故有1×4×2×2=16種安排方法.故選：C.【題目點撥】本題考查排列組合的應用，注意題目的限制條件，優先滿足受到限制的元素.3、C【解題分析】試題分析：，為偶函數，當且時，或，所以選擇C。考點：1.導數運算；2.函數圖象。4、B【解題分析】

建立以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸的空間直角坐標系，設點，利用，轉化為，得出，利用空間向量法求出的表達式，并將代入的表達式，利用二次函數的性質求出的最大值，再由同角三角函數的基本關系求出的最大值．【題目詳解】如下圖所示，以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則、、，設點，則，，，，，則，得，平面的一個法向量為，所以，，當時，取最大值，此時，也取最大值，且，此時，，因此，，故選B．【題目點撥】本題考查立體幾何的動點問題，考查直線與平面所成角的最大值的求法，對于這類問題，一般是建立空間坐標系，在動點坐標內引入參數，將最值問題轉化為函數的問題求解，考查運算求解能力，屬于難題．5、C【解題分析】的頻率為：；的頻率為：；的頻率為：；的頻率為：；的頻率為：；的頻率為：.所以，得：.的頻率和為：.由，得中位數為：.故選C.點睛：用頻率分布直方圖估計總體特征數字的方法：①眾數：最高小長方形底邊中點的橫坐標；②中位數：平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標；③平均數：頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘小長方形底邊中點的橫坐標之和.6、B【解題分析】分析：由題意結合排列組合知識和古典概型計算公式整理計算即可求得最終結果.詳解：根據題意可知，取5次卡片可能出現的情況有種；由于第5次停止抽取，所以前四次抽卡片中有且只有兩種編號，所以總的可能有種；所以恰好第5次停止取卡片的概率為.本題選擇B選項.點睛：有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數和所求事件包含的基本事件數．(1)基本事件總數較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉．(2)注意區分排列與組合，以及計數原理的正確使用.7、A【解題分析】

先對進行化簡，然后得出，即可算出【題目詳解】所以，所以故選：A【題目點撥】本題考查的是復數的運算，較簡單.8、D【解題分析】因甲不參加生物競賽，則安排甲參加另外3場比賽或甲學生不參加任何比賽①當甲參加另外3場比賽時，共有?=72種選擇方案；②當甲學生不參加任何比賽時，共有=24種選擇方案．綜上所述，所有參賽方案有72+24=96種故答案為：96點睛：本題以選擇學生參加比賽為載體，考查了分類計數原理、排列數與組合數公式等知識，屬于基礎題．9、B【解題分析】

根據復數的乘方運算，結合特殊值即可判斷①；由復數性質，不能比較大小可判斷②；根據復數的除法運算及模的求法，可判斷③；由復數的乘法運算及復數的幾何意義可判斷④.【題目詳解】對于①，若，則錯誤，如當時，所以①錯誤；對于②，虛數不能比較大小，所以②錯誤；對于③，復數滿足，即，所以，即③正確；對于④，若，則，所以，在復平面內對應點的坐標為，所以④正確；綜上可知，正確的為③④，故選：B.【題目點撥】本題考查了復數的幾何意義與運算的綜合應用，屬于基礎題.10、B【解題分析】

根據，利用指數函數對數函數的單調性即可得出．【題目詳解】解：∵，∴，，．∴．故選：B．【題目點撥】本題考查了指數函數對數函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．11、B【解題分析】

探尋規律，利用等差數列求和進行判斷【題目詳解】由題意得底數是的數分裂成個奇數，底數是的數分裂成個奇數，底數是的數分裂成個奇數，則底數是數分裂成個奇數，則共有個奇數，是從開始的第個奇數，，第個奇數是底數為的數的立方分裂的奇數的其中一個，即，故選【題目點撥】本題考查了數字的變化，找出其中的規律，運用等差數列求出奇數的個數，然后進行匹配，最終還是考查了數列的相關知識。12、B【解題分析】解析：因，故，因，故，則，所以，應選答案B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

