平行四邊形知識點及練習題及答案

一、選擇題

1.如圖，將5個全等的陰影小正方形擺放得到邊長為1的正方形ABCD,中間小正方形的

各邊的中點恰好為另外4個小正方形的一個頂點，小正方形的邊長為紇巨（。、b為正

b

整數(shù)），則a+6的值為（）

A.10B.11C.12D.13

2.如圖，正方形A8CO和正方形CEFG中，點。在CG上，BC=l,CE=3,H是

AE的中點，那么C”的長是（）

A.2B.-C.-73D.J5

22

3.如圖，在四邊形ABCD中，AB〃CD,ZBCD=90\AB=AD=10cm,BC=8cm,點P從點A

出發(fā)，以每秒3cm的速度沿折線A-B-C-D方向運動，點Q從點D出發(fā)，以每秒2cm的速度

沿線段DC方向向點C運動、已知動點P,Q同時出發(fā)，當點Q運動到點C時，點P,Q停

止運動，設(shè)運動時間為t秒，在這個運動過程中，若ABPQ的面積為20cm2,則滿足條件

的t的值有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.如圖，在正方形ABCD中，E，尸分別為BC,。。的中點，P為對角線AC上的一

個動點，則下列線段的長等于3P+EP最小值的是（）

A.ABB.CEC.ACD.AF

5.如圖，已知AABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,將直角邊AC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)至47,連

接8U,E為8（7的中點，連接CE,則CE的最大值為（）.

A.亞B.V2+1C.正+1D.且+1

22

6.如圖，正方形ABCD中，點E是AD邊的中點，BD、CE交于點H,BE、AH交于點G,

則下列結(jié)論：①AGJ_BE；②BE:BC=J^:2；③SABHE=SACHD;?ZAHB=ZEHD.其中正確的個

7.如圖，正方形ABCD（四邊相等、四內(nèi)角相等）中，AD=5,點E、F是正方形ABCD內(nèi)

的兩點，且AE=FC=4,BE=DF=3,則EF的平方為（）

12

A.2B.—C.3D.4

5

8.如圖，在AABC中，NABC和NACB的角平分線相交于點0.過點。作EF〃BC交AB于

E.交AC于F.過點。作ODJ_AC于D.下列五個結(jié)論：其中正確的有（）

（1）EF=BE+CF；（2）ZBOC=90°+—ZA；（3）點。到aABC各邊的距離都相等；

2

（4）設(shè)0D=m.若AE十AF=n,貝ljSMEF=mn；（5）SAAEF=SAFOC.

A.2個B.3個C.4個D.5個

9.如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，將ADE沿AE對折至

AFE，延長交BC于點G,連接AG.則BG的長（）

C.73D.3

10.如圖，RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,D是AB上一動點，過點D作

DEJ_AC于點E,DFJ_BC于點F,連結(jié)EF,則線段EF的長的最小值是（）

A.2.5B.2.4C.2.2D.2

二、填空題

11.如圖，正方形ABCD中，AB=4,E是BC的中點，點P是對角線AC上一動點，則

PE+PB的最小值為.

12.如圖，R3ABC中，NC=90°,AC=2,BC=5,點D是BC邊上一點且CD=1,點P是線段

DB上一動點，連接AP,以AP為斜邊在AP的下方作等腰RtZkAOP.當P從點D出發(fā)運動

至點B停止時，點。的運動路徑長為.

B

13.如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，若重合部分構(gòu)成的四邊形ABC。中,

AB=3,AC=2,則8。的長為.

14.已知：點B是線段AC上一點，分別以AB,BC為邊在AC的同側(cè)作等邊△A3。和等

邊BCE,點M,N分別是AD,CE的中點，連接MN.若AC=6,設(shè)BC=2,則線段MN的

長是.

15.如圖，在△ABC中，A8=3,AC=4,BC=5,P為邊BC上一動點，PE_LA8于E,

PF1.AC于F,則EF的最小值為.

16.在48C。中，4）=5,/胡￡）的平分線交CD于點E,NABC的平分線交CD于點

F,若線段EF=2,則AB的長為.

17.如圖，有一張矩形紙條ABCD,AB=10cm,BC=3cm,點M,N分別在邊AB,CD±,

CN=lcm.現(xiàn)將四邊形BCNM沿MN折疊，使點B,C分別落在點3'，C'上.在點M從

點A運動到點B的過程中，若邊M3'與邊CD交于點E,則點E相應運動的路徑長為

_____cm.

18.如圖，在平行四邊形ABCD中，AC_LAB,AC與BD相交于點0,在同一平面內(nèi)將4ABC

沿AC翻折，得到AABC若四邊形ABCD的面積為24cm2,則翻折后重疊部分（即SAACE）

的面積為cm2.

