高三理科數學

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。

2.答題前，考生務必用直徑0一5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚。

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題

目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內

作答.超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。

4.本試卷主第彳題范/：東合$露用邏M用語，言數?號數,及以宜用；三角,函藐與解三角形，平面向

量，復數，數列，不等式.立體幾何，直線與圓，圓錐曲線。

-、選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合A={了|y=，3+2L/},B={yI》=e=+a}(aeR),若AnB=0,則a的取值范圍為

A.(—oo,-l]B.(—00,-1)

C.(3,+°°)D.[3,+8)

2.已知復數z滿足(8+6i)z=5+12i,則|z|=

13

八?嗜BR-ibQ14D-13

3.已知直線l\：x-2y—1=0"2：2%+叫y+2=—2=0,若l}//人,則l\與Z2之間的距離為

A.1B.2C.5一邛D.5+產

00

4.我國古代歷法從東漢的《四分歷》開始,就有各節氣初日唇影長度和太陽去極度的觀測記錄，漏刻、號影

成為古代歷法的重要計算項目.唐代僧一行在編制《大衍歷》時發明了求任何地方每日辱影長和去極度

的計算方法——“九服唇影法”，建立了曷影長I與太陽天頂距。之間的對應數表(世界上最早的正切

函數表).根據三角學知識知：號影長I等于表高人與天頂距。正切值的乘積，即/=/?tan0.若對同一表

高進行兩次測量，測得唇影長分別是表高的2倍和3倍，記對應的天頂距分別為仇和偽，則

tan(4-02)=

A.-1B.-Jc.yD.1

5.已知是平面內兩個不同的定點，P為平面內的動點，則"I|PFJ-|PK||的值為定值"，，且

m<|F,F2I”是“點P的軌跡是雙曲線”的

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知f(x)=sin2H+tanr+l,則曲線在點悟處的切線方程為

A.21r+y+6—K=0B.2才一》+3一元=0

C.41—2y+6—JT=0D.4JT—2了+6+冗=0

【高三12月質量檢測?理科數學第1頁(共4頁)】L

22

7.已知雙曲線C：%—京=l(a>O">O),F為C的下焦點為坐標原點是C的斜率大于。的漸近

線，過F作斜率為名的直線/交八于點A,交了軸的正半軸于點B,若|QA|=|OB|,則C的離心率為

A.2B.V3C.乎D.整

?5乙

8.函數/⑺=Asin(sz+w)(A>O,s>O,OV/C?1)的部分圖象如圖所示，將/⑺的圖象向左平移,

個單位長度得到函數g(z)的圖象，則g(外=

A.2cos2x斗

B.V3sin(2jr—

C.痣sin(2z+*)/LA―M—"

D.2sin(2z+5)yy

9.已知E、Fz分別是橢圓C：，+Al(a?°)的左、右焦點，C過八(一2,0)和B(0,l)兩點，點P在

線段AB上，則時?屆的取值范圍為

A.[T,+8)B.[l,豹C.[—2,口D.廣哲1]

10.已知定義在(0,+8)上的函數/(z)滿足：①VH>0,/(H)<0;②對任意正數了,門當了〈?時,

"(攵)>才/(?)恒成立.若a=/(sin0.1)sin0.1,c=/(tan0.1)tan0.1.則

A.a>6>cB.c>a>bC./>c〉aD.b>a>c

11.在四面體ABCD中,43,4(7,人3,3。,異面直線AC與BD所成的角為30°,且二面角C-AB-D

為銳二面角，八B=4,AC=5,BD=3,則四面體ABCD的體積為

A.2734-1573B.3

C.5D.10

12.將曲線c￡+*l(z&0)和曲線C2：￡+著=1(60)合成曲線E.斜率為五的直線/與E交于

A,B兩點,P為線段八8的中點，則下列判斷錯誤的是

A.曲線E所圍成圖形的面積小于36

B.曲線E與其對稱軸僅有兩個交點

C.存在仙使得點P的軌跡總在某個橢圓上

D.存在您使得點P的軌跡總在某條直線上

二、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分。

13.已知向量a./>滿足|a|=73,Ib\=1,|a+b\=2,則a+b與。一/>的夾角為'|

14.直線/過點(2,1)且與圓C：(x+1)2+/=9相切，則直線I的方程為止/

15.如圖，直線1一與拋物線C：y2=2%”>0)交于A,B兩點，。為C上異于A,B

的一點，若則點。到直線了」的距離與p的比值為.

