§7.2簡單的線性規劃高考文數

(課標Ⅱ專用)考點一簡單的線性規劃五年高考A組

統一命題·課標卷題組1.(2017課標全國Ⅱ,7,5分)設x,y滿足約束條件

則z=2x+y的最小值是

()A.-15

B.-9

C.1

D.9答案

A本題考查簡單的線性規劃.不等式組表示的可行域如圖所示,易求得A(0,1),B(-6,-3),C(6,-3),結合目標函數的幾何意義可得

目標函數在點(-6,-3)處取得最小值,最小值為zmin=-12-3=-15.故選A.

2.(2017課標全國Ⅰ,7,5分)設x,y滿足約束條件

則z=x+y的最大值為

()A.0

B.1

C.2

D.3答案

D本題考查簡單的線性規劃問題.作出約束條件表示的可行域如圖:

平移直線x+y=0,可得目標函數z=x+y在A(3,0)處取得最大值,zmax=3,故選D.一題多解由約束條件求出三個交點的坐標(3,0),(1,0),

,分別代入目標函數z=x+y,得到zmax=3.3.(2017課標全國Ⅲ,5,5分)設x,y滿足約束條件

則z=x-y的取值范圍是

()A.[-3,0]

B.[-3,2]

C.[0,2]

D.[0,3]答案

B由題意,畫出可行域(如圖中陰影部分所示),易知A(0,3),B(2,0).由圖可知,目標函數z=

x-y在點A,B處分別取得最小值與最大值,zmin=0-3=-3,zmax=2-0=2,故z=x-y的取值范圍是[-3,2].故選

B.

4.(2019課標全國Ⅱ,13,5分)若變量x,y滿足約束條件

則z=3x-y的最大值是

.答案9解析本題考查簡單的線性規劃問題;以二元一次不等式組作為約束條件考查學生數形結合

思想及運算求解能力;考查數學運算的核心素養.作出可行域(如圖陰影部分所示).

易得A(3,0),B(1,2),C(0,2).將z=3x-y化為y=3x-z,由圖知,當直線y=3x-z經過點A(3,0)時,截距-z取得最小值,從而z取得最大值.zmax=3×3=9.易錯警示因為目標函數中y的系數為負值,所以容易理解為在點C處取得最大值,導致錯誤.5.(2018課標全國Ⅱ,14,5分)若x,y滿足約束條件

則z=x+y的最大值為

.答案9解析本題考查簡單的線性規劃.由線性約束條件畫出可行域(如圖所示的陰影部分),

由圖可知,當直線x+y-z=0經過點A(5,4)時,z=x+y取得最大值,最大值為9.解題關鍵由可行域正確找到最優解是解題的關鍵.6.(2018課標全國Ⅰ,14,5分)若x,y滿足約束條件

則z=3x+2y的最大值為

.答案6解析本題主要考查線性規劃.由x,y滿足的約束條件畫出對應的可行域(如圖中陰影部分所示).

由圖知當直線3x+2y-z=0經過點A(2,0)時,z取得最大值,zmax=2×3=6.規律總結線性目標函數最值問題的常見類型及解題策略:(1)求線性目標函數的最值.線性目標函數的最優解一般在平面區域的頂點或邊界處取得,所以

對于一般的線性規劃問題,我們可以直接解出可行域的頂點,然后將坐標代入目標函數求出相

應的數值,從而確定目標函數的最值.(2)由目標函數的最值求參數.求解線性規劃中含參問題的基本方法有兩種:一是把參數當常數

用,根據線性規劃問題的求解方法求出最優解,代入目標函數確定最值,通過構造方程或不等式

求解參數的值或取值范圍;二是先分離含有參數的式子,通過觀察的方法確定含參的式子所滿

足的條件,確定最優解的位置,從而求出參數.7.(2018課標全國Ⅲ,15,5分)若變量x,y滿足約束條件

則z=x+

y的最大值是

.答案3解析本題考查簡單的線性規劃.解法一:根據約束條件作出可行域,如圖所示.z=x+

y可化為y=-3x+3z.求z的最大值可轉化為求直線y=-3x+3z縱截距的最大值,顯然當直線y=-3x+3z過A(2,3)時,縱截距最大,故zmax=2+

×3=3.解法二:畫出可行域(如上圖),由圖知可行域為三角形區域,易求得頂點坐標分別為(2,3),(2,-7),(-2,1),將三點坐標代入,可知zmax=2+

×3=3.8.(2016課標全國Ⅱ,14,5分)若x,y滿足約束條件

則z=x-2y的最小值為

.答案-5解析由約束條件畫出可行域,如圖中陰影部分所示(包括邊界).當直線x-2y-z=0過點B(3,4)時,

z取得最小值,zmin=3-2×4=-5.

