第12講牛吃草問題

1.現欲將一池塘水全部抽干，但同時有水勻速流入池塘.若用8臺抽水機10天可以抽

干；用6臺抽水機20天能抽干.問：若要5天抽干水，需多少臺同樣的抽水機來抽水？

【答案】12臺

【解析】

【詳解】解：設1臺抽水機1天的抽水量為1單位，則池塘每天的進水速度為：(6X20-

8X10)4-(20-10)=4單位,池塘中原有水量：6X20-4X20=40單位.若要5天內抽干水，

需要抽水機40+5+4=12臺.

2.12頭牛28天可以吃完10公畝牧場上全部牧草，21頭牛63天可以吃完30公畝牧場上全

部牧草.多少頭牛126天可以吃完72公畝牧場上全部牧草(每公畝牧場上原有草量相等，

且每公畝牧場上每天生長草量相等)？

【答案】36頭

【解析】

【詳解】設1頭牛1天吃1份牧草，則每公畝牧場上的牧草每天的生長量：(21X63+30-

12X284-10)4-(63-28)=0.3(份)，每公畝牧場上的原有草量：21X634-30-0.3X63=25.2

(份)，則72公畝的牧場126天可提供牧草：(25.2+0.3X126)X72-4536(份)，可供養

45364-126=36頭牛

3.畫展9點開門，但早有人來排隊入場，從第一個觀眾來到時起，若每分鐘來的觀眾一樣

多，如果開3個入場口，9點9分就不再有人排隊；如果開5個入場口，9點5分就沒有人

排隊.求第一個觀眾到達的時間.

【答案】8點15分

【解析】

【分析】從表面上看這個問題與“牛吃草”問題相離很遠，但仔細體會，題目中每分鐘來的

觀眾一樣多，類似于“草的生長速度”，入場口的數量類似于“牛”的數量，問題就變成

“牛吃草”問題了.解決一個問題的方法往往能解決一類問題，關鍵在于是否掌握了問題的

實質.

如果把入場口看作為“牛”，開門前原有的觀眾為“原有草量”，每分鐘來的觀眾為“草

的增長速度”，那么本題就是一個“牛吃草”問題.

【詳解】設每一個入場口每分鐘通過“1”份人，那么4分鐘來的人為3x9-5x5=2,即

1分鐘來的人為2+4=0.5,原有的人為：（3—65）x9=22.5.這些人來到畫展，所用時

間為22.5+0.5=45（分）.所以第一個觀眾到達的時間為8點15分.

4.甲、乙、丙三個倉庫，各存放著數量相同的面粉，甲倉庫用一臺皮帶輸送機和12名工

人，5小時可將甲倉庫內面粉搬完；乙倉庫用一臺皮帶輸送機和28名工人，3小時可將倉

庫內面粉搬完；丙倉庫現有2臺皮帶輸送機，如果要用2小時把丙倉庫內面粉搬完，同時

還要多少名工人？（每個工人每小時工效相同，每臺皮帶輸送機每小時工效也相同，另外

皮帶輸送機與工人一起往外搬運面粉）

【答案】36名

【解析】

【分析】設1個工人1小時搬1份面粉。甲倉庫中12個工人5小時搬了12x5=60份，乙

倉庫中28個工人3小時搬了28x3=84份，說明甲倉庫傳送機5—3=2小時多輸送了84

—60=24份面粉，即每小時輸送24+2=12份，倉庫中共有面粉（12+12卜5=120份。丙倉

庫中120份面粉需在2小時內搬完，每小時需搬120+2=60份，因此需要工人

60-12x2=36名。

【詳解】12x5=60（份）

28x3=84（份）

5-3=2（小時）

84-60=24（份）

244-2=12（份）

（12+12）x5

=24x5

=120（份）

120+2=60（份）

60-12x2

=60-24

—36（名）

答：同時還要36名工人。

【點睛】此題利用牛吃草問題的思路解答，解題時要先求出輸送機每小時工效，然后解得

倉庫中共有面粉數，最后回答問題。

5.有一桶酒，每天都因桶有裂縫而要漏掉等量的酒，現在這桶酒如果給6人喝，4天可喝

完；如果由4人喝，5天可喝完.這桶酒每天漏掉的酒可供幾人喝一天？如果桶沒有裂縫

由4個人來喝需要兒天喝完？

【答案】4人10天

【解析】

【詳解】一桶酒相當于原有“草”，喝酒人相當于“牛”，漏掉酒相當于草在減少，設1人

1天喝酒量為“1”