16.若不，4是函數/(了)=4&一e'+KaCR)的兩個極值點，且邃>2,則實數a

的取值范圍為.

【高三12月質量檢測?理科數學第2頁(共4頁)】L

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(本小題滿分10分)

在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a且asinA—csinC=(〃-c)sinB.

(1)求A的大小；

(2)若△ABC為銳角三角形，求《的取值范圍.

18.(本小題滿分12分)

已知直線I］:Q)+2=0"2:2a=0(a￡R),若1］與12的交點P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)若圓E^r2+y2-2mx-2ny=0的圓心在直線了=聲力上，且與曲線C相交所得公共弦的長

為2/3，求m,n的值.

19.(本小題滿分12分)

在正項數列｛a,,｝中必=1.V必+詈+…+”鼻=且異.

O乙〃J乙

(1)求｛a“｝的通項公式；

(2)若數列｛”,｝滿足仇=a］，仇=恁-1,且In6,,+ln6?+2=21nb?+1，設數列｛4｝的前“項和為T,,證

明：T“?Tll+2<Ti+l.

【高三12月質量檢測?理科數學第3頁(共4頁)】L

20.（本小題滿分12分）

在邊長為2的正方形ABCD外作等邊△BCQ（如圖1）,將△BCQ沿BC折起到△「放?處，使得PD=

為AB的中點（如圖2）.

（1）求證:平面PDE±Y-?PCD；

（2）求二面角E-PD-A的正弦值.

21.（本小題滿分12分）

已知橢圓C，+多=16>4>0）的一個焦點為B,其左頂點為A,上頂點為B,且F,到直

線AB的距離為4|OB|（O為坐標原點）.

（1）求C的方程；

22

（2）若橢圓后蘇+方K（A0且/W1）,則稱橢圓E為橢圓C的義倍相似橢圓.已知橢圓E是橢圓

C的3倍相似橢圓，直線/：尸標+根與橢圓C.E交于四點（依次為M,N,P,Q,如圖），且前十

超=2雨,證明:點7（—在定曲線上.

Avlyy

22.（本小題滿分12分）

已知f（x）=x2+.r+^ln%（々GR）.

⑴討論了（才）的單調性；

（2）若a=1,函數g（尤）=.x+l—f（J?）,V?,￡（0,+8）,N]，I￡lg（￡2）—l2g（11）I>

A|4一g|恒成立，求實數A的取值范圍.

【高三12月質量檢測?理科數學第4頁（共4頁）】L

高三理科數學參考答案、提示及評分細則

1.1）山題點徨A=-1?：乃+》?因為AC/X0.所以工故選I）.

JJI<S，“，；I:1'."17:一''

'十6iIX+6"‘8'+6'I。

3.A/.的方程可化為，+號y+6-l=0.閃為?！?：.易即，"=一1.所I"*jI之間的即肉，/=1（g—"一‘三1'」

=今=1.故達.V

J5

LHinn0；2.Uin013?所以um《優一仇）：7V-I?故選R

I?tan（fitanU：I'K人4/

s.i5ti?>。.點r的軌跡為線以i*的中代平分線.不是雙曲線；反之.若I'的軌跡足以曲線.則一定滿足

-|I/,F||-|PF：|的值為定值，”.且，》<|/?'/'■|f-liL-||/T|-|VI-：||的值為定值?>.IL?><IF,FI

/*的軌跡是雙曲線”的必要不充分條件.故選K

6.C由期總燈/'J>=2co$2,+-V./（子）=3.所以，（子）=20年+―!—=2.故所求切戰hft為.v-3=

1422千

4

2（*—Y）-BPl.r—2了+6-z=<i.故選（'.

7.C由題總知?，的陋斜角為30°,因為m=|CB|?所以。的傾斜用為60二斜率為斗

即.=s/J,所以！■=，，所以e=J1+（J）"=J1+：=故選C/

“忤”詈孑—―

Z.解得芋=f-%:*GZ：.堵工V,；Il.'.c-Iuh=if'=1.收

八=2?故/<,）=2sin（2,，2）?所H）=24|）［：?（,+左）+1j=2sin（2】卜今）=|

2cos2J.故選A.

9.1）法一,山也.@知?u=2?〃=l?故華性即故F（-6?。）.￡（《J））.線段八”的方程為」-2.丫+2

-1）<I）?設點V<2wi-2.MI）-1）?則/,/,i（—v/J+2—2，〃.一，〃）?（丫京+2-2”1.一m）?所1乂

I,i-?/'/-->'i—s??i（5）—1'il!'i<<*ilj.?/*J?/'/,—；i11il1.?Pl\"/*/

jj?jj

=I.故沁’?/盧的取值范圍為I-g.1:故選|）.

