專題51函數與圖形相似相關問題（15題）

1.（2020?柳州市柳林中學中考真題）如圖①，在平面直角坐標系xOy中，批物線尸爐-4葉。（?<0）與

2

y軸交于點A,與x軸交于E、F兩點（點E在點F的右側），頂點為M.直線y=—a與x軸、y軸分

別交于8、C兩點，與直線AM交于點O.

（1）求拋物線的對稱軸；

（2）在y軸右側的拋物線上存在點P,使得以P、A、C、。為頂點的四邊形是平行四邊形，求。的值；

（3）如圖②，過拋物線頂點M作MNLx軸于N,連接ME,點。為拋物線上任意一點，過點Q作

QGLx軸于G,連接QE.當a=-5時，是否存在點Q,使得以Q、E、G為頂點的三角形與△MNE相似

（不含全等）？若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

圖①圖②

Cr\I

【答案】(1)直線X=2；(2)-y：(3)存在，點。的坐標為(-4,27)或(一］,或

419

(---,一).【詳解】解：(1)?.,y=x2-4x+a=(x-2)2+a-4,

39

/.拋物線的對稱軸為直線x=2；

(2)由y=(x-2)?+4-4得：A(0,a),M(2,a-4),

2

由得C(0,-a),

設直線AM的解析式為y=kx-\-a9

將M(2,a-4)代人y=E+〃中，得2Z+a=a-4,

解得k=-2,

直線AM的解析式為y=-2x+af

3

y--2x+ax--a

4.3

聯立方程組得《2，解得-,??Dn(—a,

y=-x-ai44)

3y=——a

-2

Va<0,

.?.點。在第二象限，

又點A與點C關于原點對稱,

???AC是以P、A、C、。為頂點的平行四邊形的對角線，則點尸與點。關于原點對稱,

31

即尸(---a,—a),

42

將點代入拋物線-4x+m解得〃=一~］或〃=0(舍去),

.56

??〃=----；

9

(3)存在,

理由如下：當〃=-5時，ynr-dx-Sn(x-2)2-9,此時M(2,-9),

令y=0,即0-2)2-9=0,解得笛=-1,及=5,

???點尸(-1,0)￡(5,0),

:?EN=FN=3MN=9,

設點Q(m,m1-4m-5),則G(m,0),

.\EG=\m-5\QG=\m2-4〃？-5|,

又&QEG與△"可￡都是直角三角形，且NMNE=NQGE=90。,

如圖所示，需分兩種情況進行討論：

M

EGEN31m-5]_

i）當——=——二一二一時，即

QGMN93m2-4m-53

解得m=2或-4或"7=5（舍去）；

當加=2時點0與點M重合，不符合題意，舍去，

當加=-4時，此時。坐標為點彷（-4,27）；

QGEN31m2-4*51

EGMN93加-53

24

解得用=--或〃2=——或〃2=5（舍去），

33

2217

當m=-1時，。坐標為點。2（■?--），

4一…419

當m=一不，。坐標為點。3（一彳，一），

339

217419

綜上所述，點。的坐標為（-4,27）或（---，----）或（----，一）.

3939

2.（2020?山東濰坊市?中考真題）如圖，拋物線丁=0?+笈+83。0）與*軸交于點4（-2,0）和點

5（8,0）,與y軸交于點C,頂點為D,連接AC,3cBe與拋物線的對稱軸1交于點E.

（1）求拋物線的表達式；

3

（2）點P是第一象限內拋物線上的動點，連接當Sd8C=—5“6c時，求點P的坐標；

（3）點N是對稱軸1右側拋物線上的動點，在射線E￡）上是否存在點M,使得以點M,N,E為頂點的三

角形與AOBC相似？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴y=-1x2+3x+8；（2）4（2,12）,￡（6,8）；（3）在射線￡D上存在點M,使得以點M,

N,E為頂點的三角形與AOBC相似，點M的坐標為：（3,8）,（3,5+J石）或（3,11）.