9.(2016課標全國Ⅲ,13,5分)設x,y滿足約束條件

則z=2x+3y-5的最小值為

.答案-10解析可行域如圖所示(包括邊界),直線2x-y+1=0與x-2y-1=0相交于點(-1,-1),當目標函數線過

(-1,-1)時,z取最小值,zmin=-10.

評析本題考查了簡單的線性規劃問題,正確畫出可行域是求解的關鍵.10.(2015課標Ⅱ,14,5分)若x,y滿足約束條件

則z=2x+y的最大值為

.答案8解析由約束條件畫出可行域(如圖所示).解方程組

得A(3,2).當動直線2x+y-z=0經過點A(3,2)時,zmax=2×3+2=8.

評析本題考查了簡單的線性規劃,考查了數形結合的思想方法.11.(2015課標Ⅰ,15,5分)若x,y滿足約束條件

則z=3x+y的最大值為

.答案4解析由線性約束條件畫出可行域,如圖.

解方程組

得

即A點坐標為(1,1).當動直線3x+y-z=0經過點A(1,1)時,z取得最大值,zmax=3×1+1=4.考點二線性規劃的應用、非線性規劃或含參問題(2016課標全國Ⅰ,16,5分)某高科技企業生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料.生產一

件產品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個工時;生產一件產品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.

3kg,用3個工時.生產一件產品A的利潤為2100元,生產一件產品B的利潤為900元.該企業現有

甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個工時的條件下,生產產品A、產品B的利潤之和的

最大值為

元.答案216000解析設生產產品Ax件,生產產品By件,利潤之和為z元,則z=2100x+900y.根據題意得

即

作出可行域(如圖陰影部分內的整數點).

由

得

當直線2100x+900y-z=0過點A(60,100)時,z取得最大值,zmax=2100×60+900×100=216000.故所求的最大值為216000元.考點一簡單的線性規劃B組

自主命題·省(區、市)卷題組1.(2019天津,2,5分)設變量x,y滿足約束條件

則目標函數z=-4x+y的最大值為

(

)A.2

B.3

C.5

D.6答案

C本題主要考查簡單的線性規劃問題.通過求線性目標函數的最大值考查學生的運

算求解能力,體現了數學運算的核心素養.作出可行域(如圖陰影部分),

平移直線-4x+y=0可知,目標函數z=-4x+y在P點處取最大值,由

得P(-1,1).∴zmax=-4×(-1)+1=5.故選C.解題反思對于目標函數z=Ax+By,當B>0時,目標直線向上平移,z變大;當B<0時,目標直線向下

平移,z變大.2.(2019浙江,3,4分)若實數x,y滿足約束條件

則z=3x+2y的最大值是

()A.-1

B.1

C.10

D.12答案

C本題考查簡單的線性規劃問題,考查學生的運算求解的能力;體現了數學運算的核

心素養.根據題意畫出不等式組所表示的平面區域(如圖陰影部分所示),畫出直線l0:3x+2y=0,平移l0可

知,當l0經過點C(2,2)時,z取最大值,即zmax=3×2+2×2=10,故選C.

一題多解根據線性約束條件得出平面區域為△ABC及其內部(如上圖所示),其中A(-1,1),B(1,

-1),C(2,2),經檢驗,知目標直線經過點C(2,2)時,z取最大值10.故選C.3.(2018天津,2,5分)設變量x,y滿足約束條件

則目標函數z=3x+5y的最大值為

()A.6

B.19

C.21

D.45答案

C本題主要考查線性目標函數最值的求解.由變量x,y滿足的約束條件畫出可行域(如圖陰影部分所示).

作出基本直線l0:3x+5y=0,平移直線l0,當經過點A(2,3)時,z取最大值,zmax=3×2+5×3=21,故選C.4.(2017北京,4,5分)若x,y滿足

則x+2y的最大值為

()A.1

B.3

C.5

D.9答案

D本題考查簡單的線性規劃.作出不等式組表示的平面區域,如圖中陰影部分.

