第3章點(diǎn)、直線和平面的投影教學(xué)提示：任何形體，不論其復(fù)雜程度如何，都可以看成由空間幾何元素點(diǎn)、線、面所組成。本章主要研究點(diǎn)、各種位置直線、各種位置平面的投影規(guī)律和圖示方法，為正確繪制和閱讀形體的投影圖打基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)要求：掌握點(diǎn)、直線和平面的投影規(guī)律和方法，在學(xué)習(xí)的過程中要注意將所學(xué)內(nèi)容與實(shí)際工程結(jié)合起來，以加強(qiáng)空間想象能力。1可編輯課件PPT3.1點(diǎn)的投影如右圖所示，一個(gè)形體由多個(gè)側(cè)面圍成，各側(cè)面相交于多條側(cè)棱，各側(cè)棱相交于多個(gè)頂點(diǎn)A、B、C…J

等。如果畫出各點(diǎn)的投影，再把各點(diǎn)的投影一一連接，就可以作出一個(gè)形體的投影。點(diǎn)是形體的最基本的元素。點(diǎn)的投影規(guī)律是點(diǎn)、線、面投影的基礎(chǔ)。2可編輯課件PPT一、點(diǎn)的單面投影

1）過空間點(diǎn)A的投射線與投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在P面上的投影。2）點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。3可編輯課件PPT二.點(diǎn)的兩面投影點(diǎn)的兩面投影規(guī)律：1)點(diǎn)的水平投影和正面投影之間的連系線垂直于OX軸。a′a⊥OX。2)點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離等于空間點(diǎn)A到V面的距離aaX=Aa′。3)點(diǎn)的正面投影到OX軸的距離等于空間點(diǎn)A到H面的距離a′aX=Aa。4可編輯課件PPTWHVoXa

點(diǎn)A的正面投影a

點(diǎn)A的水平投影a

點(diǎn)A的側(cè)面投影空間點(diǎn)用大寫字母表示，點(diǎn)的投影用小寫字母表示。a

●a●a

●A●ZY三.點(diǎn)在三面投影體系中的投影5可編輯課件PPT點(diǎn)的三面投影規(guī)律：(1)投影之間連系線垂直于投影軸，aa′⊥OX，a′a"⊥OZ。(2)點(diǎn)的H面投影a到OX的距離等于點(diǎn)的W面投影a"到OZ軸的距離，aaX=a"aZ。(a)空間狀況(b)展開圖 (c)投影圖6可編輯課件PPT●●a

aax例1：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影。●a

●●a

aaxazaz解法一:通過作45°線使a

az=aax解法二:用圓規(guī)直接量取a

az=aaxa

●7可編輯課件PPT例2：已知點(diǎn)的兩面投影，求第三投影，如下圖所示。

(a)已知 (b)作圖分析：因?yàn)楦鶕?jù)點(diǎn)的任意兩面投影可以求出第三投影。8可編輯課件PPT四、特殊位置的點(diǎn)注意：A點(diǎn)的側(cè)面投影a"應(yīng)在OYW軸上，C點(diǎn)的水平投影應(yīng)在OYH軸上。9可編輯課件PPT五、點(diǎn)的坐標(biāo)

已知點(diǎn)的3個(gè)坐標(biāo)，可作出該點(diǎn)的三面投影，已知點(diǎn)的三面投影，可以量出該點(diǎn)的3個(gè)坐標(biāo)。10可編輯課件PPT例3：已知點(diǎn)A(18，15，20)，作點(diǎn)A的三面投影圖和立體圖，如下圖所示。分析：由于已知點(diǎn)的3個(gè)坐標(biāo)，可作出該點(diǎn)的三面投影圖，并且點(diǎn)的空間位置可用坐標(biāo)來確定。方法一方法二立體圖11可編輯課件PPT六、空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置1.相對(duì)位置的判斷兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。X坐標(biāo)值大的點(diǎn)在左，小的在右。Y坐標(biāo)值大的點(diǎn)在前，小的在后。Z坐標(biāo)值大的點(diǎn)在上，小的在下。。