B'

19.如圖，矩形紙片ABCD,AB=5,BC=3,點P在BC邊上，將^CDP沿DP折疊，點C落

在點E處，PE,DE分別交AB于點。，F(xiàn),且OP=OF,則AF的值為.

20.已知：如圖，在A5c中，ADVBC,垂足為點。，BE上AC，垂足為點E，

M為A3邊的中點，連結(jié)ME、MD、ED，設(shè)43=4，NQ4C=3O。則

EM=；EZW的面積為，

A

三、解答題

21.如圖，在RrABC中，NACB=90。，過點C的直線MN〃A3,。為AB邊上一

點，過點。作￡>￡_LBC,交直線MN于E，垂足為尸，連接C。、BE

(1)當。在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形?說明你的理由；

(2)當。為AB中點時，乙4等于度時，四邊形BECD是正方形.

22.在一次數(shù)學探究活動中，小明對對角線互相垂直的四邊形進行了探究，得出了如下結(jié)

論：如圖1,四邊形ABCD的對角線4c與3。相交于點。，AC1BD,則

AB2+CD2=AD2+BC2-

(1)請幫助小明證明這一結(jié)論；

(2)根據(jù)小明的探究，老師又給出了如下的問題：如圖2,分別以RfAC8的直角邊

AC和斜邊A3為邊向外作正ACFG和正方形43OE,連結(jié)CE、BG、GE.已知

AC=4,AB=5,求GE的長，請你幫助小明解決這一問題.

23.已知：如圖，在aABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行

線交于BE的延長線于點F,且AF=DC,連接CF.

(2)如果AB=AC,試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論.

24.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB_LAC,對角線AC,BD相交于點0,將直線AC繞點

。順時針旋轉(zhuǎn)一個角度a(00<a<90°),分別交線段BC,AD于點E,F,連接BF.

(2)如圖2,當旋轉(zhuǎn)至90。時，判斷四邊形ABEF的形狀，并證明你的結(jié)論；

(3)若AB=1,BC=逐，且BF=DF,求旋轉(zhuǎn)角度a的大小.

25.如圖，M為正方形ABCO的對角線上一點.過M作BO的垂線交AD于E，連

BE,取BE■中點O.

(1)如圖1,連AO.MO,試證明ZAOM=90°；

（2）如圖2,連接AM、AO,并延長49交對角線BD于點N,試探究線段

DM、MN、NB之間的數(shù)量關(guān)系并證明；

（3）如圖3,延長對角線至Q延長至P，連CP,CQ若PB=2,PQ=9,且

NPCQ=135°,則PC=_.（直接寫出結(jié)果）

26.如圖，在正方形ABCD中，點E是8c邊所在直線上一動點（不與點B、C重合），過

點8作BF_LD￡,交射線DE于點F,連接CF.

備用圖

（1）如圖，當點E在線段8c上時，ZBDF=a.

①按要求補全圖形；

②NEBF=（用含a的式子表示）；

③判斷線段BF,CF,DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（2）當點E在直線BC上時，直接寫出線段BF,CF,DF之間的數(shù)量關(guān)系，不需證明.

27.定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連結(jié)它的兩個非直角頂點的線段叫

做這個損矩形的直徑。

（1）如圖1,損矩形ABCD,NABC=NADC=90°,則該損矩形的直徑是線段AC,同時我

們還發(fā)現(xiàn)損矩形中有公共邊的兩個三角形角的特點，在公共邊的同側(cè)的兩個角是相等的。

如圖1中：aABC和4ABD有公共邊AB,在AB同側(cè)有/ADB和/ACB,此時/ADB=

ZACB：再比如4ABC和4BCD有公共邊BC,在CB同側(cè)有/BAC和NBDC,此時NBAC=

ZBDC,請再找一對這樣的角來=

（2）如圖2,ZXABC中，NABC=90°,以AC為一邊向形外作菱形ACEF,D為菱形ACEF

的中心，連結(jié)BD,當BD平分NABC時，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形？請說明

理由。

（3）在第（2）題的條件下，若此時AB=3，BD=4五，求BC的長。

28.如圖，在四邊形。48c是邊長為4的正方形點P為。A邊上任意一點（與點0、A不

重合），連接CP,過點P作PM_LCP,且PM=CP,過點M作MN〃AO，交BO

于點M聯(lián)結(jié)BM、CN,設(shè)OP=x.

