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2024年中考數(shù)學專題復習:實際問題與二次函數(shù)之拱橋問題1.嵊州大橋橋面上有兩個完全相同的拱形鋼梁,每一個拱形鋼梁可看作拋物線的一部分,如圖是大橋的側(cè)面示意圖,橋面長米.點是橋面的中點,鋼梁最高點,離橋面的高度均為米.以橋面所在的直線為軸,過點且垂直于的直線為軸建立平面直角坐標系.(1)求過點,,三點的拋物線表達式.(2)“嵊州大橋”四個字標注在離橋面高度為米的拱形鋼梁的點處(點在點的左側(cè)),小明從點動身在橋面上勻速前行,半分鐘后到達點正下方的點處,則小明通過橋面需多少分鐘?2.如圖是某懸索橋示意圖,其建筑原理是在兩邊高大的橋塔之間,懸掛著主索,再以相等的間隔,從主索上設置豎直的吊索,與橋面垂直,并連接橋面,承接橋面的重量,主索的幾何形態(tài)近似符合拋物線.己知兩橋塔橋面以上高度,間距為,主索最低點為點P,點P距離橋面為.(1)請你建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担蟪鲋魉鲯佄锞€的表達式;(2)求吊索的長度.3.如圖,隧道的截面由拋物線AED和矩形ABCD構(gòu)成,矩形的一邊BC為8m,另一邊AB為2m,以BC所在的直線為x軸,線段BC垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系,y軸是拋物線的對稱軸,頂點E到坐標原點O的距離為6m.(1)求此拋物線對應的函數(shù)表達式;(2)假如該隧道內(nèi)設雙行道,現(xiàn)有一輛貨運車的高為4.3m,寬為2.4m,問這輛貨運車能否在一側(cè)行道內(nèi)通過該隧道?4.如圖,三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形,兩小孔外形、大小都相同.正常水位時,大孔水面寬度AB=20米,頂點M距水面6米(即MO=6米),小孔頂點N距水面4.5米(即NC=4.5米).當水位上漲剛好沉沒小孔時,借助圖中的直角坐標系,求(1)大孔拋物線形的解析式;(2)此時大孔的水面寬度EF.5.如圖,是一座古拱橋的截面圖,拱橋橋洞的上沿是拋物線外形,當水面的寬度為10m時,橋洞與水面的最大距離是5m.(1)建立如圖的直角坐標系,求拋物線的解析式;(2)一艘貨船寬8m,水面兩側(cè)高度2m,能否平安通過此橋?6.如圖,一座溫室試驗室的橫截面由拋物線和矩形組成,矩形的長是16m,寬是4m.依據(jù)圖中所示的直角坐標系,拋物線可以用y=-x2+bx+c表示,CD為一排平行于地面的加濕管.(1)求拋物線的函數(shù)關系式,并計算出拱頂?shù)降孛娴木嚯x.(2)若加濕管的長度至少是12m,加濕管與拱頂?shù)木嚯x至少是多少米?(3)若在加濕管上方還要再安裝一排恒溫管(兩排管道相互平行),且恒溫管與加濕管相距1.25m,恒溫管的長度至少是多少米?7.如圖,是拋物線形溝渠,當溝渠水面寬度6m時,水深3m,當水面上升1m時,水面寬度為多少米?8.如圖是一座拋物線形的拱橋,拱橋在豎直平面內(nèi),與水平橋相交于A,B兩點,拱橋最高點C到AB的距離為9m,AB=36m,D,E為拱橋底部的兩點,DEAB.(1)以C為原點,以拋物線的對稱軸為y軸建立直角坐標系,求出此時拋物線的解析式.(忽視自變量取值范圍)(2)若DE=48m,求E點到直線AB的距離.9.一座拱型橋,橋下水面寬度是20米,拱高是4米.若水面上升3米至.則水面寬度是多少?(1)如圖①,若把橋拱看作是拋物線的一部分,求的長;(2)如圖②,若把橋拱看作是圓的一部分,求的長.10.如圖,隧道的截面由拋物線和矩形構(gòu)成,矩形的長為12m,寬為4m,依據(jù)如圖所示建立平面直角坐標系,拋物線可以表示為(1)求拋物線的函數(shù)表達式,并計算出拱頂E到地面BC的距離;(2)一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后,高6m,寬為4m,假如隧道內(nèi)設雙向車道,那么這輛貨車能否平安通過?(3)在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈,使它們離地面的高度相等,假如燈離地面的高度不超過8m,那么兩排燈的水平距離最小是多少米?11.如圖,在一次足球訓練中,球員小王從球門前方起腳射門,球的運行路線恰是一條拋物線,當球飛行的水平距離是時,球到達最高點,此時球高約.(1)求此拋物線的解析式;(2)已知球門高,問此球能否射進球門?12.