專題6.3一次方程與方程組二十五大考點【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1方程、一元一次方程的概念】 1【考點2方程、一元一次方程的解】 2【考點3同解方程】 2【考點4根據方程的解情況求值】 3【考點5方程遮擋問題】 3【考點6判斷方程解的情況】 4【考點7等式的基本性質】 4【考點8一元一次方程的解法】 5【考點9換元法、整體代入法解一元一次方程】 5【考點10一元一次方程中的錯看問題】 6【考點11一元一次方程中的新定義問題】 6【考點12一元一次方程中的動點問題】 6【考點13絕對值方程】 7【考點14列一元一次方程并求解】 8【考點15一元一次方程的應用】 8【考點16一元一次方程中的數形結合問題】 10【考點17二元一次方程（組）的概念】 11【考點18二元一次方程組的解】 12【考點19解二元一次方程組】 12【考點20二元一次方程的整數解】 13【考點21二元一次方程組的特殊解法】 14【考點22二元一次方程組的新定義問題】 14【考點23二元一次方程（組）的應用】 15【考點24三元一次方程組的解法】 16【考點25三元一次方程組的應用】 17【考點1方程、一元一次方程的概念】【例1】（2022·湖南·七年級單元測試）下列方程中，一元一次方程共有（

）個①4x﹣3＝5x﹣2；②3x﹣4y；③3x＋1＝1x；④3x?14＋15＝0；

⑤xA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-1】（2022·福建省永春烏石中學七年級階段練習）若方程2xa?2+a=5是關于xA．1 B．-1 C．3 D．-3【變式1-2】（2022·山東·泰安市泰山區大津口中學階段練習）下列式子中：①5x+3y=0，②6x2?5x，③3x<5，④x2+1=3，⑤x【變式1-3】（2022·湖北·公安縣教學研究中心七年級期中）關于x的方程a-3x=bx+2是一元一次方程，則b的取值情況是（）A．b≠-3 B．b=-3 C．b=-2 D．b為任意數【考點2方程、一元一次方程的解】【例2】（2022·江蘇·南通第一初中七年級階段練習）下列方程中，解是x＝2的方程是（）A．2x＝5x+14 B．x2?1=0 C．2（x﹣1）＝1 D．2【變式2-1】（2022·四川省射洪縣射洪中學外國語實驗學校七年級階段練習）下列方程后所列出的解不正確的是（

）A．x2?1=x,x=?2 C．?23x=【變式2-2】（2022·江蘇揚州·七年級期末）整式mx+n的值隨x的取值不同而不同，下表是當x取不同值時對應的整式的值：x﹣2﹣1012mx+n﹣12﹣8﹣404則關于x的方程﹣mx﹣n＝8的解為_____．【變式2-3】（2022·江西撫州·七年級期中）若方程3x+a=b的解是x=1，則關于未知數y的方程6y?2b+18+2a=0的解是y=______．【考點3同解方程】【例3】（2022·四川省射洪縣射洪中學外國語實驗學校七年級期中）方程3x＋6＝0與關于x的方程3x＝2﹣2m的解相同，則m的值為（

）A．﹣2 B．2 C．3 D．4【變式3-2】（2022·四川·內江市市中區全安鎮初級中學校七年級期中）已知關于x的方程2x=8與x+2＝－k的解相同，則代數式2?3kk2A．－94 B．49 C．－49【變式3-3】（2022·廣東惠州·七年級期末）若方程2x?5=x?2與3a?x?a2=a?【考點4根據方程的解情況求值】【例4】（2022·上海市奉賢區青溪中學八年級期末）如果關于x的方程（a+1）x＝a2+1無解，那么aA．a＝?1 B．a＞?1 C．a≠?1 D．任意實數【變式4-1】（2022·全國·七年級專題練習）關于x的方程2a(x?1)=(5?a)x+3b有無窮多個解，則a?b=______．【變式4-2】（2022·全國·七年級專題練習）已知y=2x+513?3x?217?32x+2．當x=1.5時，y>0A．1.45 B．1.64 C．1.92 D．2.05【變式4-3】（2022·內蒙古通遼·七年級期末）若關于x的方程mx=3?x的解為整數，則正整數m的值為______．【考點5方程遮擋問題】【例5】（2022·重慶黔江·七年級期末）方程2y?12=12y?A．?52 B．52 C．?【變式5-1】（2022·河南開封·七年級期末）某書中一道方程題2+⊕x3+1=x，⊕處印刷時被墨蓋住了，查后面答案，這道題的解為x=?25，那么【變式5-2】（2022·全國·七年級單元測試）小磊在解方程321??【變式5-3】（2022·浙江杭州·中考真題）計算：?6×(1)如果被污染的數字是12，請計算?6(2)如果計算結果等于6，求被污染的數字．【考點6判斷方程解的情況】【例6】（2022·江西撫州·七年級期中）若a+b=0，則方程ax+b=0的解有（

）A．只有一個解 B．只有一個解或無解C．只有一個解或無數個解 D．無解【變式6-1】（2022春?嵩縣期中）當a＝1時，方程（a﹣1）x+b＝0（其中x是未知數，b是已知數（）A．有且只有一個解 B．無解 C．有無限多個解 D．無解或有無限多個解【變式6-2】（2022?順德區模擬）已知關于x的方程（a﹣2）x＝b+3．（1）若原方程只有一個解，則a，b．（2）若原方程無解，則a，b．（3）若原方程有無數多個解，則a，b．【變式6-3】（2022·全國·七年級課時練習）若m、n是有理數，關于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少兩個不同的解，則另一個關于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情況是（）A．有至少兩個不同的解 B．有無限多個解C．只有一個解 D．無解【考點7等式的基本性質】【例7】（2022·遼寧·葫蘆島市實驗中學七年級階段練習）下列各式運用等式的性質變形，錯誤的是（

）A．若?a=?b，則a=b B．若ac=C．若ac=bc，則a=b D．若(m2【變式7-1】（2022·河南·西峽縣城區二中七年級階段練習）a、b、c為有理數，下列變形不正確的是（

）A．如果a=b，那么a+2=b+2； B．如果a=b，那么2?a=2?b；C．如果a=b，那么ac=bc； D．如果a=b，那么ac【變式7-2】（2022·河南·南陽市宛城區官莊鎮第一初級中學七年級階段練習）如圖是方程1?3x?14=A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①④⑤【變式7-3】（2022·廣東廣州·七年級期末）四個數w、x、y、z滿足x－2021＝y+2022＝z－2023＝w+2024，那么其中最小的數是_____，最大的數是______．【考點8一元一次方程的解法】【例8】（2022·江蘇·南通第一初中七年級階段練習）解方程：(1)0.5x-0.7=6.5-1.3x；(2)5(x+6)=6(2x-7)+9；(3)1?2x?5(4)x?10.2【變式8-1】（2022·上海市羅南中學階段練習）解方程：14%x﹣9%（x+10）＝7%x﹣0.2．【變式8-2】（2022·湖南·邵陽市第十六中學七年級期末）解下列方程：(1)2x?2=(2)1?【考點9換元法、整體代入法解一元一次方程】【例9】（2022·江蘇·南通市八一中學七年級階段練習）已知關于x的一元一次方程x2019+5=2019x+m的解為x=2018，那么關于y的一元一次方程A．2013 B．?2013 C．2023 D．?2023【變式9-1】（2022·江蘇·南通第一初中七年級階段練習）當x＝1時，式子ax3+bx+1的值是2，則方程ax+12【變式9-2】（2022·山東德州·七年級階段練習）用整體思想解方程3（2x－3）-13（3－2x）=5（3－2x）+1【變式9-3】（2022·浙江杭州·七年級期末）已知關于x的一元一次方程12016x+3=2x+b的解為x=5，那么關于y的一元一次方程【考點10一元一次方程中的錯看問題】【例10】（2022·全國·七年級專題練習）某同學解方程4x?3=□x+1時，把“□”處的系數看錯了，解得x=4，他把“□”處的系數看成了（