（1）當x=l時，點M的坐標為（，）

（2）設(shè)s四邊形avM8=y，求出）與x的函數(shù)關(guān)系式，寫出函數(shù)的自變量的取值范圍―

（3）在X軸正半軸上存在點。，使得QMN是等腰三角形，請直接寫出不少于4個符合

條件的點。的坐標（用工的式子表示）

29.（問題情境）

在△ABC中，AB=AC,點P為BC所在直線上的任一點，過點P作PD_LAB,PE1.AC,垂足

分別為D、E,過點C作CFJLAB,垂足為F.當P在BC邊上時（如圖1）,求證：

PD+PE=CF.

圖①圖②圖③

證明思路是：如圖2,連接AP,由小ABP與aACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：

PD+PE=CF.（不要證明）

（變式探究）

當點P在CB延長線上時，其余條件不變（如圖3）.試探索PD、PE、CF之間的數(shù)量關(guān)系并

說明理由.

請運用上述解答中所積累的經(jīng)驗和方法完成下列兩題：

（結(jié)論運用）

如圖4,將長方形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點C處，點P為折痕EF

上的任一點，過點P作PG_LBE、PHXBC,垂足分別為G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH

的值;

4

在直角坐標系中.直線h:y=-§x+4與直線匕：y=2x+4相交于點A,直線鼠匕與x軸分別

交于點B、點C.點P是直線12上一個動點，若點P到直線h的距離為1.求點P的坐標.

30.在四邊形A8CD中，對角線AC、8。相交于點O,過點。的直線EF,G”分別交邊

AB,CD,AD.BC于點￡、F、G、H.

（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如圖①，若四邊形A8CD是正方形，且EFLGH,易知5ABOE=5AAOG，又因

為SA40B=-5㈣邊彩48cO,所以Sn>hKAEOG=_____S正方形48cO；

4

（2）類比探究：如圖②，若四邊形ABCD是矩形，且5四邊修AEOG=-S旭彩A8co，若A8=a,

4

AD=b,BE=m,求AG的長（用含a、b、m的代數(shù)式表示）；

（3）拓展遷移：如圖③，若四邊形A8CD是平行四邊形，且5幅邊柩AEOG=』SMBCO,若AB=

【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除

一、選擇題

1.B

解析：B

【解析】

【分析】

通過小正方形的邊長表示出大正方形的邊長，再利用a、b為正整數(shù)的條件分析求解.

【詳解】

解：由題意可知，AD=2x佇也+Y2x紇也=1

b2b

：.(4a-2)-(4-a)V2=2Z?

la、b都是正整數(shù)

.".4—67=0,4a-2=2b

a=4,b=7

a+b=l1

故選：B.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)以及有理數(shù)、無理數(shù)的性質(zhì)，表示出大正方形的邊長利用有理

數(shù)、無理數(shù)的性質(zhì)求出a、b是關(guān)鍵.

2.D

解析：D

【分析】

連接AC、CF,根據(jù)正方形性質(zhì)求出AC、CF,NACD=/GCF=45°,再求出NACF=90°,然

后利用勾股定理列式求出AF,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可.

【詳解】

如圖，連接AC、CF,

「正方形ABCD和正方形CEFG中,BC=1,CE=3,

；.AC=0,CF=3A/2-ZACD=ZGCF=45°,

AZACF=90°,由勾股定理得，AF=VAC2-CF2=25/5>

是AF的中點，；.CH=LAF=LX26=J?.

22

故選D.

【點睛】

本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理,

熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵.

3.B

解析：B

【解析】

【分析】

過A作AHLOC,由勾股定理求出CW的長.然后分三種情況進行討論：即①當點P在線段

A8上，②當點P在線段BC上，③當點P在線段C。上，根據(jù)三種情況點的位置，可以確

定t的值.

【詳解】

解：過A作AH_LDC,:.AH=BC=8cm,DH=y/AD2-AH2=7100-64=6.

j)當P在陽上時，即。"《時，如圖，SBPQ=^BP.BC^-3^=20,解

<長6時，BP=3t-10,CQ=16-2t,

SM2=：BP-CQ=g(3f-10)x(16-2f)=20,化簡得：3t2-34t+100=0,A=-44<0,/.

34

iii）當P在線段CD上時，若點P在線段C。上，若點P在Q的右側(cè)，即64仁三，則有

1?9

PQ=34-5t,SBPQ=-(34-50x8=20,t=—<6(舍去)；

25

341

若點P在Q的左側(cè)時，即一V，K8,則有PQ=5t-34,5切。=一（5，-34）x8=20；

5Q2

t=7.8.

綜上所述：滿足條件的t存在，其值分別為t2=7.8.

3

故選B.

【點睛】

本題是平行四邊形中的動點問題，解決問題時，一定要變動為靜，將其轉(zhuǎn)化為常見的兒何

問題，再進行解答.