令z=x+2y,當z=x+2y過A點時,z取最大值.由

得A(3,3),∴z的最大值為3+2×3=9.故選D.5.(2017浙江,4,4分)若x,y滿足約束條件

則z=x+2y的取值范圍是

()A.[0,6]

B.[0,4]

C.[6,+∞)

D.[4,+∞)答案

D本題考查線性規劃中可行域的判斷,最優解的求法.不等式組形成的可行域如圖所示.平移直線y=-

x,當直線過點A(2,1)時,z有最小值4.顯然z沒有最大值.故選D.

易錯警示1.易把可行域看成是圖中的三角形OAB區域,而錯選A;同時,又錯認為過點A時,取

到最大值,而錯選B.2.可行域判斷對了,但錯認為過點B時,z有最小值,從而錯選C.6.(2017山東,3,5分)已知x,y滿足約束條件

則z=x+2y的最大值是

()A.-3

B.-1

C.1

D.3答案

D本題考查簡單的線性規劃.畫出可行域如圖:

作直線l0:y=-

x.經平移可得z=x+2y在點A處取得最大值,由

解得A(-1,2),所以zmax=-1+2×2=3.故選D.7.(2015天津,2,5分)設變量x,y滿足約束條件

則目標函數z=3x+y的最大值為

(

)A.7

B.8

C.9

D.14答案

C由x,y的約束條件畫出可行域(如圖),其中A(2,3),B(2,1),當直線3x+y-z=0經過點A(2,3)

時,z取最大值9,故選C.

評析正確畫出可行域是解決本題的關鍵.8.(2019北京,10,5分)若x,y滿足

則y-x的最小值為

,最大值為

.答案-3;1解析本題考查了簡單的線性規劃,考查了數形結合的思想方法.核心素養體現了直觀想象.由線性約束條件畫出可行域,為圖中的△ABC及其內部.易知A(-1,-1),B(2,-1),C(2,3).設z=y-x,平

移直線y-x=0,當直線過點C時,zmax=3-2=1,當直線過點B時,zmin=-1-2=-3.

解題關鍵正確畫出可行域是求解的關鍵.9.(2018浙江,12,6分)若x,y滿足約束條件

則z=x+3y的最小值是

,最大值是

.答案-2;8解析本小題考查簡單的線性規劃.由約束條件得可行域是以A(1,1),B(2,2),C(4,-2)為頂點的三角形區域(含邊界),如圖.

當直線y=-

x+

過點C(4,-2)時,z=x+3y取得最小值-2,過點B(2,2)時,z=x+3y取得最大值8.思路分析(1)作出可行域,并求出頂點坐標.(2)平移直線y=-

x,當在y軸上的截距最小時,z=x+3y取得最小值,當在y軸上的截距最大時,z=x+3y取得最大值.10.(2018北京,13,5分)若x,y滿足x+1≤y≤2x,則2y-x的最小值是

.答案3解析本題主要考查簡單的線性規劃.由x+1≤y≤2x作出可行域,如圖中陰影部分.設z=2y-x,則y=

x+

z,由

得A(1,2).由圖可知,當直線y=

x+

z過A(1,2)時,z取得最小值,zmin=3.方法總結簡單的線性規劃問題的解題思路:先利用線性約束條件作出可行域,然后找到最優解,進而求得最值.11.(2015北京,13,5分)如圖,△ABC及其內部的點組成的集合記為D,P(x,y)為D中任意一點,則z=

2x+3y的最大值為

.

答案7解析由題意可知直線z=2x+3y經過點A(2,1)時,z取得最大值,即zmax=2×2+3×1=7.1.(2015陜西,11,5分)某企業生產甲、乙兩種產品均需用A,B兩種原料.已知生產1噸每種產品所

需原料及每天原料的可用限額如表所示.如果生產1噸甲、乙產品可獲利潤分別為3萬元、4萬

元,則該企業每天可獲得最大利潤為

()考點二線性規劃的應用、非線性規劃或含參問題

甲乙原料限額A(噸)3212B(噸)128A.12萬元

B.16萬元

C.17萬元

D.18萬元答案

D設該企業每天生產甲產品x噸,乙產品y噸,獲利z萬元,則由題設可得

z=3x+4y.畫出可行域(圖略),利用線性規劃知識可求得zmax=18,故選D.2.(2015四川,9,5分)設實數x,y滿足

則xy的最大值為

()A.

B.

C.12

D.16答案

A解法一:作出可行域,如圖.設z=xy,則y=

.

∵y=

關于y=x對稱,∴當y=

與2x+y=10相切時,z有最大值.把y=10-2x代入xy=z,得x(10-2x)=z,即2x2-10x+z=0,由Δ=100-4×2×z=0,得z=

.此時切點為

,滿足線性約束條件.∴xy的最大值為

.解法二:作出可行域,如圖.

