福建省寧德一中2024屆數學高一第二學期期末綜合測試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為（）A．12π B．45π C．57π D．81π2．一個三棱錐內接于球，且，，則球心到平面的距離是（）A． B． C． D．3．表示不超過的最大整數，設函數，則函數的值域為（）A． B． C． D．4．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，，則（）A． B． C． D．5．為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數據（單位：kPa）的分組區間為[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，，第五組，如圖是根據試驗數據制成的頻率分布直方圖，已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數為（）A．6 B．8 C．12 D．186．已知均為實數，則“”是“構成等比數列”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．命題“”的否定是（）A．, B．,C．, D．,8．二進制是計算機技術中廣泛采用的一種數制。二進制數據是用0和1兩個數碼來表示的數。它的基數為2，進位規則是“逢二進一”，借位規則“借一當二”。當前的計算機系統使用的基本上是二進制系統，計算機中的二進制則是一個非常微小的開關，用1來表示“開”，用0來表示“關”。如圖所示，把十進制數1010化為二進制數（1010）2,十進制數9910化為二進制數11000112，把二進制數（10110A．932 B．931 C．109．在等差數列{an}中，若a1+A．8 B．16 C．20 D．2810．已知200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如圖所示，時速在的汽車輛數為()A．8 B．80 C．65 D．70二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．等差數列中，，則其前12項之和的值為______12．已知等差數列中，其前項和為，且，，當取最大值時，的值等于_____.13．已知，且，則________.14．對任意實數，不等式恒成立，則實數的取值范圍是____．15．設集合，它共有個二元子集，如、、等等．記這個二元子集為、、、、，設，定義，則_____．（結果用數字作答）16．_________________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知圓（為坐標原點），直線.（1）過直線上任意一點作圓的兩條切線，切點分別為，求四邊形面積的最小值.（2）過點的直線分別與圓交于點（不與重合），若，試問直線是否過定點？并說明理由.18．設向量，，其中，，且．（1）求實數的值；（2）若，且，求的值．19．已知向量a=(5sin（1）求cos(α+β)（2）若0<α<β<π2，且sinα=20．將邊長分別為、、、…、、、…的正方形疊放在一起，形成如圖所示的圖形，由小到大，依次記各陰影部分所在的圖形為第個、第個、……、第個陰影部分圖形.設前個陰影部分圖形的面積的平均值為.記數列滿足，（1）求的表達式；（2）寫出，的值，并求數列的通項公式；（3）定義，記，且恒成立，求的取值范圍.21．中，角所對的邊分別為，已知.（1）求角的大小；（2）若，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】由三視圖可知，此組合體上部是一個母線長為5，底面圓半徑是3的圓錐，下部是一個高為5，底面半徑是3的圓柱故它的體積是5×π×32+π×32×=57π故選C2、D【解題分析】由題意可得三棱錐的三對對棱分別相等，所以可將三棱錐補成一個長方體，如圖所示，該長方體的外接球就是三棱錐的外接球，長方體共頂點的三條面對角線的長分別為，設球的半徑為，則有，在中，由余弦定理得，再由正弦定理得為外接圓的半徑），則，因此球心到平面的距離，故選D.點睛：本題主要考查了球的組合體問題，本題的解答中采用割補法，考慮到三棱錐的三對對棱相等，所以可得三棱錐補成一個長方體，長方體的外接球就是三棱錐的外接球，求出求出球的半徑，進而求解距離，其中正確認識組合體的特征和恰當補形時解答的關鍵.3、D【解題分析】

由已知可證是奇函數，是互為相反數，對是否為正數分類討論，即可求解.【題目詳解】的定義域為，,，是奇函數，設，若是整數，則，若不是整數，則.的值域是.故選:D.【題目點撥】本題考查函數性質的應用，考查對新函數定義的理解，考查分類討論思想，屬于中檔題.4、C【解題分析】

在中，利用正弦定理求出即可．【題目詳解】在中，角，，所對的邊分別為，，，已知：，，，利用正弦定理：，解得：.故選C．【題目點撥】本題考查了正弦定理的應用及相關的運算問題，屬于基礎題．5、C【解題分析】試題分析：由直方圖可得分布在區間第一組與第二組共有21人，分布在區間第一組與第二組的頻率分別為1．24，1．16，所以第一組有12人，第二組8人，第三組的頻率為1．36，所以第三組的人數：18人，第三組中沒有療效的有6人，第三組中有療效的有12人．考點：頻率分布直方圖6、A【解題分析】解析：若構成等比數列，則，即是必要條件；但時，不一定有成等比數列，如，即是不充分條件．應選答案A．7、B【解題分析】

含有一個量詞的命題的否定，注意“改量詞，否結論”.【題目詳解】改為，改成，則有：.故選：B.【題目點撥】本題考查含一個量詞的命題的否定，難度較易.8、D【解題分析】

利用古典概型的概率公式求解.【題目詳解】二進制的后五位的排列總數為25二進制的后五位恰好有三個“1”的個數為C5由古典概型的概率公式得P=10故選：D【題目點撥】本題主要考查排列組合的應用，考查古典概型的概率的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.9、C【解題分析】

因為an則a1所以a5故選C.10、B【解題分析】

先計算時速在的汽車頻率，再乘200,。【題目詳解】由圖知：時速在的汽車頻率為所以時速在的汽車輛數為，選B.【題目點撥】本題考查頻率分布直方圖，屬于基礎題。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