6人4天6X4=24：原有酒一4天自然減少的酒

4人5天4X5=20：原有酒一5天自然減少的酒

從上面看出：1天減少的酒為（24—20）4-（5-4）=4,可供4人喝一天.

原有酒為：24+4X4=40,由4個人來喝需要：40+4=10（天）.

6.某建筑工地開工前運進一批磚，開工后每天運進相同數量的磚，如果派15個工人砌磚

墻14天可以把磚運完，如果派20個工人，9天可以把磚用完，現在派若干名工人砌了6天

后，調走6名工人，其余工人又工作4天才砌完，問原來有多少工人來砌墻？

【答案】21名

【解析】

【分析】依題意知開工前運進的磚相當于“原有草”開工后每天運進相同的磚相當于“草的

生長速度”工人砌磚相當于“牛在吃草”。

【詳解】所以設1名工人1天砌磚數量為“1”，列表分析得

15人14天15X14=210：原有磚的數量+14天運來不專的數量

20人9天20X9=180：原有磚的數量+9天運來破的數量

從上面的表中可以看出（14—9）=5天運來的磚為（210-180）=30,即1天運來的磚為

30+5=6

原有磚的數量為：180-6X9=126；

假設6名工人不走，則能多砌6X4=24份磚，則破的總數為126+24+6X（6+4）=210

因為是10天工作完，所以有210+10=21名工人。

【點睛】本題其實是“牛吃草”類型，熟練掌握“牛吃草”類型解題方法是解決本題的關

鍵。

7.一片勻速生長的牧草，如果讓馬和牛去吃，15天將草吃盡；如果讓馬和羊去吃，20天

將草吃盡；如果讓牛和羊去吃，30天將草吃盡。已知牛和羊每天的吃草量的和等于馬每天

的吃草量。現在讓馬、牛、羊一起去吃草，幾天可以將這片牧草吃盡？

【答案】12天

【解析】

【分析】設1匹馬1天吃草量為“1”，摘錄條件，將它們轉化為如下形式方便分析：

馬和牛15天15天馬和牛吃草量=原有草量+15天新長草量（1）

馬和羊20天20天馬和羊吃草量=原有草量+20天新長草量（2）

牛和羊（同馬）30天30天馬（牛和羊）吃=原有草量+30天新長草量（3）

由（1）X2-（3）可得：30天牛吃草量=原有草量+牛每天吃草量=原有草量+30；

由（3）分析知道：30天羊吃草量=30天新長草量，羊每天吃草量=每天新長草量；

將分析的結果帶入（2）得：原有草量=20,帶入（3）30天牛吃草量=20,得牛每天吃草

量=2

3

這樣如果馬、牛和羊一起吃，可以讓羊去吃新生草，馬和牛吃原有草可以吃：20+（1+

-）=12（天）。

3

【詳解】204-30=|

2

204-（1+-）

3

2

=204-1-

3

=12（天）

答：現在讓馬、牛、羊一起去吃草，12天可以將這片牧草吃盡。

【點睛】此題屬于典型的牛吃草問題，解答這類題目的關鍵是想辦法從變化中找出不變

量，我們可以把總草量看成兩部分的和，即原有的草量加新長的草量。顯而易見，原有的

草量是一定的，新長的草量雖然在變，但如果是勻速生長，我們也能找到另一個不變量一

一一定時間內新長出的草的數量。

8.東升牧場南面一塊2000平方米的牧場上長滿牧草，牧草每天都在勻速生長，這片牧場

可供18頭牛吃16天，或者供27頭牛吃8天。在東升牧場的西側有一塊6000平方米的牧

場，可供多少頭牛吃6天？

【答案】99頭

【解析】

【分析】設每頭牛每天吃1份，這樣18頭牛吃16天共18X16=288份，而27頭牛吃8天

共27X8=216份，多出來288—216=72份就是16—8=8天多長出來的，所以每天草長9

份，這樣原來草總共是288—9X16=144份，現在牧場有6000平方米，所以是原來的3倍，