【詳解】⑴?.?拋物線丁=加+樂+8("0)過點A(-2,0)和點B(8,0)

f1

4a—2。+8=0a=—

「?4/.<2

64。+86+8=0.勺

19

，拋物線解析式為：y=--x2+3x+8

(2)當x=0時，y=8

.-.C(0,8)

，直線BC解析式為：y=-x+S

?：S=-ABOC=-X10XS=4Q

EABBCC22

3

SAPBC=gS,ABC=24

過點P作PG±x軸，交x軸于點G,交BC于點F

設—萬/+3t+8)

：.PF=--t2+4t

2

.■.SPOHVC=2-PFOB=24

即2x|_g/+4，x8=24

/.Zj=2,Z2=6

.?.4(2,12),2(6,8)

?.△03。為等腰直角三角形

b

1x=------

拋物線）=一5/0+3*+8的對稱軸為2a

???點E的橫坐標為3

又?.?點E在直線BC上

???點E的縱坐標為5

￡（3,5）

設”(3,一g/+3〃+8)

①當MN=EM,/EMN=90。ANME?MOB晌

m-5=n—3

12Q

——n+3n+Q8=m

I2

n=6n=-2

解得，或4〔…（舍去）

"2=8

??.此時點乂的坐標為（3,8）

②當ME=EN,NMEN=90°時

m-5=n-3

1

—rT9+3〃+8=5

2

m=5+Vl~5\m=5-V15

解得:或〈（舍去）

〃=3+屏-rt=3-V15

此時點M的坐標為卜,5+J將）

③當MN=EN,ZMNE=900時

連接CM,易知當N為C關于對稱軸1的時稱點時，/\MNE△COB,

此時四邊形CMNE為正方形

，CM=CE

?.?C（0,8）,￡（3,5）,M（3,/n）

CM=42+（m-8）2,CE=F+（5-8）2=3&

亞+（m-8）2=3V2

解得：=5（舍去）

此時點M的坐標為（3,11）

在射線￡￡＞上存在點M,使得以點M,N,E為頂點的三角形與AOBC相似，點M的坐標為：（3,8）,

（3,5+屏）或（3,11）.

【名師點撥】

本題是一道綜合題，涉及到二次函數的綜合、相似三角形的判定及性質、等腰三角形的性質、勾股定理、

正方形的性質等知識點，綜合性比較強，解答類似題的關鍵是添加合適的輔助線.

3.（2020?廣東中考真題）如圖，拋物線y=l±2叵/+飯+c與X軸交于A，3兩點，點A，3分別位

6

于原點的左、右兩側，30=340=3,過點5的直線與y軸正半軸和拋物線的交點分別為C,D，

BC=6CD.

（1）求h,C的值；

（2）求直線BO的函數解析式；

（3）點P在拋物線的對稱軸上且在x軸下方，點。在射線84上，當八46。與A8PQ相似時，請直接寫

出所有滿足條件的點。的坐標.

(2百)

【答案】（1）-1--；—(2)y一旦+百(3)1----,0,(1—25/3,0),

、3223I3/

-1,0,(5-273,0)

\7

【提示】

將A,B代入>=關5%2+區+c得出關于憶c

(1)根據BD^3AO=3,得出4TQ)，5(3,0),

的二元一次方程組求解即可;

（2）根據二次函數是y=給Tf

，BC=SCD，8（3,0）,得出。的橫坐標

6i3J22

為一百，代入拋物線解析式求出。（一百，百+1），設5。得解析式為：y=kx+b,將B,D代入求解即

可;

（3）由題意得tan/ABD=1,tanNADB=l,由題意得拋物線的對稱軸為直線x=l,設對稱軸與x軸交

3

點為M,P(1,n)且n<0,Q(x,0)且x<3,分①當△PBQs/\ABD時，②當△PQBs/\ABD時，③

當小PQB^ADAB時，④當△PQB^AABD時四種情況討論即可.