法：川|的點知“2./>I.故『但即LJXk=々.作“R_L，A小尸點，一則上在線以八〃I：.仃線八〃的方程為

，一2門2W.由點利在線的即向公式.徨|“九|二人"7匚而￥/?'?//：PO-~>r］亦一3.因此

<PF-rr>...=（乂囚為|<止卜s\=M.'iibrr-PF>..=?-3=1.閃此「產一尸尸的以

值把因為一U.i:故選D.

131

10.A閃為對任意1E教??.v?與rV.y時?.v./</）>〃<.V）?即>￡^^忸成立s乂Y，>0?，J>V。?所以0V

【高三12〃質址檢測?理科數學參考答案第I頁（件6克”L

一/122〈一￡￡^,0</<2,所以一了/（工）<一/（丫），即令g（K〉=Hf<z）.貝IJ對Y_r,y€

?Ty5（3）：

（OtH-oo），當jc<iy時?恒有g（i）>g（y）,所以g（/）在（0,+8）上單調遞減；由sin0.KO.l<Ctan0.1,得

g（sin0.1）>gCO.1）>g（tan0.1）?即a>A>c.故選A.

ll.C將四面體ABCD補成如圖所示的三棱柱ACF-BED,因為人B_LAC.異面直線AC與BDA

所成的角為30,3E〃AC,所以/EBD=30°,ABJ_BE,又A3J_BD,BEC\BD=B.BE.BDCZ

平面BDE.所以ABJ_平面BDE.ABDE的面積S=?BEsin300=-1-X3X5X77=

]51、

q-，V三桎維A.ACF=V=temc-?KD=可S?AB,所以丫㈣面根附”=V三核^3KS1>.?T

9115

匕滋砥皿=s?AB-fs-AB=yX-^X4=5.故選C.

12.D過曲線E與坐標軸的交點作相應坐標軸的垂線（如圖所示），以四條線的交點為頂點

的四邊形為邊長是6的正方形,曲線E在該正方形內,故E及其內部區域的面積小于正

方形的面積36.故A正確：曲線E的對稱軸僅有了軸.且E與了軸僅有兩個公共點，故B

正確;若4=0.此時可設/的方程為y=￡,易求A,B的坐標分別為（一等J產產“）.

（1后￥“）.故AB中點坐標為（一必尹，，.設P（了中），故l一口等工，尸八

消去，得/+普=1（I<03即P的軌跡在橢圓/+普=1上，若4#0,設/的方程為》=人+”,若A.B均在Ci上,

利用點差法,易求如，=一心,同理若A,8均在C?上,易求的=一%顯然一小云一小故此時點P不可能總落在

某條直線上.故C正確.D錯誤.故選D.

13.-y法一,：由題意,得\a-\-b\'=|a|24~2a,b+\b\2=3+2a?b+l=4,所以a?b=0,所以

|°―6|=2,所以8仙+8-=辭/：j：二:滬仙；蕊"=+?又〈a+-〉

e[o,p,所以〈。+人。一萬〉=子.

法二：由題意，得|a+”2=|a『+2a?b+1b\2=3+2a?b+l=4,所以a?b=0,即|a+”=|?—1>|.如圖所示,易求得

/OBA=g?，易得a+b與a—b夾角為伴.

14..r-2=0或4工+3y-U=0若/的斜率不存在.則/的方程為了=2,是圓C的切線;若/的斜率存在.設/的方程為y

-1=4（工一2），即人一y+1-24=0,則=3.解得仁一看■,此時/的方程為4工+3.y-ll=0.故直線/的方程

為/—2=0,或4;r+3;y—11=0.

一“\^=2px,

15.2設直線AD為衛=7"+〃（〃?*0）,A（/i,2），￡）（12，北）?則3（??一31）,由《，

l?r=7〃y+7?

得J2—2/>〃小-2"=0.所以y+北=22"入因為ADJ_8D?故瓦包）?瓦力=11.即上?一士”

m工2一?

=-1,所以工?上"=一1.所以紅孑=-2,作DMJ_AB垂足為M.則點D到直線才=，

mX2-p

的距離為田M=|4一及|.所以號紅=2.