利用等差數列的通項公式、前n項和公式直接求解．【題目詳解】∵等差數列{an}中，a3+a10＝25，∴其前12項之和S126（a3+a10）＝6×25＝1．故答案為：1．【題目點撥】本題考查等差數列的前n項和的公式，考查等差數列的性質的應用，考查運算求解能力，是基礎題．12、或【解題分析】

設等差數列的公差為，由可得出與的等量關系，然后求出的表達式，解不等式，即可得出使得取得最大值的正整數的值.【題目詳解】設等差數列的公差為，由，可得，可得，，令，即，，解得.因此，當或時，取得最大值.故答案為：或.【題目點撥】本題考查等差數列前項和的最大值的求解，可利用二次函數的基本性質來求，也可以轉化為等差數列所有的非負項之和的問題求解，考查化歸與轉化思想，屬于中等題.13、或【解題分析】

利用正切函數的單調性及周期性，可知在區間與區間內各有一值，從而求出。【題目詳解】因為函數的周期為，而且在內單調增，所以有兩個解，一個在，一個在，由反正切函數的定義有，或。【題目點撥】本題主要考查正切函數的性質及反正切函數的定義的應用。14、【解題分析】

分別在和兩種情況下進行討論，當時，根據二次函數圖像可得不等式組，從而求得結果.【題目詳解】①當，即時，不等式為：，恒成立，則滿足題意②當，即時，不等式恒成立則需：解得：綜上所述：本題正確結果：【題目點撥】本題考查不等式恒成立問題的求解，易錯點是忽略不等式是否為一元二次不等式，造成丟根；處理一元二次不等式恒成立問題的關鍵是結合二次函數圖象來得到不等關系，屬于常考題型.15、1835028【解題分析】

分別分析中二元子集中較大元素分別為、、、時，對應的二元子集中較小的元素，再利用題中的定義結合數列求和思想求出結果.【題目詳解】當二元子集較大的數為，則較小的數為；當二元子集較大的數為，則較小的數為、；當二元子集較大的數為，則較小的數為、、；當二元子集較大的數為，則較小的數為、、、、.由題意可得，令，得，上式下式得，化簡得，因此，，故答案為：.【題目點撥】本題考查新定義，同時也考查了數列求和，解題的關鍵就是找出相應的規律，列出代數式進行計算，考查運算求解能力，屬于難題.16、3【解題分析】

分式上下為的二次多項式,故上下同除以進行分析.【題目詳解】由題,,又,故.

故答案為：3.【題目點撥】本題考查了分式型多項式的極限問題，注意：當時,三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）12；（2）過定點，理由見解析【解題分析】

（1）由，得過點的切線長，所以四邊形的面積為，即可得到本題答案；（2）設直線的方程為，則直線的方程為.聯立方程，消去，整理得，得，，所以，令，即可得到本題答案.【題目詳解】（1）由題意可得圓心到直線的距離為，從而，則過點的切線長.故四邊形的面積為，即四邊形面積的最小值為12.（2）因為，所以直線與直線的斜率都存在，且不為0.設直線的方程為，則直線的方程為.聯立方程，消去，整理得解得或，則.同理可得.所以.令，得，解得.取，可以證得，所以直線過定點.當時，軸，易知與均為正三角形，直線的方程為，也過定點.綜上，直線過定點.【題目點撥】本題主要考查與橢圓相關的四邊形面積的范圍問題以及與橢圓有關的直線過定點問題，聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理是解決此類問題的常用方法.18、（1）（2）【解題分析】

（1）利用向量模的坐標求法可得，再利用同角三角函數的基本關系即可求解.（2）根據向量數量積的坐標表示以及兩角差的余弦公式的逆應用可得，進而求出，根據同角三角函數的基本關系即可求解.【題目詳解】（1）由知所以．又因為，所以．因為，所以，所以．又因為，所以．（2）由（1）知．由，得，即．因為，所以，所以．所以，因此．【題目點撥】本題考查了向量數量積的坐標表示、兩角差的余弦公式以及同角三角函數的基本關系，屬于基礎題.19、（1）cos(α+β)=2【解題分析】

（1）根據向量數列積的坐標運算，化簡整理得到5cos（2）根據題中條件求出cosα=310再由cos(2α+β)=【題目詳解】解：（1）因為a=(所以a?=5因為a?b=2，所以5（2）因為0<α<π2,因為0<α<β<π2，所以因為cos(α+β)=2所以cos因為0<α<β<π2，所以0<2α+β<【題目點撥】本題主要考查三角恒等變換，熟記兩角和的余弦公式即可，屬于常考題型.20、（1）；（2），，；（3）.【解題分析】

（1）根據題意，分別求出每一個陰影部分圖形的面積，即可得到前個陰影部分圖形的面積的平均值；（2）依據遞推式，結合分類討論思想，即可求出數列的通項公式；（3）先求出的表達式，再依題意得到，分類討論不等式恒成立的條件，取其交集，即得所求范圍。【題目詳解】（1）由題意有，第一個陰影部分圖形面積是：；第二個陰影部分圖形面積是：；第三個陰影部分圖形面積是：；所以第個陰影部分圖形面積是：；故；（2）由（1）知，，，所以，，當時，當時，，綜上，數列的通項公式為，。（3）由（2）知，，，由題意可得，恒成立，①當時，，即，所以，②當時，，即，所以，③當時，，即，所以，綜上，。【題目點撥】本題主