）A．3 B．?3 C．4 D．?4【變式10-1】（2022·四川·威遠縣鳳翔中學七年級期中）小李在解方程3a?x=13（x為未知數）時，誤將?x看作+x，解得方程的解x=?2，則a＝________，原方程的解為________．【變式10-2】（2023·河北·九年級專題練習）已知關于x的方程2x?13=x?a2?1的解為x=?10【變式10-3】（2022·山東棗莊東方國際學校七年級階段練習）嘉淇解方程2x?65+1＝x+a2時，由于粗心大意，在去分母時，方程左邊的1沒有乘以10，由此得到方程的解為(1)試求a的值；(2)求原方程的解．【考點11一元一次方程中的新定義問題】【例11】（2022·全國·七年級專題練習）對于兩個不相等的有理數a，b，我們規定符號min{a，b}表示a、b兩數中較小的數，例如min{2，-4}＝-4，則方程min{x，-x}＝3x＋4的解為（

）A．x＝－1 B．x＝－2 C．x＝－1或x＝－2 D．x＝1或x＝2【變式11-1】（2022·江蘇·蘇州市相城區陽澄湖中學七年級階段練習）已知，對于任意的有理數a、b、c、d，我們規定了一種運算：|a?bc?d|＝ad﹣bc【考點12一元一次方程中的動點問題】【變式12-1】（2022·全國·七年級專題練習）如圖，在△ABC中，BC=26cm，射線AG∥BC，動點E從點A出發沿射線的AG方向以每秒2cm的速度運動，點E出發1秒后，動點F從點B出發在線段BC上以每秒4cm的速度向點C運動．當點F運動到點C時，點E隨之停止運動．連接AF，CE．設點E的運動時間為t（秒），當△AEC的面積等于△AFC的面積時，【變式12-2】（2022·全國·七年級專題練習）如圖，在長方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E為CD的中點，動點P從A點出發，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E運動，最終到達點E．若點P運動的時間為x秒，則當△APE的面積為5cm2時，x的值為__________．【變式12-3】（2022·上海理工大學附屬初級中學期中）已知：△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，a是最小的合數，b、c滿足等式：b?5+c?62=0，點P是△ABC的邊上一動點，點P從點B開始沿著△ABC的邊按BA→AC→CB順序順時針移動一周，回到點(1)試求出△ABC的周長；(2)當點P移動到AC邊上時，化簡：S?4+(3)如圖2所示，若點Q是△ABC邊上一動點，P、Q兩點分別從B、C同時出發，即當點P開始移動的時候，點Q從點C開始沿著△ABC的邊順時針移動，移動的速度為每秒5個單位，試問：當t為何值時，P，Q兩點的路徑(在三角形邊上的距離）相差3？此時點P在△ABC哪條邊上？【考點13絕對值方程】【例13】（2022·四川·安岳縣九韶初級中學七年級階段練習）方程x?k=12的解是x=2【變式13-1】（2022·全國·七年級專題練習）已知方程(m+1)x|m|?8=0(1)求代數式5x(2)求關于y的方程m|y－2|＝x的解．【變式13-2】（2022·江蘇·南通市新橋中學七年級階段練習）有些含絕對值的方程，可以通過討論去掉絕對值號，轉化為一元一次方程求解．例如：解方程x+2|x|＝3．解：當x≥0時，原方程可化為x+2x＝3，解得x＝1，符合題意；當x＜0時，原方程可化為x-2x＝3，解得x＝-3，符合題意．所以，原方程的解為x＝1或x＝-3．仿照上面的解法，解方程x?43-8＝－x+2【變式13-3】（2022·全國·七年級專題練習）有些含絕對值的方程，可以通過討論去掉絕對值，轉化成一元一次方程求解．例如：解方程x+2|x|=3，解：當x≥0時，方程可化為：x+2x=3，解得x=1，符合題意；當x<0時，方程可化為：x?2x=3，解得x=?3，符合題意．所以，原方程的解為x=1或x=?3．請根據上述解法，完成以下兩個問題：（1）解方程：x+2|x?1|=3；（2）試說明關于x的方程|x+3|+|x?1|=a解的情況．【考點14列一元一次方程并求解】【例14】（2022·江蘇·南通第一初中七年級階段練習）已知關于x的代數式2x﹣5和5x﹣2互為相反數，則x的值為_____．【變式14-1】（2022·黑龍江·綏芬河市第三中學七年級期中）已知x3+4?3x+a與2x【變式14-2】（2022·福建省永春烏石中學七年級階段練習）x等于什么數時，代數式x?23的值比4x?1【變式14-3】（2022·黑龍江·哈爾濱市風華中學校七年級階段練習）若x與8之和的2倍等于x與1之差的3倍，則x=______．【考點15一元一次方程的應用】【例15】（2022·山東濱州·七年級期末）根據市場調查，某種消毒液的大瓶裝（500g）和小瓶裝（250g）兩種產品的銷售數量（按瓶計算）比為2：5．某廠每天生產這種消毒液22.5t，則這些消毒液分裝成的這兩種產品中有______瓶大瓶產品．【變式15-1】（2022·福建泉州·七年級期末）我國古代數學著作《孫子算經》中有一道數學題：今有三人共車，二車空：二人共車，九人步，問人幾何？其大意是：今有若干人乘車，每3人共乘一車，剩余2輛車沒人乘坐；若每2人共乘一車，剩余9個人沒有車可乘坐．問共有多少人？【變式15-2】（2022·河北承德·七年級期末）小韓和同學們在一家快餐店吃飯，下表為快餐店的菜單：種類配餐價格（元）優惠活動A餐1份蓋飯20消費滿150元，減24元消費滿300元，減48元……B餐1份蓋飯＋1杯飲料28C餐1份蓋飯＋1杯飲料＋1份小菜32小韓記錄大家的點餐種類，并根據菜單一次點好，已知他們所點的餐共有11份蓋飯，x杯飲料和5份小菜．(1)他們共點了______份B餐；（用含x的式子表示）(2)若他們套餐共買6杯飲料，求實際花費多少元；(3)若他們點餐優惠后一共花費了256元，請通過計算分析他們點的套餐是如何搭配的．【變式15-3】（2022·江蘇鎮江·七年級期末）某快遞公司規定每件體積不超標的普通小件物品的收費標準如表：寄往本省內寄往周邊省份首重續重首重續重8元/千克5元/千克12元/千克6元/千克說明：①每件快遞按送達地（省內，省外）分別計算運費．②運費計算方式：首重價格+續重×續重運費．首重均為1千克，超過1千克即要續重，續重以0.5千克為一個計重單位（不足0.5克按0.5千克計算）．例如：寄往省內一件1.6千克的物品，運費總額為：8+5×(0.5+0.5)=13元．寄往省外一件2.3千克的物品，運費總額為：12+6×(1+0.5)=21元．（下面問題涉及的寄件按上表收費標準計費）(1)小明同時寄往省內一件3千克的物品和省外一件2.8千克的物品，各需付運費多少元？(2)小明寄往省內一件重(m+n)千克，其中m是大于1的正整數，n為大于0且不超過0.5的小數（即0<n≤0.5），則用含字母m的代數式表示小明這次寄件的運費為________；(3)小明一次向省外寄了一件物品，用了36元，你能知道小明這次寄件物品的重量范圍嗎？【考點16一元一次方程中的數形結合問題】【例16】（2022·全國·七年級課時練習）如圖，在數軸上點O是原點，點A、B．、C．表示的數分別是﹣12、8、14．若點P從點A出發以2個單位/秒的速度向右運動，其中由點O運動到點B．期間速度變為原來的2倍，之后立刻恢復原速，點Q從點C．出發，以1個單位/秒的速度向左運動，若點P、Q同時出發，則經過__秒后，P、Q兩點到點B的距離相等．【變式16-1】（2022·湖南岳陽·七年級期末）如圖，點A與點D在單位長度為1的數軸上，且表示的數互為相反數．(1)請填寫：點B表示的有理數為________，點C表示的有理數為________；(2)若數軸上點P到點B、點C的距離之和等于7，則點P表示的數是________；(3)數軸上動點M從點B出發以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時另一動點N從點C出發以每秒2個單位長度的速度也向左運動．運動t秒后M、N兩點間的距離為1，求出t的值，并求此時點M的位置．【變式16-2】（2022·河南平頂山·七年級期末）閱讀下面材料：點A、B在數軸上分別表示實數a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB．當A、B兩點中有一點在原點時，不妨設點A在原點，如圖1，AB=OB=b=①如圖2，點A、B都在原點的右邊，AB=②如圖3，點A、B都在原點的左邊，AB=③如圖4，點A、B在原點的兩邊，AB=綜上，數軸上A、B兩點之間的距離AB=回答下列問題：(1)數軸上表示2和5的兩點之間的距離是______，數軸上表示?2和?5的兩點之間的距離是______，數軸上表示1和?3的兩點之間的距離是______；(2)數軸上表示x和?1的兩點A和B之間的距離是______，如果AB=3，那么x=(3)解方程x+2+【變式16-3】（2022·山東煙臺·期末）如圖所示，已知數軸上點A表示的數為140，B是數軸上一點，且AB=210．動點M從A出發，以x（單位長度∕秒）的速度沿數軸向左勻速運動．(1)如圖1，數軸上點B表示的數是；運動4秒時動點M表示的數是（用含x的代數式表示）；(2)如圖2，在點M從A向左運動的同時，動點P、N同時從B、A出發向右運動，已知點P的速度是M速度的2倍，點N的速度是M速度的3倍，經過y秒，點P、N之間的距離為，點M、N之間的距離為(3)如圖2，若經過6秒時，點P、N之間的距離是點M、N之間的距離的2倍，求動點M的速度．【考點17二元一次方程（組）的概念】【例17】（2022·浙江·義烏市稠州中學教育集團七年級階段練習）方程①2x﹣3y＝1，②xy＝﹣2，③x2?5x＝5，④x﹣A．① B．② C．③ D．④【變式17-1】（2022·上海·期末）下列方程組中，二元一次方程組有（