A在B的左、前、下方12可編輯課件PPT作圖步驟：

1）在a′左方12mm，上方8mm處確定b；

2）作b′b⊥OX軸，且在a前10mm處確定b；3）按投影關(guān)系求得b″。ayayZaa

axazXYH

YWOa

bybybxbzb

●b●b

●12810例4：如圖，已知點(diǎn)A的三投影，另一點(diǎn)B在點(diǎn)A上方8mm，左方12mm，前方10mm處，求點(diǎn)B的三個(gè)投影。13可編輯課件PPT

空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合為一點(diǎn)時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)。A、C為H面的重影點(diǎn)●●●●●a

a

c

c

被擋住的投影加()()A、C為哪個(gè)投影面的重影點(diǎn)呢？ac2.重影點(diǎn)14可編輯課件PPTH面重影點(diǎn) V面重影點(diǎn)W面重影點(diǎn)重影點(diǎn)15可編輯課件PPT例5：已知形體的立體圖及投影圖，試在投影圖上標(biāo)記形體上的重影點(diǎn)的投影，如下圖所示。16可編輯課件PPT

一般情況下，直線的投影仍為直線。兩點(diǎn)確定一條直線，將直線上兩點(diǎn)的同名投影用直線連接起來，就得到直線的三個(gè)投影。一、直線的投影aa

a

b

b

b●●●●●●XZYHYWo直線的投影規(guī)定用粗實(shí)線繪制。1.直線投影的形成3.2直線的投影17可編輯課件PPTAB●●●●ab直線垂直于投影面投影重合為一點(diǎn)積聚性直線平行于投影面投影反映線段實(shí)長(zhǎng)

ab=AB直線傾斜于投影面投影比空間線段短

ab=ABcosα●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●直線與投影面的相對(duì)位置18可編輯課件PPT投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面一、各種位置直線投影19可編輯課件PPT1.投影面平行線(1)投影面平行線是指在空間與一個(gè)投影面平行同時(shí)與另外兩個(gè)投影面傾斜的直線。(2)投影面平行線分為水平線、正平線、側(cè)平線。①水平線與H面平行同時(shí)與V面、W面傾斜。②正平線與V面平行同時(shí)與H面、W面傾斜。③側(cè)平線與W面平行同時(shí)與H面、V面傾斜。(3)投影面平行線的投影特點(diǎn)為：在它所平行的投影面上的投影反應(yīng)其實(shí)長(zhǎng)并且反映與另外兩個(gè)投影面的傾角。20可編輯課件PPT投影面平行線(a)水平線(b)正平線(c)側(cè)平線21可編輯課件PPTb

aa

b

ba

XZYHYWb

a

aba

b

XZYHYWba

aa

b

b

XZYW水平線YH1）在其平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)，并反映直線與另兩投影面的真實(shí)傾角。2）另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。側(cè)平線正平線投影特性與H面的夾角:α與V面的夾角:β與W面的夾角:γ實(shí)長(zhǎng)βγγ實(shí)長(zhǎng)α實(shí)長(zhǎng)αβ投影面平行線投影特性22可編輯課件PPT

水平線正平線側(cè)平線投影面平行線在形體投影圖和立體圖中的位置

23可編輯課件PPT2.投影面垂直線(1)投影面垂直線是指在空間與一個(gè)投影面垂直，同時(shí)與另外兩個(gè)投影面平行的直線。(2)投影面垂直線分為鉛垂線、正垂線、側(cè)垂線。①鉛垂線與H面垂直同時(shí)與V面、W面平行。②正垂線與V面垂直同時(shí)與H面、W面平行。③側(cè)垂線與W面垂直同時(shí)與H面、V面平行。(3)投影面垂直線的投影特點(diǎn)為：在它所垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)，另外兩個(gè)投影垂直于相應(yīng)的投影軸，如圖3.15所示。24可編輯課件PPT投影面垂直線

