2023-2024學年廣東省深圳市南山區九年級（上）期末數學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.如圖所示，該幾何體的主視圖是(

)

A. B. C. D.2.已知關于x的方程x2+mx+3=0的一個根為x=1，則實數m的值為(

)A.4 B.?4 C.3 D.?33.下列平行四邊形中，根據圖中所標出的數據，不能判定是菱形的是(

)A. B.

C. D.4.如圖，在平面直角坐標系xOy中，兩個“E”字是位似圖形，位似中心點O，①號“E”與②號“E”的位似比為2：1.點P(?6,9)在①號“E”上，則點P在②號“E”上的對應點Q的坐標為(

)

A.(?3,92) B.(?2,3) C.(?5.近幾年，二維碼逐漸進入了人們的生活，成為廣大民眾生活中不可或缺的一部分.小剛將二維碼打印在面積為20的正方形紙片上，如圖，為了估計黑色陰影部分的面積，他在紙內隨機擲點，經過大量重復實驗，發現點落在黑色陰影的頻率穩定在0.6左右，則據此估計此二維碼中黑色陰影的面積為(

)

A.8 B.12 C.0.4 D.0.66.如圖，嘉嘉在A時測得一棵4m高的樹的影長DF為8m，若A時和B時兩次日照的光線互相垂直，則B時的影長DE為(

)

A.2m B.25m C.4m7.下面說法正確的是(

)A.兩條直線被一組平行線所截，所得的線段成比例

B.對于反比例函數y=2x，y隨x的增大而減小

C.關于x的方程ax28.近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現了不同程度的下滑，經銷商紛紛開展降價促銷活動.某款燃油汽車今年3月份售價為23萬元，5月份售價為16萬元.設該款汽車這兩月售價的月均下降率是x，則所列方程正確的是(

)A.16(1+x)2=23 B.23(1?x)2=169.如圖，在矩形ABCD中，以A為圓心，AD長為半徑畫圓弧，交BC于點E，以E為圓心AE長為半徑畫圓弧與BC的延長線交于點F，連接AF分別與DE、DC交于點M、N，連接DF，下列結論中下列結論中錯誤的是(

)

A.四邊形AEFD為菱形 B.CN=CE

C.△CFN∽△DAN D.△ABE≌△DCF10.某學習小組用繪圖軟件繪制出了函數y=ax(x+b)2如圖所示的圖象，根據你學習函數的經驗，下列對a，b大小的判斷，正確的是A.a>0，b<0

B.a>0，b>0

C.a<0，b>0

D.a<0，b<0二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.若x5=y7，則yx12.大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”的美.如圖，點P為AB的黃金分割點(AP>PB).如果BP的長度為2cm，那么AP的長度為______cm．

13.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點D，E.點B，C，D，E處的讀數分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長為______．

14.如圖，在矩形OABC中，OA=12，OC=10，F是AB上的一個動點(F不與A，B重合)，過點F的反比例函數y=kx(x>0)的圖象與BC邊交于點E，若S△AEF=16k

15.如圖，△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，AC=1，BC=3，D是AB邊上的中點，將△ACB繞著點A逆時針旋轉，使點C落在線段CD上的點E處，點B的對應點為F，邊EF與邊AB交于點G，則DG的長是______．

三、解答題：本題共7小題，共55分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題6分)

解下列方程：

(1)(x?3)2=4x(x?3)；

(2)17.(本小題6分)

已知：?ABCD的兩鄰邊AB，AD的長是關于x的方程x2?mx+2m=0的兩個實數根．

(1)當m為何值時，?ABCD是菱形？

(2)若AB的長為3，求?ABCD18.(本小題8分)

某校在九年級隨機抽取了20名學生分成甲、乙兩組，每組各10人，進行“網絡安全”知識競賽.把甲、乙兩組的成績進行整理分析(滿分100分，競賽得分用x表示：90≤x≤100為網絡安全意識非常強，80≤x<90為網絡安全意識比較強，x<80為網絡安全意識一般).收集整理的數據制成了如下統計圖表：

平均數中位數眾數甲組a8080乙組83bc根據以上信息回答下列問題：

(1)填空：a=______，b=______，c=______；

(2)已知該校九年級有500人，估計九年級網絡安全意識非常強的人數一共是多少？

(3)現在準備從甲乙兩組滿分人數中抽取兩名同學參加全區比賽，用樹狀圖或者列表法求抽取的兩名同學恰好一人來自甲組，另一人來自乙組的概率．19.(本小題8分)

如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別在AD，CD上，AF⊥BE，垂足為M．

(1)求證：AE=DF；

(2)若正方形ABCD的邊長是8，AEED=13，點N是BF的中點，求20.(本小題8分)

