天津市河東區2023屆高考一模考試數學試卷

第I常（選擇題共45分）

一、選擇題：本題共9個小題，每小題5分，共45分.每小題給出的四個選項只有一個符合

題目要求.

1.已知集合4=q,3,a",2={l,a+2},4118=4,則實數a的值為（：）

A.{2}B.{-1,2}C.{1,2}0.{0,2}

2.命題“有一個偶數是素數”的否定是（）

A.任意一個奇數是素數B.存在一個偶數不是素數

C.存在一個奇數不是素數D.任意一個偶數都不是素數

3.如圖1中，①②③④中不屬于函數〉

y=2',中一個的是（）

A.①

B.②

C③

D.④

4.《天津日報》2022年11月24日報道,我市,扎實推進實施深入打好污染防治攻堅戰

“1+3+8”行動方案，生態環境質量持續穩定向好，特別是大氣環境演量改善成效顯著.

記者從市生態環境局獲悉，1至10月份，全市尸M2.5平均濃度為34微克/立方米、同比改善

8.1%.優良天數222天，同比增加3天，血污染天2天，同比減少4天，為10年來最好水

平.小明所在的教學興趣小組根據2022年8月天津市空氣順景指數（AQI）趨勢用（圖2）繪

制頻率分布直方圖，下列說法錯誤的是（）

圖2

A.該組數據的極差為64-23=41

B.小明根據極差確定組距為7,共分為6組

C.當分為6組時，小組［23,30）,［37,44）的頻數分別為5,9

頻率

D.當分為6組時，小組［23,30）對應縱軸值（品）約為0.023

5.已知函數/'（X）=8S（4X+/）,下列說法錯誤的為（）

A.最小正周期為58.“X）為偶函數0.在（0,總單調遞減D./。）=二,

6.已知雙曲線m-4=1（a>0,6>0）的實軸為4,拋物線/=2px（p>0）的準線過雙曲

ab

線的左頂點，拋物線與雙曲線的一個交點為尸（4,m）,則雙曲線的漸近線方程為（）

7.已知。=Ige,6=In0.8,c=e°,.則。，瓦c的大小順序為（

:

A.a<b</bB.%<c<aC.b<a<cD.c<b<a

8.在面積為4的扇形中，其周長最小時半徑的值為()

A.4B.2&C.20.I

9.定義在R上的倒函數/(x)滿足/(2+x)=/(2-x),當xw[-2,0]時，/(x)=x+2.

設函數g(x)=eT7(-2<x<6)<e為自然對數的底數)，則函數/(*)與g(x)的圖象

所有交點的橫坐標之和為()

A.5B.6C.70.8

二、填空題：本息共6個小題，每小題5分，共30分.把答案填在■中橫線上.

10.i是復數單位，化筒的結果為.

11.(X3+3)5的展開式中，X，項的系數為.(用數字作答)

12.己知直線x+y+2=0與圓/+必+益-27+4=0相切，則滿足條件的實數a的值

為___________.

13.甲、乙兩名射手射中10環的概率分別為:、1(兩人射中10環與否相互獨立)，己知

兩人各射擊1次.兩人都射中10環的概率為?兩人命中10環的總次數為X,則

隨機變量X的期望為?

14.如圖3所示，一個由Iffl錐和圓柱組成的玻璃容器.

中間聯通(玻璃壁厚度忽略不計)，容器中裝有一定

體積的水，圓柱高為10,底面半徑為3,圓錐高為人

底面半徑大于圜柱.左圖中，圓柱體在下面，液面保持

水平，商度為〃，右圖中將容器倒置，水恰好充滿圓錐,

則01錐底面的半徑為.

15.己知等邊三角形48c的邊長為1,射線4B、4c上分別有一動點M和N(點C在點/

與N之間).當/M=CN=：時，麗?麗的值為,當<M=2CN時,

2----------------

CM?前的最小值為

三、解答題：本題共5個小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.(本小題滿分15分)

在三角形48C中，角4,H,C所對的邊分別為a,b,c.已知sin4=sin28,a=4,

b=6.

(1)求cosB的值：

(2)求c的值；

(3)求sin(28+C)的值.