）①4x+y=2x?2y=?3；②2x?y=1y+z=1；③x=3y?5=0A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式17-2】（2022·全國·八年級單元測試）已知(a?2)x+a2?3+y=1是關于x，y【變式17-3】（2022·浙江·杭州市大關中學七年級期中）關于x，y的二元一次方程ax+by=c（a，b，c是常數），b=a+1，c=b+1，對于任意一個滿足條件的a，此二元一次方程都有一個公共解，這個公共解為_________．【考點18二元一次方程組的解】【例18】（2022·浙江·華東師范大學附屬杭州學校七年級期中）方程組2x+y=?x+y=3的解為x=2y=?，則被遮蓋的兩個數▲和■分別為(A．1，2 B．5，1 C．2，3 D．2，4【變式18-1】（2022·陜西·商洛市山陽信毅九年制學校七年級階段練習）樂樂，果果兩人同解方程組ax+5y=15①4x=by?2②時，樂樂看錯了方程①中的a，解得x=?3y=?1，果果看錯了方程②中的b，解得【變式18-2】（2022·江蘇·無錫市查橋中學七年級階段練習）若x=1y=?2和x=?1y=?4是某二元一次方程的解，則這個方程為（A．x+2y=-3 B．2x?y=0 C．y=3x?5 D．x?3=y【變式18-3】（2022·陜西漢中·七年級期末）已知關于x、y的方程組x+y=1?ax?y=3a+5①當a=1時，方程組的解也是方程x+y=2的解；②當x=y時，a=?5③不論a取什么數，2x+y的值始終不變．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【考點19解二元一次方程組】【例19】（2022·浙江·杭州市實驗外國語學校七年級期中）關于x，y方程組3x+5y=m+22x+3y=m滿足x，y的和為2，則m【變式19-1】（2022·福建省永春烏石中學七年級階段練習）已知方程組3x+y=5ax?2y=4的解也是方程組3x?by=54x?5y=?6的解求【變式19-2】（2022·山東·聊城市東昌府區水城雙語學校七年級階段練習）解方程組(1)y=2x?4(2)3(x+y)?4(x?y)=4【變式19-3】（2022·江蘇泰州·七年級期末）在等式y＝ax2＋bx＋1中，當x＝－1時，y＝6；當x＝2時，y＝11．（1）求a，b的值；（2）當x＝－3時，求y的值．【考點20二元一次方程的整數解】【例20】（2022·上海市靜安區實驗中學課時練習）二元一次方程3x+8y=27的所有正整數解為_________；整數解有_______個．【變式20-1】（2022·全國·七年級課時練習）已知關于x的方程9x【變式20-2】（2022·重慶一中八年級開學考試）對任意一個四位數m，若m滿足各數位上的數字都不為0，且千位與百位上的數字不相等，十位與個位上的數字不相等，那么稱這個數為“M數”，將一個“M數”m的任意一個數位上的數字去掉后可以得到四個新三位數，把這四個新三位數的和與3的商記為Fm．例如，“M數”m=1234，去掉千位上的數字得到234，去掉百位上的數字得到134，去掉十位上的數字得到124，去掉個位上的數字得到123，這四個新三位數的和為234+134+124+123=615，615÷3=205，所以F(1)計算：F1213，F(2)若“M數”n=8900+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整數），Fn也是“M數”，且Fn能被8整除．求【變式20-3】（2022·重慶涪陵·七年級期末）對于一個各個數位上的數字均不為零的三位自然數m，若m的十位數字等于百位數字與個位數字之和，則稱這個自然數m為“三峽數”．當三位自然數m為“三峽數”時，交換m的百位數字和個位數字后會得到一個三位自然數n，規定F(m)=m?n99．例如：當m=583時，因為5+3=8，所以583是“三峽數”；此時n=385，則(1)判斷341和153是否是“二峽數”？并說明理由；(2)求F352(3)若三位自然數m=100a+10a+b+b（即m的百位數字是a，十位數字是a+b，個位數字是b，1≤a≤9，1≤b≤9，a，b是整數，1≤a+b≤9）為“三峽數”，且Fm【考點21二元一次方程組的特殊解法】【例21】（2022·福建省永春烏石中學七年級階段練習）數學方法：解方程組：32x+y?2x?2y=2622x+y+3x?2y=13，若設2x+y=m，x?2y=n(1)直接填空：已知關于x，y的二元一次方程組ax+by=6bx+ay=3，的解為x=?2y=4，那么關于m、n的二元一次方程組am+n(2)知識遷移：請用這種方法解方程組x+y2(3)拓展應用：已知關于x，y的二元一次方程組a1x+b求關于x，y的方程組2a【變式21-1】（2022·上海市復旦實驗中學八年級期中）用換元法解方程組5x?6y+1=11x【變式21-2】（2022·陜西·西大附中浐灞中學八年級期末）解方程組：x+y=22【變式21-3】（2022·北京朝陽·七年級期中）閱讀下列材料并填空：（1）對于二元一次方程組4x+3y=54x+3y=36我們可以將x，y的系數和相應的常數項排成一個數表4????3????54．從而得到該方程組的解為x=__________y=__________（2）仿照（1）中數表的書寫格式寫出解方程組2x+3y=6x+y=2【考點22二元一次方程組的新定義問題】【例22】（2022·貴州·銅仁市第十一中學七年級階段練習）我們規定：m表示不超過m的最大整數，例如：3.1=3，0=0，?3.1=?4，則關于x和y的二元一次方程組xA．x=3.2，y=0.2 B．x=2.4，y=1.2 C．x=3，y=0.2【變式22-1】（2022·江蘇·鹽城市初級中學七年級期中）如果一個正整數m=a2-b2(a,b均為正整數，且a≠b)我們稱這個數為“平方差數”，則a,b為m的一個平方差分解，規定：F(m)=ba,例如：8=8×1=4×2，由8=a2-b2=(a?b)(a+b)，可得{a+b=8a?b=1或{a+b=4a?b=2.因為a,b為正整數，解得【變式22-2】（2022·吉林·大安市樂勝鄉中學校七年級階段練習）定義新運算∶對于任何非零實數a、b．都有a※b=ax-by．(1)若2※2=-3，求x-y的值；(2)若3※(-2)=3，(-2)※3=8，求x、y的值．【變式22-3】（2022·江蘇南通·七年級期中）定義：數對x,y經過一種運算可以得到數對x',y'，將該運算記作：dx,y=x',y'，其中x'=ax+byy'=ax?by（例如，當a=1，b=1時，d?2,3(1)當a=2，b=1時，d3,1(2)若d?3,5=?1,9，求a(3)如果組成數對x,y的兩個數x，y滿足二元一次方程x?3y=0時，總有dx,y=?x,?y，則a=【考點23二元一次方程（組）的應用】【例23】（2022·河南·南陽市第十九中學七年級階段練習）一方有難，八方支援．“新冠肺炎”疫情來襲，除了醫務人員主動請纓走向抗疫前線，眾多企業也伸出援助之手，某公司用甲、乙兩種貨車向武漢運送愛心物資，兩次滿載的運輸情況如表：甲種貨車（輛）乙種貨車（輛）總量（噸）第一次4531第二次3630(1)甲、乙兩種貨車每輛分別能裝貨多少噸？(2)現有45噸物資需要再次運往武漢，準備同時租用這兩種貨車，每輛均全部裝滿貨物，問有哪幾種租車方案？(3)若1輛甲種貨車需租金120元/次，1輛乙種貨車需租金100元次．請求出（2）中哪種租車方案費用最少，最少費用是多少？【變式23-1】（2022·重慶大足·七年級期末）今年“五一”勞動節期間，某手機專賣店上架了甲、乙兩款手機．前三天售出的甲款手機的數量比乙款手機的數量多50%，后兩天售出的甲款手機的數量比前三天售出的甲款手機的數量少40%，結果后兩天售出的甲乙兩款手機的總數量比前三天售出的甲乙兩款手機的總數量多12%，若后兩天甲、乙兩款手機的銷售總額比前三天甲、乙兩款手機的銷售總額多24%，在整個銷售期間甲乙兩款手機的單價不變，則甲款手機的單價與乙款手機的單價的比值為______．【變式23-2】（2022·重慶銅梁·七年級期末）端午節臨近，某超市熱銷A、B、C三種粽子，其中其每千克B種粽子的成本價比每千克A種粽子的成本價高50%，每千克C種粽子的成本價是每千克A種粽子的成本價的2倍．最近，超市打算將三種粽子混裝配成甲、乙、丙三種禮品盒進行銷售（禮品盒的盒子成本價不計）．其中甲禮品盒有A種粽子3千克、B種粽子2千克、C種粽子2千克；乙禮品盒有A種粽子2千克、B種粽子3千克、C種粽子3千克；丙禮品盒有A種粽子4千克、B種粽子2千克、C種粽子4千克．銷售時，每個丙禮品盒在成本價基礎上提高13【變式23-3】（2022·重慶·模擬預測）唐代詩人杜甫曾到“讀書破萬卷，下筆如有神”．為了提升全民素養，某書店搞了一次現場促銷活動，活動中名著和兒童讀物兩類圖書套裝優惠力度較大，其中每一類套裝里含有線裝本，精裝本，平裝本三種不同材質的圖書，兩類圖書套裝中相同材質圖書的售價相同，且每一類套裝中數量均為44本，其中名著套裝內線裝本，精裝本，平裝本數量之比為4：3：4，兒童讀物套裝內線裝本，精裝本，平裝本數量之比為3：6：2．已知一套名著套裝和一套兒童讀物套裝的售價之和與62本精裝本圖書的售價相同，一本精裝本圖書售價是一本線裝本圖書售價的2倍，每套名著套裝的利潤率為20%，每套兒童讀物套裝的利潤率為36%，則當銷售名著套裝與兒童讀物套裝的數量之比為9：14時，該書店銷售這兩類套裝的總利潤率為______．【考點24三元一次方程組的解法】【例24】（2022·四川·隆昌市知行中學七年級階段練習）已知x、y、z是三個非負實數，滿足3x+2y+z=5，x+y?z=2，若S=2x+y?z，則S的最大值與最小值的和為()A．5 B．6 C．7 D．8【變式24-1】（2022·全國·七年級課時練習）解下列三元一次方程組：（1）4x?9z=173x+y+15z=18x+2y+3z=2；（2）【變式24-2】（2022·廣東·可園中學七年級期中）在等式y=ax2+bx+c中，當x=1時，y=0；當x=?1時，y=?2：當x=2(1)求a，b，c的值；(2)求當x=?3時，y的值．【變式24-3】（2022·吉林長春·七年級階段練習）已知三個方程構成的方程組xy?2y?3x=0，yz?3z?5y=0，xz?5x?2z=0，恰有一組非零解x=a，y=b，z=c，則a2+【考點25三元一次方程組的應用】【例25】（2022·重慶·華東師范大學附屬中旭科創學校九年級期中）新世紀百貨推出A，B，C三種零食大禮包，每種禮包都由一定數量的堅果、牛肉干和薄脆餅組合搭配構成．三種大禮包的成本分別為禮包中三種零食的成本之和，同種零食的單價相同．已知2袋牛肉干和5袋薄脆餅的價格相同，一份A禮包包含6袋堅果、4袋牛肉干和2袋薄脆餅，一份B禮包包含4袋堅果、6袋牛肉干和4袋薄脆餅．若一份B，C禮包的成本相同，均比一份A禮包的成本貴40%，一份C禮包中的零食袋數與一份A禮包中的零食袋數之比為3：2，且一份C禮包中堅果袋數比牛肉干袋數多，則一份C【變式25-1】（2022·湖北黃岡·七年級階段練習）購買鉛筆7支，作業本3本，圓珠筆1支共需3元；購買鉛筆10支，作業本4本，圓珠筆1支共需4元，則購買鉛筆11支，作業本5本，圓珠筆2支共需（

