理數招生統一考試模擬試題(1)

姓名:年級:學號:

題型選擇題填空題解答題判斷題計算題附加題總分

得分

評卷入得分

一、選擇題(共12題，共60分)

1、已知數列｛斯｝中，％=2,"冊+]-%)=%+Ln€N*,若對于任意的a€[—2,2]刀WN”,

Qn+12,

不等式；77T<2t+函―1恒成立，則實數七的取值范圍為()

A(—8,—2]U[2,+oo)

B(-8,-2]U[L+oo)

0(-oo,-l]U[2,+oo)

D.[-2,2]

【考點】

【答案】A

【解析】根據題意，數列31｝中，"（冊+1-即）=冊+1,即八冊+1-5+1）冊=1,則有

%+1%111

7+1—n-n（n+1）-n~八十1,則有

+1+11。村―1。兀一2

中=（；T7T-Jr）+G）+（。一。）+…+Q-。1）+。1

22f2at1

=（?占）+（告—）+（占—占+…+（1—》+=3—占<3苔<+-）

O1O4.21▲1

即3-E<2t+at-1,...對于任意的ae[-2,2],nEN\不等式恒成立，

...2^+^-1>3,化為：2t2+at-4N0,設/'（a）=2t?+必一4,,可得f（2）20且

,t~+t-2>0t>1或t<—2

/（-2）>0）即有‘t2T々NO,即LN2或tK-l,可得tZ2或Y-2,則實數t的取值范圍

是（-8,-2]U[2,+8）,故答案為：A.首先根據數列的遞推關系由列項求和法整理數列的

遞推公式，再結合不等式恒成立的性質得到關于t的一元二次不等式組，分別解出t的取值范圍即可。

2、已知,為虛數單位，°為實數，復數z滿足z+3i=a+ai,若復數是純虛數，則（）

A.a=3

B.。=0

c.a#0

D.?<°

【考點】

【答案】B

a=0

[解析]由z+3i=a+ai,得2=。+（。—3凡又?.■復數z是純虛數，.Ja-3W0,解得a=0,

所以答案是：B.

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解復數的定義的相關知識，掌握形如人力€q的數叫做復

數，。和8分別叫它的實部和虛部.

3、已知等差數列（小）的前八項和為S”,且$9=6n"，則ta"05=（）

F

A3

B.V3

C.一m

D.一至

【考點】

【答案】C

【解析】由等差數列的性質可得:$9=6汗=-2—=9a5,.—5=T,yiijtana5=tanT=7,

所以答案是：C.

【考點精析】通過靈活運用等差數列的前n項和公式和等差數列的性質，掌握前n項和公式：

22；在等差數列｛an｝中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；

相隔等距離的項組成的數列是等差數列即可以解答此題.

4、已知函數“')=2SIH(GJX+0)(0>0,|0<W)的部分圖象如圖所示，將函數f(x)的圖象向

n

左平移交個單位長度后，所得圖象與函數)'=9(%)的圖象重合，則()

Ag(x)=2sin(2x+

B9(久)=2sin(2x+》

c.9(x)=2sin2x

Dg(x)=2sin(2x-j)

【考點】

【答案】A

n332n2nn

==+

【解析】根據函數/1(x)=25加3x+3)(3>0,切工2)的部分圖象，可得不丁4,77Tl2)

.3=2,根據S($)+3=2，(-各+3=0,...3=看，故/'(x)=25in(2x+》，

n

將函數TO)的圖象向左平移五個單位長度后，所得圖象與函數y=9(%)的圖象重合，故

9.)=2s1n(2i+G+G)=2sin(2x+3),故答案為：A.根據題意由圖像即可求出周期把數

值代入周期的公式求出3的值，再由圖像代入點的坐標求出<p,然后結合圖像平移的性質左加右減即可

與g(x)重合，進而得到函數g(x)的解析式。

5、若a>1,0<cvbv1,則下列不等式不正確的是()

A1092018a>［。92018b

Blogba<logca

0.(a-c)ac>(a-c)ab

D.(c—b)a。>(c—

【考點】

【答案】c

【解析】根據對數函數的單調性可得的2018。>/。92018"正確，<的夕正確，?〃>1,

Ovcvbvl,-ac<a\a-c>0,,..(a-c)ac<(a-c)a\故c不正確，:c—bvO,

.?.(―/?)/>(c-b)或正確，所以答案是：c.