所以現在草有144X3=432份，每天長9X3=27份，這樣每天新長的草要27頭牛吃，而原

來的草要吃6天，要432+6=72頭牛，所以總共要：72+27=99頭牛。

【詳解】設1頭牛1天的吃草量為“1”，摘錄條件，將它們轉化為如下形式方便分析：

18頭牛16天18X16=288：原有草量+16天自然增加草量

27頭牛8天27X8=216：原有草量+8天自然增加的草量

從上看出：2000平方米的牧場上16—8=8天生長草量是：

288-216=72

所以1天生長草量是72+8=9；

那么2000平方米的牧場上原有草量：

288-16X9

=288-144

=144

或216—8X9

=216-72

=144

則6000平方米的牧場1天生長草量是：

9X(60004-2000)

=9X3

=27；

原有草量：

144X(60004-2000)

=144X3

=432

6天里，西側草場共提供草：

432+27X6

=432+162

=594

可以讓594+6=99(頭)牛吃6天。

答：可供99頭牛吃6天。

【點睛】牛吃草問題關鍵是求出原來牧場中草的份數和草每天生長的份數。

9.120頭牛28天吃完10公頃牧場上的全部牧草，210頭牛63天吃完30公頃牧場上的全部

牧草，如果每公頃牧場上原有的牧草相等，且每公頃每天新生長的草量相同，那么多少頭

牛126天可以吃完72公頃牧場上的全部牧草？

【答案】360頭

【解析】

【詳解】設1頭牛1天吃1份牧草.

120頭牛28天吃掉120X28=3360份，說明每公頃牧場28天提供33604-10=336份牧

草；

210頭牛63天吃掉210X63=13230份，說明每公頃牧場63天提供13230+30=441份牧

草；

每公頃牧場63—28=35天多提供441—336=105份牧草，說明每公頃牧場每天的牧草生長

量為105+35=3份，原有草量為336-28X3=252份.

如果是72公頃的牧場，原有草量為252X72=18144份，每天新長出3X72=216份，

126天共計提供牧草18144+126X216=45360份，可供45360:126=360頭牛吃126天.

10.如圖，一塊正方形的草地被分成完全相等的四塊和中間的陰影部分，已知草在各處都

是同樣速度均勻生長。牧民帶著一群牛先在①號草地上吃草，兩天之后把①號草地的草吃

光。（在這2天內其他草地的草正常生長）之后他讓一半牛在②號草地吃草，一半牛在③號

草地吃草，6天后又將兩個草地的草吃光。然后牧民把;的牛放在陰影部分的草地中吃

2

草，另外孑的牛放在④號草地吃草，結果發現它們同時把草場上的草吃完。那么如果一開

始就讓這群牛在整塊草地上吃草，吃完這些草需要多少時間？

【答案】30天

【解析】

【分析】一群牛，2天，吃了1塊+1塊2天新長的；一群牛，6天，吃了2塊+2塊2+6=

8天新長的；即3天，吃了1塊+1塊8天新長的；即1群牛1天吃1塊6天新長的；即,

6

群牛，1天，吃了1塊1天新長的草量。又因為，;的牛放在陰影部分的草地中吃草，另外

2

§的牛放在④號草地吃草，它們同時吃完。所以，④=2X陰影部分面積。于是，整個為

4+—1==9塊地。那么需要一19=3±群牛吃新長的草，于是（1一一1）、2*9'=現在、（1—巳3）。

22624624

所以需要吃：（1——]）x2x0'+（l—32）=30天。

624

所以，一開始將一群牛放到整個草地，則需吃30天。

【詳解】（1）1群牛，2天，吃了1塊+1塊2天新長的；

（2）1群牛，6天，吃了2塊+2塊2+6=8天新長的。

即1群牛，