【高三12月質量檢測?理科數學參考答案第2頁（共6頁）】

16.?+8）/'（i）=H—，則①1,“2是/'（1）=0,即的兩個根?則。力=g,所以Inax\=JTI,同理Inaq

=72?設言=I<Z>2）.則x2=5，代入Inax2=及,得Inaxx+InE=5?所以不=^zry,令〃=已4.則u=

，,（；二步工，令〃N/）=/—1—finf?則）n（Z）=—InfVO，所以"?（f）在［2,+oo）上單調遞減，所以〃?（f（2）=

l-21n2<0,所以〃=瞥在［2,+8）上單調遞減,所以0〈〃&1112；因為》|=/，所以〃?〃=€"，所以4=絲，易知

y=，在（O,ln2口上單調遞減,所以02記、,故a的取值范圍為［寸5.+8）.

17.解：（1）由asinA—csinC=（/;—c）sinB及正弦定理.得a2—c2=l：—bc.

所以〃+/一/=加，................................................................................2分

由IqA加+d一以21/v

所以cosA=-------------=5,............................................................................................................................................3o分

又A￡（0E）?所以八=字............................................................................4分

(2)由正弦定理."彳=-.b4=6y,,

smAsin15sinC

(27rx-,\v<)I]z-?

,psinI-7C/丁cos(丁丁sinC丙.

得立=^^=_L3-----L=_2---------2-------=V3,1_................................................................................7分

傳csinCsinCsinC2tanC十2'"

因為△?1比、為銳角三角形，所以

0<C<y,

所以￡〈?！淳恚?.....................................................8分

QOL

所以tan.所以qVj叵7，+J<2.即上的取值范圍為....................................10分

?5￡?乙1anL乙c乙

18.解：（1）法一:當4=0時，顯然AJL/z,且4與，2的交點為（-2,0）；...........................................................................1分

當局0時必與12的斜率分別為如=?，虬一a，...................................................................................................2分

Mr，2=-l?所以A-L'z?故對任意實數ad-Uz........................................................................................................3分

直線乙過定點A（—2,0）,/z過定點B<2,0），...............................................................................................................4分

設P（_r,y），則PAJ_PB,所以懣?勵=0,

2

所以<H+2）<H-2）+;y=0,BP/+J（2=4.

又點（2,0）不是A與心的交點，

故曲線C的方程為>+V=4Cr/2）............................................................................................................................6分

法二：（消參法）當月0時,由工一”+2=0,得。=嚀，代入az+y—2a=0/1^^@+.y一絲產=0,

化簡整理?得/+：/=4（'片0）,當y=0時口=2或才=-2.易驗證點（-2,0）符合條件.（2,0）不符合條件.故曲線C

的方程為/+，=4（_r工2）............................................................................................................................................6分

⑵圓E與曲線C的方程兩邊作差，得M+ny-2=0（工力2）,即為直線MN的方程.......................7分

因為IMN|=26,所以點O到直線MN的距離d=J二2'=］

即蘇+，產=4.①...........................................................................................................................................................9分

因為圓E的圓心（"/,〃）在直線》=伍7上?所以Ji=y/3m.②10分

【高三12月質量檢測?理科數學參考答案第3頁（共6頁）】

f/w=l.(m=-1,

①②聯立，并解得〈或《

l〃=Q,1〃=一焉，

伊=1,

當《時?直線MN的方程為/+倍丁一2=0?過(2?0)點，不合題意;

fm=-1,

當《時?直線MN的方程為"一痣丁+2=0?易驗證符合題意.

(7/=—\/3

故的值為-1.一4................................................................................................................................................12分

19.(1)解：當"=2時.m=^^.所以〃=3；...................................................................................................................1分

當侖3時…+號+…+谷=此尸，

與人+號+…+左與=三兩邊分別作差,得斜=鋁一吐尸，

化簡，得言=招心3),...........................................................................................................................................3分

所以當心3時,…X”■Xa2=1?Ux雜二…xjx3=2"-l,...........................................5分

顯然”=1.2時上式仍成立，故對任意正整數"皿,=2"—1........................................................................................6分

(2)證明：由(1)知02=3,所以仇=1,勿=2....................................................................................................................7分

因為仇+b+2=，所以以+，

InInn21n61rH6”6“+2=1

所以《4》為等比數列,且公比4=^=2,所以4=2，1,...............................................................................................8分

所以7,,=詈=2"—1....................................................................................................................................................9分

所以T,,+22,,+2+22+2

?T?+2=(2--1)(2"-1)=2-<2"+2")+1=2"-5X2"+1.