17.(本小題滿分15分)

在蘇州博物館有一類典型建筑八角亭，既美觀又利于采光，其中一角如圖4所示，為多

面體ABCDE-,ABLAE.AEHBC,ABHED41J_底面ABCDE.四

邊形4月64是邊長為2的正方形且平行于底面，川5〃4片，D,￡,的中點分別為

F,G，AB=AE=2DE=2BC=4,A\=1.

(1)證明：FG//平面C￡D；

(2)求平面GCD與平面44B0夾角的余弦值；

(3)一束光從玻璃窗面GCD上點G射入恰經過點彳(假設此時光經過玻璃為直射)，求

這束光在玻璃畏G。上的入射角的正切值.

18.(本小題滿分15分)

設｛?.｝是等差數列，出｝是各項均為正數的等比數列，dl=-a)=a3-ft1=a4-fe,=l.

(1)求數列｛a.｝與也｝的通項公式?

%

(2)｛a,｝的前〃項和為S”，求證：2”=仆

?

(3)求

19.(本小題滿分15分)

己如桅圓C:「+A=l(a>b>0)的離心率為坐'，右焦點為F(2,0).

a2b3

(1)求橢BS方程；

(2)過點F的直線/與橢圓交于4B兩點，線段43的垂直平分線與直線x=3交于點C,

A45C為等邊三角形，求直線/的方程.

20.(本小題滿分15分)

已知函數f(x)=ar-%.g(x)=ln-.

x2

<1)求函數/(x)在點(1,/。))處的切線方程:

(2)F(x)=g(x)-/(x),0<a<-,x>01

(i)證明/(x)+尸(±)=0；

x

(ii)求函數尸(x)在區間［哈)上零點的個數并證明.

一■■■■參*考*答*案■■

一、填空題

1-5ADBCB6-9ACCD

二、填空題

10.3+〃XL-90110

13.!、g143^15,,

6682

三、解答題

M(1)①由已切sin4?2sin8cos6

由正弦定理櫓a?”cosS

代入a?4.。?6為cos6……5分

(2)cos8.°‘￥"’=!，解陽z或c?—l￡(#)……8分

2ac33

（3）rtlcosB-i.4為蛻角，疝萬.苧

sin2B1■2sinBcoiB?,8s2B=cos'8-sin'B?——.

99

b=c?6.Z5-ZC

SID(2月sin28cosc+HnCeos28ali分

27.

17.Mi(1)以￡為餐點建立空間次角坐標JK.M￡(0,0,0),4(0,4,0),/4.4,0),

C(4.X0),D(2.0,0),4(°，41)，A(Z4,1)?GQ,2.1),A(aZD，

F(0.1.y).GQ,4,1).

平面qco的法向量為〃*(x,y,z).qc-p,o,-l),qDo(0,-2,-l).

〃?GC?of2XT?0

,Oxul,崩v(l.-l.2)?7U-(XXO)

鳥?（71/）?（）(-2/-z?0

?而。3-3+0?0????ql府.FGff^QCD?”一6分

（2）平面的法向■為.=（0,1,0），干M的夾角為伊.

8sp=卜8(叫班)|?徽卜手i"l0分

(3)^q?(2,-2.1).入射角為G.

….閑叫同?斕d

sintf?——T5分

??32??

IS.Ml(1)設q?q+Oi-lW，bjUqfg>O,"wM

由已知O|=-1.A?i

。二;解為i一

a.=2n-3,A,-2**”.7分

(2)由已知S.?巧幺"”"聲"-2)

&&

左式=2-=2-',右式=2-i=2-'..-.2-=如…..夕分

(3)由已知7；=￡a—L01b.+02bz+4*+…+。1A

T

7；?(-l)x2^'+ix2-,+...+(2n-5)x2,+(2n-3)x2,①

/???

27；-(-1)x2'+lx2>^+-+(2n-5)x2,+(2/i-3)x2,Q

②一①為7；-(-l)x2,+2,+2-,4...+2,-(2n-3)x2#

y-3?

71-4x^—^-(2w-3)x2,-2*-2n-l15分

2-1

19.M>(1)由巳知。=￡=走，c?2.羯用a-R

a3

由b'=J-c'..,.^-2.精Bl方程為C:2T4分

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