）A．4.5元 B．5元 C．6元 D．6.5元【變式25-2】（2022·重慶市永川區教育科學研究所一模）某中學科技節頒獎儀式隆重舉行，其中小科技創新發明獎共有60人獲獎，原計劃特等獎5人，一等獎15人，二等獎40人．后來經校領導開會研究決定，在該項獎勵總獎金不變的情況下，各等級獲獎人數實際調整為：特等獎8人，一等獎18人，二等獎34人，調整后特等獎每人獎金降低40元，一等獎每人獎金降低20元，二等獎每人獎金降低10元，調整前一等獎每人獎金比二等獎每人獎金多70元，則調整后特等獎每人獎金比一等獎每人獎金多_______元．【變式25-3】（2022·重慶豐都·七年級期末）全球棉花看中國，中國棉花看新疆．新疆長絨棉花是世界頂級棉花，品質優，產量大，常年供不應求．豐都縣某超市為了支持新疆棉花，在“五一節”進行促銷活動，將新疆棉制成的A、B、C三種品牌毛巾混裝成甲、乙、丙三種禮包銷售．其中甲禮包含1條A品牌毛巾、2條B品牌毛巾；乙禮包含2條A品牌毛巾、2條B品牌毛巾，3條C品牌毛巾；丙禮包含2條A品牌毛巾、4條C品牌毛巾，每個禮包的售價等于禮包各條毛巾售價之和．5月1日當天，超市對A、B、C三個品牌毛巾的售價分別打8折、7折、5折銷售，5月2日恢復原價，小明發現5月1日一個甲禮包的售價等于5月2日一個乙禮包售價的40%，5月1日一個乙禮包的售價比5月2日一個丙禮包售價少0.8元，若A、B、C三個品牌的毛巾原價都是正整數，且B品牌毛巾的原價不超過11元，則小明在5月1日購買一個丙禮包，應該付________元．專題6.3一次方程與方程組二十五大考點【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1方程、一元一次方程的概念】 1【考點2方程、一元一次方程的解】 3【考點3同解方程】 5【考點4根據方程的解情況求值】 7【考點5方程遮擋問題】 9【考點6判斷方程解的情況】 11【考點7等式的基本性質】 13【考點8一元一次方程的解法】 15【考點9換元法、整體代入法解一元一次方程】 19【考點10一元一次方程中的錯看問題】 21【考點11一元一次方程中的新定義問題】 23【考點12一元一次方程中的動點問題】 27【考點13絕對值方程】 32【考點14列一元一次方程并求解】 35【考點15一元一次方程的應用】 37【考點16一元一次方程中的數形結合問題】 40【考點17二元一次方程（組）的概念】 45【考點18二元一次方程組的解】 47【考點19解二元一次方程組】 50【考點20二元一次方程的整數解】 52【考點21二元一次方程組的特殊解法】 55【考點22二元一次方程組的新定義問題】 59【考點23二元一次方程（組）的應用】 62【考點24三元一次方程組的解法】 67【考點25三元一次方程組的應用】 70【考點1方程、一元一次方程的概念】【例1】（2022·湖南·七年級單元測試）下列方程中，一元一次方程共有（