從5條線段中任取3條共有10種情況,將能構成三角形的情況數列出,即可得概率.【題目詳解】從5條線段中任取3條,共有種情況,其中,能構成三角形的有：3,4,5;3,5,7;3,7,9;4,5,7;4,7,9;5,7,9.共6種情況；即能構成三角形的概率是,故答案為：【題目點撥】本題考查了古典概型的概率公式,注意統計出滿足條件的情況數,再除以總情況數即可,屬于基礎題.14、45【解題分析】

通過分步乘法原理即可得到答案.【題目詳解】對于英文字母來說，共有5種可能，對于數字來說，共有9種可能，按照分步乘法原理，即可知道共有個不同的編號.【題目點撥】本題主要考查分步乘法原理的相關計算，難度很小.15、3【解題分析】

根據題意，求得函數的周期性，得出函數的周期，然后利用函數的周期和的值，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，函數對任意實數滿足條件，則，即函數是以4為周期的周期函數，又由，令，則，即，所以．【題目點撥】本題主要考查了抽象函數的應用，以及函數的周期性的判定和函數值的求解，其中解答中根據題設條件求得函數的周期是解答本題的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．16、2【解題分析】

根據方差的性質運算即可.【題目詳解】由題意知：本題正確結果：【題目點撥】本題考查方差的運算性質，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)見解析【解題分析】分析：（1）利用分析法，原命題等價于證明，則題中的結論成立.（2）假設與同時為負數，而，與假設矛盾，則題中的結論成立.詳解：（1）因為，，要證：，只需證：，只需證：，即證：，即證：，顯然上式恒成立，故.（2）設與同時為負數，則（1），所以，與（1）式矛盾，所以假設不成立，所以與不能同時為負數.點睛：本題主要考查分析法、反證法證明不等式的方法等知識，意在考查學生的轉化能力和邏輯思維能力.18、（1）概率為，，，（2）詳見解析（3）將順利被公司簽收【解題分析】

（1）由圖2可知，株樣本樹苗中高度高于米的共有株，以樣本的頻率估計總體的概率，可知這批樹苗的高度高于米的概率為，記為樹苗的高度，結合圖1，圖2求得，，，，即可求得答案；（2）以樣本的頻率估計總體的概率，可得這批樹苗中隨機選取株，高度在的概率為，因為從樹苗數量這批樹苗中隨機選取株，相當于三次獨立重復試驗，可得隨機變量，即可求的分布列，進而求得；（3）利用條件，計算出，從而給出結論.【題目詳解】（1）由圖2可知，株樣本樹苗中高度高于米的共有株，以樣本的頻率估計總體的概率，可知這批樹苗的高度高于米的概率為，記為樹苗的高度，結合圖1，圖2可得：，，，組距為，，，.（3）以樣本的頻率估計總體的概率，可得這批樹苗中隨機選取株，高度在的概率為，因為從樹苗數量這批樹苗中隨機選取株，相當于三次獨立重復試驗，隨機變量，分布列為：012340.00810.07560.26460.41160.2401.（3）由，取，，由（2）可知，又結合（1）可得，這批樹苗的高度近似于正態分布的概率分布，應該認為這批樹苗是合格的，將順利被公司簽收.【題目點撥】本題解題關鍵是掌握頻率直方圖基礎知識和求二項式分布列，及其正態分布的實際應用,考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.19、(1)證明見解析；(2).【解題分析】

（1）推導出，，從而平面，進而．求出，由此能證明平面．（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的正弦值．【題目詳解】（1）∵底面為正方形，∴，又，，∴平面，∴.同理，，∴平面.（2）建立如圖的空間直角坐標系，不妨設正方形的邊長為2.則，，，設為平面的一個法向量，又，，，令，，得同理是平面的一個法向量，則.∴二面角的余弦值為.【題目點撥】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數形