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解對數函數的單調區間的相關知識，掌握a變化對圖象的影響:

在第一象限內,a越大圖象越靠低；在第四象限內,a越大圖象越靠高.

6、如圖是某個集合體的三視圖，則這個幾何體的表面積是()

田組

正視圖

A

俯視圖

A.兀+4P+4

B.27r+4也+4

C27i+4衣+2

D27r+2*+4

【考點】

【答案】B

【解析】由三視圖可知：該幾何體由一個半圓柱與三棱柱組成的幾何體，其直觀圖如下所示：

=2x5irl2+2x^x2xl+j/rx2xl4-(乖+在+2)x2-2x1=2?r

+城+4,所以答案

是:B.

【考點精析】本題主要考查了由三視圖求面積、體積的相關知識點，需要掌握求體積的關鍵是求出底

面積和高；求全面積的關鍵是求出各個側面的面積才能正確解答此題.

7、已知集合4={x|2-x>0},'={”（R<1},則（）

A4ClB={x|0<%<2]

QAr\B={x\x<0}

cAUB={x|x<2]

DA\JB=R

【考點】

【答案】D

[解析]由題意得集合力=卜|2_燈0}="|》<2},8={、|（i）^<1}={X|X）0）I則

>4AS={x|0<%<2]AUB=R,

所以答案是：D.

8、執行如圖所示的程序框圖，若輸出的八值為11,則判斷框中的條件可以是（）

（開始一卜]“1-西中125-1卜出“7?{結束:

ASv1022?

BS<2018?

cS<4095?

DS>4095?

【考點】

【答案】c

【解析】第1次執行循環體，$=3,應不滿足輸出的條件，n=2,第2次執行循環體，S=7,應不滿足輸

出的條件，n=3,第3次執行循環體，S=15,應不滿足輸出的條件，n=4,第4次執行循環體，S=31,應

不滿足輸出的條件，n=5,第5次執行循環體，S=63,應不滿足輸出的條件，"6,第6次執行循環體，

S=127,應不滿足輸出的條件，n=7,第7次執行循環體，S=255,應不滿足輸出的條件，n=8,第8次執

行循環體，S=511,應不滿足輸出的條件，n=9,第9次執行循環體，S=1023,應不滿足輸出的條件，n=10,

第10次執行循環體，S=2047,應不滿足輸出的條件，n=11第11次執行循環體，S=4095,應滿足輸出的條

件，故判斷框中的條件可以是SV4095?,所以答案是：C

9、已知函數"'）='+X。6R\則下列結論正確的是（）

A.VaeR/（x）在區間（0,+8）內單調遞增

B.3?eR/（X）在區間內單調遞減

C.是偶函數

D.是奇函數，且/'（%）在區間內單調遞增

【考點】

【答案】D

【解析】當a<°時，函數"'）,在區間（°，+8）內單調遞增，當a>0時，函數在區間

（°，而I上單調遞減，在麗，+8）內單調遞增，故A,B均錯誤，VaeR,f（T）=-f（x）

均成立，故f（x）是奇函數，故C錯誤，所以答案是：D.

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解奇偶性與單調性的綜合的相關知識，掌握奇函數在關于原點對

稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性.

11

10、已知拋物線C：y2=4x的焦點為F,過點作斜率為1的直線[交拋物線C于P，Q兩點，則西+爐的

值為（）

1

A.2

7

B.8

C.1

D.2

【考點】

【答案】C

【解析】拋物線C：y2=4x的焦點為F（1,0）,過點F作斜率為1的直線1：y=、-1,可得

2

fy=4x

[2+x=6XX

y=x-lf消去y可得：X-6X+1=0,可得孫Q,PQ=1,|PF|=盯+1,

IQF|=XQ+1,|PF||QF|=XQ+燈++1=6+1+1=8,則

11_|PF|+IQH=6+2二

西十兩■一IQFIIFP1-1+6+1-,故答案為：0.首先由拋物線的基本性質求出焦點坐標，再由

直線的點斜式求出直線的方程，聯立直線和拋物線的方程消元結合韋達定理求出，xP+xQ=6,xPxQ=1,

利用拋物線的定義求出IPF|、|QF|關于兩個橫坐標的關系式，代入已知的代數式求出結果即可。

11、（1+%）（2—乃4的展開式中X項的系數為（）

A.-16

B.16

C.48

D.-48

【考點】

【答案】A

【解析】二。一X）4展開式的通項公式為G+1=C4?24T（r）].（1+%）（2T）4的展開式中x項

的系數為一今2?+24=_叱

所以答案是：A.

