概率論與數理統計統計量樣本及抽樣分布匯報人：AA2024-01-19目錄CONTENTS概率論基礎數理統計基本概念參數估計方法假設檢驗原理及應用方差分析與回歸分析初步隨機過程簡介及在金融領域應用舉例01概率論基礎事件在一定條件下，并不總是發生（或說必然發生）的現象。概率反映隨機事件出現的可能性大小。事件的運算包括事件的包含、相等、和事件（并）、積事件（交）、差事件、互斥事件及對立事件等。事件與概率在事件B發生的條件下，事件A發生的概率。條件概率如果事件A的發生與否對事件B發生的概率沒有影響，則稱事件A與B相互獨立。事件的獨立性用于計算兩個事件的交事件的概率。乘法公式條件概率與獨立性隨機變量定義在樣本空間上的實值函數，把隨機試驗的結果同實數對應起來。連續型隨機變量在其支撐集上取值的概率是連續的隨機變量。離散型隨機變量全部可能取到的值是有限個或可列無限多個的隨機變量。隨機變量及其分布二項分布、泊松分布等。離散型分布正態分布、均勻分布、指數分布等。連續型分布包括期望、方差、矩等，用于描述隨機變量的統計特性。分布的性質和特征常見的離散型和連續型分布02數理統計基本概念總體研究對象的全體個體組成的集合，通常用大寫字母表示，如$X$。樣本從總體中隨機抽取的一部分個體組成的集合，用于推斷總體的性質。樣本量通常用$n$表示。個體總體中的每一個元素，即研究對象的具體表現。樣本空間所有可能樣本的集合?？傮w與樣本樣本的函數，用于描述樣本的特征。常見的統計量有樣本均值、樣本方差、樣本標準差等。統計量不依賴于任何未知參數。統計量的概率分布。由于樣本是隨機的，因此統計量也是隨機的，具有一定的概率分布。常見的抽樣分布有$chi^2$分布、$t$分布、$F$分布等。統計量與抽樣分布抽樣分布統計量樣本均值樣本中所有觀測值的算術平均數，用$bar{x}$表示。樣本方差樣本中各個觀測值與樣本均值之差的平方的平均數，用$s^2$表示。樣本標準差樣本方差的算術平方根，用$s$表示。樣本矩描述樣本形狀特征的統計量，如一階原點矩（均值）、二階中心矩（方差）等。常用的統計量第二季度第一季度第四季度第三季度無偏性一致性有效性充分性抽樣分布的性質指統計量的期望值等于被估計的總體參數。無偏性是對統計量最基本的要求之一。隨著樣本量的增加，統計量的值逐漸接近總體參數的真值。一致性是評價統計量好壞的重要標準之一。指在同樣樣本量下，統計量的方差越小越好。有效性反映了統計量的精確程度。如果樣本中包含了關于總體參數的全部信息，則稱該統計量是充分的。充分性是對統計量的更高要求，它保證了從樣本中能夠獲取盡可能多的信息來推斷總體。03參數估計方法定義點估計是用樣本統計量來估計總體參數，因為樣本統計量為數軸上某一點值，估計結果也以一個點的數值表示，所以稱為點估計。優點簡單易行，能夠提供總體參數的近似值。缺點無法給出估計的精度和置信度。點估計優點能夠給出總體參數估計的精度和置信度，提供更全面的信息。缺點相對于點估計來說更復雜一些。定義區間估計是在點估計的基礎上，給出總體參數估計的一個區間范圍，該區間通常由樣本統計量加減估計誤差得到。區間估計極大似然估計法優點具有一致性、無偏性和有效性等優良性質，應用廣泛。缺點在某些情況下，極大似然估計可能不存在，或者存在但不唯一。定義貝葉斯估計法是基于貝葉斯定理而衍生出用于估算統計量的發生概率的方法。貝葉斯估計和極大似然估計法都是參數估計的常用方法，但前者考慮了被估計量的先驗概率分布，而后者則沒有。優點能夠利用先驗信息，對于小樣本數據也能得到較好的估計結果。缺點需要先驗概率分布的信息，如果先驗信息不準確或者沒有先驗信息，則會影響估計結果的準確性。貝葉斯估計法04假設檢驗原理及應用假設檢驗的基本思想是基于小概率原理，即在一次試驗中，小概率事件幾乎不可能發生。小概率原理在假設檢驗中，通常需要設立兩個相互對立的假設，分別為原假設（$H_0$）和備擇假設（$H_1$）。