【詳解】

解：⑴"0=340=3,

/.A(-LO),3(3,0),

3+G,「

--------b+c=Q

.,.將A,B代入y=3+,一/+fee+c得<b

27+96n

3Z?+c=0

[---------b---------1-

b——1---

3

解得《

百31

c---------

22

.?"=一1—正3V3

c-----------；

322

(2)..?:次函數是y=+—]一理，BC=/CD，3(3,0),

6I3J22

???。的橫坐標為-G,

3+Gc(,6、；-3V3

代入拋物線解析式得y=1—x3+1+—xV3---^r

3

2

=+1

??.0(-6,6+1),

設6。得解析式為：)=丘+。

V3+1=-下＞k+b

將B,D代入得〈

0=3上+8

L__v[

解得《3,

Jl線BD的解析式為y=—立■x+G；

3

(3)由題意得tan/ABD=^^,tanNADB=l,

3

由題意得拋物線的對稱軸為直線x=l,設對稱軸與x軸交點為M,P(1,n)且n<0,Q(x,0)且x<3,

①當△PBQ^AABD時，tan/PBQ=tan/ABD即一=土

23

解得A苧

tanZPQB=tanZADB即----=1,

\—x

解得x=i-2叵，

3

此時Q的坐標為（1-2更，0）：

3

②當△PQB^AABD時，tanZPBQ=tanZADBE|l—=1,

2

解得n=-2,

tanZQPB=tanZABD即二^=立,

1-X3

解得X=1-2A/3，

此時Q的坐標為（1-2月,0）；

③當△PQB^ADAB時，tanZPBQ=tanZABD即？=立，

23

解得普

-nV3+1

tanZPQB=tanZDAB即

x-l—1+yfi

解得廣哈,

此時Q的坐標為（迪-1,0）；

3

④當△PQBsz^ABD時，tanZPBQ=tanZABDKR—=1,

2

解得n=-2,

tanZPQB=tanZDAB即——=---^-=,

X-1—14-\J3

解得x=5?2A/3?

Q的坐標為（5-273.0）；

（2

綜上：Q的坐標可能為1------,0,（1—2^3,0）,（5一2百,0）.

【名師點撥】

本題考查了二次函數，一次函數，相似三角形的判定和性質，銳角三角函數，掌握知識點靈活運用是解題

關鍵.

4.(2020?山東聊城市?中考真題)如圖，二次函數y=ox2+Zu+4的圖象與x軸交于點A(—1,0),

3(4,0),與y軸交于點C,拋物線的頂點為。，其對稱軸與線段8c交于點E,垂直于X軸的動直線/分

別交拋物線和線段于點P和點R，動直線/在拋物線的對稱軸的右側(不含對稱軸)沿x軸正方向移

動到3點.

(1)求出二次函數,=0^+笈+4和BC所在直線的表達式；

(2)在動直線/移動的過程中，試求使四邊形DEEP為平行四邊形的點尸的坐標；

(3)連接CP,CD,在動直線/移動的過程中，拋物線上是否存在點P,使得以點P,C,F為頂點

的三角形與ADCE相似，如果存在，求出點P的坐標，如果不存在，請說明理由.

【答案】(1)y=—/+3x+4,y=r+4：⑵P(*引；⑶存在，點P的坐標是件.

【提示】

(1)將A(-l,0),8(4,0)代入丁=始：2+區+4,解出a,b得值即可；求出C點坐標，將C,B代入線

段6C所在直線的表達式丁=/砒+",求解即可；

(2)根據題意只要￡陀=所，四邊形。呼P即為平行四邊形，先求出點D坐標，然后求出DE,設點

尸的橫坐標為f，則尸“，一/+3/+4),F(t,-t+4),得出/^=_/+金，根據。E=P/L得

-t2+4t=—,求解即可;

4

(3)由(2)知，/CED=NCFP，根據NPCE與ZDCE有共同的頂點C,且NPCE在ZDCE的內

部，只有當NPb=NC￡)E時，APCFskCDE，利用勾股定理，可得

+4//

515PFCF

CE=--?根據——=~~?即3“一15，解出t

24CEDE—

2

值，即可得出答案.