園林部門計劃在公園建一個如圖(甲)所示的長方形花圃ABCD，花圃的一面靠墻(墻足夠長)，另外三邊用木欄圍成，BC=2AB，建成后所用木欄總長120米，在圖(甲)總面積不變的情況下，在花圃內部設計了一個如圖(乙)所示的正方形網紅打卡點和兩條寬度相等的小路，其中，小路的寬度是正方形網紅打卡點邊長的14，其余部分種植花卉，花卉種植的面積為1728平方米．

(1)求長方形ABCD花圃的長和寬；

(2)求出網紅打卡點的面積．21.(本小題9分)

【綜合與實踐】：北師大版九年級上冊數學教材第122頁第21題：“怎樣把一塊三角形的木板加工成一個面積最大的正方形桌面？”某小組同學對此展開了思考．

【特例感知】：(1)若木板的形狀是如圖(甲)所示的直角三角形，S△ABC=1.5m2，AB=1.5m，根據“相似三角形對應的高的比等于相似比”可以求得此時正方形DEFG的邊長是______．

【問題解決】：若木板是面積仍然為1.5m2的銳角三角形ABC，按照如圖(乙)所示的方式加工，記所得的正方形DEFG的面積為S，如何求S的最大值呢？某學習小組做了如下思考：

設DE=x，AC=a，AC邊上的高BH=?，則S△ABC=12a?，∴?=3a，由△BDE∽△BAC得：BMBH=DEAC，從而可以求得x=2Sa+?，若要內接正方形面積S最大，即就是求x的最大值.因為S=1.5為定值，因此只需要分母最小即可．

(2)a…11113234…y…129m43344…②在如圖(丙)所示的平面直角坐標系中畫出該函數的大致圖象；

③結合表格觀察函數y=a+3a圖象，以下說法正確的是______．

A.當a>1時，y隨a的增大而增大．

B.該函數的圖象可能與坐標軸相交．

C.該函數圖象關于直線y=a對稱．

D.當該函數取最小值時，所對應的自變量a的取值范圍在1～222.(本小題10分)

某數學學習小組學習完四邊形后進行了如下探究，已知四邊形EFGH為矩形，請你幫助他們解決下列問題：

(1)【初步嘗試】：他們將矩形EFGH的頂點E、G分別在如圖(1)所示的?ABCD的邊AD、BC上，頂點F、H恰好落在?ABCD的對角線BD上，求證：BF=DH；

(2)【深入探究】：如圖2，若?ABCD為菱形，∠ABC=60°，若AE=ED，求S菱形ABCDS矩形EFGH的值；

(3)【拓展延伸】：如圖(3)，若?ABCD為矩形，AD=m，AB=n且AE=ED，請直接寫出此時S矩形ABCDS矩形EFGH的值是______(用含有m答案和解析1.【答案】A

解：從正面看，是一個正方形，正方形的內部右上角是一個小正方形，

故選：A．

根據從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案．

本題考查了簡單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖．2.【答案】B

解：關于x的方程x2+mx+3=0的一個根為x=1，

所以1+m+3=0

解得m=?4．

故選：B．

根據方程根的定義，將x=1代入方程，解出m的值即可．3.【答案】C

解：根據等腰三角形的判定定理可得，平行四邊形的一組鄰邊相等，即可判定該平行四邊形是菱形，

故A不符合題意；

根據三角形內角和定理可得，平行四邊形的對角線互相垂直，即可判定該平行四邊形是菱形，

故B不符合題意；

一組鄰角互補，不能判定該平行四邊形是菱形，

故C符合題意；

根據平行四邊形的鄰角互補，對角線平分一個120°的角，可得平行四邊形的一組鄰邊相等，即可判定該平行四邊形是菱形，

故D不符合題意；

故選：C．

根據平行四邊形的性質及菱形的判定定理求解即可．

此題考查了菱形的判定及平行四邊形的性質，熟記菱形的判定定理及平行四邊形的性質定理是解題的關鍵．4.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查的是位似變換中的坐標變化，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或?k．