(a)水平線 (b)正平線 (c)側(cè)平線25可編輯課件PPT（1）在其垂直的投影面上，投影有積聚性。

（2）另外兩個(gè)投影,反映線段實(shí)長(zhǎng)，且垂直于相應(yīng)的投影軸。投影特性側(cè)垂線●e

f

efe

(f

)XZoYHYW正垂線●c

(d

)cdd

c

XZoYHYW鉛垂線●a

b

a(b)a

b

XZoYWYH投影面垂直線投影特性26可編輯課件PPT鉛垂線正垂線側(cè)垂線投影面垂直線在形體投影圖和立體圖中的位置27可編輯課件PPT投影特性：三個(gè)投影都不反映空間線段的實(shí)長(zhǎng)及與三個(gè)投影面夾角的真實(shí)大小，且與各投影軸都傾斜。abb

a

b

a

返回xyHywz3.一般位置直線28可編輯課件PPTxzyABbb’aa’

=abB0

ZaBB。=Bb-bB。實(shí)長(zhǎng)=Zb-Za=ΔZZaAB

B0實(shí)長(zhǎng)=Zb-Za=ΔZ=ab直角三角形法求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和傾角29可編輯課件PPTB。α=ab實(shí)長(zhǎng)ΔZAB在直角三角形中OXa’b’abB。αΔZΔZ實(shí)長(zhǎng)OXa’b’ZaZbΔZ求直線段AB的實(shí)長(zhǎng)和傾角α30可編輯課件PPT1）H面投影長(zhǎng)、Z坐標(biāo)差、、實(shí)長(zhǎng)。2）V面投影長(zhǎng)、Y坐標(biāo)差、、實(shí)長(zhǎng)。3）W面投影長(zhǎng)、X坐標(biāo)差、、實(shí)長(zhǎng)。

1、直角三角形法的四要素：投影長(zhǎng)、坐標(biāo)差、實(shí)長(zhǎng)和傾角2、應(yīng)用總結(jié)：不同條件的四要素總結(jié)31可編輯課件PPT直線對(duì)投影面的傾角α、β直角三角形法求直線段的實(shí)長(zhǎng)及傾角32可編輯課件PPT已知作圖

例1：用直角三角形法求α、β、γ33可編輯課件PPToa'b'ax例2：已知直線AB的投影a'b'和a及AB=35mm，B點(diǎn)在A點(diǎn)的前方，求b。分析：由點(diǎn)的投影規(guī)律可知，b必定位于b′正下方的H投影面上，只要作出A、B

兩點(diǎn)的Y坐標(biāo)差，即可以確定b。34可編輯課件PPTo實(shí)長(zhǎng)B0ΔYΔYba'b'ax作圖過程及結(jié)果35可編輯課件PPT二、直線上的點(diǎn)點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的投影必在直線的同名投影上且符合點(diǎn)的投影規(guī)律。直線上兩線段長(zhǎng)度之比等于它們的同名投影長(zhǎng)度之比，即

AC：CB=ac：cb=a′c′：c′b′=a"c"：c"b"。36可編輯課件PPT點(diǎn)C不在直線AB上abca

b

c

①c

②abca

b

●點(diǎn)C在直線AB上返回xxoo例3：判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。37可編輯課件PPTZa

b

●c

因c

不在a

b

上，故點(diǎn)C不在AB上。應(yīng)用等比定理abca

b

c

●●另一判斷法?XoYHYW例4：判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。38可編輯課件PPT例3.8：判斷點(diǎn)K是否在線段AB上39可編輯課件PPT三、兩直線的相對(duì)位置關(guān)系平行相交交叉垂直空間兩直線的相對(duì)位置廠房形體分為40可編輯課件PPT1.平行兩直線aVHc

bcdABCDb

d

a

投影特性：空間兩直線平行則其各同面投影必相互平行；各同名投影的長(zhǎng)度之比相等；各同名投影的指向相同。AB∥CD，則ab∥cd、a′b′∥c′d′、a"b"∥c"d"