【詳解】

解：(1)由題意，將A(—1,O),8(4,0)代入、=如2+法+4,

a-b+4=0

得

16。+4〃+4—0

a——\

解得《

b=3

；?二次函數的表達式y=-x2+3x+4,

當x=0時，y=4,得點C(0,4),又點8(4,0),

設線段8。所在直線的表達式y=如+〃,

n—4m=-1

)八，解得〈

4m+n-(J72=4

BC所在直線的表達式y=-x+4：

(2)???￡>￡：_Lx軸，PF_Lx軸,

①

只要DE=PF，此時四邊形。EEP即為平行四邊形,

\2

*+3?4=-二25

由二次函數y=H---?

I2

74

325

得點D5'T

335

將》=一代入y=-x+4,即丁=一一+4=—,得點E

222ii-

3紀二15

424

設點p的橫坐標為r,則P”,一戶+3r+4),F(f,T+4),

PF=-t2+3t+4-(T+4)=-t2+At

由。石得一/+4/="

4

35

解之，得%=己（不合題意舍去），t=-

222

2

5(5521

當/時，一/+3/+4=——I+3x—+4

22~4

521

5'T

(3)由(2)知，PF//DE,

二ZCED=ZCFP,

又ZPCF與ZDCE有共同的頂點C,目.ZPCF在NDCE的內部,

二ZPCF^ZDCE.

：.只有當ZPCF=ZCDE時，\PCFsbCDE,

325

山,C(0,4),EI，1，

D2'T

2

3、325515

利用勾股定理，可得CE=4--|=-V2.DE-----=--

2,22424

由（2）以及勾股定理知，PF=-t2+4/.

CF="+[4-(T+4)]2=",

PFCF-廣+4=叵

=—>即3rz15-

CEDE一，2

24

vr^o.

,16.2c,<16?°16,84

當『=一時，—產+37+4=一|一+3x-+4=一，

515J525

.?.點P的坐標是

【名師點撥】

本題屬于二次函數綜合題，考查了二次函數的性質，相似三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性

質，勾股定理，靈活運用知識點是解題關鍵.

5.(2020.廣東廣州市.中考真題)如圖，平面直角坐標系xOy中，00ABe的邊。。在x軸上，對角線

AC,03交于點M,函數y=：(x>0)的圖象經過點A(3,4)和點

(1)求上的值和點M的坐標；

(2)求。Q4BC的周長.

【答案】(I)k=12,M(6,2)；(2)28

【提示】

k

(I)將點A(3,4)代入y=-中求出k的值，作AD，x軸于點D,MELx軸于點E,證明

x

MEMC112

△MEC^AADC,得到==一,求出ME=2,代入y=一即可求出點M的坐標;

ADCA2x

（2）根據勾股定理求出0A=5,根據點A、M的坐標求出DE,即可得到0C的長度，由此求出答案.

【詳解】

k

(1)將點A(3,4)代入丁二一中，得k=3x4=12,

x

V四邊形OABC是平行四邊形，

AMA=MC,

作AD，x軸于點D,MEJ_x軸于點E,

AME/7AD,

AAMEC^AADC,

.ME_MC

*AD--GA"2?

???ME=2,

12

將y=2代入y=一中，得x=6,

x

???點M的坐標為(6,2)；

.\OD=3,AD=4,

-OA=YIOD2+AD2=5,

VA(3,4),M(6,2),

/.DE=6-3=3,

ACD=2DE=6,

J003+6=9,

???O。43c的周氏=2(OA+OC)=28.

【名師點撥】

此題考查平行四邊形的性質，待定系數法求反比例函數的解析式，求函數圖象上點的坐標，勾股定理，相

似三角形的判定及性質.

6.（2020?遼寧鞍山市?中考真題）在矩形ABC。中，點E是射線上一動點，連接AE，過點8作

于點G,交直線CO于點F.

（1）當矩形ABCD是正方形時，以點尸為直角頂點在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH,連

接EH.