如圖,隧道的截面由拋物線AED和矩形ABCD構(gòu)成,矩形的長BC為8m,寬AB為2m,以BC所在的直線為x軸,線段BC的中垂線為y軸,建立平面直角坐標系(如圖),y軸是拋物線的對稱軸,頂點E到坐標原點O的距離為6m.(1)求拋物線的解析式;(2)現(xiàn)有一輛貨運卡車,高4.4m,寬2.4m,它能通過該隧道嗎?13.有一個截面邊緣為拋物線形的拱形橋洞,橋洞離水面的最大高度為4m,跨度為10m.把它的截面邊緣的圖形放在如圖所示的直角坐標系中.(1)直接寫出拋物線的頂點坐標;(2)求這條拋物線所對應的函數(shù)關系式;(3)如圖,在對稱軸右邊2m處,橋洞離水面的高是多少?14.施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的大路隧道,其高度為8米,寬度OM為16米.現(xiàn)以O點為原點,OM所在直線為x軸建立直角坐標系(如圖1所示).(1)求出這條拋物線的函數(shù)解析式,并寫出自變量x的取值范圍;(2)隧道下的大路是雙向行車道(正中間是一條寬1米的隔離帶),其中的一條行車道能否行駛寬3.5米、高5.8米的特種車輛?請通過計算說明;(3)施工隊方案在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”CDAB,使A.D點在拋物線上.B、C點在地面OM線上(如圖2所示).為了籌備材料,需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、DC的長度之和的最大值是多少,請你幫施工隊計算一下.15.小明將他家鄉(xiāng)的拋物線型彩虹橋按比例縮小后,繪制成如下圖所示的示意圖,圖中的三條拋物線分別表示橋上的三條鋼梁,x軸表示橋面,y軸經(jīng)過中間拋物線的最高點,左右兩條拋物線關于y軸對稱,經(jīng)過測算,右邊拋物線的表達式為.(1)直接寫出左邊拋物線的解析式;(2)求拋物線彩虹橋的總跨度AB的長;(3)若三條鋼梁的頂點M、E、N與原點O連成的四邊形OMEN是菱形,你能求出鋼梁最高點離橋面的高度OE的長嗎?假如能,請寫出過程;假如不能,請說明理由.16.一隧道內(nèi)設雙行大路,隧道的高MN為6米.下圖是隧道的截面示意圖,并建立如圖所示的直角坐標系,它是由一段拋物線和一個矩形CDEF的三條邊圍成的,矩形的長DE是8米,寬CD是2米.(1)求該拋物線的解析式;(2)為了保證平安,要求行駛的車輛頂部與隧道頂部至少要有0.5米的距離.若行車道總寬度PQ(居中,兩邊為人行道)為6米,一輛高3.2米的貨運卡車(設為長方形)靠近最右邊行駛能否平安?請寫出推斷過程;(3)施工隊方案在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”ABHG,使H、G兩點在拋物線上,A、B兩點在地面DE上,設GH長為n米,“腳手架”三根木桿AG、GH、HB的長度之和為L,當n為何值時L最大,最大值為多少?17.有一座拋物線型拱橋,在正常水位時水面的寬為18米,拱頂離水面的距離為9米,建立如圖所示的平面直角坐標系.(1)求此拋物線的解析式;(2)一艘貨船在水面上的部分的橫斷面是矩形.①假如限定矩形的長為12米,那么要使船通過拱橋,矩形的高不能超過多少米?②若點,都在拋物線上,設,當?shù)闹底畲髸r,求矩形的高.18.如圖隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成,長方形的長是8m,寬是2m.依據(jù)圖中所示的直角坐標系,拋物線可以用y=x2+bx+c表示,且拋物線上的點C到OB的水平距離為2m,到地面OA的距離為5m.(1)求拋物線的函數(shù)關系式,并計算出拱頂D到地面OA的距離;(2)該隧道內(nèi)設雙行道,一輛貨車高4m,寬2.5m,能否平安通過,為什么?19.利川市南門大橋是上世紀90年月修建的一座石拱橋,其主橋孔的橫截面是一條拋物線的一部分,2024年在修理時,施工隊測得主橋孔最高點到水平線的高度為.寬度為.如圖所示,現(xiàn)以點為原點,所在直線為軸建立平面直角坐標系.(1)直接寫出點及拋物線頂點的坐標;(2)求出這條拋物線的函數(shù)解析式;(3)施工隊方案在主橋孔內(nèi)搭建矩形“腳手架”,使點在拋物線上,點在水平線上,為了籌備材料,需求出“腳手架”三根鋼管的長度之和的最大值是多少?請你幫施工隊計算.20.某坦克部隊需要經(jīng)過一個拱橋(如圖所示),拱橋的輪廓是拋物線形,拱高OC=6m,跨度AB=20m,有5根支柱:AG、MN、CD、EF、BH,相鄰兩支柱的距離均為5m.(1)以AB的中點為原點,AB所在直線為x軸,支柱CD所在直線為y軸,建立平面直角坐標系

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