AB∶CD=ab∶cd=a′b′∶c′d′=a"b"∶c"d"

41可編輯課件PPT若兩直線的三組同面投影都平行：則兩直線在空間平行。若兩一般位置直線：任意兩組同面投影平行，則可判斷兩直線在空間平行。若兩直線同時(shí)平行于某一投影面：則需通過兩直線在該投影面上的投影來判斷；或者通過定比性和指向來判斷。判斷方法：42可編輯課件PPT

對(duì)于一般位置直線，只要有兩個(gè)同面投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CDabcdc

a

b

d

X例5：判斷圖中兩條直線是否平行43可編輯課件PPTb

d

c

a

cbadd

b

a

c

對(duì)于特殊位置直線，只有兩個(gè)同面投影互相平行，空間直線不一定平行。求出 W面投影后可知：AB與CD不平行。XZoYHYW例6：判斷圖中兩條直線是否平行。44可編輯課件PPTabcdb

a

c

d

kk

X投影特點(diǎn)：

若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律。交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)HVABCDKabcdka

b

c

k

d

X2.相交兩直線45可編輯課件PPT判斷方法：

若兩直線的三組同面投影都相交，且交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律，則兩直線在空間相交；兩一般位置直線，任意兩組同面投影相交，且交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律，則可判斷兩直線在空間相交；兩直線中其中之一平行于某一投影面，則需作出兩直線在該投影面上的投影來判斷；或者通過定比性來判斷。46可編輯課件PPT●●cabb

a

c

d

k

kd例7：過C點(diǎn)作水平線CD與AB相交。先作正面投影ox思考：如果給出CD的長(zhǎng)度，解題過程有何變化？提示：H面投影反映實(shí)長(zhǎng)。47可編輯課件PPT分析：因兩直線中CD平行于W投影面，則需作出兩直線在W投影面上的投影來判斷；或者通過定比性來判斷。[例3.10]：判斷兩直線AB與CD是否相交。48可編輯課件PPTd

b

a

abcdc'1

(2

)3(4)⒊兩直線交叉投影特性：●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影點(diǎn)，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點(diǎn)。12●●3

4

●●交叉兩直線既不平行又不相交。其投影既不符合平行兩直線的投影特性，也不符合相交兩直線的投影特性。49可編輯課件PPT答案：交叉判斷下列兩直線的位置關(guān)系：50可編輯課件PPTHVXabcb

a

c

ACB直線在H面上投影互相垂直cabb

a

c

ox兩垂直相交直線之一平行于某投影面，另一邊不平行也不垂直于該投影面時(shí)，則在該投影面上的投影是直角。4.垂直兩直線51可編輯課件PPT

反之，相交兩直線之一是某投影面的平行線，且兩直線在該投影面上的同名投影互相垂直，則兩直線在空間互相垂直。abb

a

c

oxc52可編輯課件PPTHVXadeb

a

c

CBAd

e

DE(c)(b)

當(dāng)空間交叉垂直兩直線之一平行于某投影面，另一直線不平行也不垂直于該投影面時(shí)，則這兩直線在該投影面上的投影也垂直。ad（b）eb

a

e

oxd

直線在H面上投影互相垂直53可編輯課件PPT反之，交叉兩直線之一是某投影面平行線，且兩直線在該投影面上的同名投影互相垂直，則在空間兩直線互相交叉垂直。ad（b）eb

a

e

oxd

54可編輯課件PPTcabda

c

b

d

ZD0實(shí)長(zhǎng)Z分析：1、點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到垂足的距離的實(shí)長(zhǎng)