12、我國數學家鄒元治利用下圖證明了購股定理，該圖中用勾（a）和股M）分別表示直角三角形的兩條直角

邊，用弦（C）來表示斜邊，現已知該圖中勾為3,股為4,若從圖中隨機取一點，則此點不落在中間小正方

形中的概率是（）

25

A.49

24

B.49

4

0.7

5

D.7

【考點】

【答案】B

【解析】設直角三角形的長直角邊為a=4,短直角邊為3,由題意5,?.?大方形的邊長為，小方

25_24

形的邊長為，則大正方形的面積為49,小正方形的面積為25,.?.滿足題意的概率值為：1—布=為，所

以答案是：B.

二、填空題（共4題，共20分）

x+y=4,

[x<2y,

13、若實數滿足X21，貝ijz=x-3y+1的最大值是.

【考點】

1

【答案】

x+y=4,

[x<2y,

【解析】實數x,y滿足x>1,，對應的可行域如圖:

1-z

線段4B,z=%-3y+l化為：X=3X+1-,如果z最大，則直線在軸上的截距丁最小，作直

1x+y=484

線I：y=9”,平移直線至B點時，取得最大值，聯立tx=2y,解得8(不，)，所以的最大值是：

84_11

j-3XJ+1=-j,故答案為一彳

根據題意作出不等式的平面區域，聯立直線的方程求出交點的坐標把目標函數平移到該點即可得出最

大值。

14、一底面為正方形的長方體各棱長之和為24,則當該長方體體積最大時，其外接球的體積為.

【考點】

【答案】4廊

24-8x_

【解析】設該長方體底面邊長為X米，由題意知其高是：~^~=6-21,(OVXV3),則長方體的

2

體積V(x)=四6-2x),(),V'(x)=12X-6X=6X(2-X)>由V'(X)=O,得%=2,且當

0cxv2時，/(x)>0,U(x)單調遞增；當2VXV3時，P'(x)v0,單調遞減，.?.體積函數在處

取得唯一的極大值，即為最大值，此時長方體的高為6-2》=2,.?.其外接球的直徑

L5-------Ker..4rr/?3后

2氏=也上=2旦.述=在，...其外接球的體積1'—=4V",所以答案是

【考點精析】本題主要考查了球內接多面體的相關知識點，需要掌握球的內接正方體的對角線等于球

直徑;長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長才能正確解答此題.

y2x2

15、過雙曲線葭一廬一1("/°',"°)的下焦點Fl作y軸的垂線，交雙曲線于4B兩點，若以48為直徑

的圓恰好過其上焦點？2,則雙曲線的離心率為.

【考點】

【答案】1+業

*2/L、

【解析】過雙曲線L7一1(°,°'/°)的下焦點Fi作y軸的垂線，交雙曲線于4,B兩點，貝|］

2b2ft2_

以力口為直徑的圓恰好過其上焦點尸2,可得：2c,..(2一。2一2砒=0,可得

e2-2e-l=°,解得e=l+潟，e="也舍去,故答案為.根據題意求出弦長的代數式，結合已知

條件即可求出C2-a2-2ac=0,由整體思想整理出關于e的方程解出其值即可。

16、已知向量。=(1/)力=(3,1),若向量2。一”與。=(1,2)共線，則向量。在向量C放向上的投影為

【考點】

【答案】0

［解析］向量0=(1/),b=(3,1),向量2a_b=(-1,2A-1),...向量2a—5與

一］_1__

c=(1，2)共線，-1=-2,即/=一小?響量a=(1，-2),向量a在向量C方

**1

——1a*c1x1-2x,

|a|-cosa,c=—z-=―/，-=0

向上的投影為?出一十2-,故答案為0.根據向量共線的坐標運算代入數值求

出入的值，進而得出向量a的坐標從而求出向量a在向量b方向上的投影的值。

三、解答題(共7題，共35分)

17、如圖，在三棱柱中，側棱J?底面48c且C'l=2*C=2BCSCJ.BC。是

棱的中點，點M在側棱eg上運動.

(1)當是棱的中點時，求證：8〃平面M4B］；

3

(2)當直線AM與平面所成的角的正切值為2時，求二面角'—MB1一01的余弦值

【考點】

【答案】

(1)解:取線段峭的中點區連結DEEM.