易求得A(2,6),B(4,2).設z=xy,若xy有最大值,則點(x,y)在第一象限,xy的幾何意義為以可行域中的點對應的橫坐標x,

縱坐標y為鄰邊長的矩形面積,所以z=xy的最大值在上邊界或右邊界取得.當0<x≤2時,z=xy=x·

=-

[(x-7)2-49],∴當x=2時,z取得最大值,zmax=12.當2<x≤4時,z=xy=x(10-2x)=-2

+

,∴當x=

時,z取得最大值,zmax=

.∴xy的最大值為

,故選A.3.(2015重慶,10,5分)若不等式組

表示的平面區域為三角形,且其面積等于

,則m的值為

()A.-3

B.1

C.

D.3答案

B如圖,要使不等式組表示的平面區域為三角形,則-2m<2,即m>-1,所圍成的區域為△ABC,S△ABC=S△ADC-S△BDC.

點A的縱坐標為1+m,點B的縱坐標為

(1+m),C,D兩點的橫坐標分別為2,-2m,所以S△ABC=

(2+2m)(1+m)-

(2+2m)·

(1+m)=

(1+m)2=

,解得m=-3(舍去)或m=1.故選B.4.(2015福建,10,5分)變量x,y滿足約束條件

若z=2x-y的最大值為2,則實數m等于

()A.-2

B.-1

C.1

D.2答案

C當m<0時,約束條件所表示的平面區域是開放的,目標函數z=2x-y無最大值.當m=2

時,目標函數z=2x-y的最大值為0.于是,選C.5.(2015浙江,14,4分)已知實數x,y滿足x2+y2≤1,則|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是

.答案15解析解法一:x2+y2≤1表示圓及其內部的區域,如圖,

當

時,不等式組表示的區域在圓外,同理,

及

表示的區域均在圓外.當

時,令t=|2x+y-4|+|6-x-3y|,則t=-3x-4y+10,當直線3x+4y+t-10=0與圓相切時,t取得最值,此時

=1,解得t=15或t=5,故最大值為15.解法二:令

(其中-π≤θ≤π),則|2x+y-4|+|6-x-3y|=|2cosθ+sinθ-4|+|6-cosθ-3sinθ|=4-2cosθ-sinθ+6-cosθ-3sinθ=10-3cosθ-4sinθ=10-5sin(θ+φ),其中tanφ=

,則|2x+y-4|+|6-x-3y|≤15,即最大值為15.6.(2017天津,16,13分)電視臺播放甲、乙兩套連續劇,每次播放連續劇時,需要播放廣告.已知每

次播放甲、乙兩套連續劇時,連續劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示:已知電視臺每周安排的甲、乙連續劇的總播放時間不多于600分鐘,廣告的總播放時間不少于

30分鐘,且甲連續劇播放的次數不多于乙連續劇播放次數的2倍.分別用x,y表示每周計劃播出

的甲、乙兩套連續劇的次數.(1)用x,y列出滿足題目條件的數學關系式,并畫出相應的平面區域;(2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續劇各多少次,才能使總收視人次最多?

連續劇播放時長(分鐘)廣告播放時長(分鐘)收視人次(萬)甲70560乙60525解析本小題主要考查用二元線性規劃的基礎知識和基本方法解決簡單實際問題的能力,以

及抽象概括能力和運算求解能力.(1)由已知,x,y滿足的數學關系式為

即

該二元一次不等式組所表示的平面區域為圖1中的陰影部分:

圖1(2)設總收視人次為z萬,則目標函數為z=60x+25y.考慮z=60x+25y,將它變形為y=-

x+

,這是斜率為-

,隨z變化的一族平行直線.

為直線在y軸上的截距,當

取得最大值時,z的值最大.又因為x,y滿足約束條件,所以由圖2可知,當直線z=60x+25y經過可行域上的點M時,截距

最大,即z最大.