）個①4x﹣3＝5x﹣2；②3x﹣4y；③3x＋1＝1x；④3x?14＋15＝0；

⑤xA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據一元一次方程的定義得出即可．【詳解】解：①4x?3＝5x?2，是一元一次方程，符合題意；②3x﹣4y，不是等式，更不是一元一次方程，不合題意；③3x＋1＝1x④3x?14+1⑤x2⑥x?1＝12，是一元一次方程，符合題意．一元一次方程有：①④⑥，共有三個.故選：C．【點睛】本題考查了一元一次方程的定義，只含有一個未知數（元），未知數的次數是1，等號兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程，能熟記一元一次方程的定義是解此題的關鍵．【變式1-1】（2022·福建省永春烏石中學七年級階段練習）若方程2xa?2+a=5是關于xA．1 B．-1 C．3 D．-3【答案】A【分析】根據一元一次方程的定義可得a?2=1，可得出a的值，在解方程即可．【詳解】解：因為2xa?2+a=5所以a?2=1，所以a=3．所以原方程為2x+3=5，解得x=1．故選A【點睛】本題考查一元一次方程的定義，一元一次方程的解，屬于基礎題，理解一元一次方程的定義是解題的關鍵．【變式1-2】（2022·山東·泰安市泰山區大津口中學階段練習）下列式子中：①5x+3y=0，②6x2?5x，③3x<5，④x2+1=3，⑤x【答案】

①④⑤⑥⑦

⑤⑦【分析】含有未知數的等式叫做方程，只含有一個未知數，含未知數的項的次數都是1，兩邊都是整式的方程，叫做一元一次方程，根據方程的定義和一元一次方程的定義進行解答即可．【詳解】解：按照方程的定義，可知，①5x+3y=0，④x2+1=3，⑤x5+2=3x，⑥x+1x+2=5∴是方程的有①④⑤⑥⑦，是一元一次方程的有⑤⑦，故答案為：①④⑤⑥⑦，⑤⑦【點睛】此題考查了方程和一元一次方程，熟練掌握定義是解題的關鍵．【變式1-3】（2022·湖北·公安縣教學研究中心七年級期中）關于x的方程a-3x=bx+2是一元一次方程，則b的取值情況是（）A．b≠-3 B．b=-3 C．b=-2 D．b為任意數【答案】A【分析】先把方程整理為一元一次方程的一般形式，再根據一元一次方程的定義求出b的值即可．【詳解】解：a-3x=bx+2，移項得a-3x-bx-2=0，合并同類項得-（3+b）x+a-2=0，∴b+3≠0，b≠-3，故選：A．【點睛】本題考查的是一元一次方程的定義，熟知只含有一個未知數（元），且未知數的次數是1，這樣的方程叫一元一次方程是解答此題的關鍵．【考點2方程、一元一次方程的解】【例2】（2022·江蘇·南通第一初中七年級階段練習）下列方程中，解是x＝2的方程是（）A．2x＝5x+14 B．x2?1=0 C．2（x﹣1）＝1 D．2【答案】B【分析】將x＝2分別代入選項，使方程成立的即為所求．【詳解】解：A．將x＝2代入2x＝5x+14，可得2×2≠5×2+4，故A不符合題意；B．將x＝2代入x2﹣1＝0，可得2C．將x＝2代入2（x﹣1）＝1，可得2×（2﹣1）≠1，故C不符合題意；D．將x＝2代入2x﹣5＝1，可得2×2﹣5≠1，故D不符合題意．故選：B．【點睛】本題主要考查一元一次方程的解，熟練掌握一元一次方程的解與一元一次方程的關系是解題的關鍵．【變式2-1】（2022·四川省射洪縣射洪中學外國語實驗學校七年級階段練習）下列方程后所列出的解不正確的是（

）A．x2?1=x,x=?2 C．?23x=【答案】C【分析】要知道所列出的解是不是前面方程的解，只需要代入驗證是否能取等號．【詳解】解：A．當x=?2時，方程左邊=?2B．當x=34時，方程左邊=2?3C．當x=?34時，方程左邊D．當x=?23時，方程左邊故選C．【點睛】本題考查方程的根的概念，利用驗證的方法比直接求解速度更快，效率更高，掌握驗根的方法是解題的關鍵．【變式2-2】（2022·江蘇揚州·七年級期末）整式mx+n的值隨x的取值不同而不同，下表是當x取不同值時對應的整式的值：x﹣2﹣1012mx+n﹣12﹣8﹣404則關于x的方程﹣mx﹣n＝8的解為_____．【答案】-1【分析】理解代數式的值是由x確定的，計算的時候把m,n當常數處理，將等式變形后，結合表格的數據即可解題.【詳解】﹣mx﹣n＝8變形為：mx+n=-8，查表可得：x=-1【點睛】本題考查方程解的概念，當方程里面有多個字母時，要明確未知數是哪個字母，這是解題關鍵．【變式2-3】（2022·江西撫州·七年級期中）若方程3x+a=b的解是x=1，則關于未知數y的方程6y?2b+18+2a=0的解是y=______．【答案】?2【分析】使方程左右兩邊的值相等的未知數的值是該方程的解．將方程的解代入方程可得a?b=?3，代入關于y的方程進而解方程即可求解．【詳解】解：把x=1代入3x+a=b得：a?b=?3，∴6y?2b+18+2a=0，6y+(2a?2b)=?18，6y+2(a?b)=?18，6y?6=?18，6y=?12，y=?2．故答案為：?2．【點睛】本題考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，求得a?b=?3是解題的關鍵．【考點3同解方程】【例3】（2022·四川省射洪縣射洪中學外國語實驗學校七年級期中）方程3x＋6＝0與關于x的方程3x＝2﹣2m的解相同，則m的值為（

）A．﹣2 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】先求解關于x的一元一次方程，然后代入求解即可．【詳解】解：3x+6=0，解得：x=-2，將x=-2代入3x=2-2m中，得，-6=2-2m，解得：m=4，故選：D．【點睛】題目主要考查解一元一次方程及一元一次方程的解，熟練掌握解一元一次方程是解題關鍵．【變式3-1】（2022·河南·西峽縣城區二中七年級階段練習）如果方程2x?1=3x的解也是方程2?a?x3=0的解，那么aA．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】求出第一個方程的解，代入第二個方程計算即可求出a的值．【詳解】解：方程2x﹣1＝3x，解得：x＝﹣1，把x＝﹣1代入得：2?a+1解得：a＝5，故選：C．【點睛】此題考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．【變式3-2】（2022·四川·內江市市中區全安鎮初級中學校七年級期中）已知關于x的方程2x=8與x+2＝－k的解相同，則代數式2?3kk2A．－94 B．49 C．－49【答案】C【分析】解方程2x=8可得x=4，把x=4代入x+2=?k可得k=?6，再把k=?6代入2?3k【詳解】解：解方程2x=8，得x=4，∵關于x的方程2x=8與x+2=?k的解相同，∴4+2=?k，解得k=?6，∴2?3kk2故選C.【點睛】本題考查了一元一次方程解的定義，根據方程2x=8與x+2=?k的解相同求得k的值是解決問題的關鍵.【變式3-3】（2022·廣東惠州·七年級期末）若方程2x?5=x?2與3a?x?a2=a?【答案】a的值為1．【分析】先求出第一個方程的解，把x=3代入第二個方程，求出方程的解即可．【詳解】解：解方程2x?5=x?2，移項得2x?x=?2+5，解得x=3，把x=3代入方程：3a?x?a得：3a?3?a去分母得30a?5（3?a）=10a?2（a?6），去括號得30a?15+5a=10a?2a+12，移項得30a+5a?10a+2a=12+15，合并同類項得27a=27，系數化為1得a=1，∴

