2024年中考數學專題復習：實際問題與二次函數之拱橋問題1．嵊州大橋橋面上有兩個完全相同的拱形鋼梁，每一個拱形鋼梁可看作拋物線的一部分，如圖是大橋的側面示意圖，橋面長米．點是橋面的中點，鋼梁最高點，離橋面的高度均為米．以橋面所在的直線為軸，過點且垂直于的直線為軸建立平面直角坐標系．(1)求過點，，三點的拋物線表達式．(2)“嵊州大橋”四個字標注在離橋面高度為米的拱形鋼梁的點處（點在點的左側），小明從點動身在橋面上勻速前行，半分鐘后到達點正下方的點處，則小明通過橋面需多少分鐘？2．如圖是某懸索橋示意圖，其建筑原理是在兩邊高大的橋塔之間，懸掛著主索，再以相等的間隔，從主索上設置豎直的吊索，與橋面垂直，并連接橋面，承接橋面的重量，主索的幾何形態近似符合拋物線．己知兩橋塔橋面以上高度，間距為，主索最低點為點P，點P距離橋面為．(1)請你建立適當的平面直角坐標系，求出主索拋物線的表達式；(2)求吊索的長度．3．如圖，隧道的截面由拋物線AED和矩形ABCD構成，矩形的一邊BC為8m，另一邊AB為2m，以BC所在的直線為x軸，線段BC垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，y軸是拋物線的對稱軸，頂點E到坐標原點O的距離為6m．(1)求此拋物線對應的函數表達式；(2)假如該隧道內設雙行道，現有一輛貨運車的高為4.3m，寬為2.4m，問這輛貨運車能否在一側行道內通過該隧道？4．如圖，三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，兩小孔外形、大小都相同．正常水位時，大孔水面寬度AB=20米，頂點M距水面6米（即MO=6米），小孔頂點N距水面4.5米（即NC=4.5米）．當水位上漲剛好沉沒小孔時，借助圖中的直角坐標系，求(1)大孔拋物線形的解析式；(2)此時大孔的水面寬度EF．5．如圖，是一座古拱橋的截面圖，拱橋橋洞的上沿是拋物線外形，當水面的寬度為10m時，橋洞與水面的最大距離是5m．(1)建立如圖的直角坐標系，求拋物線的解析式；(2)一艘貨船寬8m，水面兩側高度2m，能否平安通過此橋？6．如圖，一座溫室試驗室的橫截面由拋物線和矩形組成，矩形的長是16m，寬是4m．依據圖中所示的直角坐標系，拋物線可以用y=-x2+bx+c表示，CD為一排平行于地面的加濕管．(1)求拋物線的函數關系式，并計算出拱頂到地面的距離．(2)若加濕管的長度至少是12m，加濕管與拱頂的距離至少是多少米？(3)若在加濕管上方還要再安裝一排恒溫管(兩排管道相互平行)，且恒溫管與加濕管相距1.25m，恒溫管的長度至少是多少米？7．如圖，是拋物線形溝渠，當溝渠水面寬度6m時，水深3m，當水面上升1m時，水面寬度為多少米？8．如圖是一座拋物線形的拱橋，拱橋在豎直平面內，與水平橋相交于A，B兩點，拱橋最高點C到AB的距離為9m，AB＝36m，D，E為拱橋底部的兩點，DEAB．(1)以C為原點，以拋物線的對稱軸為y軸建立直角坐標系，求出此時拋物線的解析式．（忽視自變量取值范圍）(2)若DE＝48m，求E點到直線AB的距離．9．一座拱型橋，橋下水面寬度是20米，拱高是4米．若水面上升3米至．則水面寬度是多少？（1）如圖①，若把橋拱看作是拋物線的一部分，求的長；（2）如圖②，若把橋拱看作是圓的一部分，求的長．10．如圖，隧道的截面由拋物線和矩形構成，矩形的長為12m，寬為4m，依據如圖所示建立平面直角坐標系，拋物線可以表示為（1）求拋物線的函數表達式，并計算出拱頂E到地面BC的距離；（2）一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后，高6m，寬為4m，假如隧道內設雙向車道，那么這輛貨車能否平安通過?（3）在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，假如燈離地面的高度不超過8m，那么兩排燈的水平距離最小是多少米?11．如圖，在一次足球訓練中，球員小王從球門前方起腳射門，球的運行路線恰是一條拋物線，當球飛行的水平距離是時，球到達最高點，此時球高約．（1）求此拋物線的解析式；（2）已知球門高，問此球能否射進球門？12．如圖，隧道的截面由拋物線AED和矩形ABCD構成，矩形的長BC為8m，寬AB為2m，以BC所在的直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系（如圖），y軸是拋物線的對稱軸，頂點E到坐標原點O的距離為6m．