根據位似變換的性質計算，得到答案．

【解答】

解：∵①號“E”與②號“E”是位似圖形，位似比為2：1，點P(?6,9)，

∴點P在②號“E”上的對應點Q的坐標為(?6×12,9×12)，即5.【答案】B

解：經過大量重復試驗，發現點落入黑色部分的頻率穩定在0.6左右，

據此可以估計黑色部分的面積為20×0.6=12．

故選：B．

用總面積乘以落入黑色部分的頻率穩定值即可．

本題考查了利用頻率估計概率，解決本題的關鍵是掌握概率公式．6.【答案】A

解：根據題意得CE⊥CF，CD=4m，FD=8m；

∵CE⊥CF，

∴∠ECF=90°，

∴∠ECD+∠DCF=90°，

∵CD⊥EF，

∴∠CDE=∠CDF=90°，

∴∠F+∠DCF=90°，

∴∠ECD=∠CFD，

∴Rt△CDE∽Rt△FDC，

∴EDCD=CDFD，即CD2=ED?FD，

代入數據可得42=8ED，

解得：ED=2(m)；

即B時的影長DE為2m．

故選：A．7.【答案】D

解：A.兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例，所以A選項不符合題意；

B.對于反比例函數y=2x，在每個象限內，y隨x的增大而減小，所以B選項不符合題意；

C.關于x的方程ax2+b=0，當a≠0時是一元二次方程，所以C選項不符合題意；

D.順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所組成的圖形是菱形，所以D選項符合題意．

故選：D8.【答案】B

解：∵3月份售價為23萬元，月均下降率是x，5月份售價為16萬元，

∴23(1?x)2=16．

故選：B．

首先根據3月份售價為23萬元，月均下降率是x可得出4月份的售價為23(1?x)萬元，5月份的售價為23(1?x)(1?x)=23(1?x)2萬元，據此根據5月份售價為16萬元可列出方程，進而可得出答案．

9.【答案】B

解：由題意知：EF=AE=AD，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD/?/EF，∠BCD=∠ABC=90°，

∴四邊形AEFD是平行四邊形，

∵AE=FE，

∴四邊形AEFD是菱形，

故A不符合題意；

若CE=CN，

∵四邊形AEFD是菱形，

∴FM⊥DE，

∴∠EDC+∠DEC=∠CFN+∠DEC=90°，

∴∠EDC=∠CFN，

∵∠ECD=∠NCF=90°

∴△DEC≌△FNC(AAS)，

∴DC=CF，

但DC和CF不一定相等，

因此△DEC和△FNC不一定全等，

∴CE和CN不一定相等，

故B符合題意；

∵AD//CF，

∴△CFN∽△DAN，

故C不符合題意；

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，

∴∠DCF=180°=90°=90°，

∴∠ABE=∠DCF=90°，

∵四邊形AEFD是菱形，

∴AE=DF，

∵AB=DC，

∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，

故D不符合題意．

故選：B．

由矩形的性質推出AD/?/EF，∠BCD=∠ABC=90°，AB=CD，由作圖得到EF=AE=AD，由菱形的判定，推出四邊形AEFD是菱形，由△DEC和△FNC不一定全等，得到CE和CN不一定相等，由AD/?/CF，推出△CFN∽△DAN，由HL判定Rt△ABE≌Rt△DCF．

本題考查全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定，矩形的性質，菱形的判定，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．10.【答案】A

解：由圖象可知，當x>0時，y>0，

∴a>0；

當x=?b時，函數值不存在，

∴?b>0，

∴b<0；

故選：A．

由圖象可知，當x>0時，y>0，可知a>0；x=?b時，函數值不存在，則b<0．

本題考查函數的圖象；能夠通過已學的反比例函數圖象確定b的取值是解題的關鍵．11.【答案】75解：∵x5=y7，

∴yx=712.【答案】(解：∵點P為AB的黃金分割點(AP>PB)，BP=2cm，

∴BPAP=5?12，

∴AP=(513.【答案】2解：由題意得，DE=1，BC=3，

在Rt△ABC中，∠A=60°，

則AB=BCtanA=33=3，

∵DE/?/BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴DEBC=ADAB，即13=3?BD14.【答案】80