a的值為1．【點睛】本題考查了同解方程，本題解決的關鍵是能夠求解關于x的方程，要正確理解方程解的含義．解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1．【考點4根據方程的解情況求值】【例4】（2022·上海市奉賢區青溪中學八年級期末）如果關于x的方程（a+1）x＝a2+1無解，那么aA．a＝?1 B．a＞?1 C．a≠?1 D．任意實數【答案】A【分析】根據一元一次方程無解，令未知數的系數為0，進而確定出a的范圍即可．【詳解】解：∵關于x的方程（a+1）x＝a2∴a+1＝0，解得：a＝﹣1．故選：A．【點睛】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．【變式4-1】（2022·全國·七年級專題練習）關于x的方程2a(x?1)=(5?a)x+3b有無窮多個解，則a?b=______．【答案】25【分析】方程整理后，根據有無窮多個解，確定出a與b的值，即可求出所求．【詳解】解：方程整理得：（3a﹣5）x＝2a+3b，∵方程有無窮多個解，∴3a﹣5＝0，2a+3b＝0，解得：a＝53，b＝﹣10則a﹣b＝53+109＝故答案為：259【點睛】此題考查一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．【變式4-2】（2022·全國·七年級專題練習）已知y=2x+513?3x?217?32x+2．當x=1.5時，y>0A．1.45 B．1.64 C．1.92 D．2.05【答案】B【分析】由題意估算得出方程的解的取值范圍在1.5與1.8之間，據此即可求解．【詳解】解：對于y=2x+5∵當x=1.5時，y=2x+5當x=1.8時，y=2x+5∴方程2x+513觀察四個選項，1.64在此范圍之內，故選：B．【點睛】本題考查了一元一次方程的解，關鍵是根據題意得出方程2x+513【變式4-3】（2022·內蒙古通遼·七年級期末）若關于x的方程mx=3?x的解為整數，則正整數m的值為______．【答案】2【分析】先方程得x=3m+1，再由方程的解為整數，則有m+1=±3或m+1=±1，求得m=2或m=-4或m=0或m=-2，根據題意，m是正整數，即可求m【詳解】解：mx=3-x，移項，合并同類項，得（m+1）x=3，解得x=3m+1∵方程的解為整數，∴m+1=±3或m+1=±1，∴m=2或m=-4或m=0或m=-2，∵m+1≠0，∴m≠-1，∵m是正整數，∴m=2，故答案為：2．【點睛】本題考查一元一次方程的解，熟練掌握一元一次方程的解法，根據m值的限定條件對m的值進行取舍是解題的關鍵．【考點5方程遮擋問題】【例5】（2022·重慶黔江·七年級期末）方程2y?12=12y?A．?52 B．52 C．?【答案】B【分析】設這個常數為a，將y的值代入方程計算即可求出a的值．【詳解】解：設這個常數是a，根據題意得：2×?解得：a=5故選：B【點睛】此題考查了一元一次方程的解，熟練掌握方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值是解題的關鍵．【變式5-1】（2022·河南開封·七年級期末）某書中一道方程題2+⊕x3+1=x，⊕處印刷時被墨蓋住了，查后面答案，這道題的解為x=?25，那么【答案】16【分析】設⊕處數字為a，把x=?25代入方程，解方程即可求得．【詳解】解：設⊕處數字為a，把x=?25代入方程得：2?25a3去分母得：2?25a+3=?75，移項合并得：25a=80，解得：a=16故答案為：165【點睛】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．【變式5-2】（2022·全國·七年級單元測試）小磊在解方程321??【答案】3【分析】設“■”表示的數為a，將一元一次方程的解代入求解即可得出結果．【詳解】解：設“■”表示的數為a，將x=2332解得a=3，即“■”表示的數為3，故答案為：3．【點睛】題目主要考查一元一次方程的解及解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的方法是解題關鍵．【變式5-3】（2022·浙江杭州·中考真題）計算：?6×(1)如果被污染的數字是12，請計算?6(2)如果計算結果等于6，求被污染的數字．【答案】(1)-9(2)3【分析】（1）根據有理數混合運算法則計算即可；（2）設被污染的數字為x，由題意，得?6×（1）解：?6×23（2）設被污染的數字為x，由題意，得?6×23所以被污染的數字是3．【點睛】本題主要考查有理數的混合運算、一元一次方程的應用，掌握相關運算法則和步驟是接替的關鍵．【考點6判斷方程解的情況】【例6】（2022·江西撫州·七年級期中）若a+b=0，則方程ax+b=0的解有（

）A．只有一個解 B．只有一個解或無解C．只有一個解或無數個解 D．無解【答案】C【分析】需要對a的取值進行分類討論：a=0和a≠0兩種情況．【詳解】解：當a=0，b=0時，方程ax+b=0有無數個解；當a≠0，b≠0時，方程ax+b=0只有一個解．綜上所述，方程ax+b=0的解有一個解或無數個解．故選：C．【點睛】本題考查了一元一次方程的解的定義．此題屬于易錯題，學生往往忽略了a=0這一情況．【變式6-1】（2022春?嵩縣期中）當a＝1時，方程（a﹣1）x+b＝0（其中x是未知數，b是已知數（）A．有且只有一個解 B．無解 C．有無限多個解 D．無解或有無限多個解【答案】D．【分析】解：當a＝1，b＝0時，方程有無限多個解；當a＝1，而b≠0時，方程無解．故選：D．【點睛】本題考查了一元一次方程的解的情況，使一元一次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元一次方程的解．【變式6-2】（2022?順德區模擬）已知關于x的方程（a﹣2）x＝b+3．（1）若原方程只有一個解，則aa≠2，b為任何值．（2）若原方程無解，則a＝2，b≠3．（3）若原方程有無數多個解，則a＝2，b＝﹣3．【答案】（1）≠2，為任何值；（2）＝2，b≠﹣3；（3）＝2，＝﹣3．【分析】解：（1）當a﹣2≠0，即a≠2，b為任何值時，方程有唯一解：x＝；（2）當a﹣2＝0，b+3≠0，即a＝2，b≠﹣3時，方程有無解；（3）當a﹣2＝0，b+3＝0，即a＝2，b＝﹣3時，方程有無數解，故答案為：（1）≠2，為任何值；（2）＝2，b≠﹣3；（3）＝2，＝﹣3．【變式6-3】（2022·全國·七年級課時練習）若m、n是有理數，關于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少兩個不同的解，則另一個關于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情況是（）A．有至少兩個不同的解 B．有無限多個解C．只有一個解 D．無解【答案】D【分析】首先解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x，可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n，再根據方程有兩個解的條件可得到m，n的值，然后代入方程（m+n）x+3＝4x+m中即可知道其解的情況．【詳解】解：解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n∵有至少兩個不同的解，∴6m+3n﹣6＝3m+n＝0，即m＝﹣2，n＝6，把m＝﹣2，n＝6代入（m+n）x+3＝4x+m中得：4x+3＝4x+m，∴方程（m+n）x+3＝4x+m無解．故選：D．【點睛】此題主要考查了解含字母系數的一元一次方程，關鍵是根據解的情況判斷字母系數的值．【考點7等式的基本性質】【例7】（2022·遼寧·葫蘆島市實驗中學七年級階段練習）下列各式運用等式的性質變形，錯誤的是（

）A．若?a=?b，則a=b B．若ac=C．若ac=bc，則a=b D．若(m2【答案】C【分析】根據等式的基本性質逐項判斷即可．【詳解】A．兩邊都乘以?1，結果不變，故A正確，不符合題意；B．兩邊都乘以c，結果不變，故B正確，不符合題意；C．當c等于零時，除以c無意義，故C錯誤，符合題意；D．因為m2+1≥1，故等式兩邊可都除以故選：C【點睛】本題考查等式的基本性質．掌握等式兩邊同時加上(或減去)同一個整式，等式仍然成立；等式兩邊同時乘或除以同一個不為0的整式，等式仍然成立是解題關鍵．【變式7-1】（2022·河南·西峽縣城區二中七年級階段練習）a、b、c為有理數，下列變形不正確的是（