..AD=DB,AE=EB.DE//BB日

,1{,-O.4

又M為CQ的中點，.0〃附且CM=/4

；.CM"DE旦CM=DE...四邊形CDEM是平行四邊形...CD〃EM

又EMu平面平面4歷“，.CD//平面M48]

(2)解：?..C4CB,cCi兩兩垂直，，以C為原點，所在直線分別為％軸，｝'軸，z軸，建立空間直角

坐標系Cxyz,如圖，

.??三棱柱力8°一"聲￡中，CC-平面4BC,r/AMC即為直線4M與平面所成的角

33

設4c=1)則由=2)得CM=2

313一

,C(0,0,0)>l(l,0,0),B(0,l,0),B1(0fl,2),M(0,0,2).AM=(-1,0,辦4%=(-1,1,2)

設平面'MB1的一個法向量為八=(x,y,z),

一3

{AM?n=_%+產=0,

則AB{-n=-x+y+2z=0,

令z=2,得x=3,y=-l,即n=(3,-1,2).又平面8"色的_個法向量為

-*..\CAn\3啊

G4=(1,0,0),./cose4nl=b

3婀

又二面角A-MBI—'I的平面角為鈍角，...二面角的余弦值為一k

【解析】(1)根據題意作出輔助線，由中位線的性質即可得出四邊形cDEM是平行四邊形，即CD//E

M結合線面平行的性質定理即可得I【考點】

【答案】

(1)解：...函數f(X)在區間［°，+8)內單調遞增，

../'(X)=ex-—>。在區間內恒成立即a>ef-x在區間內恒成立.

記900=?一"一',則9'。)=-0——1〈。恒成立，，。(為在區間內單調遞減，

...9(x)Kg(O)=1,...aN1,即實數。的取值范圍為口，+°°).

21

(2)解：/〈av3r。)=/一壬，

記M%)=「(%),則“(')—，+(x+a)2知尸(X)在區間(一。,+8)內單調遞增

又./(0)=1-^<°,r(l)=e一中■>°,.?.在區間內存在唯一的零點X。，

eX0

即r(X。)=°~^+^=,于是e'o=X。=-/n(x0+a)

當一。v/時，f'(x)vO，f(x)單調遞減；當x>x。時，f'(x)>0，f(%)單調遞增.

x

=/(^o)=e°-2a-ln(x0+a)=^7^-2a+=x0+a+

N2-3a,

當且僅當x°+°=l時，取等號.由，得2-3。>0,../(%)由=/(與)>0,即函數沒有零點.

【解析】(1)首先求出函數的導數把問題轉化為a2e-x-x在區間［0,+oo)內恒成立.，構造函數

g(x)根據該函數的單調性求出a的取值范圍即可。(2)根據題意求出導函數并構造h(x),結合函數的單調

性得到f,(x)在區間(-a,+8)內單調遞增，從而求出f(x)的最小值大于0,進而即可判斷出函

數無零點即可。

【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的，函數的單調

性與其導數的正負有如下關系：在某個區間國協內，(1)如果，那么函數/在這個區間單調遞

增；(2)如果那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題.

19、已知函數f(%)=lx-2l.

(1)求不等式〃X)+f(2+X)<4的解集；

(2)若。(乃二八口一/儲+為的最大值為小，對任意不想等的正實數。力，證明：

af(b)+b/(a)>m\a-b\

【考點】

【答案】

(1)解：不等式f(x)+f(2+x)<4)gp|x-2|+|%|<4,

%<0,0<x<2,.x>2,

此不等式等價于匕-x-x<4,或匕-x+x<4,或%—2+x<4,解得一1<x<0t或

0<x<2^2<x<3

所以不等式的解集為卜1一1

(2)解：fa)=f(x)-f(2+x)=以一2|-因，

因為以一2|一|x|K|(x-2)一=2,當且僅當x40時，取等號，所以9(x)42,即m=2,

因為a,b為正實數，所以

af(b)+b/(a)

=a\b-2\+b|a-2|=\ab-2a\+\ab-2b\>|(ab—2a)—(ab-2b)|

=2|a-b|=m\a-b\當且僅當

(/?-2)(a-2)<0時，取等號.即af(b)+bf(a)>?n|(a-b)|

【解析】(1)根據題意去絕對值符號得到關于X的不等式組，解出x的取值范圍即可。(2)運用絕對值不等

式的性質即可求出m的值，再由絕對值不等式的性質整理化簡變形即可得出結果。

42y2

20、已知橢圓"葭+法-X。J"""的左、右焦點分別為Fl，尸2,離心率為，，點P在橢圓C上，且

"PFR的面積的最大值為2也

(1)求橢圓的方程；

(2)已知直線1：)'=卜、+2(/￡#0)與橢圓交于不同的兩點乂,',若在x軸上存在點G,使得

\GM\=MM,求點的橫坐標的取值范圍.

