專題過關檢測（十九）概率與統計1．(2019·全國卷Ⅱ)某行業主管部門為了解本行業中小企業的生產情況，隨機調查了100個企業，得到這些企業第一季度相對于前一年第一季度產值增長率y的頻率分布表.y的分組[－0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企業數22453147(1)分別估計這類企業中產值增長率不低于40%的企業比例、產值負增長的企業比例；(2)求這類企業產值增長率的平均數與標準差的估計值(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表)．(精確到0.01)附：eq\r(74)≈8.602.解：(1)根據產值增長率頻率分布表得，所調查的100個企業中產值增長率不低于40%的企業頻率為eq\f(14＋7,100)＝0.21，產值負增長的企業頻率為eq\f(2,100)＝0.02，用樣本頻率分布估計總體分布，得這類企業中產值增長率不低于40%的企業比例為21%，產值負增長的企業比例為2%.(2)eq\x\to(y)＝eq\f(1,100)×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，s2＝eq\f(1,100)×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.0296，s＝eq\r(0.0296)＝0.02×eq\r(74)≈0.17.所以這類企業產值增長率的平均數與標準差的估計值分別為0.30,0.17.2．某工廠有兩臺不同的機器A和B，生產同一種產品各10萬件，現從各自生產的產品中分別隨機抽取20件，進行質量鑒定，鑒定成績的莖葉圖如圖所示．該產品的質量評價標準規定：鑒定成績在[90,100)內的產品，質量等級為優秀；鑒定成績在[80,90)內的產品，質量等級為良好；鑒定成績在[60,80)內的產品，質量等級為合格．將頻率視為概率．(1)完成下列2×2列聯表，以產品質量等級是否達到良好以上(含良好)為判斷依據，判斷能不能在誤差不超過0.05的情況下，認為產品等級是否達到良好以上(含良好)與生產產品的機器有關；A機器生產的產品B機器生產的產品合計良好以上(含良好)合格合計(2)已知質量等級為優秀的產品的售價為12元/件，質量等級為良好的產品的售價為10元/件，質量等級為合格的產品的售價為5元/件，A機器每生產10萬件的成本為20萬元，B機器每生產10萬件的成本為30萬元．該工廠決定，按樣本數據測算，兩種機器分別生產10萬件產品，若收益之差達到5萬元以上，則淘汰收益低的機器，或收益之差不超過5萬元，則保留原來的兩臺機器．你認為該工廠會怎么做？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(K2≥k0)0.250.150.100.050.010k01.3232.0722.7063.8416.635解：(1)完成2×2列聯表如下：A機器生產的產品B機器生產的產品合計良好以上(含良好)61218合格14822合計202040結合列聯表中的數據，可得K2的觀測值k＝eq\f(40×6×8－12×142,20×20×18×22)＝eq\f(40,11)≈3.636<3.841.故在誤差不超過0.05的情況下，不能認為產品等級是否達到良好以上(含良好)與生產產品的機器有關．(2)由題意得，A機器每生產10萬件產品的利潤為10×(12×0.1＋10×0.2＋5×0.7)－20＝47(萬元)，B機器每生產10萬件產品的利潤為10×(12×0.15＋10×0.45＋5×0.4)－30＝53(萬元)，因為53－47＝6(萬元)，6>5，所以該工廠應該會賣掉A機器，同時購買一臺B機器．3．某商店為了更好地規劃某種商品的進貨量，從某一年的銷售數據中，隨機抽取了8組數據作為研究對象，如下表所示(x為該商品的進貨量，y為銷售天數)：x/噸234568911y/天12334568(1)根據上表數據在如圖所示的網格中繪制散點圖；(2)根據上表提供的數據，求出y關于x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)根據(2)中的計算結果，若該商店準備一次性進貨該商品24噸，預測需要銷售的天數．參考公式和數據：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).eq\i\su(i＝1,8,x)eq\o\al(2,i)＝356，eq\i\su(i＝1,8,x)iyi＝241.解：(1)散點圖如圖所示：(2)依題意，得eq\x\to(x)＝eq\f(1,8)×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋9＋11)＝6，eq\x\to(y)＝eq\f(1,8)×(1＋2＋3＋3＋4＋5＋6＋8)＝4，又eq\i\su(i＝1,8,x)eq\o\al(2,i)＝356，eq\i\su(i＝1,8,x)iyi＝241，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,x)iyi－8\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,8,x)\o\al(2,i)－8\x\to(x)2)＝eq\f(241－8×6×4,356－8×62)＝eq\f(49,68)，eq\o(a,\s\up6(^))＝4－eq\f(49,68)×6＝－eq\f(11,34)，故線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(49,68)x－eq\f(11,34).(3)由(2)知，當x＝24時，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(49,68)×24－eq\f(11,34)≈17，故若該商店一次性進貨24噸，則預計需要銷售17天．4．