圖2解方程組

得點M的坐標為(6,3).所以,電視臺每周播出甲連續劇6次、乙連續劇3次時才能使總收視人次最多.方法技巧解線性規劃應用題的步驟:(1)轉化——設元,寫出約束條件和目標函數,從而將實

際問題轉化為線性規劃問題;(2)求解——解這個純數學的線性規劃問題;(3)作答——將數學

問題的答案還原為實際問題的答案.7.(2016天津,16,13分)某化肥廠生產甲、乙兩種混合肥料,需要A,B,C三種主要原料.生產1車皮

甲種肥料和生產1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數如下表所示:現有A種原料200噸,B種原料360噸,C種原料300噸,在此基礎上生產甲、乙兩種肥料.已知生產

1車皮甲種肥料,產生的利潤為2萬元;生產1車皮乙種肥料,產生的利潤為3萬元.分別用x,y表示

計劃生產甲、乙兩種肥料的車皮數.(1)用x,y列出滿足生產條件的數學關系式,并畫出相應的平面區域;(2)問分別生產甲、乙兩種肥料各多少車皮,能夠產生最大的利潤?并求出此最大利潤.原料肥料

ABC甲483乙5510解析

(1)由已知,x,y滿足的數學關系式為

該二元一次不等式組所表示的平面區域為圖1中的陰影部分:

圖1(2)設利潤為z萬元,則目標函數為z=2x+3y.考慮z=2x+3y,將它變形為y=-

x+

,這是斜率為-

,隨z變化的一族平行直線.

為直線在y軸上的截距,當

取最大值時,z的值最大.又因為x,y滿足約束條件,所以由圖2可知,當直線z=2x+3y經過可行域上的點M時,截距

最大,即z最大.

圖2解方程組

得點M的坐標為(20,24).所以zmax=2×20+3×24=112.答:生產甲種肥料20車皮、乙種肥料24車皮時利潤最大,且最大利潤為112萬元.疑難突破解決有關線性規劃實際問題的關鍵是找出兩變量之間所滿足的關系式,利用圖解

法進行解答.評析本題主要考查用線性規劃的基礎知識和基本方法解決簡單實際問題的能力以及抽象

概括能力和運算求解能力.考點一簡單的線性規劃C組

教師專用題組1.(2015安徽,5,5分)已知x,y滿足約束條件

則z=-2x+y的最大值是

()A.-1

B.-2

C.-5

D.1答案

A作出可行域,如圖所示,

當z=-2x+y經過點A時,z取得最大值,由

得A(1,1),則zmax=-2×1+1=-1.2.(2015廣東,4,5分)若變量x,y滿足約束條件

則z=2x+3y的最大值為

()A.2

B.5

C.8

D.10答案

B作出不等式組所表示的平面區域,如圖.z=2x+3y可化為y=-

x+

,當直線y=-

x+

經過點A(4,-1)時,z最大,最大值為2×4+3×(-1)=5.選B.

3.(2014課標Ⅱ,9,5分,0.700)設x,y滿足約束條件

則z=x+2y的最大值為

()A.8

B.7

C.2

D.1答案

B約束條件表示的平面區域如圖中陰影部分所示,

由z=x+2y,得y=-

x+

,

為直線y=-

x+

在y軸上的截距,要使z最大,則需

最大,所以當直線y=-

x+

經過點B(3,2)時,z最大,最大值為3+2×2=7,故選B.4.(2013課標Ⅱ,3,5分,0.693)設x,y滿足約束條件

則z=2x-3y的最小值是

()A.-7

B.-6

C.-5

D.-3答案

B由約束條件得可行域(如圖),當直線2x-3y-z=0過點A(3,4)時,zmin=2×3-3×4=-6.故選B.

5.(2012課標全國,5,5分)已知正三角形ABC的頂點A(1,1),B(1,3),頂點C在第一象限,若點(x,y)在

△ABC內部,則z=-x+y的取值范圍是

()A.(1-

,2)

B.(0,2)C.(

-1,2)

D.(0,1+

)答案

A由題意知可行域為△ABC(不含邊界).

當直線-x+y-z=0過點C(1+

,2)時,zmin=1-

;當過點B(1,3)時,zmax=2.故選A.評析本題考查了簡單的線性規劃,考查了數形結合的思想.正確理解直線的斜率、截距的幾

何意義是求解的關鍵.6.(2010課標全國,11,5分)已知?ABCD的三個頂點為A(-1,2),B(3,4),C(4,-2),點(x,y)在?ABCD的

內部,則z=2x-5y的取值范圍是

()A.(-14,16)

B.(-14,20)

C.(-12,18)

D.(-12,20)答案

B設D(a,b),∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴

=

,求得D(0,-4),則?ABCD區域如圖所示,

當直線z=2x-5y在坐標系內平移時易知zB<z<zD,∴-14<z<20,故選B.評析本題考查不等式的線性規劃問題,考查數形結合思想,難度中等.7.(2015湖北,12,5分)若變量x,y滿足約束條件

則3x+y的最大值是

.答案10解析由線性約束條件畫出可行域,如圖中的陰影部分(包括邊界),令z=3x+y,則當直線y=-3x+z

經過點A時,z=3x+y取得最大值,解方程組

得點A的坐標為(3,1),則zmax=3×3+1=10.