【考點】

【答案】

C1

a=T

｛；x2cxb=2也

(1)解：由已知得c2=a2-b2,，解得a2=9,廬=81=1,

X2y2

橢圓°的方程為互‘萬二?

(2)解：設M(XiJi)，N(X2，y2),MN的中點為E(XoJo),點G(m,o),使得|GM|=|GN|,

y=kx+2,

{42y2

則GE1MN由互+g=L得伊+9k2）x2+36kx-36=0,由4>。，得

36k-18k16

+x

keR.M2=.產0=^7?yo=kx0+2=^27^

16

M+8__1-2k-2

1-Iflk_k6=T72n=B

.；GE工MN,..kGE=F即際一?.9k+89k+:

當k>°時，9k+彳22J9x8=12"（當且僅當9k=Z,即左=工時，取等號），

—r|Km<0

,,?12.，

8萬2國&

當時，9A'+溶T2胃（當且僅當，即“二一亍時，取等號），&氏.?.點G的橫坐

標的取值范圍為〔一翔）口（0,含

【解析】（1）根據題意結合題意的基本性質取出a、b、c的值，進而得出橢圓的方程。（2）結合同意聯立直

線和橢圓的方程消元得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理求出x1+x2的關于k的代數式，從而求

出MN的中點的坐標再根據兩直線垂直斜率之積為7,求出m關于k的代數式結合基本不等式求出最值，

即可得到m的取值范圍進而求出為點G的橫坐標的取值范圍。

21、第一屆“一帶一路”國際合作高峰論壇于2017年5月14日至15日在北京舉行，這是2017年我國重要

的主場外交活動，對推動國際和地區合作具有重要意義.某高中政數處為了調查學生對“一帶一絡”的關注

情況,在全校組織了“一帶一路知多少”的知識問卷測試，并從中隨機抽取了12份問卷，得到其測試成績（百

分制），如莖葉圖所示.

~~2

6378

72666

828

934

（1）寫出該樣本的眾數、中位數，若該校共有3000名學生，試估計該校測試成績在70分以上的人數；

（2）從所軸取的70分以上的學生中再隨機選取4人.

①記X表示選取4人的成績的平均數,求P（XN87）.

②記f表示測試成績在80分以上的人數,求的分布列和數學期望.

【考點】

【答案】（1）解：眾數為76,中位數為76.抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，

8_2

故從該校學生中人選1人，這個人測試成績在70分以上的概率為立=3故該校這次測試成績在70分以

上的約有"0°X3=2000（人）（2）解：①由題意知70分以上的有72,76,76,76,82,88,93,

94.當所選取的四個人的成績的平均分大于87分時，有兩類.一類是82,88,93,94,共1種；另一類是

P（X>870=-T=XF

76,88,93,94,共3種.所以CB乃②由題意可得，《T的可能取值為0,1,2,3,

。汨1168C衿3618

4P6=°）=五=河P（f=1）=7T==70=35P?=2）=7T=70=35

C}C\168點費1

PG="=7r河=希PG=4）=7r河的分別列為

小181881

???E（《）=0x7Q-+1x希+2x希+3x^元=2

【解析】（1）根據題意求出70分以下的由4人，不低于70分的有8人進而求出從該校學生中任選1人這個

人測試成績在70分以上的概率，從而求出該校在這次測試成績在70分以上的人數。（2）①由題意可知70

分以上的有72、7676、76、82、88、93、94,當所選的四個人的成績的平均值大于87分時有兩類。進而可

得出P（X287）的結果。②由題意可知4的取值，再結合概率的定義求出相應的概率值列表即可，把

數值代入數學期望公式求出結果即可。

y2x2

22、已知在平面直角坐標系X°y中，橢圓C的方程為許+彳=1,以。為極點，X軸非負半軸為極軸，取

相同的長度單位建立極坐標系，直線’的極坐標方程為+