解：連接OF，

由題意得：S△OAF=12AF×OA=12k，

∵S△AEF=12AF×BE=16k，

∴BE=13OA，

∵OA=12，OC=10，

∴BE=4，

∴CE=815.【答案】3解：如圖，過點A作AH⊥CD于H，過點D作DN⊥EF于N，

∵∠BCA=90°，AC=1，CB=3，

∴BA=AC2+BC2=10，

∵CD是BA邊上的中線，

∴CD=AD=BD=102，

∴∠DCA=∠DAC，

∵∠BCA=90°=∠CHA，

∴∠DCA+∠CAH=90°=∠DAC+∠B，

∴∠B=∠CAH，

∴sinB=sin∠CAH=CHAC=ACBA，

∴CH=AC?ACAB=1×110=1010，

∵tanB=tan∠CAH=ACBC=CHAH=13，

∴AH=3CH=31010，

∵將△ABC繞著點A逆時針旋轉，

∴AE=AC=1，∠AEF=∠BCA=90°，

∴CH=CE=1010，∠AEH+∠DEN=90°，

∴DE=CD?CH?HE=102?1010?1010=31010，

∵∠AEH+∠HAE=90°，

∴∠HAE=∠DEN，

又∵∠AHE=∠DNE=90°，

∴△AEH∽16.【答案】解：(1)(x?3)2=4x(x?3)；

(x?3)2?4x(x?3)=0，

(x?3)(x?3?4x)=0，

x?3=0或x?3?4x=0，

所以x1=3，x2=?1；

(2)x2+8x?9=0，

(x+9)(x?1)=0【解析】(1)先移項，再利用因式分解法把方程轉化為x?3=0或x?3?4x=0，然后解兩個一次方程即可；

(2)利用因式分解法把方程轉化為x+9=0或x?1=0，然后解兩個一次方程即可．

本題考查了解一元二次方程?因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．17.【答案】解：(1)當AB=AD時，，?ABCD是菱形，

即AB，AD的長是關于x的方程x2?mx+2m=0的兩個相等的實數根，

∴Δ=(?m)2?4×2m=0，

解得m1=0，m2=8，

∵AB+AD=m>0，AB?AD=2m>0，

∴m的值為8；

(2)∵AB=3，

∴3+AD=m，3AD=2m，

∴3+AD=32【解析】(1)根據菱形的判定得到AB=AD，再利用根的判別式的意義得到Δ=(?m)2?4×2m=0，解得m1=0，m2=8，然后根據根與系數的關系得到AB+AD=m>0，AB?AD=2m>0，從而確定m的值；

(2)利用根與的關系得到3+AD=m，3AD=2m，解方程組得到AD=6，然后根據平行四邊形的性質求解．

本題考查了根與系數的關系：若x18.【答案】83

85

70

解：(1)a=(1×70+6×80+2×90+1×100)÷10=83．

將乙組學生競賽成績按從小到大的順序排列，排在第5和第6位的成績分別為80分和90分，

∴b=(80+90)÷2=85．

由圖2可知，乙組的眾數為70，

∴c=70．

故答案為：83；85；70．

(2)500×2+1+3+220=200(人)．

∴估計九年級網絡安全意識非常強的人數一共約為200人．

(3)由圖1和圖2可知，甲組滿分人數為1人，記為A，乙組滿分人數為2人，分別記為B，C，

畫樹狀圖如下：

共有6種等可能的結果，其中抽取的兩名同學恰好一人來自甲組，另一人來自乙組的結果有：AB，AC，BA，CA，共4種，

∴抽取的兩名同學恰好一人來自甲組，另一人來自乙組的概率為46=23．

(1)根據平均數的定義可求出a；根據中位數的定義可求出b；根據眾數的定義可求出c．

(2)根據用樣本估計總體，用50019.【答案】(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠BAE=∠ADF=90°，

∵AF⊥BE，

∴∠DAF+∠AEM=90°，

∵∠AEM+∠ABE=90°，

∴∠DAF=∠ABE，

∴△ABE≌△DAF(ASA)，

∴AE=DF；

(2)解：∵AEED=13，

∴ED=3AE，

∴AD=4AE=8，

∴AE=2=DF，

∴CF=6，

∴BF=82+6【解析】(1)根據正方形的性質可得AD=AB，∠BAE=∠ADF=90°，結合AF⊥BE可得∠DAF=∠ABE即可得證；

(2)由題意知ED=3AE即可求出AE=2=DF，則CF=6，根據勾股定理即可求出BF，由N是中點可得MN=12BF20.【答案】解：(1)設AB=x米，

∴BC=2AB=2x米，

根據題意，得2x+x+x=120，

解得x=30，

∴AB=30米，BC=60米，

答：長方形ABCD花圃的長為60米，寬為30米；

(2)設網紅打卡點的邊長為m米，

根據題意，得(60?m)?14m+m2=60×30?1728，

解得m1=4，m2=?24(舍去)，

∴【解析】(1)設AB=x米，根據三邊所用木欄總長120米，列方程求解即可；

(2)設網紅打卡點的邊長為m米，根據空白的面積=長方形花圃的面積?花卉種植面積，列一元二次方程，求解即可．

本題考查了一元二次方程的應用，一元一次方程的應用，理解題意并根據題意建立等量關系是解題的關鍵．21.【答案】3037

612解：(1)過點B作BN⊥AC于點N，交DE于點M，如圖，

設DE=x，則DG=MN=x．

∵S△ABC=1.5m2，AB=1.5m，

∴12×1.5×BC=1.5，

∴BC=2m．

∴AC