假設的設立為了判斷原假設是否成立，需要構造一個合適的檢驗統計量，并根據該統計量的分布及顯著性水平做出決策。檢驗統計量根據檢驗統計量的值和顯著性水平，可以確定拒絕或接受原假設的決策規則。決策規則假設檢驗的基本思想單側檢驗是指備擇假設的方向是單向的，即只關心參數是否大于或小于某一特定值。單側檢驗可以分為左側檢驗和右側檢驗。單側檢驗雙側檢驗是指備擇假設的方向是雙向的，即關心參數是否不等于某一特定值。在雙側檢驗中，需要同時考慮參數大于和小于特定值的情況。雙側檢驗單側檢驗與雙側檢驗t檢驗是用于比較兩組均數是否有差異的常用方法，包括單樣本t檢驗、兩獨立樣本t檢驗和配對樣本t檢驗等。t檢驗F檢驗卡方檢驗F檢驗是用于比較兩組或多組方差是否有差異的常用方法，通常用于方差分析（ANOVA）等場合?？ǚ綑z驗是用于比較兩個或多個總體率或構成比是否有差異的常用方法，常用于分類資料的統計分析。常見的假設檢驗方法第一類錯誤第一類錯誤是指原假設為真時拒絕原假設的錯誤，也稱為棄真錯誤。第一類錯誤的概率通常用顯著性水平α表示。第二類錯誤第二類錯誤是指原假設為假時接受原假設的錯誤，也稱為取偽錯誤。第二類錯誤的概率通常用β表示，而1-β稱為檢驗功效或把握度。假設檢驗中的兩類錯誤05方差分析與回歸分析初步方差分析原理及應用方差分析廣泛應用于醫學、社會科學、經濟學等領域，如比較不同藥物療效、評估不同教學方法效果等。方差分析應用方差分析是一種通過比較不同組別間均值差異，推斷總體參數是否存在顯著差異的統計方法。方差分析定義方差分析基于樣本數據間的變差，將總變差分解為組間變差和組內變差，通過比較組間變差與組內變差的比值，判斷不同組別間是否存在顯著差異。方差分析原理回歸分析原理回歸分析基于最小二乘法等數學原理，通過最小化預測值與實際值之間的誤差平方和，得到最優的回歸模型參數?；貧w分析應用回歸分析廣泛應用于預測、控制、優化等方面，如股票價格預測、產品質量控制、生產計劃優化等?；貧w分析定義回歸分析是一種研究自變量與因變量之間關系，通過構建回歸模型預測因變量取值的統計方法?；貧w分析原理及應用線性回歸模型建立根據自變量和因變量的觀測數據，構建線性回歸模型，即因變量與自變量之間的線性關系式。線性回歸模型檢驗通過顯著性檢驗、擬合優度檢驗等方法，對構建的線性回歸模型進行檢驗，判斷模型是否有效。線性回歸模型預測利用通過檢驗的線性回歸模型，對新的自變量數據進行預測，得到因變量的預測值。線性回歸模型的建立與檢驗030201非線性回歸模型的簡介當因變量與自變量之間呈現非線性關系時，需要構建非線性回歸模型進行擬合和預測。非線性回歸模型類型常見的非線性回歸模型包括指數模型、對數模型、冪函數模型等。非線性回歸模型應用非線性回歸模型在生物學、醫學、工程學等領域有廣泛應用，如生物生長曲線擬合、藥物劑量反應關系研究等。非線性回歸模型定義06隨機過程簡介及在金融領域應用舉例隨機過程定義隨機過程是一族隨時間變化的隨機變量，用于描述隨機現象的動態演變。隨機過程的數字特征包括均值函數、方差函數、協方差函數等，用于刻畫隨機過程的統計特性。隨機過程的分類根據隨機過程的性質，可分為平穩過程、馬爾科夫過程等。隨機過程的基本概念01馬爾科夫鏈是一種時間和狀態都離散的隨機過程，具有“無后效性”，即未來狀態只與當前狀態有關。馬爾科夫鏈定義02如預測股票價格變動、評估信用風險等。馬爾科夫鏈在金融中的應用03通過歷史股票價格數據，構建馬爾科夫鏈模型，預測未來股票價格走勢。舉例馬爾科夫鏈及其應用舉例布朗運動定義布朗運動與股票價格模型舉例布朗運動是一種描述微小粒子在氣體或液體中受到分子無規則碰撞而產生的隨機運動。布朗運動與股票價格的關系股票價格的變化往往呈現出布朗運動的特性，即價格的變動是隨機的、不可預測的。基于布朗運動理論，建立股票價格模型，如幾何布朗運動模型，用于描述股票價格的隨機波動。