評析本題考查了簡單的線性規劃問題和數形結合思想.正確畫出可行域是求解的關鍵.8.(2014大綱全國,15,5分)設x、y滿足約束條件

則z=x+4y的最大值為

.答案5解析作出可行域(如圖所示的陰影部分),

當z=x+4y經過點A時,z取得最大值,由

得A(1,1),故zmax=1+4×1=5.9.(2014遼寧,14,5分)已知x,y滿足約束條件

則目標函數z=3x+4y的最大值為

.答案18解析畫出可行域如圖,

由

得A(2,3).當動直線3x+4y-z=0過點A時,z取得最大值,zmax=3×2+4×3=18.10.(2013課標Ⅰ,14,5分,0.660)設x,y滿足約束條件

則z=2x-y的最大值為

.答案3解析可行域為如圖所示的陰影部分,

由z=2x-y,得y=2x-z.-z的幾何意義是直線y=2x-z在y軸上的截距,要使z最大,則-z最小,所以當直線

y=2x-z過點A(3,3)時,z最大,最大值為2×3-3=3.11.(2011課標,14,5分)若變量x,y滿足約束條件

則z=x+2y的最小值為

.答案-6解析畫出約束條件所表示的平面區域,如圖陰影部分所示:

當直線z=x+2y經過A(4,-5)時,z有最小值且zmin=4+2×(-5)=-6.考點二線性規劃的應用、非線性規劃或含參問題(2014課標Ⅰ,11,5分,0.236)設x,y滿足約束條件

且z=x+ay的最小值為7,則a=

()A.-5

B.3C.-5或3

D.5或-3答案

B二元一次不等式組表示的平面區域如圖所示,其中A

.平移直線x+ay=0,可知在點A

處,z取得最值,

因此

+a×

=7,化簡得a2+2a-15=0,解得a=3或a=-5,但a=-5時,z取得最大值,故舍去,答案為a=3,故選B.評析本題考查簡單的線性規劃問題,對含字母系數的問題,一要判斷存在最小值的條件,二要

考慮字母系數對平面區域的影響.考點一簡單的線性規劃三年模擬A組2017—2019年高考模擬·考點基礎題組1.(2018內蒙古包頭一模)若x,y∈R,且

則z=x+2y的最小值為

()A.0

B.1

C.2

D.3答案

D

由題意,作出約束條件所表示的平面區域,如圖所示,

目標函數z=x+2y可化為y=-

x+

,由圖易知,當直線y=-

x+

過點A時,直線y=-

x+

的縱截距最小,即z最小,由

解得A(1,1),則目標函數的最小值zmin=1+2×1=3,故選D.2.(2019黑龍江齊齊哈爾一模,6)若x,y滿足不等式組

則z=2x-3y的最小值為

()A.-2

B.-3

C.-4

D.-5答案

D畫出x,y滿足的不等式組

表示的平面區域,如圖所示,其中A(2,3),B(1,0),C(0,1),由圖易知當目標函數過點A時,z取得最小值,∴z的最小值為2×2-3×3=-5.故選D.

3.(2018陜西榆林第二次模擬)已知變量x,y滿足約束條件

則目標函數z=x+y的最大值為

()A.

B.12

C.

D.2答案

B畫出約束條件

表示的平面區域,如圖所示.

目標函數z=x+y可化為y=-x+z,由

解得A(6,6).易知直線z=x+y過點A時取得最大值,zmax=6+6=12.故選B.4.(2018吉林梅河口五中二模,7)若變量x,y滿足約束條件

則z=x-2y的最大值為

(

)A.-1

B.-2

C.3

D.4答案

D約束條件

對應的可行域為三角形區域,三個頂點為A(0,1),B(2,-1),C(3,0).當直線z=x-2y經過點B(2,-1)時,z取得最大值,為4.故選D.5.(2018內蒙古呼和浩特質量普查)已知x,y滿足條件

則目標函數z=x+y從最小值變化到1時,所有滿足條件的點(x,y)構成的平面區域的面積為

()A.

B.

C.

D.

答案

A如圖所示,易知所求面積即為圖中多邊形AOBC(陰影部分)的面積.

S四邊形AOBC=

×2×2-

×

×

=

.故選A.6.(2018遼寧大連一模)設實數x,y滿足約束條件

則z=x+2y+5的最大值為

.答案14解析作出可行域,如圖.