）A．如果a=b，那么a+2=b+2； B．如果a=b，那么2?a=2?b；C．如果a=b，那么ac=bc； D．如果a=b，那么ac【答案】D【分析】根據等式的基本性質，即等式兩邊同時加上、減去、乘以、除以（除數不為0）同一個整式，等式仍然成立分別判斷即可．【詳解】A.如果a＝b，那么a＋2＝b＋2，故A正確，不符合題意；B.如果a=b，那么2?a=2?b，故B正確，不符合題意；C.如果a＝b，那么ac=bc，故C正確，不符合題意；D.如果a＝b，那么ac=b故選：D．【點睛】本題主要考查了等式的基本性質，準確分析判斷是解題的關鍵．【變式7-2】（2022·河南·南陽市宛城區官莊鎮第一初級中學七年級階段練習）如圖是方程1?3x?14=A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①④⑤【答案】C【分析】等式兩邊加同一個數（或式子）結果仍得等式；等式兩邊乘同一個數或除以一個不為零的數，結果仍得等式，依據性質進行判斷即可．【詳解】解：1?方程兩邊同時乘以4，去分母得：4?3x?1去括號得：4?3x+1=6+2x②，移項得：?3x?2x=6?4?1③，合并同類項得：?5x=1④，方程的兩邊同時除以-5得：x=?1∴依據等式的基本性質的步驟有①③⑤．故選：C【點睛】本題主要考查了等式的基本性質．解題的關鍵是掌握等式的基本性質，等式兩邊加同一個數（或式子）結果仍得等式；等式兩邊乘同一個數或除以一個不為零的數，結果仍得等式．【變式7-3】（2022·廣東廣州·七年級期末）四個數w、x、y、z滿足x－2021＝y+2022＝z－2023＝w+2024，那么其中最小的數是_____，最大的數是______．【答案】

w

z【分析】根據已知等式，分別求x﹣y、x﹣z、y﹣w的值，然后用這些值與0比較大小，即可求得z＞x＞y＞w．【詳解】解：由x﹣2021＝y+2022＝z﹣2023＝w+2024，得x﹣y＝2021+2022＝4043＞0，∴x＞y，①x﹣z＝2021﹣2023＝﹣2＜0，∴z＞x，②y﹣w＝2024﹣2022＝2＞0，∴y＞w，③由①②③，得z＞x＞y＞w；∴四個數w、x、y、z中最小的數是w，最大的數是z；故答案為：w；z．【點睛】本題考查等式的性質，根據等式的性質，移項得到x﹣y、x﹣z、y﹣w的值是解題的關鍵．【考點8一元一次方程的解法】【例8】（2022·江蘇·南通第一初中七年級階段練習）解方程：(1)0.5x-0.7=6.5-1.3x；(2)5(x+6)=6(2x-7)+9；(3)1?2x?5(4)x?10.2【答案】(1)x=4(2)x=9(3)x=13(4)x=【分析】（1）方程移項，合并同類項，把x系數化為1，即可求出解；（2）方程去括號，移項，合并同類項，把x系數化為1，即可求出解；（3）方程去分母，去括號，移項，合并同類項，把x系數化為1，即可求出解；（4）方程整理后，去分母，去括號，移項，合并同類項，把x系數化為1，即可求出解．（1）解：0.5x-0.7=6.5-1.3x0.5x+1.3x=6.5+0.7，1.8x=7.2，x=4；（2）解：5(x+6)=6(2x-7)+95x+30=12x-42+9，-7x=-63，x=9；（3）解：1?12-2(2x-5)=3(3-x)，12-4x+10=9-3x，-x=-13，x=13；（4）解：x?110x?10550x?50=10+20x?203x=4，x=43【點睛】此題考查了解一元一次方程，解決本題的關鍵是明確解方程的步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，把未知數系數化為1，求出解．【變式8-1】（2022·上海市羅南中學階段練習）解方程：14%x﹣9%（x+10）＝7%x﹣0.2．【答案】x＝﹣35【分析】根據解一元一次方程的方法步驟直接求解即可得到答案．【詳解】解：14%x﹣9%（x+10）＝7%x﹣0.2，去分母得14x﹣9（x+10）＝7x﹣20，去括號得14x﹣9x﹣90＝7x﹣20，移項得14x﹣9x﹣7x＝90﹣20，合并同類項得﹣2x＝70，系數化為1得x＝﹣35．【點睛】本題考查解一元一次方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1等，熟練掌握方法步驟是解決問題的關鍵．【變式8-2】（2022·湖南·邵陽市第十六中學七年級期末）解下列方程：(1)2x?2=(2)1?【答案】(1)x＝2；(2)x=1【分析】（1）根據移項，合并，系數化為1的步驟解方程即可；（2）根據去分母，去括號，移項，合并，系數化為1的步驟解方程即可．（1）解：2x?2=移項得：2x?1合并得：32系數化為1得：x=2；（2）解：1?去分母得：10?22x+1去括號得：10?4x?2=x+3，移項得：?4x?x=3?10+2，合并得：?5x=?5，系數化為1得：x=1．【點睛】本題主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解題的關鍵．【變式8-3】（2022·湖北省麻城市華英學校七年級階段練習）解方程：(1)﹣2x+3＝4x﹣9；(2)3（x+2）﹣2（x+2）＝2x+4；(3)x?32(4)x2【答案】(1)x＝2(2)x＝-2(3)x＝-9(4)x＝-1.5【分析】（1）移項、合并同類項、系數化為1，據此求出方程的解即可．（2）去括號、移項、合并同類項、系數化為1，據此求出方程的解即可，（3）去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1，據此求出方程的解即可．（4）去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1，據此求出方程的解即可．（1）解：移項，可得：﹣2x﹣4x＝﹣9﹣3，合并同類項，可得：﹣6x＝﹣12，系數化為1，可得：x＝2．（2）解：去括號，可得：3x+6﹣2x﹣4＝2x+4，移項，可得：3x﹣2x﹣2x＝4﹣6+4，合并同類項，可得：﹣x＝2，系數化為1，可得：x＝﹣2．（3）解：去分母，可得：5（x﹣3）﹣2（4x+1）＝10，去括號，可得：5x﹣15﹣8x﹣2＝10，移項，可得：5x﹣8x＝10+15+2，合并同類項，可得：﹣3x＝27，系數化為1，可得：x＝﹣9．（4）解：去分母，可得：3x﹣（5x+11）＝6+2（2x﹣4），去括號，可得：3x﹣5x﹣11＝6+4x﹣8，移項，可得：3x﹣5x﹣4x＝6﹣8+11，合并同類項，可得：﹣6x＝9，系數化為1，可得：x＝﹣1.5．【點睛】此題主要考查了解一元一次方程，要熟練掌握解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1．【考點9換元法、整體代入法解一元一次方程】【例9】（2022·江蘇·南通市八一中學七年級階段練習）已知關于x的一元一次方程x2019+5=2019x+m的解為x=2018，那么關于y的一元一次方程A．2013 B．?2013 C．2023 D．?2023【答案】C【分析】首先由方程x2019+5=2019x+m可得，x2019?2019x=m?5，由方程5?y2019?5=2019(5?y)?m可得，y?52019?2019(y?5)=m?5，設n=y-5，可得n2019【詳解】解：由方程x2019+5=2019x+m，得由方程5?y2019?5=2019(5?y)?m可得，得y?52019設n=y-5，則可得n2019∵方程x2019?2019x=m?5的解為∴方程n2019?2019n=m?5的解為∴y?5=2018，解得y=2023，故選：C．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的解和利用換元法解一元一次方程，正確掌握和利用換元法的轉化思想是解題的關鍵．【變式9-1】（2022·江蘇·南通第一初中七年級階段練習）當x＝1時，式子ax3+bx+1的值是2，則方程ax+12【答案】x＝1【分析】把x＝1代入代數式，使其值為2，求出a+b的值，方程變形后代入計算即可求出解．【詳解】解：把x＝1代入得：a+b+1＝2，即a+b＝1，方程去分母得：2ax+2+2bx﹣3＝x，整理得：（2a+2b﹣1）x＝1，即[2（a+b）﹣1]x＝1，把a+b＝1代入得：x＝1．故答案為：1．【點睛】本題主要考查了解一元一次方程，以及代數式求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【變式9-2】（2022·山東德州·七年級階段練習）用整體思想解方程3（2x－3）-13（3－2x）=5（3－2x）+1【答案】x=3【詳解】試題分析：本題首先將2x－3看作一個整體，然后進行解方程，得出答案．試題解析：∵3－2x=－（2x－3）∴原方程可化為：3（2x－3）+13（2x－3）=－5（2x－3）+1移項合并同類項，得：（3+13+5－1∴2x－3=0