①如圖1,若點E在線段8C上，則線段AE與E”之間的數量關系是，位置關系是；

②如圖2,若點E在線段的延長線上，①中的結論還成立嗎？如果成立，請給予證明；如果不成立，

請說明理由；

（2）如圖3,若點E在線段BC上，以BE和BF為鄰邊作口BEHF,M是中點，連接GM,

AB=3,BC=2,求GM的最小值.

【答案】（1）①相等：垂直；②成立，理由見解析；（2）2叵

13

【提示】

（1）①證明△ABE/ABCF,得至IJBE=CF,AE=BF,再證明四邊形BEHF為平行四邊形，從而可得結

果；

②根據（1）中同樣的證明方法求證即可；

（2）說明C、E、G、F四點共圓，得出GM的最小值為圓M半徑的最小值，設BE=x,證明

△ABE-ABCF,得到CF,再利用勾股定理表示出EF=j￡/一以+4,求出最值即可得到GM的最小

值.

【詳解】

解：（1）①???四邊形ABCD為正方形，

；.AB=BC,/ABC=/BCD=90°,即NBAE+/AEB=90°,

VAE1BF,

，ZCBF+ZAEB=90°,

AZCBF=ZBAE,又AB=BC,ZABE=ZBCF=90°,

AAABE^ABCF(AAS),

/.BE=CF,AE=BF,

VAFCH為等腰直角三角形，

，FC=FH=BE,FH±FC,而CD_LBC,

，FH〃BC,

???四邊形BEHF為平行四邊形，

；.BF〃EH且BF=EH,

.?.AE=EH,AE±EH,

故答案為：相等；垂直；

②成立，理由是：

當點E在線段BC的延長線上時，

同理可得：△ABE絲ZXBCF(AAS),

；.BE=CF,AE=BF,

VAFCH為等腰直角三角形，

；.FC=FH=BE,FH±FC,而CDJ_BC,

；.FH〃BC,

四邊形BEHF為平行四邊形，

，BF〃EH且BF=EH,

；.AE=EH,AE±EH；

(2)VZEGF=ZBCD=90°,

.?.C、E、G、F四點共圓，

?.?四邊形BCHF是平行四邊形，M為BH中點，

.?.M也是EF中點，

AM是四邊形BCHF外接圓圓心，

則GM的最小值為圓M半徑的最小值，

VAB=3,BC=2,

設BE=x,則CE=2-x,

同(1)可得：ZCBF=ZBAE,

XVZABE=ZBCF=90°,

AAABE^ABCF,

:?四="即」

BCCF2CF

???EF=JCE2+C產

=.-x2-4x+4，

V9

、幾132

設y=——4ylx+4A,

.9

18,-J6

當x=一時，y取取小值一，

1313

...EF的最小值為生叵,

13

故GM的最小值為2姮.

13

【名師點撥】

本題考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，二次函數的最值,

圓的性質，難度較大，找出圖形中的全等以及相似三角形是解題的關鍵.

1,

7.（2020?湖北鄂州市?中考真題）如圖，拋物線y=/JT+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B左

邊），與y軸交于點C.直線y=］尤-2經過B、C兩點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是拋物線上的一動點，過點P且垂直于x軸的直線與直線及x軸分別交于點D、

M.PN上BC,垂足為N.設

①點P在拋物線上運動，若P、D、M三點中恰有一點是其它兩點所連線段的中點（三點重合除外）.請直

接寫出符合條件的m的值；

②當點P在直線BC下方的拋物線上運動時，是否存在一點P,使△PNC與△AOC相似.若存在，求出

點P的坐標；若不存在，請說明理由.

1,31

【答案】（1）y=-x一一X-2-,（2）-2,一一,1；（3）存在，（3,-2）

222

【提示】

（I）根據直線y=；x—2經過B、C兩點求出B、C兩點的坐標，將B、C坐標代入拋物線

y=+c可得答案；

131

（2）①由題意得P（m,-m2一一m-2）,D（m,一加一2）；根據P、D、M三點中恰有一點是其它兩

222

點所連線段的中點列式計算即可求得m的值；

②先證明AAOC^ACBO,得出ZACOZABC.再根據MNC與△AOC相似得出

ZACOZPCN,則NABC=NPCN,可得出AB//PC,求出點P的縱坐標，代入拋物線

1,3

丁=一/一一-2,即可求得點P的橫坐標.