由可行域可確定t=x+2y在(1,4)處取最大值9,故z=x+2y+5的最大值為14,故答案為14.方法總結求目標函數最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意

是實線還是虛線);(2)找到目標函數最優解(在可行域內平移目標函數線,最先通過或最后通過

的頂點(或邊)就是最優解);(3)將最優解坐標代入目標函數求出最值.1.(2019陜西第二次質量檢測,8)若實數x,y滿足約束條件

則目標函數z=

的最大值為

()A.

B.

C.2

D.

考點二線性規劃的應用、非線性規劃或含參問題答案

B作出實數x,y滿足的約束條件

所對應的可行域(如圖中的陰影部分),而目標函數z=

表示可行域內的點到原點的距離,由

解得

故A(1,3),數形結合可知,可行域內A點到原點的距離最大,即z取最大值,最大值為

=

,故選B.2.(2017甘肅蘭州一診)設變量x,y滿足不等式組

則x2+y2的最小值是

()A.

B.

C.

D.5答案

B由約束條件

作出可行域如圖,

x2+y2的幾何意義為可行域內的動點與坐標原點距離的平方,則其最小值為

=

.故選B.3.(2017陜西咸陽二模)已知實數x,y滿足

則

的取值范圍是

()A.

B.[3,11]

C.

D.[1,11]答案

C由約束條件

作出可行域如圖,

=1+

,其中

表示點(x,y)與點P(-1,-1)所確定直線的斜率k,由圖可知,A,B兩點的坐標分別為(0,4),(3,0),故kmin=kPB=

=

,kmax=kPA=

=5,所以

的取值范圍是

,故

的取值范圍是

.故選C.

方法總結求目標函數最值的步驟:(1)在平面直角坐標系內作出可行域.(2)考慮目標函數的幾何意義,將目標函數進行變形.常見的類型有截距型(如ax+by)、斜率型

和距離型(如(x+a)2+(y+b)2).(3)確定最優解:根據目標函數的類型,并結合可行域確定最優解.(4)求最值:將最優解代入目標函數即可求出最大值或最小值.4.(2018新疆第二次適應性(模擬)檢測)已知實數x,y滿足

則使不等式kx-y+k≤1恒成立的實數k的取值范圍是

()A.(-∞,1]

B.

C.

D.

答案

B由題意,作出不等式組所表示的平面區域,如圖所示,易知x≥0,則不等式kx-y+k≤1,

可化為k≤

,設z=

,易知z=

的幾何意義是可行域內的點與P(-1,-1)連線的斜率,通過分析圖形可知可行域中點B和點P連線的斜率最小,由

解得B(1,0),所以zmin=

=

,所以實數k的取值范圍是k≤

,故選B.5.(2017百校聯盟4月教學質量檢測)某顏料公司生產A、B兩種產品,其中生產每噸A產品,需要

甲染料1噸,乙染料4噸,丙染料2噸,生產每噸B產品,需要甲染料1噸,乙染料0噸,丙染料5噸,且該

公司一天之內甲、乙、丙三種染料的用量分別不超過50噸、160噸、200噸,如果A產品的利

潤為300元/噸,B產品的利潤為200元/噸,則該顏料公司一天內可獲得的最大利潤為

()A.14000元

B.16000元

C.18000元

D.20000元答案

A依題意,將題中數據進行統計,如下表所示:設該公司一天內安排生產A產品x噸、B產品y噸,所獲利潤為z元.依題意得目標函數為z=300x+

200y,約束條件為

欲求目標函數z=300x+200y=100(3x+2y)的最大值,先畫出約束條

A(噸)B(噸)染料最高用量(噸)甲染料1150乙染料40160丙染料25200件所表示的可行域,如圖中陰影部分所示,則點A(40,0),B(40,10),C

,D(0,40),作直線3x+2y=0,當移動該直線過點B(40,10)時,3x+2y取得最大值,則z=300x+200y也取得最大值.故zmax=300×40+200×10=14000.所以該公司每天生產A產品40噸、B產品10噸,才可獲得最大利潤14000元.6.(2019新疆第一次適應性檢測,7)若點M(x,y)滿足

則x+y的取值集合是

()A.[1,2+

]

B.[1,3]

C.[2+

,4]

D.[1,4]答案

A

x2+y2-2x-2y+1=(x-1)2+(y-1)2=1,根據約束條件畫出可行域,如圖所示,是半個圓弧(圓弧ABC),令z=x+y,則y=-x+z,根據圖象得到

當直線過點(1,0)時目標函數取得最小值,為1,當直線和半圓相切時,取得最大值,根據點到直線

的距離等于半徑得到

=1?z=2±

,易知2-

不符合題意,故z=2+

,所以x+y的取值范圍為[1,2+

].故選A.