解得：x=3【變式9-3】（2022·浙江杭州·七年級期末）已知關于x的一元一次方程12016x+3=2x+b的解為x=5，那么關于y的一元一次方程【答案】y=4【分析】觀察兩個方程，令t=y+1，關于y的方程可變為12016【詳解】令t=y+1，則關于y的方程可變為1由方程的定義可知，關于t的一元一次方程12016t+3=2t+b即y+1=5解得y=4則關于y的一元一次方程12016(y+1)+3=2(y+1)+b故答案為：y=4．【點睛】本題考查了一元一次方程的定義和解法，觀察兩個方程，利用換元法是解題關鍵．【考點10一元一次方程中的錯看問題】【例10】（2022·全國·七年級專題練習）某同學解方程4x?3=□x+1時，把“□”處的系數看錯了，解得x=4，他把“□”處的系數看成了（

）A．3 B．?3 C．4 D．?4【答案】A【分析】首先根據題意，設“□”處的系數是y，則4y+1=4×4-3，然后根據解一元一次方程的方法，求出他把“□”處的系數看成了多少即可．【詳解】解：設“□”處的系數是y，則4y+1=4×4-3，∴4y+1=13，移項得4y=13-1，合并同類項得4y=12，系數化為1得y=3．故選：A．【點睛】本題主要考查了解一元一次方程的方法，要熟練掌握解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1．【變式10-1】（2022·四川·威遠縣鳳翔中學七年級期中）小李在解方程3a?x=13（x為未知數）時，誤將?x看作+x，解得方程的解x=?2，則a＝________，原方程的解為________．【答案】

5

x=2【分析】根據?x看作+x，解得方程的解x=?2，得3a+(?2)=13，解出a的值，再計算方程．【詳解】∵?x看作+x，解得方程的解x=?2∴3a+(?2)=13解得a=5∴原方程為：3×5?x=13解得x=2．故答案為：5；x=2．【點睛】本題考查一元一次方程，解題的關鍵是理解方程的解的定義，以及解一元一次方程．【變式10-2】（2023·河北·九年級專題練習）已知關于x的方程2x?13=x?a2?1的解為x=?10【答案】

2

-5【分析】把x=-10代入方程2x?13=x?a2?1【詳解】解：把x=-10代入方程2x?132×(?10)?1解得，a=2當a=2時，方程為2x?1根據嘉琪的方法得：2(2x?1)=3(x?2)?1解得，x=?5故答案為：2；-5【點睛】本題主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟練掌握解方程的步驟是解答本題的關鍵．【變式10-3】（2022·山東棗莊東方國際學校七年級階段練習）嘉淇解方程2x?65+1＝x+a2時，由于粗心大意，在去分母時，方程左邊的1沒有乘以10，由此得到方程的解為(1)試求a的值；(2)求原方程的解．【答案】(1)a＝﹣2(2)x＝8【分析】（1）先根據錯誤的做法：“方程左邊的1沒有乘以10”而得到x＝﹣1，代入錯誤方程，求出a的值；（2）把a的值代入原方程，求出正確的解．（1）解：按方程左邊的1沒有乘以10，去分母得：2（2x﹣6）+1＝5（x+a），把x＝﹣1代入得：2×（﹣8）+1＝﹣5+5a，解得：a＝﹣2．（2）解：把a＝﹣2代入原方程，得2x?65+1＝x?2去分母得：2（2x﹣6）+10＝5（x﹣2），去括號得：4x﹣12+10＝5x﹣10，移項合并得：﹣x＝﹣8，解得：x＝8．【點睛】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程注意兩邊相等的未知數的值．【考點11一元一次方程中的新定義問題】【例11】（2022·全國·七年級專題練習）對于兩個不相等的有理數a，b，我們規定符號min{a，b}表示a、b兩數中較小的數，例如min{2，-4}＝-4，則方程min{x，-x}＝3x＋4的解為（

）A．x＝－1 B．x＝－2 C．x＝－1或x＝－2 D．x＝1或x＝2【答案】B【分析】根據題意可得：min{x，-x}=x或?x，所以x=3x+4或?x=3x+4，據此求出x的值即可．【詳解】∵規定符號min{a，b}表示a、b兩數中較小的數，∴當min{x，-x}表示為x時，則x=3x+4，解得x=?2，當min{x，-x}表示為?x時，則?x=3x+4，解得x=?1，∵x=?1時，最小值應為x，與min{x，-x}=?x相矛盾，故舍去，∴方程min{x，-x}＝3x＋4的解為x=?2，故選：B．【點睛】本題主要考查一元一次方程的解法，能根據題意正確列出一元一次方程是解題的關鍵．【變式11-1】（2022·江蘇·蘇州市相城區陽澄湖中學七年級階段練習）已知，對于任意的有理數a、b、c、d，我們規定了一種運算：|a?bc?d|＝ad﹣bc【答案】2【分析】由新定義得3（2x+1）﹣（﹣4）（x﹣1）＝19，解一元一次方程即可．【詳解】解：∵|abcd|＝ad﹣bc∴3（2x+1）﹣（﹣4）（x﹣1）＝19，∴6x+3+4x﹣4＝19，∴10x＝20，∴x＝2．【點睛】本題考查解一元一次方程，根據新定義得出一元一次方程是解決問題的關鍵．【變式11-2】（2022·重慶·巴川初級中學校七年級期中）若x≥0，則x=x?2；若x<0，則x=x+2．例：3(1)求12(2)已知有理數m>0,n<0，且滿足m=n，試求代數式(3)解方程：1【答案】(1)3(2)?40(3)x＝75【分析】（1）根據對稱數的定義求得即可；（2）由對稱數的定義化簡得，m-n=4，然后代入代數式確定即可；（3）分三種情況化簡方程，然后解方程即可．（1）[12]×[-4]＝12-2（2）∵m＞0，n＜0，[m]＝[n]∴m﹣2＝n+2整理得：m﹣n＝4∴2（3）①當x≥12時，方程為：解得：x＝75②當-203≤x＜12解得：x＝5519③當x≤-203時，方程為：解得：x＝-5綜上：x＝75【點睛】本題考查了新定義下的有理數運算，代數式求值以及解一元一次方程，能夠根據對稱數的概念化簡是解題的關鍵．【變式11-3】（2022·全國·七年級專題練習）已知關于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b為常數），若這個方程的解恰好為x＝a﹣b，則稱這個方程為“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解為x＝﹣2，恰好為x＝2﹣4，則方程2x+4＝0為“恰解方程”．(1)已知關于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，則k的值為；(2)已知關于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解為x＝n（n≠0）．求m，n的值；(3)已知關于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代數式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．【答案】(1)9(2)m＝﹣3，n＝﹣2(3)-9【分析】（1）利用“恰解方程”的定義，得出關于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值；（2）解方程﹣2x＝mn+n得出x＝﹣12（mn+n），由﹣2x＝mn+n是“恰解方程”得出x＝﹣2+mn+n，再結合x＝n，即可求出m，n（3）根據“恰解方程”的定義得出mn+n＝?92，把3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5（1）解：（1）解方程3x+k＝0得：x＝﹣k3∵3x+k＝0是“恰解方程”，∴x＝3﹣k，∴﹣k3＝3﹣k解得：k＝92（2）解：解方程﹣2x＝mn+n得：x＝﹣12（mn+n∵﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，∴x＝﹣2+mn+n，∴﹣12（mn+n）＝﹣2+mn+n∴3mn+3n＝4，∵x＝n，∴﹣