2、直線AB是水平線[例3.11]：求點(diǎn)C到直線AB的距離55可編輯課件PPT［例3.12］補(bǔ)全矩形ABCD的兩面投影。c

a

XOb

d

abcd56可編輯課件PPT一、平面的表示法●●●●●●abca

b

c

不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)●●●●●●abca

b

c

直線及線外一點(diǎn)abca

b

c

●●●●●●d●d

●兩平行直線abca

b

c

●●●●●●兩相交直線●●●●●●abca

b

c

平面圖形xxxxxooooo3.4平面的投影57可編輯課件PPT平行垂直傾斜投影特性★平面平行投影面-----投影反映實(shí)形★

平面垂直投影面-----投影積聚成線段★平面傾斜投影面-----投影類似原平面實(shí)形性類似性積聚性平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性二、各種位置平面的投影58可編輯課件PPT投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜正垂面?zhèn)却姑驺U垂面正平面?zhèn)绕矫嫠矫嫫矫鎸?duì)于三投影面的位置可分為三類：各種位置平面59可編輯課件PPT（1)投影面平行面是指在空間與一個(gè)投影面平行同時(shí)與另外兩個(gè)投影面垂直的平面。（2)投影面平行面分為水平面、正平面、側(cè)平面。水平面與H面平行同時(shí)與V面、W面垂直。正平面與V面平行同時(shí)與H面、W面垂直。側(cè)平面與W面平行同時(shí)與H面、V面垂直。（3）投影面平行面的投影特點(diǎn)為：在它所平行的投影面上的投影反應(yīng)其實(shí)形，另外兩個(gè)投影積聚成直線并平行于相應(yīng)的投影軸。1．投影面的平行面60可編輯課件PPT1、投影面的平行面水平面正平面?zhèn)绕矫?1可編輯課件PPT投影面平行面在形體投影圖和立體圖中的位置62可編輯課件PPT2.投影面的垂直面（1)投影面垂直面是指在空間與一個(gè)投影面垂直同時(shí)與另外兩個(gè)投影面傾斜的平面。（2)投影面垂直面分為鉛垂面、正垂面、側(cè)垂面。鉛垂面與H面垂直同時(shí)與V面、W面傾斜。正垂面與V面垂直同時(shí)與H面、W面傾斜。側(cè)垂面與W面垂直同時(shí)與H面、V面傾斜。（3)投影面垂直面的投影特點(diǎn)為：在它所垂直的投影面上的投影積聚為直線且反映平面與另外兩個(gè)投影面的傾角。63可編輯課件PPT

鉛垂面正垂面?zhèn)却姑?.投影面的垂直面64可編輯課件PPT投影面垂直面在形體投影圖和立體圖中的位置65可編輯課件PPT3.一般位置平面

一般位置平面在空間與三個(gè)投影面都傾斜，它的三面投影都沒有積聚性，也不反映平面的實(shí)形及與各投影面的傾角的大小。66可編輯課件PPT三、平面上的點(diǎn)和直線1．平面上的點(diǎn)

一個(gè)點(diǎn)如果在一個(gè)平面上，它一定在這個(gè)平面的一根直線上。

如右圖所示的E點(diǎn)，由于它在平面SBC的一根直線DC上，所以它必然在平面SBC上。

67可編輯課件PPT2.平面上的直線

一直線如果通過平面上兩個(gè)點(diǎn)或者通過平面上一個(gè)點(diǎn)且平行于平面上的一條直線，則該直線在該平面上。

如右圖所示的直線

DC通過平面SBC上的點(diǎn)D、C，則DC在平面SBC上；直線DF通過平面上點(diǎn)D且平行于平面上的一條直線BC，則DF在平面SBC上。68可編輯課件PPTb①acc

a

k

b

●k●②●abca'b

k

c

d

k●d利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解xx例8：已知K點(diǎn)在平面ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。平面上的點(diǎn)69可編輯課件PPTabcb

c

a

abcb

c

a

d

mnn

m

d例9：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。解法一解法二有多少解？有無數(shù)解。xxoo平面上直線70可