(2020屆高三·武昌區調研)對參加某次數學競賽的1000名選手的初賽成績(滿分：100分)作統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)根據直方圖完成以下表格；成績[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(2)求參賽選手初賽成績的平均數及方差(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)；(3)如果從參加初賽的選手中選取380人參加復賽，那么如何確定進入復賽選手的成績？解：(1)填表如下：成績[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數50150350350100(2)平均數為55×0.05＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.35＋95×0.1＝78，方差s2＝(－23)2×0.05＋(－13)2×0.15＋(－3)2×0.35＋72×0.35＋172×0.1＝101.(3)進入復賽選手的成績為80＋eq\f(350－380－100,350)×10＝82(分)，所以初賽成績為82分及其以上的選手均可進入復賽．(說明：回答82分以上，或82分及其以上均可)5．(2019·濟南學習質量評估)某企業生產了一種新產品，在推廣期邀請了100位客戶試用該產品，每人一臺．試用一個月之后進行回訪，由客戶先對產品性能作出“滿意”或“不滿意”的評價，再讓客戶決定是否購買該試用產品(不購買則可以免費退貨，購買則僅需付成本價)．經統計，決定退貨的客戶人數占總人數的一半，“對性能滿意”的客戶比“對性能不滿意”的客戶多10人，“對性能不滿意”的客戶中恰有eq\f(2,3)選擇了退貨．(1)請完成下面的2×2列聯表，并判斷是否有99%的把握認為“客戶購買產品與對產品性能滿意之間有關”？對性能滿意對性能不滿意合計購買產品不購買產品合計(2)該企業為了改進產品性能，現從“對性能不滿意”的客戶中按是否購買產品進行分層抽樣，隨機抽取6位客戶進行座談．座談后安排了抽獎環節，共有4張獎券，獎券上分別印有200元、400元、600元和800元字樣，抽到獎券可獲得相應獎金.6位客戶有放回地進行抽取，每人隨機抽取一張獎券，求6位客戶中購買產品的客戶人均所得獎金不少于500元的概率．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d，P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635解：(1)設“對性能不滿意”的客戶中購買產品的人數為x，則不購買產品的人數為2x，由此并結合題意可列出表：對性能滿意對性能不滿意合計購買產品x50不購買產品2x50合計3x＋103x100由表可得3x＋10＋3x＝100，所以x＝15.完成2×2列聯表為對性能滿意對性能不滿意合計購買產品351550不購買產品203050合計5545100所以K2＝eq\f(100×35×30－15×202,50×50×55×45)＝eq\f(100,11)≈9.091>6.635，所以有99%的把握認為“客戶購買產品與對產品性能滿意之間有關”．(2)由題意得，參加座談的6位客戶中購買產品的人數為2.“6位客戶中購買產品的客戶抽取獎券”包含的基本事件有(200,200)，(200,400)，(200,600)，(200,800)，(400,200)，(400,400)，(400,600)，(400,800)，(600,200)，(600,400)，(600,600)，(600,800)，(800,200)，(800,400)，(800,600)，(800,800)，共16個．設事件A為“6位客戶中購買產品的客戶人均所得獎金不少于500元”，則事件A包含的基本事件有(200,800)，(400,600)，(400,800)，(600,400)，(600,600)，(600,800)，(800,200)，(800,400)，(800,600)，(800,800)，共10個，則P(A)＝eq\f(10,16)＝eq\f(5,8).所以6位客戶中購買產品的客戶人均所得獎金不少于500元的概率是eq\f(5,8).6．某企業為了參加上海的進博會，大力研發新產品，為了對新研發的一批產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到一組銷售數據(xi，yi)(i＝1,2，…，6)，如表所示：試銷單價x/元456789產品銷量y/件q8483807568已知eq\x\to(y)＝eq\f(1,6)eq\i\su(i＝1,6,y)i＝80.(1)求q的值；(2)已知變量x，y具有線性相關關系，求產品銷量y(件)關于試銷單價x(元)的線性回歸方程y＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)用eq\o(y,\s\up6(^))i表示用正確的線性回歸方程得到的與xi對應的產品銷量的估計值，當|eq\o(y,\s\up6(^))i－yi|≤1時，將銷售數據(xi，yi)稱為一個“好數據”，現從6個銷售數據中任取2個，求抽取的2個銷售數據中至少有一個是“好數據”的概率．參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解：(1)由eq\x\to(y)＝eq\f(1,6)eq\i\su(i＝1,6,y)i＝80，得eq\f(q＋84＋83＋80＋75＋68,6)＝80，解得q＝90.(2)經計算，eq\i\su(i＝1,6,x)iyi＝3050，eq\x\to(x)＝6.5，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)＝271，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(3050－6×6.5×80,271－6×6.52)＝－4，eq\o(a,\s\up6(^))＝80＋4×6.5＝106，所以所求的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－4x＋106.(3)由(2)知，當x1＝4時，eq\o(y,\s\up6(^))1＝90；當x2＝5時，eq\o(y,\s\up6(^))2＝86；當x3＝6時，eq\o(y,\s\up6(^))3＝82；當x4＝7時，eq\