4.D

解析：D

【解析】

【分析】

連接DP,當點D,P,E在同一直線上時，由APCFZAPCB可得DP=BP,3P+"（的最小值

為DE長，依據(jù)△ADFW^DCE,AF=DE,即可得到3P+最小值等于線段AF的長.

【詳解】

解：如圖，連接DP,

VPC=PC,ZPCD=ZPCB=45°

.'.△PCF^APCB

，BP=DP

BP+PE=DP+PE

二當點D,P,E在同一直線上時，BP+EP的最小值為DE長，

又：AB=CD,ZADF=ZECD,DF=EC,

.".△ADF^ADCE

；.AF=DE,

3P+EP最小值等于線段AF的長，

故選：D.

【點睛】

本題考查的是軸對稱，最短路線問題，根據(jù)題意作出A關(guān)于BD的對稱點C是解答此題的

關(guān)鍵.

5.B

解析：B

【分析】

取AB的中點/W,連接CM,,當CE=CM+EM時,CE的值最大，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到

AC=AC=2,由三角形的中位線的性質(zhì)得到EM=，AC，=1,根據(jù)勾股定理得到

2

AB=2近,即可得到結(jié)論.

【詳解】

取AB的中點M,連接CM,EM,.?.當CE=CM+EM時，CE的值最大.

:將直角邊AC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)至4747=47=2.

:E為BC'的中點，,E/W=LAC=1.

2

ZACB=90°,AC=BC=2，二AB=2&，,CM=-48=72，,CE=CM+EM=O+1.

【點睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正確的作出輔助線

是解題的關(guān)鍵.

6.D

解析：D

【分析】

首先根據(jù)正方形的性質(zhì)證得4BAE絲ZSCDE,推出NABE=/DCE,再證

△ADH^ACDH,求得NHAD=NHCD,推出NABE=NHAD：求出NABE+NBAG=

90°;最后在AAGE中根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°求得NAGE=90°即可得到①正確；

因為點E是AD邊的中點，求出AB=2AE,BE=J^AE

即可求得BE:BC=6:2,故②正確；

根據(jù)AD〃BC,求出SABDE=SACDE,推出SABDE-SADEH=SACDE-SADEH,

即；SABHE=SACHD,故③正確；

由NAHD=NCHD,得到鄰補角和對頂角相等得到NAHB=NEHD,故④正確

【詳解】

?.?四邊形ABCD是正方形，E是AD邊上的中點,

；.AE=DE,AB=CD,ZBAD=ZCDA=90°,

在4BAE和4CDE中

AE=DE

<NBAE=NCDE

AB=CDA

/.△BAE^ACDE(SAS),

；./ABE=/DCE,

?.?四邊形ABCD是正方形，

，AD=DC,ZADB=ZCDB=45°,

?.,在4ADH和aCDH中，

AD=CD

<ZADH=NCDH

DH=DH

AAADH^ACDH(SAS),

；./HAD=/HCD,

VZABE=ZDCE

ZABE=ZHAD,

VZBAD=ZBAH+ZDAH=90°,

.".ZABE+ZBAH=90°,

；./AGB=180°-90°=90°,

AAG±BE,故①正確；

?.?點E是AD邊的中點，

AB=2AE,

/.BE=75AE

；.BE:BC=J^:2,故②正確；

*.*AD//BC,SABDE=SACDE,

ASABDE-SADEH=SACDE-SADEH,

即；SABHE=SACHD,故③正確；

VAADH^ACDH,

JNAHD=NCHD,

.\ZAHB=ZCHB,

VZBHC=ZDHE,

AZAHB=ZEHD,故④正確；

故選：D.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握其性質(zhì).

7.A

解析：A

【分析】

根據(jù)AB=5,AE=4,BE=3,可以確定4ABE為直角三角形，延長BE構(gòu)建出直角三角形,

在利用勾股定理求出EF的平方即可.

【詳解】

?.?四邊形ABCD是正方形，

；.AB=BC=CD=AD=5,

如圖，延長BE交CF于點G,

VAB=5,AE=4,BE=3,

.\AE2+BE2=AB2

/.△ABE是直角三角形，

同理可得ADFC是直角三角形，

VAE=FC=4,BE=DF=3,AB=CD=5,

.?.△ABE^ACDF,

ZBAE-ZDCF,

ZABC=ZAEB=902,

.,.ZCBG=ZBAE,

同理可得，ZBCG=ZCDF=ZABE,

△ABE^ABCG,

；.CG=BE=3,BG=AE=4,

；.EG=4-3=1,GF=4-3=L

.\EF2=EG2+GF2=1+1=2

故選擇:A

【點睛】

此題考查三角形的判定，勾股定理的運用，根據(jù)已知條件構(gòu)建直角三角形求值是解題的關(guān)

鍵.