7.(2019遼寧沈陽東北育才學校五模,14)實數x,y滿足約束條件

則z=

的最小值是

.答案

解析由約束條件

作出可行域如下:

因為函數z=

表示平面區域內的點與坐標原點連線的斜率,由圖象可得,點A與原點連線的斜率最小,由

解得

故A(3,1),所以zmin=

.8.(2019陜西咸陽模擬檢測(一),14)若實數x,y滿足

若z=ax-y(a∈R)的最小值是-1,則a的取值范圍是

.答案(-∞,2]解析畫出可行域如圖所示,目標函數對應的直線為y=ax-z,當截距-z最大時,目標函數z取得最

小值,因為z=ax-y(a∈R)的最小值是-1,所以在A(0,1)處取得最小值.由圖象可知,直線y=ax-z的斜

率a≤2,因為當a>2時,目標函數在B點取得最小值,所以a的取值范圍是(-∞,2].

B組

2017—2019年高考模擬·專題綜合題組(時間:25分鐘分值:45分）一、選擇題(每小題5分,共30分)1.(2019甘肅、青海、寧夏聯考,6)設x,y滿足約束條件

則z=x+y的最大值與最小值的比值為

()A.-1

B.-

C.-2

D.-

答案

C題中不等式組所表示的平面區域如圖中陰影部分所示,z=x+y可化為y=-x+z,當直線y=-x+z經過A點時,z最大,聯立

得

故A(2,5),此時z=7;當直線y=-x+z經過B點時,z最小,聯立

得

故B

-

,-2

,此時z=-

,故最大值與最小值的比值為-2.故選C.

2.(2018陜西質量檢測(二))在由不等式組

所確定的三角形區域內隨機取一點,則該點到此三角形的三個頂點的距離均不小于1的概率是

()A.9-

B.9-πC.1-

D.1-

答案

D畫出不等式組

所確定的三角形區域,如圖所示.△ABC的面積S1=

×3×6=9,則離三個頂點距離都不小于1的區域的面積S2=9-

π,

∴所求概率P=

=1-

.故選D.3.(2019遼寧沈陽東北育才學校五模,6)設點P(x,y)在不等式組

表示的平面區域上,則z=

的最小值為

()A.1

B.

C.2

D.

答案

D作出不等式組

所表示的平面區域如下:

因為目標函數z=

表示平面區域內的點到定點(1,0)的距離,由圖象可知(1,0)到直線2x-y=0的距離即是最小值,所以zmin=

=

.4.(2018甘肅蘭州一診)設p:實數x,y滿足(x-1)2+[y-(2-

)]2≤3-2

;q:實數x,y滿足

則p是q的

()A.必要不充分條件

B.充分不必要條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件答案

B畫出

表示的平面區域,如圖陰影部分所示,∴q表示的區域是△ABC及其內部,其中△ABC為等腰直角三角形.p表示的區域是以(1,2-

)為圓心,

-1為半徑的圓及其內部,易知△ABC的內切圓半徑為

-1,圓心為(1,2-

),∴滿足(x-1)2+[y-(2-

)]2≤3-2

的點在△ABC內切圓上或其內部,∴p是q的充分不必要條件,故選B.

5.(2018寧夏石嘴山三中一模)設x,y滿足約束條件

則

的取值范圍是

()A.[-4,1]

B.

C.(-∞,-3]∪[1,+∞)

D.[-3,1]答案

D畫出約束條件

表示的可行域,

表示可行域內的點(x,y)與P(-6,-4)連線的斜率,由

可得A(-5,-7),kPA=-3,由

可得B(-1,1),kPB=1,所以

的取值范圍是[-3,1],故選D.

6.(2017吉林梅河口五中一模)已知實數x,y滿足

如果目標函數z=x-y的最小值為-1,則實數m=

()A.6

B.5

C.4

D.3答案

B畫出x,y滿足的可行域,如圖陰影部分所示,

故可得目標函數z=x-y經過直線y=2x-1與直線x+y=m的交點A時取得最小值,聯立

得A

,代入x-y=-1,解得m=5,故選B.二、填空題(每小題5分,共15分)7.(2019遼寧大連第一次(3月)雙基測試,13)若x,y滿足約束條件