第二章極限本章學習要求：了解數列極限、函數極限概念，知道運用“ε－δ”ε－X”

語言描述函數的極限。理解極限與左右極限的關系。熟練掌握極限的四則運算法則以及運用左右極限計算分段函數在分段點處的極限。理解無窮小量的定義。理解函數極限與無窮小量間的關系。掌握無窮小量的比較，能熟練運用等價無窮小量計算相應的函數極限。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關系。理解極限存在準則。能較好運用極限存在準則和兩個重要極限求相應的函數極限。高等數學函數極限概念歡迎觀看高等數學函數極限概念第二章極限第二節函數的極限與性質三.極限定義及定理小結四.函數極限的基本性質高等數學函數極限概念

由于數列實際上可以看成是定義域為正整數域的函數,所以,可望將數列的極限理論推廣到函數中,并用極限理論研究函數的變化情形.的圖形可以看出:

如何描述它？高等數學函數極限概念高等數學函數極限概念定義想想：如何從幾何的角度來表示該定義？高等數學函數極限概念高等數學函數極限概念

將圖形對稱過去后,你有什么想法?

將圖形對稱高等數學函數極限概念定義高等數學函數極限概念

現在從整體上來看這個圖形,你有什么想法?高等數學函數極限概念你能否由此得出一個極限的定義和一個重要的定理.

現在從整體上來看這個圖形,你有什么想法?高等數學函數極限概念定義高等數學函數極限概念由于|x|>X>0

x>X

或x<X,所以,x

按絕對值無限增大時,又包含了x

的情形.既包含了x+,高等數學函數極限概念定理及極限的三個定義即可證明該定理.由絕對值關系式:高等數學函數極限概念證成立.由極限的定義可知:例1高等數學函數極限概念解無限縮小,可以小于任意小的正數.因而應該有下面證明我們的猜想:證明過程怎么寫？例2高等數學函數極限概念

這里想得通嗎？高等數學函數極限概念由圖容易看出：分析例3高等數學函數極限概念例4證高等數學函數極限概念

x

x0

時函數的極限,是描述當x無限接近

x0

時,

函數f(x)的變化趨勢.高等數學函數極限概念f(x)在點x0=0處有定義.

函數f(x)在點x0=1處沒有定義.例5高等數學函數極限概念高等數學函數極限概念定義高等數學函數極限概念((高等數學函數極限概念證

這是證明嗎？非常非常嚴格！例6高等數學函數極限概念證例7高等數學函數極限概念證？如何處理它例8高等數學函數極限概念

這里|x+2|

沒有直接的有界性可利用,但又必須設法去掉它.因為x1,所以,從某時候開始x

應充分地接近1.(

)0x211

11+1??????????分析結論高等數學函數極限概念證證畢例8高等數學函數極限概念在極限定義中：1)

與

和x0有關,即

=

(

,x0).

一般說來,

值越小,相應的

值也越小.

2)不等式|f(x)－a|<

既要對任意的

>0,同時也要對x

x0以任何方式進行都成立.3)函數f(x)以a為極限,但函數f(x)本身可以不取其極限值a.高等數學函數極限概念y=a

y=a

y=axOyx0x0

x0+

曲線只能從該矩形的左右兩邊穿過高等數學函數極限概念3.函數的左、右極限定義高等數學函數極限概念定義高等數學函數極限概念(1)左、右極限均存在,且相等；(2)左、右極限均存在,但不相等；(3)左、右極限中至少有一個不存在.找找例題！

函數在點x0處的左、右極限可能出現以下三種情況之一：高等數學函數極限概念y=f(x)xOy11在x=1處的左、右極限.解例9高等數學函數極限概念定理

利用|x

x0|<

<x

x0<

和極限的定義,即可證得.高等數學函數極限概念解例10高等數學函數極限概念解例11高等數學函數極限概念例12證高等數學函數極限概念三、極限定義及定理小結高等數學函數極限概念

極限定義一覽表目標不等式過程描述度量

極限形式高等數學函數極限概念

極限定義一覽表目標不等式過程描述度量

極限形式高等數學函數極限概念重要定理高等數學函數極限概念在以后的敘述中,如果函數f(x)極限的某種性質與運算對任何一種極限過程均成立,則將使表示對任意一種極限過程的函數用符號四、函數極限的基本性質極限.

函數極限的性質與數列極限的性質類似,我們只列舉出來,其證明過程請同學們自己看書.高等數學函數極限概念1.有界性定理

若limf(x)存在,則函數f(x)在該極限過程中必有界.2.唯一性定理

若limf(x)存在,則極限值必唯一.3.保號性定理

極限值的正負與函數值正負的關系

函數值的正負與極限值正負的關系高等數學函數極限概念

極限值的正負與函數值正負的關系

該定理也稱為第一保號性定理高等數學函數極限概念極限值正負與函數值正負關系的推論

作輔助函數F(x)=f(x)

c

再利用定理的結論即可得證.高等數學函數極限概念

函數值的正負與極限值正負的關系

該定理也稱為第二保號性定理高等數學函數極限概念第二保號性定理成立.運用反證法,設f(x)

0

(f(x)

0)時,有a<0(a>0),則由第一保號性定理將推出

f(x)<0

(f(x)>0)的矛盾,該矛盾就證明了高等數學函數極限概念注意:當f(x)>0

(f(x)<0)時,按照第二保號性定理也只能得到a0(a0)結論.高等數學函數極限概念例13高等數學函數極限概念函數值正負與極限值正負關系的推論若極限limf(x)=a,

limg(x)=b

存在,即limf(x)limg(x).且在該極限過程中f(x)>g(x),則有a

b,