8.B

解析：B

【分析】

由在AABC中，NA8C和/4CB的平分線相交于點0,根據(jù)角平分線的定義與三角形內(nèi)

角和定理，即可求得②/8。。=90°+,/4正確；由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得

2

出ABEO和△CEO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正確；由角平分線定理與三角

形面積的求解方法，即可求得③設(shè)0。=〃?，AE+AF^n,則加〃，故③錯

誤；E、尸不可能是三角形48c的中點，則族不能為中位線故④正確.

【詳解】

解：在A48c中，NA8C和44CB的平分線相交于點。，

ZOBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB,zS4+ZABC+ZACB=180°,

22

NOBC+NOCB=90°--ZA,

2

ZBOC=180°-（ZOBC+ZOCB）=90°+-ZA；故（2）正確；

2

在418c中，NABC和NACB的平分線相交于點O,

:.ZOBC=ZOBE,/OCB=/OCF,

EFIIBC，

:"OBC=NEOB,ZOCB=ZFOC,

ZEOB=Z.OBE,ZFOC=ZOCF,

：.BE=OE,CFOF,

EF=OE+OF=BE+CF,

故（1）正確；

過點。作于M，作ONJ.BC于N,連接。4,

在AABC中，NABC和NACB的平分線相交于點O,

:.ON=OD=OM=m,

=S^OE+S^OF=1AEfOM+^AFOD=^OmAE+AF）=^nm.故（3）正確,

（4）錯誤；

S/iEOB=_BEOM,SA0CF=—FCOD,

OM=OD,破不一定等于CF,

?\SAEOB不一定等于Sf”.故（5）錯誤，

綜上可知其中正確的結(jié)論是（1）（2）（3）,

故選：B.

【點睛】

此題考查了三角形中位線定理的運用，以及平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì).此

題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應用.

9.B

解析：B

【分析】

首先證明AB=AF=AD,然后再證明NAFG=90°,接下來，依據(jù)HL可證明△ABGg^AFG,

得至BG=FG,再利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2,進而求出BG即可.

【詳解】

解:在正方形ABCD中,AD=AB=BC=CD,ZD=ZB=ZBCD=90",

?.?將4ADE沿AE對折至aAFE,

；.AD=AF,DE=EF,ZD=ZAFE=90°,

，AB=AF,/B=/AFG=90°,

XVAG=AG,

在RtAABG和RtAAFG中，

AG=AG

AB=AF

.".△ABG^AAFG(HL)；

；.BG=FG(全等三角形對應邊相等)，

設(shè)BG=FG=x,則GC=6-x,

為CD的中點，

；.CE=EF=DE=3,

；.EG=3+x,

...在RtdCEG中，32+(6-x)2=(3+x)2(勾股定理)，

解得x=2,

；.BG=2,

故選B.

【點睛】

此題主要考查了勾股定理的綜合應用、三角形全的判定和性質(zhì)以及翻折變換的性質(zhì)，根據(jù)

翻折變換的性質(zhì)得出對應線段相等是解題關(guān)鍵.

10.B

解析：B

【分析】

連接CD,利用勾股定理列式求出AB,判斷出四邊形CFDE是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等

可得EF=CD,再根據(jù)垂線段最短可得CD_LAB時，線段EF的值最小，然后根據(jù)三角形的面

積公式列出方程求解即可.

【詳解】

如圖，連結(jié)CD.

A

Wx

CFB

VZACB=90°,AC=3,BC=4,

???AB=JAC2+8C2=5.

VDE1AC,DF±BC,ZACB=90°,

四邊形CFDE是矩形，，EF=CD.

由垂線段最短可得CD,AB時，線段EF的長最小，

此時，SABC=—BCAC=—ABCD,

A22

即X4X3=—X5CD,

22

解得CD=2.4,；.EF=2.4.

故選B.

【點睛】

本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，勾股定理，判斷出CD_LAB時，線段

EF的值最小是解題的關(guān)鍵，難點在于利用三角形的面積列出方程.

二、填空題

11.275

【詳解】

由于點B與點D關(guān)于AC對稱，所以如果連接DE,交AC于點P,那PE+PB的值最小.在

RtACDE中，由勾股定理先計算出DE的長度，即為PE+PB的最小值.連接DE,交AC于點

P,連接BD.

1.點B與點D關(guān)于AC對稱，

.DE的長即為PE+PB的最小值,

AB=4,E是BC的中點,

/.CE=2,

在RtZkCDE中，DE=2石.

考點：（1）、軸對稱-最短路線問題；（3）、正方形的性質(zhì).