（1）求拋物線的解析式；（2）現有一輛貨運卡車，高4.4m，寬2.4m，它能通過該隧道嗎？13．有一個截面邊緣為拋物線形的拱形橋洞，橋洞離水面的最大高度為4m，跨度為10m．把它的截面邊緣的圖形放在如圖所示的直角坐標系中．（1）直接寫出拋物線的頂點坐標；（2）求這條拋物線所對應的函數關系式；（3）如圖，在對稱軸右邊2m處，橋洞離水面的高是多少？14．施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的大路隧道，其高度為8米，寬度OM為16米．現以O點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系（如圖1所示）．（1）求出這條拋物線的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）隧道下的大路是雙向行車道（正中間是一條寬1米的隔離帶），其中的一條行車道能否行駛寬3.5米、高5.8米的特種車輛？請通過計算說明；（3）施工隊方案在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”CDAB，使A．D點在拋物線上．B、C點在地面OM線上（如圖2所示）．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、DC的長度之和的最大值是多少，請你幫施工隊計算一下．15．小明將他家鄉的拋物線型彩虹橋按比例縮小后，繪制成如下圖所示的示意圖，圖中的三條拋物線分別表示橋上的三條鋼梁，x軸表示橋面，y軸經過中間拋物線的最高點，左右兩條拋物線關于y軸對稱，經過測算，右邊拋物線的表達式為．（1）直接寫出左邊拋物線的解析式；（2）求拋物線彩虹橋的總跨度AB的長；（3）若三條鋼梁的頂點M、E、N與原點O連成的四邊形OMEN是菱形，你能求出鋼梁最高點離橋面的高度OE的長嗎？假如能，請寫出過程；假如不能，請說明理由．16．一隧道內設雙行大路，隧道的高MN為6米．下圖是隧道的截面示意圖，并建立如圖所示的直角坐標系，它是由一段拋物線和一個矩形CDEF的三條邊圍成的，矩形的長DE是8米，寬CD是2米．（1）求該拋物線的解析式；（2）為了保證平安，要求行駛的車輛頂部與隧道頂部至少要有0.5米的距離．若行車道總寬度PQ（居中，兩邊為人行道）為6米，一輛高3.2米的貨運卡車（設為長方形）靠近最右邊行駛能否平安？請寫出推斷過程；（3）施工隊方案在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”ABHG，使H、G兩點在拋物線上，A、B兩點在地面DE上，設GH長為n米，“腳手架”三根木桿AG、GH、HB的長度之和為L，當n為何值時L最大，最大值為多少？17．有一座拋物線型拱橋，在正常水位時水面的寬為18米，拱頂離水面的距離為9米，建立如圖所示的平面直角坐標系.（1）求此拋物線的解析式；（2）一艘貨船在水面上的部分的橫斷面是矩形.①假如限定矩形的長為12米，那么要使船通過拱橋，矩形的高不能超過多少米？②若點，都在拋物線上，設，當的值最大時，求矩形的高.18．如圖隧道的截面由拋物線和長方形構成，長方形的長是8m，寬是2m．依據圖中所示的直角坐標系，拋物線可以用y＝x2+bx+c表示，且拋物線上的點C到OB的水平距離為2m，到地面OA的距離為5m．(1)求拋物線的函數關系式，并計算出拱頂D到地面OA的距離；(2)該隧道內設雙行道，一輛貨車高4m，寬2.5m，能否平安通過，為什么？19．利川市南門大橋是上世紀90年月修建的一座石拱橋，其主橋孔的橫截面是一條拋物線的一部分，2024年在修理時，施工隊測得主橋孔最高點到水平線的高度為.寬度為.如圖所示，現以點為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系.（1）直接寫出點及拋物線頂點的坐標；（2）求出這條拋物線的函數解析式；（3）施工隊方案在主橋孔內搭建矩形“腳手架”，使點在拋物線上，點在水平線上，為了籌備材料，需求出“腳手架”三根鋼管的長度之和的最大值是多少？請你幫施工隊計算.20．某坦克部隊需要經過一個拱橋（如圖所示），拱橋的輪廓是拋物線形，拱高OC＝6m，跨度AB＝20m，有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相鄰兩支柱的距離均為5m．（1）以AB的中點為原點，AB所在直線為x軸，支柱CD所在直線為y軸，建立平面直角坐標系