-22%

【詳解】

解：(1)由直線y=gx-2經過B、C兩點得B(4,0),C(0,-2)

將B、C坐標代入拋物線得

,3

c=-2b=—

，解得《2,

8+4Z?+c=0

c=-2

.??拋物線的解析式為:山』.2

-22

(2)①；PN上BC,垂足為N.A/(m,O)

.123cc

??P(m,—tn—m—2),D(m,

222

分以下幾種情況：

工-2

22

解得叫=-2,嗎=4(舍去);

力上”2)

222

131

D是MP的中點時，2MD=MP,即一加~9一一加一2二2（一加—2）

222

解得班=1,m2=4（舍去）；

，符合條件的m的值有-2,1；

2

AA(-1,0),B(4,0),C(0,-2)

/.AO=1,CO=2,BO=4,

又NAOC=NCOB=90。,

COBO

AAOC^ACOB,

...ZACOZABC.

,/△PNC與△AOC相似

ZACOZPCN,

，ZABC=ZPCN.

AB//PC.

i3

二點P的縱坐標是-2,代入拋物線y=5九2一58一2,得

123cc

-x—x—2=—2

22

解得：％=0（舍去），々=3,

...點P的坐標為：（3,-2）

【名師點撥】

本題考查二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質和相似三角形的判

定和性質；會利用待定系數法求函數解析式；理解坐標與圖形性質，記住兩點間的距離公式；會利用分類

討論的思想解決數學問題.

8.（2020.云南中考真題）拋物線丁=/+云+。與x軸交于A、8兩點，與V軸交于點C,點A的坐標

為（一1,0）,點C的坐標為（0,-3）.點p為拋物線y=f+bx+c上的一個動點.過點P作P￡）_Lx軸于

點、D，交直線8。于點￡；.

（1）求b、c的值；

（2）設點尸在拋物線了=/+"+。的對稱軸上，當AAC尸的周長最小時，直接寫出點尸的坐標；

（3）在第一象限，是否存在點尸，使點尸到直線8C的距離是點。到直線8C的距離的5倍？若存在，

求出點P所有的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）b=-2,c=-3;（2）F（1,-2）（3）P（5,12）

【提示】

（1）根據待定系數法即可求解；

（2）根據題意求出B點坐標，得到直線BC的解析式，再根據對稱性可得P點為直線BC與對稱軸的交

點，即可求解；

（3）過P點作PGJ_BC的延長線于G點，過D點作DHLBC的延長線于H點，得到△DEHs^PEG,

PEPG5

根據題意可得---=----=—,可設P（m,m2-2w-3）,E（m,m-3）表示出PE,DE,故可求出m的

DEDH1

值，故可求解.

【詳解】

（1）把A（-l,0），C（0,-3）代入y=/+>x+c

1-b+c=Q

得《

c=-3

b=-2

解得《

c=-3

y-_2x_3

(2)Vy=x2-2x-3=(x-l)2-4

，對稱軸為x=l

VA(-l,0),

AA點關于x=l對稱的點B為(3,0)

如圖，連接BC,

設直線BC解析式為y=px+q

3p+q=0

把B(3,0),C(0,-3)代入得，

q=-3

p=i

解得《

q——3

二直線BC解析式為y=x-3

當x=I時，y=-2

/.直線BC交對稱軸x=l與F(1,-2)

VCAACF=AC+AF+CF=AC+BF+CF=AC+BC,

故此時AACF的周長最小，F(1,-2)；

(3)存在點P使點P到直線BC的距離是點。到直線的距離的5倍,

設P(m.m2-2m-3),

?*.E(m,m-3)

如圖，過P點作PGLBC的延長線于G點，過D點作DHJ_BC的延長線于H點,

；.DH〃PG

.?.△DEHS/XPEG

PEPG5

~DE~~DH~1

PE=m2-2m-3-(m-3)=nr-3m>DE=m-3

.nv-3m「

??-----------二5

m-3

解得mi=5,m?=3

m=3時，分母為0不符合題意，故舍去

【名師點撥】

此題主要考查二次函數綜合，解題的關鍵是熟知待定系數法、二次函數的圖像與性質、對稱性及相似三角

形的判定與性質.