又2所以T?-分

01=<2?+'—1)2=2?+2—4*2?+1,TO+2<71+1................................................................................12

20.⑴證明:分別取PC.PD的中點G,F,連接BG.FG,EF,

因為F,G分別為PD,PC的中點,所以FG〃CD,且FG=]CD................................................................................1分

又E為AB的中點,所以BE〃CD,且BE=-^CD,

所以FG//BE.S.FG=BE.所以四邊形BEFG為平行四邊形.

所以EF〃BG?...................................................................................................................................................................2分

因為CD=PC=2,PD=2V?,所以PL^nPa+CD2,所以CDJ_PC,.......................................................................3分

又CDJ_BC.BC,PCU平面PBC.BC,nPC=C,

所以CD_L平面PBC.........................................................................................................................................................4分

又BGU平面PBC.所以CD±BG.

因為BC=PB,G為PC的中點,所以BGJ_PC,...............................................................................................................5分

因為EF〃BG.所以EFJ_CD.EFJ_PC.CD,PCU平面PCD,CDQPC=C,

所以EF_L平面PCD,又EFU平面PDE.所以平面PDEJ_平面PCD........................................................................6分

(2)解：由(1)知?！?gt;_1_平面PBC.XCDU平面ABCD.所以平面PBC_L平面ABCD.

分別取BC.AD的中點為O.H.連接PO.OH.則PO±BC.HO1.BC.

【高三12月質量檢測?理科數學參考答案第4頁(共6頁)】

因為平面PBCD平面ABCD=BC,POO平面PBC,

所以P（）_L平面ABCD,又OHU平面ABCD.所以P（）±OH...............................7分p

以直線OC.OH.OP分別為了軸軸.z軸建立如圖所示的空間直角坐標系?則

D（l,2,O）,A<-1.2,O）,E<-l,l,O）.P（o,O,5/3）?

所以尸D=(l,2,—)*ED=(2?1*0)?AD=(2?0?0)..........................................8分

[/??ED=0,]2]+y=0.

設平面PDE的一個法向量〃=(/,*),則<即《

?PD=0,[?r+2y—￡z=0.

令z=l?則y=-2,N=-6,故〃=(1,—2,一悟)；..................................................9分

[m?AD=0,12a=0,

設平面PAD的一個法向量/〃=(a,6,c)，則<即<

?PD=0,〔。+2〃一伍。=0,

令c=2?則a=0,〃=療?故/n=(0.6,2)，.........................................................10分

平?？_-44___76

所以cos<m.w>=

1*?1?1?177x78x/14肝

設二面角E~PD-A的大小為。，則sin0=/I—cos2<m.n>=y-......................................................12分

21.（1）解:由題意知

所以直線AB的方程為±+于=1.即6工一燈+2=0............................................................................................1分

因為FN-l,0）到AB的距離為.即寫然"=內兒.......................................2分

1Ja-1

所以73—1〉2=/+凡又不一〃=1,解得舍去），或a=2.

□

所以。2=4,〃2=3,........................................................................................................................................................3分

所以C的方程為亨+專=1......................................................................................................................................4分

⑵證明:橢圓。的3倍相似橢圓E的方程為苧+皆=35唱+卷=1,

設N5,y）,P（/2,北）?MQ3?。?Q（/i，M），...................................................5分

聯立，與C的方程.得，43'消去》并整理.得(3+4Q/+8癡/+4/—12=0,

1?=人+%

則4=6聯2m2-4(3+4萬)(4〃5-12)>0.即4^2+3>z/?2,

口1_8km_4〃產一12八

且?+"2-—3+4萬'44一3+4萬'......................................................................................................................6分

.II_q—v—75—\-------Ft8km_v1(——121_J4公+3——〃產

所fir以pI4一支I=，5+=>一5.n*(-34^2)-3+4必'=3+4^-7分

金+方=1

聯立/與E的方程.得<消去了并整理，得《3+4必）./+8A〃w+4"產—36=0.

1y=4/+"?,

_4裙一36

則心=-§+4笆，1314―3+4必，

所以Ig—力I=J(/3+力尸一4/3力="伍'1]/^9................................................................................8分

【高三12月質量檢測?理科數學參考答案第5頁（共6頁）】

所以八+,：=,卜八.所以線段NP.MQ的中點相同.

所=|PQ|..................................................................................................................................................9分

IM為-I'Q?VQ.WMQ-VQ=VQ-Z-Q.

所KI另府u\'A所以|MN|=NP|.BfWIMQl-3|NP|.................................................................................1。分

ucpiII_II>|?l/3yi2i-+9—?I_\CI/+3一

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W<12月質〈檢測?理科數學參考答案第6頁（共6頁）】

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17.（本小題滿分10分）

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