12.2加

【解析】

分析：過。點作OE_LCA于E,OFJ_BC于F,連接CO,如圖，易得四邊形OECF為矩形，

由AAOP為等腰直角三角形得至!jOA=OP,NAOP=90。，則可證明AOAE也△OPF,所以

AE=PF,OE=OF,根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理得到CO平分NACP,從而可判斷當P

從點D出發(fā)運動至點B停止時，點。的運動路徑為一條線段，接著證明

CE=g(AC+CP),然后分別計算P點在D點和B點時0C的長，從而計算它們的差即可得

到P從點D出發(fā)運動至點B停止時，點。的運動路徑長.

詳解：過。點作OE_LCA于E,OF_LBC于F,連接CO,如圖，

???△AOP為等腰直角三角形，

，OA=OP,NAOP=90°,

易得四邊形。ECF為矩形，

ZEOF=90°,CE=CF,

.".ZAOE=ZPOF,

.".△OAE^AOPF,

；.AE=PF,OE=OF,

/.CO平分NACP,

???當P從點D出發(fā)運動至點B停止時，點。的運動路徑為一條線段，

VAE=PF,

即AC-CE=CF-CP,

而CE=CF,

1,、

；.CE=—(AC+CP),

2

LJ?

.?.OC=V^CE=^(AC+CP),

當AC=2,CP=CD=1時，0C=—x(2+1),

22

當AC=2,CP=CB=5時，0C=—x(2+5)=2^1,

22

.?.當P從點D出發(fā)運動至點B停止時，點0的運動路徑長=2a-XI=2五.

22

故答案為20.

點睛：本題考查了軌跡：靈活運用幾何性質(zhì)確定圖形運動過程中不變的幾何量，從而判定

軌跡的幾何特征，然后進行幾何計算.也考查了全等三角形的判定與性質(zhì).

13.472

【分析】

首先由對邊分別平行可判斷四邊形ABCD為平行四邊形，連接AC和BD,過A點分別作DC

和BC的垂線，垂足分別為F和E,通過證明4AD這△ABC來證明四邊形ABCD為菱形，

從而得到AC與BD相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD長度.

【詳解】

解：連接AC和BD,其交點為。，過A點分別作DC和BC的垂線，垂足分別為F和E,

ABIICD,ADIIBC,

...四邊形ABCD為平行四邊形，

ZADF=ZABE,

???兩紙條寬度相同，

AF=AE,

'NADF=NABE

<ZAFD=NAEB=90°

AF=AE

ADF2△ABE,

AD=AB,

四邊形ABCD為菱形,

AC與BD相互垂直平分，

BD=2ylAB2-AO2=4V2

故本題答案為：472

【點睛】

本題考察了菱形的相關(guān)性質(zhì)，綜合運用了三角形全等和勾股定理，注意輔助線的構(gòu)造一定

要從相關(guān)條件以及可運用的證明工具入手，不要盲目作輔助線.

14.V21

【分析】

如圖（見解析），先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)可得

ME//AB,ME=A8=4,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NFEM=ZC=60°,然后利用直角

三角形的性質(zhì)、勾股定理可得EP=2,“/=26，從而可得FN=3,最后在RfFMN

中，利用勾股定理即可得.

【詳解】

如圖，連接ME,過點交CE延長線于點F,

和3CE都是等邊三角形，BC=2,

ZA=NCBE=ZC=60°,BE=CE=BC=2,AD=AB,

：.AD//BE,

AC=6,

:.AD—AB=6—2—4,

點M,N分別是AD,CE的中點，

.-.AM=-AD=2,EN=-CE=1,

22

：.AM=BE,

二四邊形ABEM是平行四邊形，

:.ME//AB,ME=AB=4,

NFEM=NC=60。，

在Rt/XEFM中，ZEMF=90°-60°=30°,

EF=-ME=2,MF=JME?-EF?=2A/3,

2

:.FN=EN+EF=\+2=3,

則在用FMN中,MN=J*+MF=J32+(2后=后，

故答案為：V21.

【點睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)

等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形和平行四邊形是解題關(guān)鍵.

15.4

【分析】

根據(jù)三個角都是直角的四邊形是矩形，得四邊形AEPF是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等，

得EF=AP,則EF的最小值即為AP的最小值，根據(jù)垂線段最短，知：AP的最小值即等于

直角三角形A8C斜邊上的高.

【詳解】

解:連接AP,

,在aABC中，AB=3,AC=4,BC=5,

：.AB2+AC2=BC2,

即NB4C=90°.

X'.'PEJ-AB于E,PF±AC于F,

.??四邊形AEPF是矩形，

EF=AP,

■■■AP的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高,

設(shè)斜邊上的高為h,

則SAABCM’BC/ZMIAB-AC

22

1-1…

—x5-/?=—x3x4

22

，h=2.4,

EF的最小值為2.4,

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性質(zhì)的應用，要能夠把

要求的線段的最小值轉(zhuǎn)化為便于求的最小值得線段是解此題的關(guān)鍵.