9.(2020?山東煙臺市?中考真題)如圖，拋物線y=ax?+bx+2與x軸交于A,B兩點，且OA=2OB,與y

軸交于點C,連接BC,拋物線對稱軸為直線x=L,D為第一象限內拋物線上一動點，過點D作

2

DELOA于點E,與AC交于點F,設點D的橫坐標為m.

(1)求拋物線的表達式；

(2)當線段DF的長度最大時，求D點的坐標；

(3)拋物線上是否存在點D,使得以點O,D,E為頂點的三角形與ABOC相似？若存在，求出m的

值；若不存在，請說明理由.

【答案】(Dy=-x2+x+2；(2)D(l,2)；(3)存在，m=l或匕』亙

4

【提示】

(1)點A、B的坐標分別為(2t,0)、(-t,0),則x='=L(2t-t),即可求解；

22

(2)點D(m,-m2+m+2),則點F(m,-m+2),則DF=-m2+m+2-(-m+2)=-m2+2m,即可求

解；

(3)以點O,D,E為頂點的三角形與ABOC相似，則竺=竺或生，即竺=2或工，即可求

OEOCOBOE2

解.

【詳解】

解：(1)設OB=t,則OA=2t,則點A、B的坐標分別為(230)、(-t,0),

貝i]x=——(2t-t),解得：t=l,

22

故點A、B的坐標分別為(2,0).(-1,0),

則拋物線的表達式為:y=a(x-2)(x+1)=ax2+bx+2,

解得：a=-1,

故拋物線的表達式為：y=-x2+x+2；

(2)對于y=-x2+x+2,令x=0,則y=2,故點C(0,2),

由點A、C的坐標得，直線AC的表達式為：y=-x+2,

設點D的橫坐標為m,則點D(m,-m2+m+2),則點F(m,-m+2),

則DF=-m2+m+2-(-m+2)=-m2+2m,

V-l<0,故DF有最大值，此時m=l,點D(l,2)；

(3)存在，理由：

點D(m,-m2+m+2)(m>0),則OD=m,DE=-m2+m+2,

以點O,D,E為頂點的三角形與△BOC相似,

DEOBOC?DE…1-m1+加+2

則t一=—或一，即n一=2或一，即Bn=2或1

OEOCOBOE2m

解得：m=l或-2（舍去）或1+J藥或1一回（舍去）,

44

17.?1+J33

故m=1或-------.

4

【名師點撥】

主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力.會利用數形結合的思想把代數和幾何

圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系是解題的關鍵.

10.（2020?海南中考真題）拋物線y=/+笈+c經過點A（-3,0）和點B（2,0）,與V軸交于點C.

（1）求該拋物線的函數表達式；

（2）點P是該拋物線上的動點，且位于V軸的左側.

①如圖1,過點P作PD_Lx軸于點O，作軸于點E，當HD=2PE時，求PE的長;

②如圖2,該拋物線上是否存在點P,使得NACP=NOCB?若存在，請求出所有點尸的坐標；若不存

在，請說明理由.

2備用

【答案】⑴二f+工一6；（2）①2或3士產;②存在；（_2,7）或（-8,50）

【提示】

（1）用待定系數法求解即可；

（2）①設尸￡=￡。>0）,則PD=2f,排除當點P在x軸上，然后分兩種情況求解：i.如圖I,當點P在

第三象限時；”.如圖2,當點P在第二象限時；

②存在，過點A作A”_LAC于點A，交直線CP于點”，由VC4"：VCQB可得

^=—=-=過點〃作“知J_x軸于點A/，由VHM4:VAOC,求出MH、MA的值，然后

ACOC63

分點P在第三象限和點P在第二象限求解即可.