16.8或12

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到BC=AD=5,ZBAE=ZDEA,ZABF=ZBFC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)

得至I」DE=AD=5,CF=BC=5,即可求出答案.

【詳解】

在4BCD中，AB〃CD,BC=AD=5,

AZBAE=ZDEA,ZABF=ZBFC,

,//班。的平分線交CD于點E,

AZBAE=ZDAE,

NDAE=NDEA,

；.DE=AD=5,

同理：CF=BC=5,

；.AB=CD=DE+CF-EF=5+5-2=8或AB=DE+CF+EF=5+5+2=12,

故答案為：8或12.

【點睛】

此題考查平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的等角對等邊的判定，解題中

注意分類思想的運用，避免漏解.

17.V10-1

【分析】

探究點E的運動軌跡，尋找特殊位置解決問題即可.

【詳解】

如圖1中，當點M與A重合時，AE=EN,設(shè)AE=EN=xcm,

在RtZkADE中,則有X2=32+(9-x)2,解得x=5,

：.DE=10-1-5=4(cm),

如圖2中，當點M運動到時，DF的值最大，DE'=10-1-3=6(cm),

圖2

如圖3中，當點M運動到點￡落在CD時，

NB'=\lc'N2+C'B'2=712+32=Vio

DB'（即DE"）=10-1-Vio=（9-屈）（cm）,

Cf

DC

--------------V：------4

AMB

圖3

，點E的運動軌跡E3F玲卜，運動路徑=￡￡+￡8，=6-4+6-(9-何)=(J15—1)

(cm).

故答案為：Vio-i.

【點睛】

本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運

用所學知識解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

18.6

【分析】

由折疊的性質(zhì)可得/BAC=NB'AC=90",AB=AB',SAABC=SAAB，C=12cm2,可證點B,點A,點

B'三點共線，通過證明四邊形ACDB，是平行四邊形，可得B，E=CE,即可求解.

【詳解】

解：；四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB〃CD,SABC=-x24=12cm2,

A2

?.?在同一平面內(nèi)將aABC沿AC翻折，得到aAB'C,

2

/BAC=/B'AC=90°,AB=AB',SAABC=SAA8'c=12cm,

AZBAB'=180",

...點B點A，點B'三點共線,

：AB〃CD,AB'〃CD,

四邊形ACDB，是平行四邊形，

.\B'E=CE,

.1,

??SAACE=_SAAB'c=6cmz,

2

故答案為：6.

【點睛】

本題考查了翻折變換，平行四邊形的判定和性質(zhì)，證明點B,點A,點&三點共線是本題

的關(guān)鍵.

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出DC=DE、CP=EP,由"AAS"可證AOEF絲△OBP,可得出OE=OB、

EF=BP,設(shè)EF=x,則BP=x、DF=5-x、BF=PC=3-x,進而可得出AF=2+x,在RtADAF中,利用

勾股定理可求出x的值，即可得AF的長.

【詳解】

解：.將4CDP沿DP折疊，點C落在點E處，

；.DC=DE=5,CP=EP.

在aOEF和△OBP中，

NEOF=NBOP

<=NE=90,

OP=OF

.".△OEF^AOBP(AAS),

，OE=OB,EF=BP.

設(shè)EF=x,則BP=x,DF=DE-EF=5-x,

又?；BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC,PC=BC-BP=3-x,

，AF=AB-BF=2+x.

在RtZXDAF中，AF2+AD2=DF2,

(2+x)2+32=(5-x)2,

故答案為：—

7

【點睛】

本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應用，解題

時常常設(shè)要求的線段長為X,然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段

的長度，選擇適當?shù)闹苯侨切危\用勾股定理列出方程求出答案.

20.2V3

【分析】

根據(jù)EM是Rt^ABE斜邊上的中線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可

求出的長；根據(jù)已知條件推導出DME是等邊三角形,且邊長為2,進一步計算即

可得解.

【詳解】

解：M為邊的中點，AB=4

.,.在RtAASZ）中，DM=AM=—AB=—x4=2

22

同理，在HrAABE中，EM=AM=

22

:.ZMDA二ZMAD，ZMEA=ZMAE

,/ABME=ZMEA+AMAE=2ZMAE，ABMD=AMDA+AMAD=2ZMAD

???ZDME=ZBME-ZBMD

=2ZMAE-2ZMAD

=2(NMAE-NMAD)

=2ZQ4c

=60°

"：DM=EM

，DME是等邊三角形,且邊長為2

SEDM=gx2x石=6

故答案是：2；￡

【點睛】

本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、三角形的外角定理、角的和差以及等邊三角

形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點是進行推理論證的前提.

三、解答題

21.(1)四邊形8EC。是菱形，理由見解析；(2)45°

【分析】

(1)先證明AC//0E,得出四邊形8ECD是平行四邊形，再"根據(jù)直角三角形斜邊上的

中線等于斜邊的一半”證出CD=BD,得出四邊形BECD是菱形；

(2)先求出NA5C=45°,再根據(jù)菱形的性質(zhì)求出NDBE=90°,即可證出結(jié)論.

【詳解】

解：當點。是A8的中點時，四邊形BECD是菱形；理由如下：

?/DE1BC，

NDFE=90°,

?；ZACB=90°,

：.ZACB=ZDFB,

ACI/DE,

,:MNIIAB,^CEUAD,

???四邊形AOEC是平行四邊形，

/.CE=AD：

QO為A3中點，

AD=BD，

:.BD=CE,

???BD//CE,

???四邊形BECO是平行四邊形，

VZACB=9Q°,。為AB中點，

：.CD=-AB=BD,

2

，四邊形BEC。是菱形；

(2)當NA=45°時，四邊形BECD是正方形；理由如下：

?；Z4C8=90。，ZA=45。，

:.ZABC=45°,

?.?四邊形BECD是菱形,

：.ZABC=-ZDBE,

2

NOBE=90°,

二四邊形BECD是正方形.

故答案為：45°.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性質(zhì)；根據(jù)題意證明線段

相等和直角是解決問題的關(guān)鍵.

22.(1)證明見解析；

(2)歷.

【分析】

22

(1)由題意根據(jù)勾股定理分別表示出AB-+CD,AD+BO?進行分析求證即可；

(2)根據(jù)題意連接CG、BE,證明4GAB絲Z\CAE,進而得BG_LCE,再根據(jù)(1)的結(jié)論進

行分析即可求出答案.

【詳解】

解：(1)VACXBD,

AZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

由勾股定理得，

AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

???AD2+BC2=AB2+CD2；

(2)連接CG、BE,如圖2,

：NCAG=/BAE=90°,

ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即ZGAB=ZCAE,

^EAGAB和ACAE中，

AG^AC

<NGAB=NCAE,

AB=AE

.,.△GAB^ACAE(SAS),

ZABG=ZAEC,

又NAEC+NAME=90°,

AZABG+ZAME=90°,即CEJ_BG,

由(1)得，CG2+BE2=CB2+GE2，

VAC=4,AB=5,

，BC=3,CG=40,BE=5V5，

GE2=CG2+BE2-CB2=73，

--.GE=7T3.

【點睛】

本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應用，

熟練并正確理解全等三角形的判定和性質(zhì)以及靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

23.(1)見詳解：(2)四邊形ADCF是矩形；證明見詳解.

【分析】

(1)可證4AFE絲aDBE,得出AF=BD,進而根據(jù)AF=DC,得出D是BC中點的結(jié)論；

(2)若AB=AC,則AABC是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知ADJ_BC；而

AF與DC平行且相等，故四邊形ADCF是平行四邊形，又ADJ_BC,則四邊形ADCF是矩

形.

【詳解】

(1)證明：：E是AD的中點，

；.AE=DE.

VAF//BC,

ZFAE=ZBDE,ZAFE=ZDBE.

在4AFE和4DBE中，

ZAE=NBDE

<ZAFE=NDBE

AE=DE

/.△AFE^ADBE(AAS).

；.AF=BD.

VAF=DC,

.,.BD=DC.

即：D是BC的中點.

(2)解：四邊形ADCF是矩形；

證明：：AF=DC,AF〃DC,

，四邊形ADCF是平行四邊形.

VAB=AC,BD=DC,

；.AD_LBC即NADC=90°.

平行四邊形ADCF是矩形.

【點睛】

此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形、矩形的判定

等知識綜合運用.解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的判定方法，以及全等三角形的判定和性質(zhì)

進行證明.

24.(1)證明見解析；(2)平行四邊形，理由見解析；(3)45°

【分析】

(1)由平行四邊形的性質(zhì)得出NOAF=NOCE,OA=OC,進而判斷出MOF絲△COE,即可

得出結(jié)論；

(2)先判斷出ZBAC=NAOF,得出A8〃EF,即可得出結(jié)論；

(3)先求出AC=2,進而得出A=1=A8,即可判斷出AAB。是等腰直角三角形，進一步

判斷出ABFD是等腰三角形，利用等腰三角形的三線合一得出/BOF=90。，即可得出結(jié)

論.

【詳解】

(1)證明：在eABCD中，AD//BC,

：./OAF=NOCE,

'：OA=OC,ZAOF^ZCOE,

：./\AOF^/\COE(