【詳解】

解：（I）；拋物線y=f+Ax+c經過點A（—3,0）、5（2,0）,

9-3b+c=Q

4+2。+c=0

b=1

解得《，

c=-o

所以拋物線的函數表達式為y=r+x—6：

（2）①設PE=t{t>0）,則PD=2t.

因為點p是拋物線上的動點且位于y軸左側，

當點p在x軸上時，點p與A重合，不合題意，故舍去，

因此分為以下兩種情況討論：.

i.如圖1,當點尸在第三象限時，點尸坐標為（T,—2，）,

則r—t—6——2t>即廠+>—6=0,

解得乙=2,弓=一3（舍去），

:.PE=2-.

五如圖2,當點P在第二象限時，點尸坐標為（-f,2f）,

則/一f-6=2t，即產一3f一6=0，

解得3+屈3—屈（舍去）,

'222

.3+屈

PE=---------，

2

綜上所述，PE的長為2或過二屆；

2

②存在點P，使得NACP=NOCB，理由如下:

當x=0時，y=-6,

/.C(0,-6),

OC=6，

在油AAOC中，=白2+62=3也.

過點A作4HJ_AC于點A，交直線CP于點H，

則ZCAH=ZCOB.

又ZACP=/OCB,

NCAH:NCOB,

?_A__H____O__B___2___\

"AC~OC~6~3'

過點“作軸于點M,則/?4=NAOC，

QZMAH+ZOAC=90°,ZOAC+ZOCA=90°,

AMAH=ZOCA.

：NHMA:NAOC,

?MH一MA_AH

"OA~OC~'AC

,MHMA1

目口-

363

??.MH=IMA二2,

i.如圖3,當點P在第三象限時，點H的坐標為(-5,-1),

圖3

由〃(一5,—1)和。(0,-6)得，

直線CP的解析式為y=-x-6.

于是有x2+x-6=-%-6>

即/+2x=0，

解得Xi=-2,々=0（舍去）,

.??點P的坐標為(-2,T)；

，.如圖4,當點P在第二象限時，點”的坐標為(—1,1),

由”（一1,1）和。（0,—6）得，

直線CP的解析式為y=-7x-6,

卜是有+x—6——7x—6,

即f+8x=0，

解得玉=-8,々=。(舍去)，

二點P的坐標為(一8,50),

綜上所述，點P的坐標為(-2,-4)或(-8,50).

【名師點撥】

本題考查了待定系數法求函數解析式，二次函數圖象上點的坐標特征，勾股定理，相似三角形的判定與性

質，以及分類討論的數學思想，分類討論是解答本題的關鍵.本題難度較大，屬中考壓軸題.

11.(2020?四川內江市?中考真題)如圖，拋物線^=℃2+"+<:經過4(-1,0)、B(4,0)、C(0,2)

三點，點。(x,y)為拋物線上第一象限內的一個動點.

(1)求拋物線所對應的函數表達式；

(2)當的面積為3時，求點。的坐標；

(3)過點。作垂足為點E,是否存在點。，使得ACDE中的某個角等于NABC的2倍？若

存在，求點。的橫坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)y——x2+—X+2；(2)(3,2)或(1,3)；(3)存在，2或—.

2211

【提示】

(1)根據點A、B、C的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

(2)根據三角形面積公式可求與BC平行的經過點D的y軸上點M的坐標，再根據待定系數法可求DM

的解析式，再聯立拋物線可求點D的坐標；

(3)分NDCE=2/ABC及/CDE=2NABC兩種情況考慮：①當/DCE=2/ABC時、取點F(0,

-2),連接BF,則CD〃BF,由點B,F的坐標，利用待定系數法可求出直線BF,CD的解析式，聯立直

線CD及拋物線的解析式組成方程組，通過解方程組可求出點D的坐標；②當NCDE=2NABC時，過點

C作CNLBF于點N,交OB于H.作點N關于BC的對稱點P,連接NP交BC于點Q,由

△OCHs/\OBF求出H點坐標，利用待定系數法求出直線CN的解析式，聯立直線BF及直線CN成方程

組，通過解方程